Veff+Binclusion

Introducao

Determinacaoda AcaoEfetiva

Acao Efetiva emTodas asOrdens

Acao Efetiva a1-Loop

Diagramas

PotencialEfetivo

PropagadorEscalar naPresenca deum CampoMagneticoExterno

Calculo dosEfeitosTermicos para oDiagramaTadpole

Regularizacaodo TermoDivergente

Conclusoes

Referencias

Potencial Efetivo de uma Teoria Quantica deCampos Escalares a Temperatura Finita naPresenca de um Campo Magnetico Externo

Dyana C. Duarte e Ricardo L. S. Farias

Grupo de Estudos em Teoria de Campos e Partıculas - GETEPUniversidade Federal de Sao Joao del Rei - UFSJ

May 13, 2011

Dyana Duarte; Ricardo Farias Veff na Presenca de um Campo Magnetico Externo 1/ 50

Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Roteiro

1 Introducao

2 Determinacao da Acao EfetivaAcao Efetiva em Todas as OrdensAcao Efetiva a 1-LoopDiagramasPotencial Efetivo

3 Propagador Escalar na Presenca de um Campo Magnetico Ex-terno

Calculo dos Efeitos Termicos para o Diagrama TadpoleRegularizacao do Termo Divergente

4 Conclusoes

5 Referencias


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Introducao

A restauracao da simetria em TQC a temperatura finita temsido um assunto de interesse ha bastante tempo, em particularquando aplicada a descricao das transicoes de fase no universoprimordial. Neste trabalho investigamos a restauracao da sime-tria a temperatura finita na teoria de um campo escalar intera-gindo com um campo magnetico externo constante. Atraves deuma abordagem perturbativa, podemos descrever os efeitos daaplicacao de um campo magnetico externo na transicao de fasede uma teoria de campos escalares carregados com um acopla-mento simples e com quebra de simetria.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Introducao

Neste contexto, as transicoes de fase sao fenomenos tipicamentenao-perturbativos, ou seja, uma teoria de perturbacao comum naconstante de acoplamento nao pode ser empregada. Os proble-mas aparecem em fenomenos que ocorrem proximos aos pontoscrıticos porque podem surgir grandes flutuacoes devido as di-vergencias infravermelhas nos sistemas.Neste trabalho utilizamos o metodo conhecido como teoria deperturbacao otimizada - (OPT) para contornar o problema daquebra da teoria de perturbacao.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Introducao

Nosso modelo e descrito pela densidade Lagrangeana:

L = (Dµφ)∗Dµφ−m20φ∗φ− λ

4(φ∗φ)2 − 1

4FµνF

µν (1)

em que m0 e a massa do sistema, λ e a constante de acoplamentoe

(Dµφ) = ∂µ − ieAµ e Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (2)

Esta teoria e invariante frente a transformacao φ → −φ, e sem0 < 0 a temperatura nula, a simetria quebra espontaneamente.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Introducao

Essa Lagrangeana representa a interacao de um campo escalarcarregado com um campo magnetico e e comumente conhecidacomo modelo Higgs-Abeliano. O campo magnetico neste mod-elo pode ser introduzido via acoplamento mınimo, no termo Aµ ecomo estamos interessados somente nas transicoes e fase, pode-mos fixar um calibre especıfico e trabalhar somente com o setorescalar da teoria.Os efeitos de temperatura sao incluıdos no problema atravesdo formalismo de tempo imaginario, em que a energia assumevalores discretos e a integral temporal se torna uma soma sobreas frequencias de Matsubara.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Introducao

Na OPT, e feita uma interpolacao linear na Lagrangeana originalem termos de um parametro de expansao δ, que e usado comoartifıcio, e ao final dos calculos escolhemos δ = 1. A aplicacaodeste metodo comeca com a interpolacao definida por

