03 faltas desbalanceadas

_________________________UFSM_____ Prof. Ghendy Cardoso Junior_______________________________2012 1

3 Faltas Desbalanceadas

3.1 Introdução Neste capítulo são estudados os curtos-circuitos do tipo monofásico, bifásico e bifase-terra.

Durante o estudo será utilizado o método das componentes simétricas. Assim, o problema poderá ser resolvido por fase.

3.2 Fundamentos das componentes simétricas As componentes simétricas permitem representar valores desbalanceados de tensão e

corrente em três componentes simétricas balanceadas. Considere a representação fasorial da corrente mostrada na Figura 3.1.

Figura 3.1 – Representação das componentes simétricas.

Os fasores giram no sentido horário. Assim, esses podem ser escritos como,

Eq. 3.1 sendo o operador de rotação a = 1∟120º

Eq. 3.2 fica claro que

Eq. 3.3 A ordem dos fasores é abc, sequencia de fase positiva. Quando a rodem for acb, tem-se a

sequencia de fase negativa (Figura 3.1(b)). Os fasores de sequencia negativa podem ser representados por,

Eq. 3.4


Dependendo do tipo de falta, um terceiro conjunto de fasores balanceados deve ser considerado. Esse é chamado de sequencia zero, e as três fases estão em fase. Os fasores de sequencia zero podem ser representados por,

Eq. 3.5 O método das componentes simétricas foi introduzido por Dr. C. L. Fortescue em 1918.

Baseando-se na sua teoria, fasores trifásicos desbalanceados de sistemas trifásicos podem ser resolvidos por meio de três sistemas de fasores balanceados, denominados sequencia +, - e 0.

Considere as correntes trifásicas desbalanceadas Ia, Ib e Ic mostradas na Figura 3.2. As componentes simétricas para tais correntes são encontradas a seguir.

Eq. 3.6 De acordo com a definição de componentes simétricas, a eq. 3.6 pode ser rescrita como,

Eq. 3.7 ou

Eq. 3.8

Figura 3.2 – Decomposição de um sistema desbalanceado em componentes simétricas.


Na forma matricial, a eq. 3.8 fica,

Eq. 3.9 Onde A é conhecida como Matriz de Transformação

Eq. 3.10 Resolvendo a eq. 3.9 para encontrar as componentes simétricas,

Eq. 3.11 A inversa de A é,

Eq. 3.12 Por meio das eq. 3.10 e 3.12, conclui-se que,

Eq. 3.13 Substituindo a eq. 3.13 em 3.11,

Eq. 3.14 ou, na forma de componentes simétricas

Eq. 3.15 A eq.3.15 permite concluir que a componente de sequencia zero da corrente é igual a um

terço da soma das correntes de cada fase. Portanto, a sequencia zero não existe quando a soma das três correntes de fase for zero (por ex. sistema trifásico ligado em Y não aterrado). Se o neutro do sistema for aterrado, a corrente de sequencia zero flui entre o neutro e o terra. Expressões similares existem para a tensão. Logo, tensões desbalanceados em termos de componentes simétricas são,

Eq. 3.16 na forma matricial,

Eq. 3.17 As componentes simétricas em termos das tensões desbalanceadas são,


Eq. 3.18 Na forma matricial

Eq. 3.19 A potencia aparente complexa em termos das componentes simétricas é,

Eq. 3.20 Substituindo a eq. 3.9 e 3.17 em 3.20, tem-se

Eq. 3.21 Como AT = A, da eq. 3.13, ATA* = 3, e a potencia complexa fica

Eq. 3.22 A eq. 3.22 mostra que a potencia complexa total desbalanceada pode ser obtida a partir da

soma das potências complexas. Nas deduções acima, I0, I1 e I2 são referentes a fase a.

Exemplo 3.1

Obtenha as componentes simétricas para as correntes Ia = 1,6∟25º, Ib = 1,0∟180º, Ic = 0,9∟132º. As componentes simétricas e os fasores são mostrados na Figura 3.2

Assim, ver CHP10EX1.M

Exemplo 3.2

As componentes simétricas da tensão são Va0 = 0,6∟90º, Va

1 = 1,0∟30º, Va2 = 0,8∟-30º.

