CAPÍTULO 4

Problema 4.4

Dados: Uma pequena bola de aço, de raio r, colocada em cima de uma esfera muito maior, de raio R, começa a rolar sob ainfluência da gravidade. Desprezar as resistências do ar e de rolamento.

Determine: O ponto em que a bola perde o contato com a esfera.

Solução: Some forças na direção n.

�F F mg ma

aV

R r

O contato é perdido quando F o ou

mg mV

R r

ou

V R r g

n n n

n

n

� � �

���

� ���

� �

cos

( )

,

cos( )

( ) cos

�

�

�

2

2

2

→

(1)

A energia deve conservar-se, se não existe resistência. Portanto,

E mgz m

Vmg R r m

VE mg R ro� � � � � � � �

2 2

2 2( ) cos ( )�

Dessa forma, das considerações de energia

V g R r

Combinando as Eqs e

V g R r R r g

ou cas

Assim e graus

2

2

1

2 1

1 2

2 1

2 1 2 2

2

3

2

348 2

� � �

� � � � �

� � � �

� � ��

( ) ( cos )

. ,

( ) ( cos ) ( ) cos

( ) cos cos

, cos cos ,

�

� �

� � �

� � �

←

(2)

Problema 4.8

Dados: Uma lata de alumínio de bebida, ml � 20 g, D � 65 mm, H � 120 mm. O nível de conteúdo máximo é hmáx, quandoVb � 354 mL de líquido. SG da bebida é 1,05.

Posição inicial

CAP004/1 11/8/02, 9:40 AM1

Determine:(a) O centro de massa yc como função do nível h.(b) O nível para a menor tendência de tombamento da lata.(c) O coeficiente mínimo de atrito estático, µs, para o qual a lata cheia tombaria sem deslizamento.(d) O gráfico de µs)mínimo para inclinar (não deslizar) a lata como função do nível de líquido na lata.

Solução:

M SGg

cmmL

cm

mLg máx

hA D

mLcm

cm

mL

mm

cmmm

Em qualquer nível mh

hM m g

h mm

mmg h mm

b b

máxb b

bmáx

b b

� � � � � �

� � � � � � � �

� � � �

�

� �

∀

∀ ∀

1 05 1 0 354 372

4 4354

1

6 510 107

107372 3 47

3

3

2 2 2

3

, , ( )

( , )

, ; ( )( )

, ( )

Das considerações de quantidade de movimento,

y Mh

mH

m h h h

M m m h

yh

hh em mm y

c b c

b

c c

� � � � � �

� � � �

��

�

2 2

1

23 47 120 20

1

23 47 2400

3 47 20

3 47 2400

6 94 40

2

2

( , ) ( ) ( , )

,

,

,( )

[ ]

←

l

A tendência para tombar será menor quando yc for mínimo. Portanto,

dy

dh

h

h

h

h

h h

hc �

�� �

�

��

� �

��

2 3 47

6 94 401 6 95

3 47 2400

6 94 40

24 1 278 16 700

6 94 400

2

2

2

2

( , )

,( )( , )

,

( , )

, .

( , )

Usando a fórmula quadrática,

h para y mín mm h

y mínc c( )

( ) ( , ) ,

( , ), ( )�

� ��

278 278 4 24 1 16 700

2 24 121 2

2

←

Traçando o gráfico

Trace um diagrama de corpo livre da lata para tombamento iminente

Alt

ura

do

CG

, yc (

mm

)

Nível de líquido, h (mm)

CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM2

Para o centro de rotação

Co

efic

ien

te d

e at

rito

mín

imo

par

a to

mb

ar, �

s (–

–)

Nível de líquido, h (mm)

�

�

F F ma

F F mg ma

F mg

Como F F então F ma

x f x

y n y

n

f s n s n x

� �

� � � �

�

� �

0

µ , ,

Somando os momentos sobre o ponto D:

�M y maD

F

ou y maD

F

Mas ma F o

y FD

F

Assim para inclinar

D

y

b c x n

c x n

x s n

c s n n

sc s

�

� � �

�

�

�

20

2

2

2

µ

µ

µ µ←

, log ,

, ,

Traçando o gráfico

CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM3

Para a lata cheia com yc � 53,8 mm,

µ µ← s mm

mms� � � �

1

265

1

53 80 604

,,

Este valor é muito maior do que aquele que a lata poderia desenvolver. Portanto, a lata não irá inclinar ou tombar; ela irádeslizar.

A aceleração correspondente é

a g m sx s� �µ 0 593 2, /

Problema 4.9

Dados: O campo de velocidades na região mostrada é

r

r r

V az J b k

onde a s e b m s

Para a profundidade w ao longo do eixo x

dA w dz j e dA wdy k

� �

� �

�� ��

�

ˆ ˆ

/ .

,

ˆ ˆ

10 51

1 2

Determine: (a) Uma expressão para r rV dA 1

(b) O valor de

r rV dA 1

1A∫

(c) Uma expressão para r rV dA 2

(d) Uma expressão para

r r rV V dA 2( )

(e) O valor de

r r rV

A2

2∫ ( )V dA

CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM4

Solução:

( ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ)

( )

a V dA az j b k wdzj awz dz V dA

b V dA awz dz awz

awz

V dAz

A

z

A

r r r r

r r r r

� � � ��

� � �� ��

1

101

2

0

12

1

1 1

1 12 2

←

∫← ∫∫

←

←

( ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ )

( ) ( ) ( ˆ ˆ )( ) ˆ ˆ ( )

c V dA azj bk wdy k bwdy V dA

d V V dA azj bk bwdy abwzdy j b wdy kV V dA

r rr r

r r rr r r

� � � ��

� � � �� �

2

22

1

2

←

∫∫ ∫

∫

( ) ( ) ( ˆ ˆ ) ˆ ,

. ,

( ) , ˆ ( )s

ˆ ˆ / ( )

e V V dA abwz dz j b wdy k b wdy k

pois z ao longo de A Dessa forma

V V dA b wy km

w m k w k m s e

y

A

y

Ax

r r r

r r r

� � � ��

�

�� �� � ��

202

2 2

0

1

2

22

2 22

23 2

1

0

5 1 25

Problema 4.13

Dado: Um campo de escoamento dado por rV ayi bj� �ˆ ˆ

onde a � 2 s�1, b � 1 ft/s e as dimensões são em pés.

Determine: (a) Vazão volumétrica.(b) Fluxo de quantidade de movimento através da superfície inclinada.

Solução:

A vazão volumétrica é Q V dA�

r r

∫Para a superfície inclinada

dA dA ı dA j c dyı c dxj

onde c ft

Q ayı bj cdyı cdxj acy dy bcdx

Q ac y bcx ftft

ft ft

Q ft s Vazão volumétrica

x y

A y o x

r� � � �

�

� � � � �

� � � � � � �

�

� �

�

ˆ ˆ ˆ ˆ

( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ)

/

2

25 2 12

2 3

8

1

0

3

22 0

1

0

3 12

3

∫ ∫ ∫

] ]

←

CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM5

O fluxo de quantidade de movimento é dado por

f m V V dA. . ( )� �

r r

∫Então,

f m ayı bj acy dy bc dx

f m ı a cy dy abcy dx j abcy dy b cdx

Ao longo da erfície inclinada yx

f m ı a c y abcx

A. . ( ˆ ˆ) ( )

. . ˆ ˆ

sup

. . ˆ

� � �

� � � �

�� �

� � � �

∫

∫ ∫ ∫∫

]

�

� �

�

0

12 2

0

3

2

0

3

0

1

2 33 0

1

31

311

2 23

2 22

1 2 3

0

32

2 0

1 2

0

3

1 23 2

0

3

12 2

2

] ]{ }

∫ dx j abc y b cx

ı s ftft

abcx

bx j s

ft

sft

ft ft

sft ft

� �

� � � � � � �� � � � � �� �

�

�

ˆ

ˆ ( ) ˆ

{ } ←

� � � � � � �

� �

�� �

�

ˆ , ˆ

. . , ˆ ˆ

ıft

ss

ft

sft ft j

ft

s

ft

s

f m ı jft

sFluxo da quantidade de movimento

8

32 2 2 5 2 6

7 67 8

4

21 2

4

2

4

2

4

2

Notas: As unidades de massa específica são slug/ft3.

