Universidade Federal da Paraíba Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Química Fenômenos de Transporte I Professor: Nagel

José Sabino – 11111097 Pedro Henrique – 11111938 Roxana Pereira – 11118297

Waldene Alexandre – 11111939 Wesley Dayvisson – 1111911

APROXIMAÇÃO DA CAMADA LIMITE

João Pessoa 11 de setembro de 2013

1

A APROXIMAÇÃO DA CAMADA LIMITE

A região do escoamento adjacente à parede na qual os efeitos viscosos

(e portanto os gradientes de velocidade) são significativos é chamada de

camada limite. A propriedade do fluido responsável pela condição de não-

escorregamento e o desenvolvimento da camada limite é a viscosidade.

Considere o escoamento de um fluido num cano estacionário ou sobre

uma superfície sólida não porosa (isto é, impermeável ao fluido). Todas as

observações experimentais indicam que um fluido em movimento pára

totalmente na superfície e assume velocidade zero (nula) em relação à

superfície. Tal fato é conhecido como condição de não-escorregamento.

O movimento altamente ordenado dos fluidos caracterizado por

camadas suaves do fluido é denominado laminar. O escoamento dos fluidos

de alta viscosidade é tipicamente laminar. O movimento altamente

desordenado dos fluidos que ocorre em velocidades altas e é caracterizado por

flutuações de velocidade é chamado turbulento.

A superfície da fronteira hipotética divide o escoamento de um tubo em

duas regiões: a região da camada limite, na qual os efeitos viscosos e as

variações de velocidade são significativos, e a região de escoamento

irrotacional (central), na qual os efeitos do atrito são desprezíveis e a

velocidade permanece essencialmente constante na direção radial.

A espessura dessa camada limite aumenta na direção do escoamento

até a camada limite atingir o centro do tubo e, portanto, preencher todo o tubo.

Equação de Navier-Stokes:

⌊

( )⌋

Se as forças viscosas resultantes forem muito pequenas comparadas

com as forças inerciais e/ou de pressão, o último termo no lado direto da

equação 1 é desprezível. Isso vale somente se 1/Re for pequeno. Portanto,

regiões de escoamento sem viscosidade são regiões de altos números de

Reynolds – o oposto das regiões de escoamento lento. Nessas regiões, a

equação de Navier-Stokes perde seu termo viscoso e se reduz à equação de

Euler.

⌊

( )⌋

Devido à condição de não-escorregamento nas paredes sólidas, as

forças de atrito não são desprezíveis em uma região de escoamento muito

próxima de uma parede sólida. Nessa região, chamada de camada limite, os

2

gradientes de velocidade normais à parede são suficientemente grandes para

modificar o pequeno valor de 1/Re.

Quando usamos a aproximação da equação de Euler, não podemos

especificar a condição de contorno de não-escorregamento nas paredes

sólidas, embora ainda especificamos que o fluido não pode fluir através da

parede. As soluções da equação de Euler portanto, não têm significado físico

próximo a paredes sólidas, pois ali o escoamento pode escorrer. No entanto, a

equação de Euler frequentemente é usada como um primeiro passo em uma

aproximação de camada limite. Ou seja, a equação de Euler é aplicada sobre

todo o campo de escoamento, incluindo regiões próximas a paredes e esteiras,

onde sabemos que a aproximação não é apropriada. Então, uma fina camada

limite é inserida nessas regiões como uma correção para levar em conta os

efeitos viscosos.

Em geral, as regiões de escoamento sem viscosidade distantes das

paredes sólidas e esteiras dos corpos são também irrotacionais (regiões de

escoamento nas quais as partículas de fluido não tem nenhuma rotação

resultante), embora hajam situações nas quais uma região de escoamento sem

viscosidade pode não ser irrotacional. As soluções obtidas para a classe de

escoamento definida pela irrotacionalidade são portanto aproximações das

soluções completas da equação de Navier-Stokes. Matematicamente, a

aproximação é que a vorticidade é muito pequena:

Conforme visto, existem pelo menos duas situações de escoamento nas

quais os termos viscosos na equação de Navier-Stokes podem ser

desprezados. A primeira situação ocorrem em regiões de escoamento com

altos números de Reynolds, onde se sabe que as forças viscosas resultantes

são desprezíveis comparadas com as forças inerciais e/ou de pressão;

chamamos essas regiões de escoamento sem viscosidade. A segunda

situação ocorre quando a vorticidade é muito pequena; chamamos essas

regiões de irrotacionais ou regiões de escoamento potencial. Em qualquer dos

casos, a remoção dos termos viscosos da equação de Navier-Stokes resulta na

equação de Euler. Embora a matemática fique bastante simplificada quando

são eliminados os termos viscosos, há algumas deficiências sérias associadas

com a aplicação da equação de Euler nos problemas práticos de escoamento

na engenharia. A primeira na lista de deficiências é a incapacidade para impor

a condição de não-escorregamento em paredes sólidas. Isso leva a resultados

não-físicos como, por exemplo, forças de cisalhamento viscoso iguais a zero

em paredes sólidas e arrasto aerodinâmico igual a zero em corpos imersos em

uma corrente livre.

