Atividades Aula 2

•Formas geométricas básicas e a crença nos postulados

•Módulo 2

Geometria: Conceitos

básicos • Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos

geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.

• Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:

• Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...

Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...

Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...

• Notações de Ponto, Reta e Plano: As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:

• Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;• Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas

latinas;• Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas

minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).

• Uma vez que você entendeu as idéias de ponto, reta e plano, vamos praticar novas atividades que nos levem a enunciar alguns fatos novos, envolvendo esses três elementos básicos da Geometria. Mas, antes lembremos o que significa axioma ou postulado.

• Um axioma é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como verdade e serve como ponto inicial para dedução e inferências de outras verdades (dependentes de teoria).

• Na Matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Isto é, não há mais nada a partir do que eles seguem logicamente (em caso contrário eles seriam chamados teoremas). Em muitos contextos, "axioma", "postulado" e "hipótese" são usados como sinônimos.

• Como foi visto na definição, um axioma não é necessariamente uma verdade auto-evidente, mas apenas uma expressão lógica formal usada em uma dedução, visando obter resultados mais facilmente.

Postulados de determinação

• De reta: dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

• De plano: três pontos não-colineares determinam um único plano que passa por eles.

Postulado de inclusão

• Se uma reta passa por dois pontos distintos de um mesmo plano, então essa reta está contida nesse plano.

r.A.B

αα•A •

B•C

• Observação: Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto. Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.

Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.

• Semi-retas: Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.

• As semi-retas AB e AC estão na mesma reta, têm a mesma origem e são infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.

• Segmentos Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes

• Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os próprios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto chamado origem e terminam em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.

Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um

coincide com uma extremidade do outro.

AB e BCsão consecutivos

MN e NPsão consecutivos

EF e GHnão são consecutivos

Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.

AB e CDsão colineares

MN e NPsão colineares

EF e FGnão são colineares

• Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:

• Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares, mas os segmentos de reta EF e FG são consecutivos e não são colineares

• Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes.

• Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.

Alguns axiomas sobre segmento de reta

• Ver axiomas 6, 7 e 8 da página 11 do módulo 2

Ângulo• É uma figura formada por duas

semi-retas com a mesma origem.

• Ângulos consecutivos: têm o mesmo vértice e um dos lados comum.

• Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não têm pontos internos comuns.

V.C .B .

A .

Transferidor

• Ver axioma 10 na página 14 do módulo 2.

Atividades1) A foto mostra uma corda de

barco amarrada. À parte destacada sugere a idéia de ângulo? Justifique.

2) Na figura, você vê uma ilha Grande (ponto G), um farol (ponto F) e uma pessoa (ponto A). Observe o triângulo imaginário GAF. Usando o transferidor, determine:

• med( GAF) • med (AGF) • med ( AFG)

3) Observe as figuras I, II, III e IV:Agora identifique pelo número:

• semi-reta BA • semi-reta AB • reta AB • segmento de reta AB

4) Trace uma reta x e considere, nessa reta, 5 pontos distintos, A, B, C, D e E. Agora, responda:

a) Quantas semi-retas de x existem com origem nesses pontos?

b) Quantos e quais são os segmentos de reta com extremos nesses pontos?

5) Ângulos opostos pelo vértice

a) Na figura do slide anterior, quanto mede o ângulo a?

b) E quanto mede os outros ângulos?c) O que é ângulo reto?d) O que é ângulo agudo? E obtuso?e) Se os 4 ângulos da figura do slide

anterior medissem 90º o que aconteceria com as retas?

f) O que são ângulos complementares e suplementares?