O fluxo de quantidade de movimento tem unidades slug.ft/s2 (ou lbf).

Problema 4.19

Dados: Escoamento permanente e incompressível através do dispositivo mostrado.

A m A m A m

V ı m s V j m s

12

22

32

1 2

0 05 0 01 0 06

4 8

� � �

� � �

, , , , ,

ˆ / , ˆ /r r

Determine: A velocidade rV3.

Solução: Aplique a conservação de massa usando o VC mostrado.Equação básica:

�

� � � �

0 1

0

( )∂∂

∀∫ ∫t VC SCd V dA

r r

CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM6

Considerações: (1) Regime permanente.(2) Escoamento incompressível, � � constante.(3) Escoamento uniforme em cada seção.

Então,

SCV dA V A V A V A∫r r r r r r r r

� � � �1 1 2 2 3 3 0

ou

r r r r r r

r r

V A V A V A ım

sı m j

m

sj m

V A m s

3 3 1 1 2 22 2

3 33

4 0 05 8 0 01

0 28

�� � �� � � � �

�

ˆ , ( ˆ) ( ˆ) , ˆ

, /

Como r rV A3 3 0 � , o escoamento na seção � é para fora do volume de controle. Portanto,

r rV A V A

VA

m

s m

m

sm s

3 3 3 3

33

3

2

310 28

1

0 060 28 4 67

�

� � � � �,,

, , /

Finalmente, a partir da geometria do desenho

r

r r

V V sen ı V jm

ssen ı

m

sj

V ı j m s V

3 3 3

3

4 67 60 4 67 60

4 04 2 34 3

� � � � � �

� �

� �ˆ cos ˆ , ˆ , cos ˆ

, ˆ , ˆ /

° °

←

Problema 4.20

Dados: Óleo escoa para baixo em um plano inclinado.

u

gsenhy

y� �

� �

µ

2

2

Determine: Uma expressão para a vazão em massa por unidade de largura.

CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM7

Solução: Na seção transversal sombreada,

˙

, arg

˙

˙

˙ /

m udA

dA wdy onde w l ura

mg sen

hyy

wdygsen

hyy

wdy

mgsen

why y gsen

wh gsen wh

Dessa forma

m wgsen

o

h

o

h

o

h

�

� �

� � � �

� � � �

�

∫

µ

µ

µ

µ µ

∫ ∫

�

�� � � �

� � � � � �

�

2 2 2

2 2 3 2 3 2 3

2

2 2

2 6 3 3

�� hm u

3

3µ ← ˙ /

Problema 4.23

Dados: Água escoa em um tubo conforme mostrado. R � 3 in, umáx � 10 ft/s.

Determine: A velocidade uniforme na entrada, U.

Solução: Aplique a equação da continuidade usando o VC mostrado.Equação básica:

�

� �

0 1

0

( )∂∂

∀∫ ∫t� �d V dA

VC SC

r r

Considerações: (1) Escoamento permanente.(2) Escoamento incompressível.(3) Escoamento uniforme na seção de entrada.

Então,

0 2

0 1 2

11 2 2 1

1 1 2 2 2 2

22

2

2

2

2

2

0

1

� � � �

�� � �

� � � �

r r r r r rV A V dA V uı dA rdr ı

U R ur

Rrdr

ou

UR

ur

Rrdr u

r

R

máxo

R

máxo

R

máx

�∫

∫

∫ ∫

; ˆ, ˆ�

� �

��

rr

Rd

r

R

Ur

R

r

Rft s U

← � � �20

1

2

1

45 00

2 4

0

1

, /

{A velocidade do escoamento uniforme na entrada é a metade da velocidade máxima na seção de saída.}

CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM8

Problema 4.24

Dados: Curva redutora bidimensional conforme mostrada.

Determine: A magnitude e o sentido da velocidade uniforme na seção �.

Solução: Aplique a conservação de massa usando o VC mostrado.Equação básica:

�

� �

0 1

0

( )∂∂

∀∫ ∫t VC SCd V dA� �

r r

Considerações: (1) Escoamento permanente.(2) Escoamento incompressível.(3) Escoamento uniforme nas seções � e �.

Então,

0

2

1 1 2 2 3 3

3 3 1 1 2 2 11

2 2

3 3 1

2

12

1

1

1

1

� � � �

� � � �� �

� �

r r r r r r r r

r r r r r r

r r

V dA V dA V A V A

ou

V A V dA V A Vy

hwdy V wh

V A V wy

hV wh

ASC

Amáx

o

h

máx

o

h

∫∫

∫ ∫

,

, 221 1

2 2

3 3 2

3 3

3 3 3 3 3 33 3

2

1

210 2 15 1 5

0

5

� �

� � � � � � �

�

� � � � � � � �

V whV wh

oV A

w

ft

sft

ft

sft ft s

Como V A o escoamento em é do VC Sentido

Dessa formaV A

w

V A

w

V wh

wV h

máx,

log /

,

,

r r

r r

r r

� para dentro ←

ftft s

Vh

ft

s ft

ft

sft s do VC V

2

33

2 215

1

1 55 3 33 3

/

,, / ( )� � � � � para dentro ←

CAP004/1 11/8/02, 9:41 AM9

Problema 4.27

Dados: Um acumulador hidráulico, projetado para reduzir as pulsações de pressão no sistema hidráulico de uma máquinaoperatriz, está operando sob as condições mostradas, em um dado instante.

Determine: A taxa na qual o acumulador ganha ou perde óleo hidráulico.

Solução: Use o volume de controle mostrado.

Equação básica:

0 � � ∂∂

∀∫ ∫td V dA

VC SC

� �r r

Considerações: (1) Escoamento uniforme na seção �.(2) Massa específica constante.

Então,

0 1 1 2 2

1 1 1

21

1

� � � �

�

∂∂

∫∫

∫

tM V dA V dA

Mas

V dA Q

vcAA

A

( ) � �

� �

onde Q � vazão volumétrica e � �� SG H O2

Portanto,

0

40 88 2

0 88 1 94 5 757 48 60

4 354

1 25

1 2 2

1 2 2

1 222

3

32 2

2

� � �

� �

� � �

� � � � � � � �

∂∂

∂∂

tM Q V A

ouM

tQ V A

SG Q VD

onde SG Tabela A

slug

ft

gal

mim

ft

gal s

ft

sin

ft

vc

vc

H O

� �

�

� �

�

( )

, ( . )

, , ,,

min, ( , )

22

2

2

144

4 14 10 1 33

in

M

t

slug

sou lbm s

Mt

A massa está inuindo no VC

vcvc

∂∂

∂∂← �� � ��, , /

( dim .)

CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM10

Como

M

M

t t tSG

t

t SG

M

t

ft

slugs

slug

s

t

ft

sou gal s t

VC óleo óleo

VCóleo óleo óleo

óleoóleo H O

óleo

óleo

óleo H O

VC

óleoóleo

�

� � �

� � � � � �

�� �

�

� � �

�

∀

∂∂

∂∂

∀ ∂∀∂

∂∀∂

∂∀∂

∂∂

∂∀∂

∂∀∂←

( )

, ,( , )

, , /

2

2

1 1

0 88

1

1 944 14 10

2 43 10 0 181

32

23

Problema 4.28

Dados: Um tanque retangular, com dimensões H � 230 mm, W � 150 mm e L � 230 mm, fornece água para um tubo desaída com diâmetro D � 6,35 mm. Quando o tanque está metade cheio, o escoamento no tubo tem um número de ReynoldsRe � 2000. Neste instante, não existe escoamento de água para dentro do tanque.

Determine: A taxa de variação do nível de água no tanque nesse instante.

Solução: Aplique a equação de conservação da massa para o VC que inclui o tanque e o tubo.Equação básica:

o

td V dA

VC SC� �

∂∂

∀∫ ∫� �r r

Definição: R

DV DV

ve � ��

µ

Considerações: (1) Escoamento uniforme na saída do tubo.(2) Escoamento incompressível.(3) Despreze o ar entrando no volume de controle.

Então,

ot

WLhD

L VD

o WLdh

dtV

Dnote que L cons te

dh

dt

V D

WL

o

o

o

� � � �

� � �

��

∂∂

∴

� �� ��

�

�

2

1

2

2

1

2

4 4

4

4

( tan )

CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM11

Para determinar rV, use a definição do número de Reynolds

VR

D

Para água a C m s Tabela A

Vm

s mm s

dh

dtV

D

WL

m

s

mm

mm mm

mm

m

dh

dtmm s caindo

dh

oe

o

o

�

� �

� � � ��

�

�� �� ��

�

��

�

�

�

�

�20 1 10 8

2000 1 101

6 35 100 315

4

0 315

4

6 35

150 23010

0 289

6 2

62

3

2 2 23

° , / ( . )

,, /

, ( , )

, / ( )

� �

dtdt←

Problema 4.38

Dados: Escoamento em regime permanente de água através de uma placa plana porosa. A sucção é constante. O perfil develocidades na seção cd é:

u

U

y y

�

��

��

3 21 5

,

Determine: A vazão mássica através da seção bc.

Solução: Aplique a lei da conservação de massa usando o VC mostrado.

Equação básica:

o

td V dA

VC SC� �

∂∂

∀∫ ∫� �r r

Considerações: (1) Regime permanente.(2) Escoamento incompressível.

(3)

rV v j ao longo de ad�� 0

ˆ .

Largura,

CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM12

Então,

o V dA V dA m V dA V dA

ou o U w m Uy y

wdy wL

Assim

m U w U w

abSCbc

cd da

bco

o

bco

� � � � �

�� � � ��

��

� �

� � � �

� �

�

� �

� � � �

� � �

� �

r r r r r r r r

∫∫ ∫ ∫

∫

∫

˙

˙

,

˙

,

3 2

3

1 5

1 yy yd

ywL

w U Uy y

L

w U U

o

o

o

��

� ��

� � � ��

��

�

� � � � � �

� �

� �

2

3

2

2

2 5

3

2

2

2 5

1 5

2 2 5

0

1

,

,

,

,

�

�

�

υ

υ

υ LL w U L

kg

mm

m

sm

m

sm

m kg s m o do VC m

o

bc bc

←

� � �

� � � � � �

� �

�� ( , )

, , , ,

˙ , / ( ˙ , log , ) ˙

0 3

999 1 5 0 3 3 0 0015 0 0002 2

1 42 0

3

υ

para fora

Problema 4.40

Dados: Funil de líquido sendo drenado através de um pequeno orifício de diâmetro d � 5 mm (área, A), conforme mostrado;y0 é a profundidade inicial.

Determine: (a) Uma expressão para o tempo requerido para esvaziar o funil.(b) Expressões para o resultado em termos

. do volume inicial, V0 e

. da vazão volumétrica inicial

Q AV A gyo o o� � 2 .

CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM13

Plote: Gráfico de t em função de y0 (0,1 y0 1 m) com o ângulo � como um parâmetro para 15° � 45°.

Solução:Aplique a conservação de massa, usando o VC mostrado.

Equação básica:

o

td V dA

VC SC� �

∂∂

∀∫ ∫� �r r

Considerações: (1) Escoamento incompressível.(2) Escoamento uniforme em cada seção.(3) Despreze �ar comparada com �H O2 .

Então,

� �o o

ot

dt

d V A V Aar H Oar

ar H OH O

( ) ( )3 3

22

21 1� � � � �∂∂

∀ ∂∂

∀ { } { }∀∀ ∫∫ � � � �

Para o VC,

d A dy r dy y dyy

Dessa forma

ot

yA gy

o ydy

dtA g y

s

H O H O

∀ ∀

∂∂

� � � � �

� �

� �

� � � �

� � � �

� �

2 2 23

23

2 2 1 2

3

32

2

2 2

( tan ) ; tan

,

tan

tan /

Separando variáveis,

y dy

g Adt3 2

2

2/

tan�

�

��

Integrando de y0 em t � 0 até y � 0 em t

y dy yg H

t

ou

ty

g A t

y

3 20

05 2

2

20

5 2

2

5

2

2

5 2

0

/ /

/

( )tan

tan

� � ��

�

∫

←

� �

� �

Masy

e Q AV gy então

ty

g A

y

y Q t

o∀

∀

←

02

3

0 0 0

205 2

01 2

01 2

0

0

32

2

5 2

3

3

6

5

� � �

� � � �

� �

� �

tan ,

tan / /

/

CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM14

Como A � �d2/4, podemos escrever

ty

gdy

y

d g�

� �

��

2

5 2

8

5 2

20

5 2

2

20

5 2

2

tan tan/ /�

t é traçado em função de y0 com � como um parâmetro.Drenagem de um tanque cônico de líquidoDados de entrada:

Diâmetro do orifício: d � 3 mm.Resultados dos cálculos:

Tempo de Drenagem t (s)Altura Inicial, Ângulo de Meio

y0 (mm) Cone, � (graus) 60 45 30 15

300 5935 1978 659 142275 4775 1592 531 114250 3763 1254 418 90,0225 2891 964 321 69,2200 2154 718 329 51,5175 1543 514 171 36,9150 1049 350 117 25,1125 665 222 74 15,9100 381 127 42 9,1175 185 62 21 4,4450 67 22 7 1,6125 12 4 1 0,285

0 0 0 0 0

Tempo versus Profundidade Inicial

Tem

po

, t (

s)

Profundidade inicial, y0 (mm)

CAP004/1 11/8/02, 9:42 AM15

Problema 4.41

Dados: Tanque contendo salmoura com corrente de entrada de água em regime permanente. A massa específica inicial é

� �i � H O2 .

Determine: (a) A taxa de variação da massa específica do líquido no tanque.(b) O tempo requerido para atingir a massa específica, �f, onde

� � �i f� � H O2 .

Solução: Aplique a conservação de massa, usando o VC mostrado.