Considerando-se uma perspectiva histórica, em meados de 1800, a

equação de Navier-Stokes era conhecida, mas não podia ser resolvida exceto

3

para escoamentos de geometrias muito simples. Enquanto isso, os

matemáticos conseguiam obter belas soluções analíticas da equação de Euler

e das equações de escoamento potencial para escoamentos de geometria

complexa, mas seus resultados frequentemente não tinham significado físico.

Então, a única maneira confiável de estudar escoamentos de fluidos era

empiricamente, isto é, através de experimentos. Uma grande mudança na

mecânica dos fluidos ocorreu em 1904 quando Ludwig Prandtl (1875-1953)

introduziu a aproximação da camada limite. A idéia de Prandtl era dividir o

escoamento em duas regiões: uma região de escoamento externo que é sem

viscosidade e/ou irrotacional e uma região de escoamento interno chamada de

camada limite – uma camada muito fina de escoamento próxima a uma parede

sólida onde as forças viscosas e a rotacionalidade não podem ser ignoradas.

Na região de escoamento externo, usamos as equações da continuidade e de

Euler para obter o campo de velocidade do escoamento externo e a equação

de Bernoulli para obter o campo de pressão. Alternativamente, se a região de

escoamento externo é irrotacional, podemos usar as técnicas de escoamento

potencial para obter o campo de velocidade do escoamento externo. Em

qualquer dos casos, solucionamos a região do escoamento externo primeiro e

depois ajustamos uma fina camada limite em regiões nas quais a

rotacionalidade e as forças viscosas não podem ser desprezadas. Dentro da

camada limite nós resolvemos as equações de camada limite.

A aproximação da camada limite corrige algumas das principais

deficiências da equação de Euler proporcionando uma maneira de impor a

condição de não-escorregamento em paredes sólidas. Consequentemente,

forças de cisalhamento viscoso podem existir ao longo de paredes, corpos

imersos em uma corrente livre podem ser submetidos a arrasto aerodinâmico e

a separação do escoamento em regiões de gradiente de pressão adversa pode

ser prevista com maior precisão.

Para uma aplicação bem-sucedida da aproximação da camada limite,

deve-se admitir a hipótese de que a camada limite é muito fina. O exemplo

clássico é uma corrente uniforme fluindo parala a uma longa placa plana

alinhada com o eixo x. A espessura δ da camada limite em alguma posição x

ao longo da placa está representada na figura 1. Por convenção, δ usualmente

é definida como a distância em relação à parede, na qual a componente da

velocidade paralela à parede é 99% da velocidade do fluido fora da camada

limite. Resulta que para um dado fluido e placa, quanto mais alta a velocidade

V da corrente livre, mais fina é a camada limite.

4

Figura 1: Escoamento de uma corrente uniforme paralela a uma placa plana: (a) Rex ~ 10², (b)

Rex ~104. Quanto maior o número de Reynolds, mais fina é a camada limite ao longo da placa

em uma dada posição x.

Em termos adimencionais, definimos o número de Reynolds com base

na distância x ao longo da parede:

Portanto, em uma dada posição x, quanto mais alto for o número de

Reynolds, mais fina é a camada limite, e mais confiável será a aproximação de

camada limite. Podemos ter confiança que a camada limite é fina quando δ <<

x.

A forma do perfil da camada limite pode ser obtida experimentalmente

pela visualização do fluxo.

Embora estejamos discutindo camadas limites em conexão com a região

fina próxima a uma parede sólida, a aproximação de camda limite não está

limitada a regiões de escoamento limitadas por paredes. As mesmas equações

podem ser aplicadas a camadas de cisalhamento livre como jatos, esteiras e

camadas de mistura, contanto que o número de Reynolds seja suficientemente

alto para que essas regiões sejam finas. As regiões desses campos de

escoamento com forças viscosas não desprezíveis e vorticidade finita também

podem ser consideradas como camadas limites, mesmo que não esteja

presente uma parede divisória sólida. Por convenção δ é usualmente definido

baseado em metade da espessura total da camada de cisalhamento livre.

Definimos δ como a distância desde a linha de centro até a borda da camada

limite onde a mudança em velocidade é 99% da variação máxima em

velocidade desde a linha de centro até o escoamento externo. A espessura da

camada limite não é constante, mas varia com a distância x jusante.

5

À medida que a espessura da camada limite cresce a jusante, as linhas

de corrente que passam através da camada limite devem divergir ligeiramente

para cima para satisfazer o princípio da conservação da massa. O valor desse

deslocamento para cima é menor do que o crescimento de δ(x). Como as

linhas de corrente cruzam a curva δ(x), está claro que δ(x) não é uma linha de

corrente.