L → Lδ = L0 (η) + δ [L − L0 (η)] (3)

em que L0 e a densidade da Lagrangeana modificada por umparametro (ou parametros) de massa arbitrario. E importantenotar que se δ = 1 obtemos a Lagrangeana original. Os graficosde Feynman agora serao modificados, pois aparecem multiplica-dos por δ e dependem de η.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Introducao

Inicialmente foi feito o calculo do potencial efetivo da teoria,sabendo que o mesmo e dado pelo termo de potencial da La-grangeana, mais as correcoes quanticas dadas pelos diagramasde Feynmann obtidos calculando-se a acao efetiva.O fato de que a selecao e o calculo de diagramas de Feynman saofeitos exatamente como na teoria de perturbacao usual, incluindoo procedimento de renormalizacao, faz com que a teoria de per-turbacao otimizada seja adequada para estudar as transicoes defase em TQC. Vale lembrar, tambem, que a OPT e livre dedivergencias infravermelhas proximas e nos pontos crıticos.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Acao Efetiva em Todas as Ordens

O setor escalar da lagrangeana para uma teoria de campos es-calares carregados tem a forma

Lo = ∂µφ∂µφ∗ +m2

0|φ2| − λ

4|φ4| (4)

em que m0 e o termo de massa quadratica e λ e a constante deacoplamento.Os campos escalares φ e φ∗ podem ser escritos em termos dedois campos φ1 and φ2, fazendo:

φ =1√2

(φ1 + iφ2) e φ∗ =1√2

(φ1 − iφ2) . (5)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Fazendo-se um deslocamento no campo φ1, de forma que φ1 →φ1 + ν, a Lagrangeana podera ser escrita como:

L =12

[∂µφ1∂µφ1 + ∂µφ2∂

µφ2]− φ21

2

(−m2

0 +34λν2

)− φ2

2

2

(−m2

0 +λ

4ν2

)+m2

0

2ν2 − λ

16(φ2

1 + φ22

)2− λ

4φ1

(φ2

1 + φ22

)ν − φ1

(−m2

0 +λ

4ν2

)ν − λ

16ν4 (6)

O deslocamento ν corresponde ao valor mınimo dos campos φ1

e φ2.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Utilizando a prescricao dada por (3), encontramos

L =12

[∂µφ1∂µφ1 + ∂µφ1∂

µφ1]− 12φ2

1Ω21 −

12φ2

2Ω22

− δλ

16(φ2

1 + φ22

)2 − δλ

4φ1

(φ2

1 + φ22

)ν

− φ1

(−m2

0 +δλ

4ν2

)ν +

(12ν2m2

0 −δλ

16ν4

)+

δ

2η2(φ2

1 + φ22

)(7)

sendo Ω21 = −m2

0 + η2 + 34δλν

2 e Ω22 = −m2

0 + η2 + 14δλν

2.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Utilizando o formalismo de integrais de trajetoria, podemos es-crever o gerador funcional das funcoes de Green em termos dasfontes externas J1 e J2, correspondentes aos campos φ1 e φ2

respectivamente, da seguinte forma

Z [J1, J2] = ei~W (J1,J2) (8)

=∫

[Dφ1] [Dφ2] e(i~ [S+

Rd4xJ1φ1+J2φ2]) (9)

sendo φ1 e φ2 campos quanticos e S a acao classica, dada porS =

∫d4x [L] . E importante ressaltar que em todo o desen-

volvimento desse trabalho foi feito ~ 6= 1, c = 1 e posteriormentekB(constante de Boltzmann) = 1.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Escrevendo Z [J1, J2] = ei~W [J1,J2] e utilizando uma transformacao

de Legendre, podemos definir outro gerador funcional,

Γ [ϕ1, ϕ2] = W (J1, J2)−∫d4x (J1ϕ1 + J2ϕ2) (10)

A quantidade Γ [ϕ1, ϕ2], conhecida como acao efetiva, e o ge-rador das funcoes de Green da teoria. Os campos ϕ1 e ϕ2 sao c-numbers, ou seja, sao campos classicos que carregam correcoesquanticas e representam os valores esperados dos campos φ1 eφ2 no vacuo.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