Equação básica:

0 � � � �

∂∂

∀∫ ∫td V d

VC SC� �

r r

Considerações: (1) �tanque � constante.(2) Massa específica uniforme no tanque.(3) Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saída.

Então, V1A1 � V2A2, posto que o volume do tanque é constante e

0 2 2 2� � � � � �

��

∂∂

∫ ∀ ∂∂

∀ ∀t

d VA VAt

VAd

dtVAvc H O H O H O� � � � � � �( ) ( )

E daí

d

dt

VAddtH O�

�

�

( )� ��

2 ←

Separando variáveis,

d VAdt

H O

�

�

� � 2 ∀

Integrando de �i em t � 0 até �f em t,

d VAdt

VAt

H OH O

f H O

i H O

t

i

f

i

f�

� �� �

� �

� ��

�

�

�

� �

� �

22

2

20∫ ∫]

∀ ∀ln ( ) ln

Finalmente,

tVA t

f H O

i H O

�

∀

← ln

� �

� �2

2

{Note que � �f → H O2 assintoticamente quando t → .}

entra

constantesai

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM16

Problema 4.42

Dados: A vazão mássica instantânea de vazamento de ar, ˙ ,m de um pneu de bicicleta é proporcional à massa específica, �, eà pressão manométrica, pg, no pneu. O ar no pneu é aproximadamente isotérmico (porque o vazamento é pequeno).

A pressão inicial do ar é p0 � 0,60 MPa (manométrica) e a taxa inicial de perda de pressão é de 1 psi por dia.

Determine: (a) A pressão no pneu após 30 dias.(b) Incerteza da regra corrente segundo a qual perde-se “1 libra por dia” no período total de 30 dias.

Plote: A pressão no pneu como uma função do tempo para o período de 30 dias; compare os resultados obtidos com aquelesda regra corrente de “1 libra por dia”.

Solução:Aplique a conservação de massa ao pneu conforme o VC.

Equação básica:

0 � � � �

∂∂ ∫ ∫t

d V dAVC SC

� �r r

Considerações: (1) Propriedades uniformes no pneu.(2) O ar no interior do VC comporta-se como gás ideal.(3) A temperatura, T, e o volume, �, do ar no pneu são constantes.

(4) ( ) .m p p� c atm �

Então, podemos escrever

0

1

0

0

0

0 0

00 0

0 0

� � � � �

��

�

� �

� � �

� � �

∀ ∂∂

∀ ∂∂

∂

∀

)

∀

∀

� �

�

tm

tp p c

Mas p RT edt RT

dp

dto

RT

dp

dt

cp

RTp

para t p p e dp dt dp dt Assim

dp

dtcp p p e c

p p p

dp

dt

atm

atm

atmatm

˙ ( )

/ , log ,

( )

, / / . ,

( )( )

p

0

(1)

Substituindo na Eq. 1, obtemos

0

0 0 0

�

dp

dt

p p p

p p p

dp

dtatm

atm

( )

( )

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM17

Separando variáveis e integrando,

dp

p p p

dp dt

p p pdt

p

p p p

p p p

dp dt

p p pt

p p

p p

dp dt

p p pt

atm atm

t

p

p

atm

atm

atm atm

atm

atm atm

( )

/

( )

ln( )

( )

/

( )

ln/

/

/

( / )

�

�

�

)

)

)

∫∫ 0

0 0 0

0

0

0

0 0

0

0

0 0

0

1

1

1 1

Tomando os antilogaritmos,

1 1 1

11

6 895 1

701

1

701 101 1

0 00166

1

0

1

0

0

0 0

1

00 0 � �

�

� � �

�

�

p

p

p

pe

p

pe

onde

kdp dt

p p ppsi

kPa

psi kPa

k dia

e

p

p

atm atm

dp dt

p p p atm kt

atm

atm

atm

)

)

/

( / )

/

( / )

,

( / )

,

�

p p

pe

Assim

pp

p p

pe

atm kt

atm

o atm kt

0

0

0

1

,

(2)

Avaliando para t � 30 dias,

pkPa

l

kPa

diap diast

�

� �

101

1600

701

544 3030 0 00166( , ) ←

A regra corrente “uma libra por dia” dá

p pkPa

diat

Para t dias p kPa kPa kPa pregra

�

� � �

0 6 895

30 600 207 493

,

←

(3)

A regra corrente “uma libra por dia” prediz uma maior queda de pressão.Resultados para ambos os modelos são apresentados na figura a seguir.

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM18

Problema 4.49

Dados: Carrinho com pá defletora, movido por jato de água.

V m s A mj j� �15 0 05 2/ ,

Determine: (a) A massa necessária para manter o carrinho estacionário para � � 50°.

Plote: A massa necessária para manter o carrinho estacionário para 0 � 180 graus.

Solução:Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento para o VC inercial mostrado.

Equação básica:

� �

� � � � � �

0 2 0 3( ) ( )

F Ft

upd u V dAsx BxSCVC

∂∂ ∫∫

r r

Pre

ssão

do

pn

eu, p

(kP

a) (

man

om

étri

ca)

Pressão do Pneu versus Tempo

Tempo, t (dias)

Modelo exato

Regra corrente

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM19

Considerações:(1) Pressão atmosférica em torno do VC.(2)

FBx � 0.

(3) Escoamento permanente.(4) A velocidade do jato (e área) permanece constante na pá.(5) Escoamento uniforme em cada seção.(6) Escoamento incompressível.

Então,

� �� �� � � � �

� � � �

�

Mg u V A u V A u V u VV V V A A A

Mg V VA V VA V A

MV A

g

1 1 1 2 2 21 2

1 2 1 2

2

2

1

1

( ) ( ) ; cos;

( ) cos ( ) (cos )

( cos )

� ��

� � � � �

� �

{ } { }

(1)

Avaliando para � � 50°

M

kg

m

m

sm

s

mkg M� � � � �999 15 0 05

9 811 50 409

32

2

22

2

( ) ( , ),

( cos )° ←

M é traçada como uma função de �

Problema 4.52

Dados: Um fazendeiro compra 675 kg de grãos a granel. Os grãos são despejados em sua caminhonete por um carregadorafunilado conforme mostrado. O fluxo de grãos é interrompido quando a leitura da balança atinge o valor bruto desejado.

Determine: A verdadeira carga paga.

Mas

sa p

ara

rete

r o

car

rin

ho

, M (

kg)

Ângulo da pá defletora, � (graus)

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM20

Solução: Aplique a componente y da equação da quantidade de movimento usando o VC mostrado.

Equação básica:

� 0 2( )

F Ft

d V dAS BVC SC

y y� � � � � �∂∂

∀∫ ∫v vr r

Considerações:(1) Não existe força de pressão líquida,

F RS yy � .

(2) Despreze � dentro do VC.(3) O escoamento dos grãos é uniforme na seção de entrada �.

Então,

R M M g m

Vm

A

y t l � �

� �

( ) ˙˙

v

v

1

1 1

{ }�

ou

R M M g

m

Aindicado durante o escoamento de grãosy t l� � �( )

˙( )

2

�

O carregamento é terminado quando

R

gM M

m

pgAkg

Assim

M kgm

gA

kgkg

s

m

kg

s

m m

M kg M

yt l

l

l l

� � �

� �

� � � �

�

˙

˙

( ), ( , )

2

2

22

2

3 2

2 2

675

675

675 40600 9 81

4 1

0 3

671

�

←

Balança

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM21

Problema 4.54

Dados: Prato circular com orifício central atingido concentricamente por jato d’água conforme mostrado.