Para uma camada limite laminar desenvolvendo-se sobre uma placa

plana, a espessura d da camada limite é no máximo uma função de V, x e das

propriedades ρ e μ do fluido. A medida que nos movemos para baixo na placa

para valores de x cada vez maiores, Rex aumenta linearmente com x. Em

algum ponto, começam a surgir distúrbios infinitesimais no escoamento e a

camada limite não pode continuar sendo laminar – ela inicia um processo de

transição em direção ao escoamento turbulento. Para uma placa plana com

uma corrente livre uniforme, o processo de transição começa em um número

de Reynolds crítico, Rex, crítico ≈ 1x105, e continua até que a camada limite seja

totalmente turbulenta no número de Reynolds de transição, Rex, transição ≈

3x106.

Nos escoamentos na prática, a transição para o escoamento turbulento

usualmente ocorre de forma mais abrupta e muito antes (com um valor mais

baixo de Rex) do que os valores dados para uma placa plana e lisa com uma

corrente livre calma. Fatores tais como rugosidade ao longo da superfície,

distúrbios da corrente livre, ruído acústico, instabilidades do escoamento,

vibrações e curvatura da parede contribuem para que a transição ocorra mais

cedo.

AS EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE

Agora que temos noção da camada limite, é preciso gerar as equações

necessárias para serem usadas em seus cálculos. Para simplificar irá se

considerar a seguinte situação:

Escoamento bidimensional no plano cartesiano (XY);

Desprezam-se os efeitos da gravidade;

Consideram-se apenas camadas de escoamento laminar;

No plano utilizado,o eixo X é sempre paralelo e Y normal a parede;

Iniciaremos com a equação Navier-Stokes, onde desprezamos o termo

gravitacional e também o termo não permanente:

[ ] [

]

6

Como as pressões fora da camada limite são determinadas pela

equação de Bernoulli, e o número de Euler é próximo de

um.

V é a velocidade para escoamento externo e é geralmente igual a

velocidade de corrente livre pra corpos imersos em escoamentos

uniformes;

Para o caso estudado, camada limite, o número de Reynolds é

suficientemente grande para que possamos desprezar o segundo termo

na equação (5), porém isto reduziria a equação de Navier-Stokes a

equação de Euler, então serão mantidos alguns termo viscosos na

equação;

Para escolher quais parcelas da equação serão mantidas faremos uma

adimensionalização das equações de movimento envolvidas. Para as

derivadas na direção Y( ortogonal a direção do escoamento) usaremos a

quantidade , e a velocidade utilizada será U, a componente da velocidade

global paralela a parede. Assim:

Da equação da continuidade para fluidos incompressíveis temos:

Como as componentes são equivalentes, elas possuem a mesma ordem

de grandeza, assim a ordem de grandeza da velocidade em Y:

Como ⁄ em uma camada limite, pois a mesma é muito fina,

concluímos que . Agora definiremos as variáveis adimensionais dentro

da camada limite:

Consideramos agora as componentes X e Y da equação de Navier-

Stokes. Substituindo essas variáveis adimensionais na equação do momento

na direção Y resultando:

7

Após algumas operações algébricas e multiplicando cada termo por

⁄ obtemos:

(

)

(

) (

)

O termo do meio do lado direito é menor que qualquer outro termo,

assim como o último termo do mesmo lado, pois . A equação se

torna:

Porém, o termo do lado direito tem ordem de grandeza muito superior

aos termos do lado esquerdo, dessa maneira teremos:

Ou seja, como a camada limite tem uma pequena espessura, o

gradiente de pressão na direção normal ao escoamento é desprezível.

Fisicamente, devido à camada limite ser tão fina, as linhas de corrente dentro

da camada limite têm uma curvatura desprezível quando observados na escala

de espessura da camada limite. Linhas de corrente curvadas requerem uma

aceleração centrípeta, que vem de um gradiente de pressão ao longo do raio

de curvatura. Como as linhas de corrente não são significativamente curvadas

em uma camada limite fina, não há um gradiente pressão significativo através

da linha.

O fato de a camada limite apresentar a mesma pressão ao longo da

direção normal tem interessantes aplicações tecnológicas, pois podemos tirar a

pressão na cada externa de uma cada limite pela sua base. Isso é aplicada na

confecção de asas de aviões e pás de turbinas.