De (8) e (9),

ei~W (J1,J2) =

∫[Dφ1] [Dφ2] e(

i~ [S+

Rd4xJ1φ1+J2φ2]) (11)

Derivando ambos os lados com relacao a J1(x) temos:

δW [J1, J2]δJ1 (x)

=∫

[Dφ1] [Dφ2]φ1ei~ [S+

Rd4x(J1φ1+J2φ2)]

ei~W (J1,J2)

= 〈0 |φ1 (x)| 0〉 (12)

Ou seja, esta derivada corresponde ao valor esperado do campoφ1 no vacuo.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Repetindo o mesmo procedimento para J2, podemos definir:

ϕ1 =δW [J1, J2]

δJ1= 〈0 |φ1| 0〉 (13)

ϕ2 =δW [J1, J2]

δJ2= 〈0 |φ2| 0〉 (14)

Derivando (10) com respeito a ϕ1 e ϕ2 obtemos

δΓ [ϕ1, ϕ2]δϕ1 (x)

= −J1 (x) eδΓ [ϕ1, ϕ2]δϕ2 (x)

= −J2 (x) . (15)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Entao,

e[i~Γ[ϕ1,ϕ2]−

Rd4x(J1ϕ1+J2ϕ2)] =

Z[Dφ1] [Dφ2] exp [S (φ1, φ2)

− i

~

Zd4x (J1φ1 + J2φ2)

–(16)

Fazendo os seguintes deslocamento nos campos,

φ1 → φ1 (x) + ϕ1 (x) D [φ1] = D [φ1] (17)

φ2 → φ2 (x) + ϕ2 (x) D [φ2] = D [φ2] (18)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Substituindo na equacao (16) encontramos:

e(i~ Γ[ϕ1,ϕ2]) =

∫[Dφ1] [Dφ2] exp

[i

~S (φ1 + ϕ1, φ2 + ϕ2)

+i

~

∫d4x (J1φ1 + J2φ2)

](19)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Em seguida expandimos funcionalmente a acao em serie de Tay-lor, em torno de φi = ϕi = 0. Obtemos:

S (ϕ1, ϕ2) = S(0) (ϕ1, ϕ2) + S(1) (ϕ1, ϕ2) + S(2) (ϕ1, ϕ2)+ S(n) (ϕ1, ϕ2) (20)

em que S(0) = Sb e a acao bare, obtida a partir da lagrangeana,S(1) e o primeiro termo e S(n) sao os termos de ordens superiores.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


O termo S(n) pode ser escrito como

Sn =δnS

δϕi (x1) ...δϕj (xn)

∣∣∣∣ϕ1,ϕ2=0

(21)

em que i e j podem assumir os valores 1 e 2, correspondentesaos campos ϕ1 e ϕ2.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Finalmente, substituindo em (19), temos a acao efetiva em todasas ordens, dada por

e(i~ Γ[ϕ1,ϕ2]) =


i

~

[Sb + S1φ1 + S1φ2

+12

∫d4x1d

4x2Mijφi (x1)φj (x2)

+4∑

n=3

1n!

∫d4x1d

4x2Snφi (x1) ...φj (x2)

]

− i

~

∫d4x (J1φ1 + J2φ2)

(22)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Lembrando das relacoes (15), podemos definir

J1 = − δΓδϕ1≡ −Γ(1)

1 (ϕ1, ϕ2) e J2 = − δΓδϕ2≡ −Γ(1)

2 (ϕ1, ϕ2)

(23)Substituindo J1 e J2 na equacao (22) ficamos com

e(i~ Γ[ϕ1,ϕ2]) = e

i~Sb


[i

~

(S(2) + S(n)

)+

i

~

∫d4x

(S1 − Γ(1)

2

)φ1 +

(S1 − Γ(1)

2

)φ2

](24)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Reescalando os campos φi → ~12φi, e possıvel observar que essa

expansao em ~ e correspondente a uma expansao em loops daacao efetiva. Obtemos:

e(i~ [Γ[ϕ1,ϕ2]−Sb]) =

Z[Dφ1] [Dφ2] exp

»i

2

Zd4x1d

4x2Mijφi (x1)φj (x2)

+4X

n=3

i~( n2−1) 1

n!