Determine: (a) Expressão para a força externa necessária para manter o prato no lugar.(b) Valor da força para V � 5 m/s, D � 100 mm e d � 20 mm.

Plote: A força requerida como uma função de � (0 � 90°) com d/D como um parâmetro.

Solução:

Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC inercial mostrado.Equação básica:

� �

� � � �

0 2 0 3( ) ( )

( )F Ft

u d u V dAS BVC SC

x x

∂∂

∀∫ ∫� �r r

Considerações:(1) A pressão atmosférica age em todas as superfícies do VC.(2)

FBx � 0.

(3) Escoamento permanente.(4) Escoamento uniforme em cada seção.(5) Escoamento incompressível.(6) Nenhuma variação na velocidade do jato sobre o disco: V1 � V2 � V3 � V.

Então,

R u V A u V A u V A

u V AD

u V Ad

u V sen A A A

R VD

Vd

V sen D d V

x

x

� � �

� � � � � �

� � �

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1

2

2 2

2

3 3 1 2

22

22

2 2 2 2

4 4

4 4 4 4

( ) ( ) ( )

( ) (

� � �

� ��

��

��

� ��

��

{ } { } { }

11

41 1

2 2

22 2

�

� �

sen d D

R VD

send

D Rx

x

�

��

�

) )(

( )

←

Avaliando para d � 25 mm

Rkg

m

m

sm sen

N s

kg mN Rx x� � � � �

�

��

�

4999 5 0 10 1 45 1

25

100314

32

2

22 2

2 2

( ) ( , ) ( )°

←

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM22

Como Rx � 0, a força deve ser aplicada para a esquerda. Rx é traçada como uma função de � para diferentes valores de d/D.

Problema 4.60

Dados: Escoamento através de bocal semicircular, conforme mostrado.

Determine: (a) A vazão volumétrica.(b) A componente y da força necessária para manter o bocal no lugar.

Solução: Escolha o VC e as coordenadas mostradas. Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento nadireção y.

Equações básicas:

Q V dA

F Ft

d V dA

A

S BVC SC

x y

� �

� �

� � � �

∫

∫ ∫∂∂

∀

r r

r r

0 2 0 3( ) ( )

v v� �

Considerações:(1) Escoamento uniforme através da seção de saída.(2)

FBy � 0.

(3) Escoamento permanente.

Fo

rça

par

a re

ter

o p

rato

, �R

x(N

)

Razão de diâmetros, d/D � 0

Ângulo de deflexão, � (graus)

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM23

Na seção �, r rV.dA VRtd� � , visto que o fluxo é para fora do VC. Então,

Q VRtd VRt VRt

Qm

sm m m s Qs

� � �

� � � � �

� � �

�

�

�

�

�

[ ]

←

∫ /

/

/

/

, , , /

2

2

2

2

15 0 3 0 03 0 424

Da quantidade de movimento

R V dA V dA V dA

com V

R V VRtd V Rt sen V Rt

Rkg

m

m

sm

ySC A A

y

y

� � � � �

� � �

� � �

� � � � �

�

�

∫ ∫ ∫

∫

{ } { }

[ ]

v v v

v

� � �

�

� � � � � ��

�

r r

1 21 1 1 2 2 2

1 2

2

22

2

2 2

32

2

2

0

2

2 999 15 0 3 0

cos

cos

( ) ,

/

/

/

/

,, ,03 4 052

mN s

kg mKN Ry�

�

�� ←

Problema 4.61

Dados: Motor a jato em banco de ensaio. O combustível entra verticalmente a uma vazão ˙ ˙ , ˙ .m mf � �mcombustível ar0 02

Determine: (a) A vazão mássica de ar.(b) Estime o empuxo do motor.

Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC mostrado.

Equações básicas:

� �

� � � �

� �

0 1 0 2

1 1 1

( ) ( )

˙ , /

F Ft

u d u V dA

m V A p RT

S BSCVC

ar

x x

∂∂

∀ ∫∫ � �

� �

r r

Considerações:(1)

FBx � 0.

(2) Escoamento permanente.(3) Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saída.(4) O ar comporta-se como gás ideal, T � 70°F.(5) O combustível entra verticalmente (dado).

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM24

�

�

11

12

2

2 2 3

1 1 1 32

14 7 144 29853 3

1

5300 0644

0 0644 500 64 2060

� � ��

� �

� � � � �

p

RT

lbf

in

in

ft

lbf

ft

lbm R

ft lbf R

lbm

ft

m V Albm

ft

ft

sft lbm s m

ar

,,

,

˙ , / ˙

°°

←

Da equação da quantidade de movimento segundo x,

� �

� � � � � � � �

0 0 5

1 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 2 1

( )

˙ ˙ ˙, , ˙ ˙ ˙

R p A p A u m u m u mu V u V m m m

x g f f

f

{ } { } { }

Também o empuxo T � Kx (força do motor sobre o meio ambiente)� Rx.

Então,

�

�

� � � ��

�

�

T p A m V m V m V m V

T m V V p A

Tlbm

s

ft

s

ft

s

slug

lbm

lbf s

ft slug

lbf

ftft

T lbf T

ig

ig

1 1 1 2 2 1 1 1 2

1 2 1 1

2

22

1 02

1 02

2060 1 02 1200 50032 2

298 64

65 400

˙ ˙ ˙ ( , ˙ )

˙ ( , )

,,

.

←

Problema 4.63

Dados: Escoamento incompressível, sem atrito, através de uma expansão súbita conforme mostrado.

Mostrar: Que o aumento de pressão, �p � p2 p1, é dado por

�

��

p

V

d

D

d

D12 2

1

2 2

2 1

Plote: O aumento de pressão adimensional como uma função de d/D para determinar o valor ótimo de d/D e o aumento depressão adimensional correspondente.

Solução:

Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento usando o VC mostrado.

Equação básica:

� �

� � � �

0 2 0 3( ) ( )

( )F Ft

u d u V dAS BSCVC

x x

∂∂

∀ ∫∫ � �r r

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM25

Considerações:(1) Não há atrito, as forças superficiais são devidas somente à pressão.

(2) FBx � 0.

(3) Regime permanente.(4) Escoamento incompressível (dado).(5) Escoamento uniforme nas seções � e �.(6) Pressão uniforme p1 sobre a superfície vertical da expansão.

Então,

p A p A u V A u V A u V u V1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 � � � � � �( ) ( ) ,{ } { }Da continuidade para escoamento uniforme,

˙ ;

, ( )

m A V A V V VA

A

Assim p p VA

AV V

A

AV V

A

AV V

p p VA

A

V

VV

A

A

A

A

ep

� � �

� �

� �

� �

� � �

� �

1 1 2 2 2 11

2

2 1 11

21 1

1

22 1

1

21 2

2 1 12 1

2

2

112 1

2

1

2

2

1 1r

� �

p

V

A

A

A

A

d

D

d

D C Q D1

12 1

2

1

2

1

2

2 2

2 1 2 1�

← . .

A partir do gráfico mostrado adiante, vemos que

�p12 1

2�V tem um valor ótimo em torno de � 0,5 para d/D � 0,70.

Nota: Como esperado,

• Para d � D, �p � 0 para tubo reto.• Para d/D → 0, �p � 0 para jato livre.

Note também que a localização da seção � deve ser escolhida com cuidado para fazer com que a consideração (5) sejarazoável.