Para o movimento em x:

Após algumas operações algébricas e multiplicando ambos os lados por ⁄ :

8

(

)

(

) (

)

Fazemos a mesma análise que na situação anterior descarta-se o termo

do meio do lado direito, porém não o último termo deste lado, caso fizéssemos

isso estaríamos retornando a equação de Euler, então esta parcela será

mantida.Todos os outros termos desta equação são próximos de 1, assim a

combinação de parênteses no último termo também deve ter esta ordem de

grandeza:

(

) (

)

Novamente, reconhecendo que ,vemos que:

√

Isso confirma nossa afirmação anterior de que em uma dada localização

na corrente ao longo da parede, quanto maior o numero de Reynolds, mais fina

será a camada limite. Se trocarmos x por L na equação acima, concluiremos

que para uma camada limite laminar sobre placa plana, onde U(x) = V=

constante, aumenta com a raiz quadrada de x.

Em termos das variáveis originais temos:

Equação do momento na direção x na camada limite:

O último termo desta equação não é desprezível na camada limite, pois

a derivada na direção Y do gradiente de velocidade ⁄ é suficientemente

grande para compensar o valor da viscosidade cinemática k. Finalmente, como

sabemos, pela nossa análise da equação de momento na direção y, que a

pressão da camada limite é a mesma que a fora da camada limite, aplicando a

equação de Bernoulli à região de escoamento externo. Derivando com relação

a x temos:

9

Para uma camada limite, em um escoamento laminar, permanente e

incompressível no plano XY sem efeitos consideráveis da gravidade:

Equação da camada limite

Matematicamente, a equação completa de Navier-Stokes é elíptica no

espaço, o que significa que são necessárias condições de contorno sobre toda

a fronteira do domínio do escoamento. Fisicamente, as informações de

escoamento são passadas em todas as direções, tanto a montante quanto a

jusante. Por outro lado, a equação do momento na direção x da camada limite

é parabólica. Isso significa que precisamos especificar condições de contorno

somente sobre três lados do domínio de escoamento bidimensional.

Fisicamente, as informações de escoamento não são passadas na direção

oposta ao escoamento. Esse fato reduz muito o nível de dificuldade na solução

das equações da camada limite. Especificamente, não precisamos definir

condições de contorno a jusante, somente montante, no topo e na base do

domínio do escoamento. Para um problema típico de camada limite ao longo

de uma parede, especificamos a condição de não escorregamento na parede

(u=v=0 em y=0), a condição de escoamento externo na borda da camada limite

e além [u=U(x) quando y muito grande] e um perfil inicial em alguma posição a

montante [u=u(y) em x=x°,onde x° pode não ser 0]. Com essas condições de

contorno, simplesmente nos movemos a jusante na direção x, resolvendo as

equações de camada limite conforme progredimos. Isso é particularmente

interessante para cálculos numéricos de camada limite, porque uma vez que

conhecemos o perfil em uma posição xi, podemos passar para a próxima

posição xi+1 e assim passar a uma próxima posição.

O PROCEDIMENTO DE CAMADA LIMITE

Quando é empregada a aproximação de camada limite, usamos um

procedimento geral passo a passo.

Passo 1: Resolva para o escoamento externo, ignorando a camada

limite (assumindo que a região de escoamento fora da camada limite é

aproximadamente sem viscosidade e/ou irrotacional). Transforme as

coordenadas se for necessário, para obter U(x).

Passo 2: Suponha uma camada limite fina--- tão fina na verdade, que ela

não afeta a solução de escoamento externo do passo 1.

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Passo 3: Resolva as equações da camada limite, usando condições de

contorno apropriadas. A condição de contorno de não-deslizamento na

parede, u = v = 0 em y = 0; a condição conhecida do escoamento

externo na borda da camada limite, u → U(x) à medida que as y → ∞; e

algum perfil inicial conhecido, u = uinicial(y) em x = xinicial.

Passo 4: Calcule valores de interesse no campo de escoamento. Por

exemplo, uma vez resolvidas as equações da camada limite (passo 3),

podemos calcularxa tensão de cisalhamento ao longo da parede,

arrasto total de atrito superficial etc.

Passo 5: Verificar se as aproximações de camada limite são

apropriadas. Em outra palavras, verificar se a camada limite é fina ---

caso contrário a aproximação não é justificada.

Listamos aqui algumas limitações da aproximação da camada limite.

São simplesmente sinais de alerta para chamar atenção ao executar cálculos

com camada limite:

A aproximação da camada limite perde a validade se o número de

Reynolds não for suficientemente grande. Quão grande é

suficientemente grande? Depende da precisão desejada na

aproximação.

A hipótese de gradiente de pressão zero na direção y (equação 13)

fica inválida se a curvatura da parede for de grandeza similar a .

Nesses casos, os efeitos da aceleração centrípeta devida à

curvatura da linha de corrente não podem ser ignorados.

Fisicamente, a camada limite não é fina o suficiente para que a

aproximação seja apropriada quando não for << R.