Zd4x1d

4x2Snφi (x1) ...φj (x2)

− i~−12

Zd4xφ1

δ

δϕ1[Γ1 − S1] + φ2

δ

δϕ2[Γ2 − S1]

–(25)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Se definirmos

Γi (ϕ1, ϕ2)− Sb ≡ Γi (ϕ1, ϕ2) . (26)

E possıvel ver que Γi e uma serie de potencias em ~:

Γi (ϕ1, ϕ2) =∞∑m=1

~mΓ(m) (ϕ1, ϕ2) (27)

Γi (ϕ1, ϕ2) representa todas as correcoes quanticas a acao classicaS. Podemos dizer entao que a acao efetiva e dada pela acaoclassica mais as correcoes quanticas.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Escrevemos entao, a aquacao (25) como

exp

i∞Xm=1

~m−1Γ(m) (ϕ1c, ϕ2c)

!=

Z[Dφ1] [Dφ2] exp

»i

2

Zd4x1d

4x2

× (Mijφi (x1)φj (x2))

+4X

n=3

i~( n2−1) 1

n!

Zd4x1d

4x2

× (Snφi (x1) ...φj (x2))

−∞Xm=1

~−12 +m

Zd4x

×“φ1Γ

(m)1 + φ2Γ

(m)2

”i(28)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Acao Efetiva a 1-Loop

Expandindo ambos os lados de (28) para m = 1 e considerandosomente os termos de ordem ~0 encontramos a acao efetiva a1-loop:

Γ(1) (ϕ1c, ϕ2c) = −i lnZ

[Dφ1] [Dφ2] e[i2

Rd4x1d

4x2Mijφ1(x1)φ1(x2)]ff

(29)

O termo Mij e a matrix 2× 2 das derivadas segundas de S:

M11 (x1 − x2) ≡ −ˆx1 + Ω2

1 − δη2˜δ4 (x1 − x2) (30)

M22 (x1 − x2) ≡ −ˆx1 + Ω2

2 − δη2˜δ4 (x1 − x2) (31)

M12 (x1 − x2) ≡ 0 (32)

M21 (x1 − x2) ≡ 0 (33)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


DefinindoMij = −Mijδ

4 (x1 − x2) (34)

Fazemos

12S2 (ϕ1, ϕ2)φiφj = −1

2

∫d4x1φi (x1) Mijφj (x1) (35)

Retornando a acao efetiva a ~0,

Γ(1) (ϕ1c, ϕ2c) = −i ln∫

[Dφ1] [Dφ2]

× e[−i2

Rd4x1φi(x1)Mijφj(x1)]

, (36)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


A integral em (36) e gaussiana, e podemos determina-la fazendo

Θ ≡Z

[Dφ1] [Dφ2] exp

»− i

2

Zd4x1φi (x1) Mijφj (x1)

–=

Z[Dφ1] [Dφ2] exp

»− i

2

Zd4x1φi (x1)

hMij − iε

iφj (x1)

–= N

hdet“iMij

”i− 12

= N ′hdet“Mij

”i− 12

(37)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


A acao efetiva sera entao

Γ(1) (ϕ1c, ϕ2c) = −i lnN ′[det(Mij

)]− 12

=

i

2ln[det(Mij

)]=

i

2ln

det

M11M22 − M12M21︸︷︷︸0

(38)

em que N ′ pode ser absorvida mediante normalizacao no geradorfuncional.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Usando a seguinte identidade,

detA = exp (Tr lnA) (39)

obtemos

Γ(1) (ϕ1c, ϕ2c) =i

2Tr[ln(M11M22

)]. (40)