Au

men

to d

a p

ress

ão, �

p/ p

V2 /

2(––

)

Razão de diâmetros, d/D (––)

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM26

Problema 4.68

Dados: Bomba a jato d’água conforme mostrado no desenho esquemático.O jato e a corrente secundária são bem misturados na seção �, e as pressões de entrada são as mesmas.

Determine: (a) A velocidade na saída da bomba.(b) O aumento de pressão, p2 p1.

Solução:Aplique a equação da continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC inercial mostrado.Equações básicas:

�

� � � �

� �

� � � � �

0 1

0

0 5 0 1

( )

( ) ( )

∂∂

∀

∂∂

∀

∫∫

∫∫

td V dA

F Ft

u d u V dA

SCVC

S BSCCV

x x

�

�

r r

r r

Considerações:(1) Escoamento permanente.(2) Escoamento incompressível.(3) Escoamento uniforme em cada seção.(4) Nenhuma força viscosa age no volume de controle.

(5) FBx � 0.

Então, da continuidade,

0

10 075 0 01 0 065

10 075

3 0 065 30 0 01

2 2 2 2

22

22 2

2 22 2

� � � � � � �� � � �

� � � � �

� � � �

V A V A V A V A V A V A

VA

V A V A A A A m m

Vm

ms

mms

m

s s j j s s j j

s s j j s j

{ } { } { }

( ); ( , , ) ,

,, ,

←

{ } { } { }

�

� � � � � �

� � �

� � � � � � � � ��

�

6 60

1

2

1 2 2 2 2 2 2

2 2

2 12

2 222

21

,

( ) (

ms

e

p A p A u VsA u V A u V A

u V u V u V

p p pA

V A V A V AA

V

V

s s j j j

s s j j

s s j j s22 2

22

2A V A V As j j� )

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM27

� � � ��

�

�

9991

0 0753 0 0 065 30 0 01 6 6 0 075

84 2

3 22 2 2

2

22

2

2 1 2 1

kgm m

ms

mN skg m

p p kPa p p

,( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , )

,

[ ]

← Problema 4.69

Dados: Cotovelo redutor conforme mostrado. O fluido é água.

Determine: As componentes da força necessária para manter o cotovelo no lugar.

Solução: Aplique as componentes x e y da equação da quantidade de movimento usando a SC e o CV mostrados.

Equações básicas:

� �

� � � �

�

� � � �

0 4 0 1

0 1

( ) ( )

( )

F Ft

u d u V dA

F Ft

d V dA

S BSCVC

S BSCVC

x x

y y

∂∂

∀

∂∂

∀

∫∫

∫∫

� �

� �

r r

r rv v

Considerações:(1) Escoamento permanente.(2) Escoamento uniforme em cada seção.(3) Use pressões manométricas.(4) Eixo x horizontal.

Componente segundo x:

R p A p A u Q u Q

u V u V

R V V Q p A p A VQ

A

m

s m

m

s

m

s

m

s

x g g

x g g

� � � �

� �

� � � � � � �

� � �

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2

1 2 1 1 2 2 11

3

20 11

1

0 01826 04

6 04 13 6 30

cos

cos

( cos ) cos ,,

,

( , , cos

� � �

�

� � �

{ } { }

°°

°

←

) ,,

,

, ( ) , ( ) , cos

999 0 111

0 008213 6

0 11 200 101 10 0 0182 120 101 10 0 0081 30

631 1800 133 1040

2 22

3

2

3 23

22 3

22

kg

mV

Q

A

m

s m

m

s

m

s

N s

kg m

N

mm

N

mm

R N N R

x

x x

� � � �

� ��

� � � � �

�� � �

Massa do cotovelo, m � 10 kg

Volume interno V � 0,006 m3

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM28

Componente segundo y:

R p A sen mg g Q Q

V sen

R V sen Q mg g p A sen

m

ssen

kg

m

m

s

N s

kg mkg

m

s

N s

kg

y g

y g

� � � �

� �

� � �

� � � � ��

�� � �

�

�

2 2 1 2

1 2 2

2 2 2

3

3 2

2

2

0

13 6 30 999 0 11 10 9 81

� � � �

�

� � � �

∀ { } { }

∀

°

v v

v v

, , ,mm

kg

mm

m

s

N s

kg m

N

mm sen

R N Ry

y

� � � ��

� � �

� � � �

999 0 006 9 81 120 101 10 0 0081 30

747 98 1 58 8 77 667

33

2

23

22, , ( ) ,

, ,

°

←

{Rx e Ry são as componentes horizontal e vertical da força que deve ser suprida pelos tubos adjacentes para manter o cotovelo(o volume de controle) sem movimento.}

Problema 4.73

Dados: Água sendo descarregada de modo não uniforme por um entalhe estreito, conforme mostrado.

p kPag1 30� ˙

Determine: (a) A vazão volumétrica.(b) As forças requeridas para reter o tubo.

Solução: Aplique as componentes x e y da quantidade de movimento, usando a SC e o VC mostrados.Equações básicas:

� � � �

� � � � � � � �

0 1 0 2 0 1 0 2( ) ( ) ( ) ( )

;F Ft

u d u V dA F Ft

d V dAS BVC SC

S BSCVC

x x y y

∂∂

∀ ∂∂

∀∫ ∫ ∫∫� � � �r r r r

v v

Considerações:(1)

F FB Bx y� � 0.

(2) Escoamento permanente.(3) Escoamento uniforme na seção de entrada.(4) Use pressões manométricas para cancelar patm.

Espessura, t � 15 mm

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM29

A partir da continuidade,

Q VA V V Ltm

sm m m s Q

VQ

A

m

s mm s

� � � � � � � �

� � � �

1

2

1

27 5 11 3 1 0 015 0 141

0 1414 1

0 157 98

1 23

33

3

2 2

( ) ( , , ) , , /

,( , )

, /

←

�

Da componente x da quantidade de movimento, posto que o escoamento sai verticalmente do entalhe (u � 0),

R p A u Q V Q R p A V Q

RN

mm

m

s

kg

m

m

s

N s

kg m

R kN para a R

x g x g

x

x x

� � � �

� � � � � ��

�

�

3 3 3 3 3 3 3

32

2 23

3 2

30 104

0 15 7 98 999 0 141

1 65

� � �

�

{ }

←

;

( , ) , ,

, ( )esquerda

Da componente y da quantidade de movimento, visto que v3 � 0,

�

� � � �

� �

�

� � �

0

22 3

999 0 015 7 5 7 5

3 12 1

2

12

12 1

22 1

2 3

32

2

2

R v Q v Vt dx t VV V

Lx dx

t V x VV V

L

x V V

L

x

kg

mm

m

s

m

yo

L

o

L

o

L

� � �

�

{ }

∫∫

, ( , ) ,ss

m

s mm

m

s mm

R kN para Ry y

� � �

� � �

�

( , , ) ( )

( , , )( )

( )

, ( )

11 3 7 51

11

11 3 7 51

1

1

3

1 34

2 2

22

2 2 2

33

← baixo

{Um momento também será requerido no acoplamento.}

Problema 4.75

Dados: Bocal descarregando uma cortina d’água plana e radial, conforme mostrado.

Espessura, t

água

CAP004/2 11/4/02, 2:28 PM30

Determine: A força axial exercida pelo bocal sobre o acoplamento.

Solução: Aplique a componente x da quantidade de movimento, usando as coordenadas e o VC mostrados.