Quando o número de Reynolds for muito alto, a camada limite não

permanece laminar, conforme discutimos anteriormente. A própria

aproximação da camada limite pode ainda ser aproximada, mas as

equações 21 e 22 não são válidas se o escoamento for de transição

ou totalmente turbulento. Conforme observamos antes, a camada

limite laminar em uma placa plana sob condições estáveis de

escoamento inicia sua transição para a turbulência em Rex ≈ 1x105.

Nas aplicações práticas da engenharia, as paredes podem não ser

lisas e pode haver vibrações, ruídos e flutuações no escoamento de

corrente livre acima da parede, sendo que tudo isso contribui para

um início ainda mais antecipado do processo de transição.

Se ocorre separação de escoamento, a aproximação da camada

limite não é mais apropriado na região de escoamento separado. A

razão principal para isso é que uma região de escoamento separado

contém escoamento reverso, e a natureza parabólica das equações

da camada limite é perdida.

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ESPESSURA DE DESLOCAMENTO

As linhas de correntes dentro e fora de uma camada limite devem se

curvar ligeiramente para fora afastando-se da parede para satisfazer ao

princípio da conservação da massa à medida que a espessura da camada

limite aumenta a jusante. Isto é porque a componente y da velocidade, v, é

pequena mas finita e positiva. Fora da camada limite, o escoamento externo é

afetado por essa deflexão das linhas de corrente. Definimos a espessura de

deslocamento como a distância pela qual é defletida a linha de corrente

imediatamente fora da camada limite.

Geramos uma expressão para para a camada limite ao longo de uma

placa plana fazendo uma análise de volume de corrente usando a conservação

da massa. O resultado em qualquer posição x ao longo da placa é:

Espessura de deslocamento:

∫ (

)

Observe que o limite superior da integral na equação acima é mostrado

com ∞, mas como u = U em todos os pontos acima da camada limite, é

necessário integrar somente até uma distância finita acima de Obviamente,

cresce com x à medida que a camada limite cresce. Para uma placa plana

laminar, integramos a solução numérica de Blasius e obtemos:

Espessura de deslocamento, placa plana laminar:

√ x (24)

Há uma maneira alternativa de explicar o significado físico de que

vem a ser útil para as aplicações práticas de engenharia. Isto é, podemos

pensar na espessura de deslocamento como um aumento imaginário ou

aparente na espessura da parede do ponto de vista de região de escoamento

sem viscosidade e/ou região de escoamento irrotacional externo. Para nosso

exemplo da placa, o escoamento externo não “vê” mais uma placa plana

infinitesimalmente fina; em lugar disso, ele vê uma placa de espessura finita

com forma semelhante à espessura de deslocamento

Se fôssemos resolver a equação de Euler para o escoamento ao redor

dessa placa imaginária mais grossa, a componente de velocidade U(x) do

escoamento externo seria diferente daquele do cálculo original. Poderíamos

então usar essa U(x) aparente para melhorar nossa análise de camada limite.

Você pode imaginar uma modificação no procedimento da camada limite no

qual percorremos os primeiros quatro passos, calculamos x) e depois

voltamos para o passo 1, desta vez usando a forma imaginária mais cheia do

corpo para calcular uma U(x) aparente. Em seguida, resolvemos novamente as

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equações da camada limite. Poderíamos repetir o laço quantas vezes fosse

necessário até chagar à convergência. Dessa forma, o escoamento externo e a

camada limite seriam mais consistentes um com o outro.

A utilidade dessa interpretação da espessura de deslocamento torna-se

óbvia se considerarmos um escoamento uniforme entrando em um canal

limitado por duas paredes paralelas. À medida que as camadas limites crescem

nas paredes superiores e inferior, o escoamento central irrotacional deve

acelerar para satiszer a conservação da massa. Do ponto de vista do

escoamento central entre as camadas limites, a camada limite faz com que as

paredes do canal pareçam convergir --- a distância aparente entre as paredes

diminui à medida que x aumenta. Esse aumento imaginário na espessura de

uma das paredes é igual a x); e a U(x) aparente do escoamento central deve

aumentar de forma correspondente para satisfazer a conservação da massa.

ESPESSURA DO MOMENTO

Figura 2: Um volume de controle é definido pela linha tracejada grossa, limitado acima por uma linha de corrente fora da camada limite e limitado abaixo pela placa plana; FD,x é a força

viscosa da placa agindo sobre o volume de controle.