Finalmente, a expressao para a acao efetiva a 1-loop e

Γ(1) (ϕ1c, ϕ2c) = Sb +i

2Tr[ln(M11M22

)]. (41)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Diagramas

Analisando o termo ln(M11M22

):

ln(M11M22

)= ln

[(x1 +m

(1)eff

)(x1 +m

(2)eff

)]= ln

(x1 +m

(1)eff

)+ ln

(x1 +m

(2)eff

)(42)

entao

i

2Tr ln

(M11M22

)=

i

2Tr ln

(x1 +m

(1)eff

)+

i

2Tr ln

(x1 +m

(2)eff

)(43)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Diagramas

Analisando o termo i2Tr ln

(x1 +m

(1)eff

), podemos escreve-lo

como

i

2Tr ln

“x1 +m

(1)eff

”=

i

2Tr ln

`x1 − Ω2

´+

i

2Tr ln

»1 +

δλ

4

„3ν2 −

4η2

λ

«1

x1 − Ω2

–

em que Ω2 = m20 + η2.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Diagramas

Expandindo o ultimo termo da equacao anterior em δ e es-crevendo o operador traco como uma integral no espaco de con-figuracoes,

i

2Tr ln

(x1 +m

(1)eff

)=

i

2

∫d4x1 ln

(x1 − Ω2

)+

3δλi8

ν2

∫d4x1

1x1 − Ω2

− iδ

2η2

∫d4x1

1(x1 − Ω2

) (44)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Diagramas

Procedendo da mesma forma com o termo i2Tr ln

(x1 +m

(1)eff

),

e em seguida fazendo uma transformada de Fourier, passandopara o espaco de momentos, em que

(x1 − Ω2

)→(−k2 − Ω2

),

Γ(1) (ϕ1c, ϕ2c) = Sb +∫

d4k

(2π)4 ln(k2 + Ω2

)+

δλ

2ν2

∫d4k

(2π)4

1(k2 + Ω2

)− δη2

∫d4k

(2π)4

1(k2 + Ω2

) (45)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Diagramas

Nas expressoes anterior foi feita tambem uma rotacao de Wickk0 → ik0, passando do espaco de Minkowski para o Euclideano,uma vez que que nossos calculos utilizam o formalismo de tempoimaginario.A expressao da unica contribuicao de 2-loops deste trabalho sera(ja no espaco Euclideano dos momentos)

δλ

2

[∫d4k

(2π)4

1k2 + Ω2

]2

(46)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Potencial Efetivo

O potencial efetivo para esta teoria pode ser encontrado tomando-se campo constante na acao efetiva, e e dado pelo termo depotencial da Lagrangeana mais as correcoes quanticas [1]:

Veff = V0 +∫

d4k

(2π)4 ln(k2 + Ω2

)+

δλ

2ν2

∫d4k

(2π)4

1(k2 + Ω2

)− δη2

∫d4k

(2π)4

1(k2 + Ω2

)+

δλ

2

[∫d4k

(2π)4

1k2 + Ω2

]2

(47)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Diagramas

Ou, na forma de diagramas, o potencial efetivo pose ser escritocomo

Veff (φ) = V0 (φ) +

+

+t

+ @ (48)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Propagador Escalar na Presenca de um CampoMagnetico Externo

Utilizando o formalismo de tempo proprio de Schwinger, e possıvelobter a expressao para o propagador de vacuo de um boson es-calar carregado com carga e, na presenca de um campo magneticoexterno, DB(x′, x′′), que e dado por

DB(x′, x′′) = ϕ(x′, x′′)∫

d4k

(2π)4e−ik(x′−x′′)DB(k) (49)

em que

iDB(k) =∫ ∞

0

ds

cos(eBs)eisk2

‖−k2⊥

htan(eBs)eBs

i−m2+iε

(50)

e o fator de fase ϕ(x′, x′′) nao depende do caminho de inte-gracao, e neste trabalho pode ser feito igual a 1.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Propagador Escalar na Presenca de um CampoMagnetico Externo