Determine os fasores desbalanceados. As componentes simétricas e os fasores são mostrados na Figura 3.3.



Figura 3.3 – Transformação de componentes simétricas em componentes de fasores.

3.3 Impedâncias de sequência É a impedância de um equipamento que é percorrida por diferentes sequências. A

impedância que se estabelece para a corrente de sequência positiva é a Z1. Para a sequência negativa é a Z2 e para a sequência 0 é a Z0.

3.3.1 Impedância de sequência para carga em Y

Uma carga trifásica balanceada com impedância própria e mútua é mostrada na Figura 3.4.

Figura 3.4 – Carga balanceada em Y.

As tensões fase-terra são,

Eq. 3.23 Da lei de Kirchhoff tem-se,

Eq. 3.24


Substituindo a eq. 3.24 em 3.23 e reescrevendo a eq.3.23 na forma matricial, tem-se

Eq. 3.25 ou, na forma compacta

Eq. 3.26 onde

Eq. 3.27 Escrevendo Vabc e Iabc em termos de suas componentes simétricas, tem-se

Eq. 3.28 Multiplicando a eq. 10.28 por A-1, tem-se

Eq. 3.29 onde

Eq. 3.30 Substituindo Zabc (eq.3.27), A-1(eq. 3.10), A (eq. 3.12) tem-se

Eq. 3.31 Realizando a multiplicação, tem-se

Eq. 3.32 Se não houver acoplamento mútuo, Zm = 0, e a matriz de impedância fica

Eq. 3.33

A matriz de impedância tem elementos não zeros somente na diagonal principal. Portanto, para cargas balanceadas, as três sequências são independentes. Isto é, as correntes relativas a cada sequencia produzirão quedas de tensão somente na mesma sequência de fase. Esta é uma propriedade importante, já que permite analisar cada rede de sequencia para uma única fase.


3.3.2 Impedância de sequência de linhas de transmissão

Para dispositivos estáticos, tais como as LTs, as impedânicas Z1=Z2, pois as correntes e tensões se deparam com a mesma geometria da LT. Os condutor de aterramento está no caminho da sequência zero. Logo, Z0, que inclui o efeito do caminho de retorno pela terra, geralmete é diferente de Z1 e Z2. Para ter idéia da ordem da Z0, considere a seguinte configuração. Considere uma LT de 1m de comprimento com condutores equilateralmente espaçados, de acordo com a Figura 3.5.

Figura 3.5 – Corrente de sequência zero com retorno pela terra.

Pelos condutores fluem correntes de sequência zero (monofásica) que retornam pelo neutro aterrado. A superfície da terra é aproximada a um condutor fictício equivalente localizado na distância média Dn em relação a cada uma das fases. Como o condutor n transporta a corrente de retorno em direção oposta, tem-se

Eq. 3.34 Como Ia0 = Ib0 = Ic0, tem-se

Eq. 3.35 O fluxo concatenado da fase a é

Eq. 3.36

Substituindo Ib0, Ic0 e In em termos de Ia0, tem-se

Eq. 3.37 Como L0 = λa0/Ia0, a indutância por fase em mH/km é


Eq. 3.38 O primeiro termo é a indutância de seq. positiva. Logo, a reatância de seq. zero é

Eq. 3.39 onde

Eq. 3.40 A Z0 de uma LT é maior que 3x Z1.

3.3.3 Impedância de sequência de máquinas síncronas

X1 pode ser igual a X"d, X'd ou Xd, dependendo do caso estudado. X2 é aproximadamente igual a X"d.

Eq. 3.41 X0 é aproximadamente igual a X de dispersão.

Eq. 3.42

3.3.4 Impedância de sequência de transformadores

As perdas no núcleo e a corrente de magnetização são da ordem de 1% do valor nominal. Logo, o ramo de magnetização é desprezado. O transformador é modelado por meio do equivalente série da impedância de dispersão. Como o transformador é um dispositivo estático, a impedância de dispersão não muda se a sequência de fase mudar. Logo,

Eq. 3.43 Nos transformadores Y-∆ ou ∆-Y, a o lado de AT está adiantando em relação ao de BT em

30º, para a sequência positiva. Na sequência negativa o deslocamento angular é de -30º. A mostra algumas configurações de transformadores e o circuito de sequência zero.