Equação básica:

� �

� � � �

0 1 0 2( ) ( )

F Ft

u d u V dAS BVC SC

x x

∂∂

∀∫ ∫� �r r

Considerações:(1)

FBx � 0.

(2) Escoamento permanente.(3) Escoamento uniforme em cada seção(4) Use pressão manométrica para cancelar patm.

A partir da equação da continuidade

Q V A V A V Rtm

sm m m s

VQ

A

Q

D

m

s mm s

� � � � � � � �

� � � � � �

1 1 2 2 23

11 1

2

3

2 2

10 0 05 0 0015 0 00236

4 40 00236

1

0 0352 45

� �

� �

, , , /

,( , )

, /

{Note que A D1 12 24 0 000962� �� / , m }

Da quantidade de movimento,

R p A u Q u V dA

u V u V dA Rt d

V V Rtd V Rt d V Rt

Assim

R p A V Q V Rt

x gA

A o

x g

� � � �

� � �

� � �

� � � �

� � �

�

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2 2

2

2

2 2 22

2

22

1 1 1 22

2

22 2

2

150

� �

� � �

� �

�

� �

{ } ∫

∫∫ ∫

cos ;

cos cos

(

/

/ /

101101 10 0 000962 2 45 999 0 00256

2 999 10 0 05 0 0015

37 9

32

23

3 2

32

2

2

2

) , , ,

( ) , ,

,

N

mm

m

s

kg

m

m

s

N s

kg m

kg

m

m

sm m

N s

kg m

R Nx

� � � � ��

�

� � � � � ��

�

� �

Mas Rx é uma força sobre o VC; a força sobre o acoplamento é Kx,

K R N para a Kx x x�� � 37 9, ( )direita ←

CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM31

Problema 4.76

Dados: Pequeno objeto redondo testado em um túnel de vento. Atrito desprezível.

Determine:a) A vazão mássica.b) V2, máx.c) O arrasto sobre o objeto.

Solução:Equações básicas:

�

� � �

� �

� � � � � � � � �

�

0 1

0 4 0 1

999 9 81 0 02 196

98 0

1 1 3 2

2

( )

( ) ( )

, , ( )

, ( )

ot

d V dA

F Ft

u d u V dA p ghkg

m

m

sm Pa manométrica

p Pa manométrica

VC SC

S BSCVC

x x

∂∂

∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫∫

� �

� � �

r r

r r

Considerações:(1) Escoamento permanente.(2) Massa específica uniforme em cada seção.

(3) Escoamento uniforme na seção �, portanto m V A� � 1

(4) Escoamento horizontal; FBx � 0.

Então,

˙ , ( ) , / ˙m V A

kg

m

m

sm kg s m� � � � ��

�1 1 3

2 21 23 104

1 9 67 ←

Da equação da continuidade,

˙

˙,

, ( , ),

, , ,

,

m u dA Vr

Rrdr V R

r

Rd

r

RV R

Vm

R

kg

s

m

kg mV

Amáx

o

R

máx máx

máx

� � � �

� � � � � �

� � � � ��

�

�� �

2 2 2 2 2 2 22

2

0

1

2 22

22

2

3

2 2

22 2

2

3

3

2

3

29 67

1 23

1

0 515 0

∫ ∫ ∫

m/s 22, máx←

(manométrica) (manométrica)

CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM32

Da equação da quantidade de movimento,

R p A p A u m u V dA V m V Rr

Rd

r

R

u V u Vr

R

R p p A V m V R

xA

máx

máx

x máx

� � � � � � �� �

� �

� � � �

�

1 2 1 2 2 2 1 2 22 2

0

1 3

1 1 2 2

2 1 1 2 22 2

22

21

4

98

˙ ˙

( ) ˙

( ,

,

,

,

{ }

∫ ∫� ��

��

00 1964

1 10 9 672

1 23 15 0 5

65 0

22 2

32

2

22 2

2

� � � � � � � � ��

�

��

) ( ) , , ( ) ( , )

,

N

mm

m

s

kg

s

kg

m

m

sm

N s

kg m

R Nx

� �

Rx é a força para manter o VC no lugar. O VC corta a haste de apoio, portanto Rx é a força para reter o objeto. O arrasto doobjeto e da haste de sustentação é

F R N F

D x D� � 65 0, ←

Problema 4.78

Dados: Escoamento incompressível na região de entrada de um tubo circular de raio R.

u ur

Rmáx2

2

1� �

Determine: (a) A velocidade máxima na seção �.(b) A queda de pressão, se o atrito viscoso fosse desprezado.

Solução: Aplique as equações da continuidade e da quantidade de movimento na direção x. Use o VC e a SC mostrados.Equações básicas:

�

� � �

� �

� � � �

0 1

0

0 3 0 1

( )

( ) ( )

∂∂

∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫∫

td V dA

F Ft

u d u V dA

VC SC

S BSCVC

x x

� �

� �

r r

r r

Considerações: (1) Escoamento permanente.(2) Escoamento uniforme na seção �.(3)

FBx � 0.

(4) Despreze o atrito na parede do tubo.(5) Escoamento incompressível.

CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM33

Então,

0 1 2

2 1 21

2

1

4

12

0

2

12 2

212

2 4

0

1

� � � �

� � � �

� � � �

�� �� ��

U R ur

Rrdr

ou U R u Rr

R

r

Rd

r

Ru R

r

R

r

R

máx

R

máxo

máx

{ }

∫

∫

AssimAssim u Uft

ft s umáx máx, /� � � �2 2 303

601 ←

Da equação da quantidade de movimento,

p R p R u U R u u dA U R u Rr

R

r

Rd

r

R

u U u ur

Rou

p p U

R

máx

máx

12

22

1 12

2 20

2 12 2 2

2

0

1

1 1 2

2

1 2

2 1

1

� � � � � � � � �

�

� � � � � � � �

� � �

� � �

{ }

∫ ∫

112 2 2 2

0

1

2

0

12 4 2

0

14 6

0

1

21

212

1 2 12

12

2 1

1 1 21

2

1

2

1

6

1

6

2 4

8

6

� � �

� � � � � � � �

� �

� � � � �

�

� � �

u dr

R

Mas d d

e u U U

p p U U U

máx

máx

( ) ;

( ) ( )

( ) ,

∫

∫ ∫ ]

logo,

112

12

22

2

2

1 22

4

31

1

3

1

30 075 30

32 2

0 699 1 2

� �

� � � � ��

�

� � �

µ

←

�U

lbm

ft

ft

s

s g

lbm

lbf s

slug ft

p p lbf ft p p

s, ( )

/

,

, /

Problema 4.82

Dados: Escoamento incompressível em camada limite, conforme mostrado. O fluido é ar padrão.

Na camada limite:

u

U

y y

o

��

��

3

2

1

2

3

Fronteira da CL

Largura

CAP004/3 11/4/02, 2:31 PM34

Determine: A força horizontal por unidade de largura para manter a placa estacionária.

Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento.Equações básicas:

�

� �

� �

� � � �

0 1

0

0 3 0 1

( )

( ) ( )

∂∂

∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫∫

td VdA

F Ft

u d u V dA

VC SC

S BSCVC

x x

� �

� �

r r

r r

Considerações: (1) Escoamento permanente.(2) Não existe força líquida de pressão;(3)

FBx � 0.

(4) Escoamento uniforme na seção ab.(5) Escoamento incompressível.