Utilizando as notacoes

(a.b)‖ = a0b0 − a3b3 e (a.b)⊥ = a1b1 + a2b2 (51)

podemos escrever a expressao final para o propagador na pre-senca de um campo magnetico externo iDB(k) no espaco eu-clideano como

iDB = 2i∞∑l=0

(−1)l Ll(

2k2⊥

eB

)exp

(−k2⊥eB

)k2‖ + (2l + 1) eB + Ω2

(52)

em que Ll

(2k2⊥

eB

)corresponde a uma funcao escrita na forma de

polinomios de Laguerre.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Calculo dos efeitos termicos para o diagramatadpole

Fora os fatores de simetria, o diagrama tadpole pode ser calcu-lado fazendo-se

T = 2λ∫

d4kE

(2π)4

∞∑l=0

(−1)l Ll(

2k2⊥

eB

)exp

[−k2⊥eB

]k2

0 + k23 + (2l + 1) eB + Ω2

(53)

Neste formalismo, a energia assume valores discretos, ou seja,k0 = ωn = 2nπ

β sendo n um numero inteiro correspondente asfrequencias de Matsubara para bosons, e tambem∫

d4kE

(2π)4 −→1β

∑n

∫d3k

(2π)3 (54)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Ficamos com:

T = 2λ1

β

Xn

Zd3k

(2π)3

∞Xl=0

(−1)l Ll

„2k2⊥eB

«exp

»− k

2⊥eB

–ω2n + k2

3 +m2l

(55)

em que m2l = (2l + 1) eB + Ω2. Fazendo k2

3 + m2l = ω2 e

invertendo a soma e a integral podemos reescrever (55) como:

T = 2λ

∞Xl=0

(−1)lZ

d3k

(2π)3Ll

2k2⊥

eB

!exp

"−k2⊥eB

#1

β

Xn

1

ω2n + ω2

=βλ

2π2

∞Xl=0

(−1)lZ

d3k

(2π)3Ll

2k2⊥

eB

!exp

"−k2⊥eB

#Xn

1

n2 +“βω2π

”2

(56)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Apos algumas manipulacoes algebricas, a expressao(56) fica

T = λ

∞∑l=0

(−1)l∫

d3k

(2π)3Ll

(2k2⊥

eB

)exp

[−k2⊥eB

]1ω

+ 2λ∞∑l=0

(−1)l∫

d3k

(2π)3Ll

(2k2⊥

eB

)exp

[−k2⊥eB

]× 1

ω

1exp (βω)− 1

(57)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Reescrevendo a integral anterior em coordenadas cilındricas ecombinando a parte de k⊥ com o polinomio de Laguerre pode-mos resolver a integral k⊥ e ficar somente com a integral emk3:

T =λeB

4π2

∞∑l=0

∫ ∞0

dk31ω

+λeB

2π2

∞∑l=0

∫ ∞0

dk31ω

1exp (βω)− 1

(58)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Substituindo ω = (k23 + (2l+ 1)eB+ Ω2)

12 obtemos, finalmente:

T =λeB

4π2

∞∑l=0

∫ ∞0

dk31(

k23 + (2l + 1) eB + Ω2

) 12

(59)

+λeB

2π2

∞∑l=0

∫ ∞0

dk31(

k23 + (2l + 1) eB + Ω2

) 12

× 1

exp[β(k2

3 + (2l + 1) eB + Ω2) 1

2

]− 1

(60)

O termo de T = 0 (59) e divergente, e deve ser regularizado.Ja a segunda integral juntamente com a soma sobre os nıveis deLandau converge, e e calculada numericamente.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Regularizacao do Termo Divergente