Figura 3.6 – Circuito equivalente de sequência zero do transformador.

Exemplo 3.3

Uma tensão de fase de 100 V é aplicada a uma carga trifásica balanceada conectada em Y, conforme mostra a Figura 3.7.


Figura 3.7 – Circuito elétrico do exemplo 3.

Determine: a) as correntes de linha usando análise de malhas, sem fazer uso das componentes simétricas b) As correntes de linha por meio das componentes simétricas. Aplicando a LTC, tem-se:

Pela LCK, tem-se:

As duas equações na forma matricial fica,

ou, na forma compacta,

resolvendo o sistema de equações, tem-se as correntes de linha

b) Pelo método das componentes simétricas

onde

da eq. 3.32,



Exemplo 3.4

Uma fonte trifásica desbalanceada tem os seguintes valores de tensão de fase

Alimente a seguinte carga

Sendo Zs = 8 + j24 e Zm = j4, e sabendo que o neutro da fonte e carga são solidamente

aterrados, determine: a) A matriz de impedância de sequencia Z012 b) As componentes de sequencia da tensão c) As componentes de sequencia da corrente d) As correntes de fase da carga e) A potência complexa fornecida para a carga em termos de componentes simétricas f) A potência complexa fornecida para a carga.

Ver CHP10EX4.M

3.4 Componentes de sequência de geradores A Figura 3.8 representa um gerador síncrono trifásico aterrado por meio de Zn. O gerador

está alimentando uma carga trifásica balanceada.

Figura 3.8 – Fonte trifásica balanceada.


As tensões internas da máquina síncrona são,

Eq. 3.44 Aplicando a LTK em cada fase, tem-se:

Eq. 3.45 Substituindo In = Ia + Ib +Ic , e escrevendo a eq. 3.45 na forma matricial, tem-se:

Eq. 3.46 ou, na forma compacta

Eq. 3.47 Transformando para as componentes simétricas

Eq. 3.48 Multiplicando 4.48 por A-1, tem-se

Eq. 3.49 onde

Eq. 3.50

Realizando as multiplicações, tem-se

Eq. 3.51 Como a emf gerada é balanceada, só existe tensão de sequência positiva

Eq. 3.52 Substituindo Ea

012 e Z012 em 3.49, tem-se

Eq. 3.53 reescrevendo a equação na forma de componente


Eq. 3.54 Estas três equações podem ser representadas pelos três diagramas de sequência mostrados na Figura 3.9.

Figura 3.9 – Diagramas de sequência: (a) positiva; (b) negativa; (c) zero.

Observações: • as três sequencias são independentes. • o diagrama de sequencia positiva é igual ao diagrama unifilar utilizado em estudos

balanceados. • somente a sequência positiva tem fonte de tensão. Portanto, a corrente de seq. positiva

causa queda de tensão de sequência positiva. • correntes de seq. negativa e zero causam quedas de tensão de seq. negativa e zero, somente. • o neutro do sistema é referência para a seq. positiva e negativa, enquanto que o terra é

referência para a seq. zero. • a impedância de aterramento é refletida na seq. zero em 3Zn. • sistemas trifásicos podem ser resolvidos separadamente para uma única fase.

3.5 Curto-circuito fase-terra A Figura 3.8 mostra um gerador síncrono trifásico aterrado por meio de Zn.

Figura 3.10 – Falta monofásica na fase a.

