Conjuntos Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso

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    01-Jul-2015

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  • 1. Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso31/05/2009
    • Professor de Matemtica do Colgio Estadual Dinah Gonalves em Valria Salvador Bahia Graduado pela UFBA e ps Graduado em Metodologia e Didtica do Ensino Superior
    • Veja esse e outros trabalhos em meu blog
    • www.ensinodematemtica.blogspot.com

2. Conjunto:

  • Operaes com Conjuntos
  • Conhea as principaisoperaescom conjuntos e saiba como aplic-las e resolver os exerccios. Nesta aula voc vai estudar Unio de conjuntos, Interseo de conjuntos, Diferena de conjuntos, Complementar de conjuntos, Elementos do conjunto, Partio de conjuntos e muito mais

3. Unio de conjuntos:

  • Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto unio A c B = { x; x 0 A ou x 0 B}.
  • Exemplo: {0,1,3} c { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto unio contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
  • Propriedades imediatas:
  • a) A c A = A
  • b) A c = A
  • c) A c B = B c A (a unio de conjuntos uma operao comutativa)
  • d) A c U = U , onde U o conjunto universo

4. Interseo de conjuntos:

  • Interseo de Conjuntos (1 )
  • Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseo A 1 B = {x; x 0 A e x 0 B}.
  • Exemplo: {0,2,4,5} 1 { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseo contempla os elementos que so comuns aos conjuntos A e B.
  • Propriedades imediatas:
  • a) A 1 A = A
  • b) A 1 i = i
  • c) A 1 B = B 1 A ( a interseo uma operao comutativa)
  • d) A 1 U = A onde U o conjunto universo.

5. Importante:

  • So importantes tambm as seguintes propriedades dasoperaes com conjuntos:
  • P1. A 1 ( B c C ) = (A 1 B) c ( A 1 C) (propriedade distributiva)
  • P2. A c ( B 1 C ) = (A c B ) 1 ( A c C) (propriedade distributiva)
  • P3. A 1 (A c B) = A (lei da absoro)
  • P4. A c (A 1 B) = A (lei da absoro)
  • Obs: Se A 1 B = , ento dizemos que os conjuntos A e B so Disjuntos.
  • Diferena A - B = {x ; x 0 A e x B}.
  • Observe que os elementos da diferena so aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas no pertencem ao segundo.
  • Exemplos:
  • { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
  • {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.

6. Complementar:

  • Complementar de um conjunto
  • Quando se estudaOperaes com Conjuntosprecisa-se entender a complementar de um conjunto. Trata-se de um caso particular da diferena entre dois conjuntos. Assim , que dados dois conjuntos A e B, com a condio de que B d A , a diferena A - B chama-se, neste
  • Caso particular: O complementar de B em relao ao conjunto universo U, ou seja , U - B , indicado pelo smbolo B .Observe que o conjunto B formado por todos os elementos que no pertencem ao conjunto B, ou seja:
  • B = {x; x B}. bvio, ento, que:
  • a) B 1 B =
  • b) B 1 B = U
  • c) = U
  • d) U = _

7. Partes do conjunto:

  • Partio de um conjunto
  • Seja A um conjunto no vazio. Define-se como partio de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por
  • P(A)), que satisfaz simultaneamente, s seguintes condies:
  • 1 - nenhuma dos elementos de part(A) o conjunto vazio. 2 - a interseo de quaisquer dois elementos de part(A) o conjunto vazio. 3 - a unio de todos os elementos de part(A) igual ao conjunto A.
  • Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
  • Os subconjuntos de A sero: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - .
  • Assim, o conjunto das partes de A ser:
  • P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, }
  • Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):
  • X = { {2}, {3,5} }
  • Observe que X uma partio de A - cuja simbologia part(A) - pois:
  • a) nenhum dos elementos de X . b) {2} 1 {3, 5} = c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A
  • Sendo observadas as condies 1, 2 e 3 acima, o conjunto X uma partio do conjunto A.
  • Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } so outros exemplos de parties do conjunto A.
  • Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, }, {1, 3, 5, 7, } } uma partio do conjunto N dos nmeros naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, } {1, 3, 5, 7, } = e {0, 2, 4, 6, 8, } U {1, 3, 5, 7, } = N .