Uma outra medida da espessura da camada limite é a espessura do

momento para a qual se atribui comumente o símbolo . A espessura do

momento é mais bem explicada analisando-se o volume de controle da figura

(1) para uma camada limite de placa plana, como a base do volume de controle

é a própria placa plana, nenhuma massa ou momento pode cruzar essa

superfície. O topo do volume de controle e tomado como uma linha de corrente

do escoamento externo. Como nenhum fluxo pode cruzar uma linha de

corrente, não pode haver fluxo de massa ou momento através da superfície

superior do volume de controle, concluímos que o fluxo de massa entrando no

volume de controle pela esquerda (em x = 0) deve ser igual ao fluxo de massa

saindo pela direita (em alguma posição arbitrária x ao longo da placa):

13

∫

∫

∫

Onde w é a espessura perpendicular á pagina na figura (2), que

tomamos arbitrariamente como largura unitária de Y é a distância da placa até

a linha de corrente externa em x = 0, conforme indicado na figura (2). Como u =

U= constante, em todos os pontos ao longo da superfície esquerda do volume

de controle, e como u = U entre y = Y e y = Y + δ* ao longo da superfície direita

do volume de controle, a equação 25 se reduz a:

∫

Fisicamente o déficit de fluxo de massa dentro da camada limite (a

região inferior sombreada em azul na figura 2 é substituído por uma porção de

escoamento de corrente livre de espessura δ* (a região superior sombreada em

azul na figura 2). A equação 26 verifica que essas duas regiões sombreadas

têm a mesma área. Ampliamos a figura para mostrar essas áreas mais

claramente na Figura 3.

Figura 3: Comparação da área sob o perfil da camada limite, representando o déficit de fluxo de massa e a área gerada por uma porção de fluido de corrente livre de espessura δ

*. Para

satisfazer o princípio da conservação da massa, essas duas áreas devem ser idênticas.

Agora considere a componente x da equação do momento do volume de

controle. Como não há momento cruzado as superfícies de controle superior ou

inferior, a força resultante agindo sobre o volume de controle deve ser igual ao

fluxo de momento saindo do volume de controle menos o fluxo do momento

entrando no volume de controle.

Conservação do momento x para o volume de controle:

∑ ∫

∫

14

Onde é a força de arrasto devida ao atrito sobre a placa em x = 0

até a posição x. Após algumas operações algébricas, incluindo a substituição

da equação 26, a equação 27 se reduz a:

∫

Finalmente, definimos a espessura do momento de forma que a força de

arrasto viscoso sobre a placa por unidade de largura perpendicular à página

seja igual a vezes , isto é:

∫

Em outras palavras:

A espessura do momento é definida como a perda de fluxo do momento

por largura unitária dividida por devido à presença da camada limite

que está se desenvolvendo.

A equação 29 se reduz a:

∫

(

)

A altura Y da linha de corrente pode ter qualquer valor, desde que a

linha de corrente tomada como superfície superior do volume de controle esteja

acima da camada limite. Como u = U para qualquer y maior que Y, podemos

substituir Y por infinito na equação 30 sem nenhuma alteração do valor de :

Espessura do momento: ∫

(

)

Para o caso específico da solução da solução de Blasius para uma

camada limite laminar de uma placa plana. Integramos a Equação 31

numericamente para obter:

Espessura do momento, placa plana lamina

√

Observamos que a equação para é a mesma que para δ ou δ* mas

com uma constante diferente. De fato, para o fluxo laminar sobre uma placa

plana, vem ser aproximadamente 13,5% de δ em qualquer posição de x

conforme é identificado na figura 4.

15

Figura 4: Para uma camada limite laminar sobre uma placa plana, a espessura de deslocamento é 35,0% de δ, e a espessura do momento é 13,5% de δ.

CAMADA LIMITE TURBULENTA SOBRE UMA PLACA PLANA

As expressões para a forma do perfil da camada limite e outras

propriedades da camada limite turbulenta são obtidas empiricamente (ou no

melhor dos casos semi-empiricamente), já que não podemos resolver as

equações de camada limite para escoamento turbulento. Observe também que

os escoamentos turbulentos são inerentemente transientes, e a forma do perfil

de velocidade instantânea varia com o tempo. Portanto todas as expressões

turbulentas discutidas neste tópico representam valores médios no tempo. Uma

aproximação empírica comum para o perfil de velocidades médias no tempo,

de uma camada limite turbulenta sobre placa plana é a lei da potência um

sétimo:

(

)

Observe que na aproximação da equação 33, δ não é a espessura de 99

por centro da camada limite, mas sim, a borda real da camada limite,

diferentemente da definição de δ para escoamento laminar. O gráfico da

equação 33 está ilustrado na figura 5. Para efeitos de comparação, o perfil da

camada limite laminar sobre a placa plana (a solução numérica de Blasius) está

também traçada na figura 5, usando y/δ para o eixo vertical no lugar da variável

de similaridade h. Pode-se notar que se as camadas limites laminar e

turbulenta tivessem a mesma espessura, a camada limite turbulenta seria mais

cheia do que a laminar. Em outras palavras, a camada limite turbulenta iria

permanecer mais próxima da parede, preenchendo a camada limite com

escoamento de velocidade mais alta próxima da parede. Isto é devido aos

grandes redemoinhos turbulentos que transportam fluido em alta velocidade da

parte externa da camada limita para as partes inferiores da camada limite (e

vice-versa). Em outras palavras, uma camada limite turbulenta tem um grau

maior de mistura quando comparada com a camada limite laminar. No caso

laminar, o fluido se mistura lentamente devido à difusão viscosa. No entanto, os

16

grandes redemoinhos em um escoamento turbulento promovem uma mistura

mais rápida e completa.