Suponha que a falta ocorre na fase por meio de uma Zf e o gerador está a vazio. As condições de contorno no ponto de falta são:


Eq. 3.55

Eq. 3.56 Substituindo Ib = Ic = 0, as componentes simétricas das correntes (eq. 3.14) são

Eq. 3.57 Da eq. acima tem-se

Eq. 3.58 A tensão na fase a em termos das componentes simétricas é

Eq. 3.59 Substituindo a eq.3.54 na eq. 3.59, tem-se:

Eq. 3.60 onde Z0 = Zs + 3Zn. Substituindo por Va da eq. 3.55, e sabendo que Ia = 3Ia0, tem-se

Eq. 3.61 ou

Eq. 3.62 A corrente de falta é

Eq. 3.63 Substituindo Ia na eq. 3.54, as componentes simétricas da tensão de fase no ponto de falta

são obtidas. As eq. 3.58 e 3.62 podem ser representadas por meio da conexão do diagrama de sequência

em série, conforme a Figura 3.11. Nas faltas monofásicas, as impedâncias equivalentes de Thévenin no ponto de falta são

obtidos para cada sequência. Se o gerador for solidamente aterrado, Zn = 0 e se a falta for do tipo franca, Zf = 0.

Figura 3.11 – Falta monofásica na fase.


3.6 Curto-circuito bifásico A Figura 3.12 mostra um gerador síncrono trifásico com as fases a e b em curto-circuito,

sendo a impedância de falta Zf. Considerando que o gerador está em vazio, as condições de contorno no ponto de falta são:

Eq. 3.64

Eq. 3.65

Eq. 3.66

Figura 3.12 – Falta bifásica entre as fases b e c.

Substituindo Ia = 0, e Ib = - Ic na eq. 3.14, as componentes simétricas das correntes são

Eq. 3.67 Da eq. acima encontra-se

Eq. 3.68

Eq. 3.69

Eq. 3.70 Da eq. 3.69 e 3.60, tem-se

Eq. 3.71 Da Eq. 3.16, tem-se

Eq. 3.72 Substituindo por Va1 e Va2 da eq. 3.54 e sabendo que Ia2 = - Ia1, tem-se

Eq. 3.73 Substituindo Ib da eq. 3.69, tem-se


Eq. 3.74 Como (a - a2)(a2 - a) = 3, e resolvendo para Ia1 tem-se

Eq. 3.75 As correntes de fase são

Eq. 3.76 A corrente de falta é

Eq. 3.77 ou

Eq. 3.78 Substituindo Ia na eq. 3.54, as componentes simétricas da tensão de fase no ponto de falta

são obtidas. As eq. 3.71 e 3.75 podem ser representadas por meio da conexão do diagrama de sequência

em paralelo, conforme a Figura 3.11. Se a falta for do tipo franca, Zf = 0.

Figura 3.13 – Conexão dos diagramas de sequência para falta bifásica.

3.7 Curto-circuito bifásico-terra A Figura 3.14 mostra um gerador síncrono trifásico com as fases a e b em curto-circuito,

sendo a impedância de falta a terra Zf. Considerando que o gerador está em vazio, as condições de contorno no ponto de falta são:

Eq. 3.79

Eq. 3.80 Da eq. 3.16, as tensões de fase Vb e Vc são

Eq. 3.81


Figura 3.14 – Falta bifase-terra entre as fases a e b.

Eq. 3.82 Como, no ponto de falta Vb = Vc, tem-se

Eq. 3.83 Em termos das componentes simétricas, a eq. 3.79 fica

Eq. 3.84 Substituindo 3.84 e 3.83 em 3.81, tem-se

Eq. 3.85 Substituindo as componentes simétricas da tensão (eq. 3.54) em 3.85 e resolvendo para Ia0,

tem-se

Eq. 3.86 Do mesmo modo, considerando a eq. 3.83, tem-se

Eq. 3.87 substituindo Ia0 e Ia2 em 3.80 e resolvendo para Ia1, tem-se


Eq. 3.88

As eq. 3.86 e 3.88 podem ser representadas pela conexão da seq. positiva em série com a combinação em paralelo da seq. negativa e zero, conforme mostra a Figura 3.15. O valor de Ia1 encontrado na eq. 3.88 pode ser substituído nas eq. 3.86 e 3.87 de modo a encontrar o valor de Ia0 e Ia2. As correntes nas fases pode ser encontradas por meio da eq. 3.8.

Finalmente, a corrente de falta é

Eq. 3.89

Figura 3.15 – Conexão dos diagramas de sequência para falta bifase-terra.

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