8. Unio:

  • Nmero de elementos da unio de dois conjuntos
  • Sejam A e B dois conjuntos, tais que o nmero de elementos de A seja n(A) e o nmero de elementos de B seja n(B).
  • Nota: o nmero de elementos de um conjunto, tambm conhecido com cardinal do conjunto. Representando o nmero de elementos da interseo A 1 B por n(A 1 B) e o nmero de elementos da unio A c B por n(A c B) , podemos escrever a seguinte frmula: n(A c B) = n(A) + n(B) - n(A c B)

9. Conjuntos Numricos:

  • Conjuntos Numricos
  • Aula completa de matemtica sobre Conjuntos Numricos abrangendo: Conjunto vazio, Nmeros naturais, Sub Conjuntos, Relao de Pertinncia, Conjuntos numricos fundamentais, Conjunto dos nmeros racionais, irracionais, intervalos numricos, conjunto dos nmeros reais e muito mais.

10. Definio:

  • Definio de Conjunto : Conjunto o agrupamento de elementos que possuem caractersticas semelhantes. Os Conjuntos numricos especificamente so compostos por nmeros.
  • Exemplo: conjunto dos nmeros pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumerao dos seus elementos, chama-se forma de listagem.O mesmo conjunto tambm poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderamos escrever: P = { x | x par e positivo } = { 2,4,6, ... }

11. Pertinncia:

  • Relao de pertinnciaSendo x um elemento doconjunto numricoA , escrevemos x 0 A , onde o smbolo 0significa "pertence a". Sendo y um elemento que no pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notao y A.O conjunto que no possui elementos , denominado conjunto vazio e representado por . Com o mesmo raciocnio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo smbolo U. Assim que, pode-se escrever como exemplos: i= { x; x x} e U = {x; x = x}.

12. Subconjunto:

  • Subconjunto
  • Se todo elemento de um conjunto A tambm pertence a um conjunto B, ento dizemos que A subconjunto de B e indicamos isto por A d B. Notas: a) todo conjunto numrico subconjunto de si prprio. ( A d A ) b) o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto. (id A) c) se um conjunto A possui m elementos ento ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A denominado conjunto das partes de A e indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A dado por P(A) = { ,
  • {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A tambm denominado parte de A.

13. Conjuntos numricos:

  • Conjuntos numricos fundamentais
  • Entendemos por conjunto numrico, qualquer conjunto cujos elementos so nmeros. Existem infinitos conjuntos numricos, entre os quais, os chamados conjuntos numricos fundamentais, a saber: Conjunto dos nmeros naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,... } Conjunto dos nmeros inteiros Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Obs: evidente que N d Z.

14. Nmeros racionais:

  • Conjunto dos nmeros racionais
  • Q = {x; x = p/q com p 0 Z , q 0 Z e q 0 }. Temos ento que nmero racional aquele que pode ser escrito na forma de uma frao p/q onde p e q so nmeros inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que no existe diviso por zero! So exemplos de nmeros racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. Notas: a) evidente que N d Z d Q. b) toda dzima peridica um nmero racional, pois sempre possvel escrever uma dzima peridica na forma de uma frao. Exemplo: 0,4444... = 4/9 _

15. Nmeros irracionais:

  • Conjunto dos nmeros irracionais
  • I = {x; x uma dzima no peridica}. Exemplos de nmeros irracionais: = 3,1415926... (nmero pi = razo entre o comprimento de qualquer circunferncia e o seu dimetro) 2,01001000100001... (dzima no peridica) 3 = 1,732050807... (raiz no exata).

16. Os reais:

  • Conjunto dos nmeros reais
  • R = { x; x racional ou x irracional}. Notas: a) bvio que N d Z d Q d R b) I d R c) I cQ = R d) um nmero real racional ou irracional, no existe outra hiptese!

17. Intervalos:

  • Intervalos numricos
  • Dados dois nmeros reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos nmeros reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os nmeros p e q so os limites do intervalo, sendo a diferena p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo fechado e caso contrrio, o intervalo dito aberto.

18. Tabela de intervalos: 19. Exerccios:

  • Faa osexercciossobre