Figura 5: Comparação dos perfis de camada limite de placa plana, laminar e turbulenta, adimensionalizada, pela espessura da camada limite.

A forma do perfil de velocidades da camada limite turbulenta da Equação

33 não tem significado físico muito perto da parede (y 0), pois ela afirma que

a variação ( ) é infinita em y = 0. Embora a variação na parede seja muito

grande para uma camada limite turbulenta, ela é finita. Essa grande variação

na parede leva a uma tensão de cisalhamento muito grande na parede,

, e, portanto, um atrito superficial correspondente muito alto

ao longo da superfície da placa (comparada com uma camada limite laminar da

mesma espessura).

A lei de potência não é a única aproximação da camada limite turbulenta

usada pela mecânica dos fluidos. Uma outra aproximação comum é a lei

logarítmica, uma expressão semi-empírica que vem a ser válida não somente

para camadas limite sobre placa plana, mas também para perfis de velocidade

de escoamento turbulento totalmente desenvolvido em tubo. Na verdade, a lei

logarítmica vem a ser aplicável para quase todas as camadas limites

turbulentas limitadas por paredes, não apenas no escoamento sobre uma placa

plana. (Essa situação afortunada nos permite empregar a aproximação da lei

logarítmica próxima a paredes sólidas em softwares de Dinâmica dos Fluidos

Computacional). A lei logarítmica é expressa comumente em variáveis

adimensionais por uma velocidade característica chamada de velocidade de

atrito u*.

A lei logarítmica:

Onde:

17

Velocidade de atrito: √

e k e B são constantes; seus valores usuais são k = 0,40 a 0,41 e B = 5,0 a 5,5.

Infelizmente a lei logarítmica é prejudicada pelo fato de que ela não funciona

muito perto da parede (logaritmo de 0 não é definido). Ela também se desvia

dos valores experimentais próximo da borda da camada limite. No entanto, a

equação 34 se aplica através de quase toda a camada limite turbulenta sobre

placa e é útil porque ela relaciona a forma do perfil de velocidade com o valor

local da tensão de cisalhamento na parede através da equação 35.

Uma expressão inteligente que é válida em todo o percurso até a parede

foi criada por D.B Spalding em 1968 e é chamada de lei da parede de

Spalding:

⌈ (

)

[ (

)]

[ (

)]

⌉

CAMADAS LIMITES COM GRADIENTES DE PRESSÃO

Camadas limites com gradientes de pressão podem ser laminares ou

turbulentas. A análise é muito mais difícil de que quando se trata de apenas a

placa plana, pois o gradiente de pressão (U dU/dx) na equação do momento na

direção x é diferente de zero. Uma análise tridimensional pode ficar ainda mais

complicada, por isso visaremos apenas características qualitativas.

Quando o escoamento na região de escoamento na região externo sem

viscosidade e/ou irrotacional(fora da camada limite) acelera, U(x) aumenta e

P(x) diminui. Chamamos isso de um gradiente de pressão favorável (a

camada limite se mantém próxima a parede e fina). Quando o escoamento

externo desacelera, U(x) diminui, P(x) aumenta, e temos um gradiente de

pressão desfavorável ou adverso (a camada limite tende a se separar da

parede e é grossa).

Em um escoamento externo típico, como o escoamento sobre uma asa

de avião, a camada limite na parede da frente do corpo está sujeita a um

gradiente de pressão favorável, enquanto na parte de trás ela está sujeita a um

gradiente de pressão desfavorável. Se o gradiente de pressão adversa (dP/dx=

-UdU/dx) for suficientemente forte a camada limite pode separar-se da parede.

18

As equações da camada limite são parabólicas, o que o que significa que nenhuma informação pode ser passada a partir do limite jusante. No entanto, a separação leva ao escoamento reverso próximo da parede, destruindo a natureza parabólica do campo de escoamento e tornando inaplicáveis as equações da camada limite. Em casos como este, deve ser usada a equação completa de Navier-Stokes. A separação de escoamento leva a uma diminuição significativa da recuperação de pressão, condições como essas são chamadas de condições de Estol.

Como a velocidade na parede é zero(condição de não-escorregamento),

sobram apenas o termo de gradiente de pressão e o termo viscoso:

(

)

I. Sob condição de escoamento favorável, dU/dx>0, o

que indica que ⁄ <0. Sabemos que ⁄

deve permanecer negativa à medida que u se aproxima

de U(x) na borda da camada limite.