O termo de T = 0 da equacao (59) e divergente, e utilizamos oprecedimento de regularizacao dimensional para regulariza-lo.Para isso, escrevemos a integral em d−dimensoes:

TT=0 =λeB

4πµ1−d

∞∑l=0

∫ +∞

−∞

ddk3

(2π)d1[

k23 + (2l + 1)eB + Ω2

] 12

(61)

em que a escala de massa µ aparece para manter adimensionala constante de acoplamentoλ. O resultado desta integral e [2]:∫

ddp

(2π)d[p2 +M2

]−A =Γ(A− d

2

)(4π)

d2 Γ (A) (M2)A−

d2

;


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


A funcao Gama possui polos em numeros inteiros negativos.Tomando d → 1 − ε em (61) e apos algumas manipulacoesalgebricas ficamos com

TT=0 =λeB

4πµεΓ

(ε2

)(4π)

1−ε2 Γ

(12

)(2eB)

ε2

∞∑l=0

[l +

eB + Ω2

2eB

]− ε2

(62)

A soma em l na equacao acima pode ser escrita como umafuncao zeta, a partir de sua definicao

ζ (z, q) =∞∑n=0

(q + n)−z com Re (z) > 1, q > 0 (63)


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias


Obtemos entao

TT=0 =λeB

4πµεΓ

(ε2

)(4π)

1−ε2 Γ

(12

)ζ ( ε2 , Ω2 + eB

2eB

)(64)

Expandindo a expressao acima e rearranjando os termos obtemosfinalmente o resultado da integral:

TT=0 = −1ε

[λΩ2

8π2

]+λΩ2

16π2

[ln(

Ω2 + eB

4πµ2

)+ γ − 1− eB

Ω2

](65)

O primeiro termo da equacao acima e divergente, e e absorvidomediante a renormalizacao do potencial efetivo.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Conclusoes

• Em nosso trabalho estudamos os efeitos da presenca de umcampo magnetico externo sobre o potencial efetivo parauma teoria de campos escalares carregados a temperaturafinita, via teoria de perturbacao otimizada.

• Uma das mais importantes conclusoes obtidas foi a con-firmacao de que, da mesma forma que a inclusao de efeitostermicos, a aplicacao de um campo magnetico externo con-stante nao gera novas divergencias a teoria; a divergenciaencontrada corresponde a parte de temperatura zero ja en-contrada em problemas que nao incluem temperatura ecampo magnetico.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Conclusoes

• A simplicidade de implementacao, os recentes e importantesresultados obtidos na literatura e a simplicidade no procedi-mento de renormalizacao foram motivacoes para utilizarmosa OPT como processo de ressoma. Diferentes metodos deressoma, como por exemplo os estudos no contexto dosmetodos 2PI, geralmente enfrentam bastante dificuldadeno processo de renormalizacao. Notamos que a renormali-zacao nao e afetada pela introducao dos efeitos de campomagnetico, ja que os contratermos utilizados para renor-malizar a teoria sao os mesmos usados no caso de tempe-ratura nula.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Conclusoes

• Sem levar em conta os termos independentes da tempe-ratura, temos como resultado preliminar que o campo magne-tico antecipa a transicao de fase, ou seja, diminui a tem-peratura crıtica do sistema.

• Vimos tambem que a transicao de fase continua suave econtınua, caracterıstica das transicoes de segunda ordem.Ou seja, a inclusao de um campo magnetico na teoria naomodifica a natureza da transicao neste problema.


Introducao




Diagramas

PotencialEfetivo




Conclusoes

Referencias

Referencias

M. Le Bellac,Thermal Field TheoryCambridge University Press, 1996.

P. Ramond.Field Theory: a Modern Primer.Westview Press, 2001

J. A. Kapusta, C. Gale.Finite Temperature Field Theory - Principles andApplications.Cambridge University Press, 2006

A. Ayala, A. Sanchez, G. Piccinelli and S.Sahu, Phys. Rev.D 71, 023004 (2005).


Science

Veff+Binclusion