Figura 7: Condição conhecida como Estol, a bolha de separação cobre quase toda a superfície da asa do avião. O estol é acompanhado por uma perda de sustentação e um grande aumento no arrasto dinâmico

Figura 8: Esquema da análise I, esperamos que o perfil de velocidade através da camada limite seja arredondado.

Figura 6: Escoamento sobre a asa de um avião, a camada limite permanece colada sobre toda a superfície inferior, mas ela se separa em algum ponto perto da superfície superior. A linha de corrente fechada indica uma região de escoamento recirculante chamada de bolha de separação.

19

II. Sob condições de gradiente de pressão zero,

⁄ é zero, implicando em um crescimento

linear de u com relação a y próximo da parede.

III. Para gradientes de pressão adversa, dU/dx<0, o que

exige que ⁄ seja positiva. No entanto, como

⁄ deve ser negativo à medida que u se aproxima

de U(x) na borda da camada limite, deve haver um ponto

de inflexão( ⁄ ) em algum lugar da camada

limite.

IV. Se o gradiente de pressão adverso for

suficientemente grande, ⁄ pode tornar-se

zero, essa posição ao longo da parede é o ponto de

separação, onde há escoamento reverso e uma bolha de

separação. <0 por ⁄

A primeira derivada de u em relação y na parede é diretamente

proporcional a tensão de cisalhamento na parede [ ⁄ ];

A tensão de cisalhamento é maior para escoamentos favoráveis;

A espessura da camada limite aumenta quando o gradiente de pressão

muda de sinal;

A aproximação da camada limite pode ser apropriada para localizar o

ponto de separação e funcionar até ele, não indo além;

A aproximação da camada limite é apenas tão boa quanto a solução do

escoamento externo; se o escoamento externo for alterado significativamente

pela separação do escoamento, a aproximação da camada limite está errada.

Camadas limites turbulentas tem um perfil de velocidade média mais

cheio do que uma camada laminar sob condições similares. Portanto, é

necessário um gradiente de pressão adversa mais forte para separar a camada

limite turbulenta. Isso quer dizer que camadas limites turbulentas são mais

Figura 9: Esquema da análise II. Sem gradiente de pressão, já estudado anteriormente.

Figura 10: Esquema da análise 3, fracamente adversa, surge agora um ponto de torção em relação as figuras anteriores.

Figura 11: pressão adversa em dois graus diferentes, sendo a do lado direito a de grau mais acentuado ocorrendo o escoamento reverso.

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resistentes à separação de escoamento do que as camadas limites laminares

expostas ao mesmo gradiente de pressão adversa.

A técnica de integral de momento para camadas limites

A técnica integral de momento utiliza uma aproximação de volume de

controle para obter aproximações quantitativas das propriedades da camada

limite ao longo de superfícies com gradientes de pressão zero ou diferente de

zero. Ela é valida tanto para a camada limite laminar quanto para a turbulenta.

De acordo com a aproximação com a aproximação da camada limite,

⁄ , consideremos então que a pressão P age ao longo de toda a face

esquerda do volume de controle, .

No caso geral com gradiente de pressão diferente de zero, a pressão na

face direita do volume de controle é diferente da pressão na face esquerda.

Usando uma aproximação truncada de primeira ordem da série de Taylor:

De forma similar escrevemos a vazão em massa que entra através da

face esquerda como:

∫

E a massa que sai através da face direita como:

[∫

(∫

) ]

w é a largura do volume de controle no eixo z;

Como a equação (39) é diferente da equação (38), e como nenhum

escoamento pode cruzar a base do volume de controle(a parede), a massa tem

que escoar para dentro ou para fora pela parte superior do volume de controle.

Para o caso de uma camada limite que está crescendo, na qual

Qdireita<Qesquerda, e Qsuperior>0 (a massa escoa para fora). A conservação

da massa sobre o volume de controle resulta em:

A parte inferior do volume de controle é a parede em y=0 e a parte superior está em y=Y,

suficientemente alta para abranger toda a altura da camada limite. O volume de controle é

uma fina espessura dx.

21

(∫

)

Aplicamos agora o princípio da conservação do momento x para o

volume de controle escolhido. O momento x entra pela face esquerda e é

removido através das faces direita e superior do volume de controle. O fluxo

total do momento para a fora do volume de controle deve ser equilibrado pela

força devida à tensão se cisalhamento agindo sobre o volume de controle na

parede e a força de pressão total na superfície de controle. O fluxo total do

momento para fora do volume de controle deve ser equilibrado pela força

devida à tensão de cisalhamento agindo sobre o volume de controle na parede

e a força de pressão total na superfície de controle.

(∫

)

(∫

)

Bliografia:

Çengel, Y. A.; Cimbala, J. M. Mecânica dos Fluidos-Fundamentos e

Aplicações. 1ª edição - São Paulo: McGraw-Hill, 2007