Então, da equação da continuidade,

0 � � � � � � � �

� ��

� �� � � �U m u dy dy m U u dyo bco

bc ooo

{ }

∫ ∫∫˙ ; ; ˙ ( ) �

Da equação da quantidade de movimento,

� � � � � � � � � �

�

F U U w U m u uwdy U u U U u wdyf o o o bco

o o oo

� � ��

{ }

[ ]∫ ∫˙ ( )2 2

Força de arrasto � F u U u wdy U

u

U

u

Uwdyf o

o o o o

� � � ��

� ��

( )∫ ∫

0

2 1

Na seção cd,

u

Udy d

F

wU

u

U

u

Ud U d

U

o

fo

o o o

oo

o

� � � �

� � � � � � � �

� � � � � �

�

3

2

1

2

13

2

1

21

3

2

1

2

3

2

9

4

1

2

3

2

1

4

3

21

2 3 31

2 2 3 4 6

;

� �

�

∫ ∫

←

∫ d

U U

kg

m

m

sm

N s

kg m

F

wN m para a

Fw

o

o

o

o

f f

� � � � � � � �

� � � � ��

�

�

1

2 2 3 4 5 7

12

32

2

2

2

3

4

3

4

1

8

3

10

1

280 139

0 139 1 23 10 0 0023

0 0393

� � ( , )

, , ( ) ,

, / ( )direita

CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM35

Problema 4.83

Enunciado: Considere o jato de água e a placa vertical do Problema-Exemplo 4.4. Uma consideração implícita feita pararesolver o problema foi que o jato permanecesse horizontal até atingir a placa. Discuta as implicações de se incluir a gravida-de na solução. Concentre-se especificamente na trajetória do jato antes de ele atingir a placa e na velocidade do líquido sobrea placa acima e abaixo do ponto de impacto do jato. As dimensões da placa vertical são importantes? As propriedades dacorrente de líquido são importantes?

Discussão: A gravidade poderia ser incluída na solução com relativa facilidade. A gravidade produziria uma componentevertical para baixo na velocidade da corrente de água no jato. O jato teria uma trajetória parabólica; a corrente do jato cairiamais à medida que ela se afastasse do bocal.

Como uma primeira aproximação, o escoamento sobre a placa vertical é suposto ser sem atrito. Portanto, não existe forçade atrito do jato sobre a placa. Uma força de pressão agindo sobre a placa não possui componente vertical. Conseqüentemen-te, não pode existir força vertical resultante sobre a placa.

O jato líquido dividir-se-á em duas correntes quando atingir a placa. Cada uma das duas correntes terá a mesma velocida-de do jato, porque não existe força de atrito ao longo da placa para modificar a velocidade do líquido. Entretanto, a correnteinferior irá carregar mais da metade do escoamento; a corrente superior carregará menos da metade do fluxo. Posto quenenhuma força vertical age sobre o escoamento, este dividir-se-á de modo a dar às duas correntes a mesma quantidade demovimento do jato tocando a placa.

A placa vertical deve ser larga o bastante para redirecionar todo o escoamento do jato de forma que ele saia paralelo àsuperfície da placa. Quando a gravidade é incluída, a placa deve estender-se mais para baixo da linha de centro do jato do queno caso hipotético sem gravidade.

As propriedades da corrente de líquido incluem sua massa específica, área, velocidade e viscosidade. A força horizontalexercida sobre a placa vertical é proporcional à massa específica, área e ao quadrado da velocidade da corrente líquida. Aviscosidade do líquido não é importante, quando ela é pequena o suficiente para fazer com que a aproximação de um escoa-mento sem atrito seja um modelo razoável.

Problema 4.87

Dados: Modelo de escoamento de gás em um bocal de propulsão como uma fonte esférica; Ve � constante.

Determine: (a) Uma expressão para o empuxo axial, Ta; compare com a aproximação unidimensional, T mVe� ˙ .(b) O erro percentual para � 15°.

Plote: O erro percentual em função de , para 0 22 5� � , .°

Solução:

Aplique as definições:

˙ ,m VdA T u Vdaa

A A

� �� �∫ ∫Use escoamento esférico, simétrico.

A vazão mássica é

admitindo

m VdA V Rsen Rd V R V R

e e

e e e eoA o

e e

� �

� � � � � � �

� ( )

˙ ( ) cos ( cos )

[ ]

[ ]∫∫� � � � � �2 2 2 12 2

CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM36

A aproximação unidimensional para o empuxo é, portanto,

T mV V R T

e e e D� � � �˙ ( cos )2 12 2 1�� ←

O empuxo axial é dado por

T u VdA V V Rsen Rd V R sen d

T V Rsen

V R sen T

a e e eo

e eo

a e e

o

e e a

� � � � �

�

�

� ��

� � � �

cos ( ) cos∫∫ ∫

←

2 2

22

2 2

2 22

2 2

O erro na aproximação unidimensional é

e

T T

T

T

T

V R

V R sen senD a

a

D

a

e e

e e

��

� � ��

� ��

�� �1 1

2 2

2 2 2 21

2 11

2 11

� �

��

( cos ) ( cos )(1)

O erro percentual é traçado como uma função de .Para � 15°

esen

e ou e

15 2

15

2 1 15

151

0 0173 1 73 15

��

�

�

( cos )

, , %

°

←

Err

o n

o e

mp

uxo

1-D

, e (

%)

Metade do ângulo de descarga do bocal, � (graus)

CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM37

Problema *4.89

Dados: Jato de ar atingindo um disco de diâmetro D � 200 mm, conforme mostrado.

Determine: (a) A deflexão do manômetro.(b) A força para reter o disco.

Solução: Aplique as equações de Bernoulli e da quantidade de movimento. Use o VC mostrado.Equações básicas:

( )

tan

( ) ( )

5

2

0 5 0 1

2p Vgz cons te

F Ft

u d u V dAS BSCVC

x x

�

� �

� � �

� �

� � � �∂∂

∀ ∫∫r r

Considerações: (1) Escoamento permanente.(2) Escoamento incompressível.(3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente.(4) Despreze o atrito.(5)

FBx � 0.

(6) Escoamento uniforme no jato.

Aplique Bernoulli entre a saída do jato e o ponto de estagnação

p V po p p Vo

o� �

�� � � � �2

2

2

1

2;

Da hidrostática,

p p SG g h

Assim hV

SG g

V

SG g

hkg

m

m

s

m

kg

s

mm ou mm h

o H O

H O H O

� � �

� � �

� � � � � � � �

�

�

�

�

�

2

2 2

12

2

1 23 501

2 1 75 999 9 810 0896 89 6

22

32

2

2

3 2

,

, ( )( , ) ,

, , ←

CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM38

Da quantidade de movimento,

R u VA u VA V A

u V u

Rkg

m

m

sm

N s

kg mN para a R

x

x x

� � � ��

� �

�� � � ��

���

1 22

1 2

32

2

22 2

2

0

1 23 504

0 01 0 242

� � �

�

{ } { }

← , ( ) ( , ) , ( )esquerda

Essa é a força necessária para manter a placa estacionária.A “força” do jato sobre a placa é

K R N para ax x� � � 0 242, ( )direita

Problema *4.91

Dados: Jato escoando para baixo, atingindo um disco horizontal, conforme mostrado.

Determine: (a) A velocidade do jato em h.(b) Uma expressão para a força necessária para manter o disco estacionário.(c) Avalie para h � 1,5 m.

Solução: Aplique as equações de Bernoulli e da quantidade de movimento. Use o VC mostrado.Equações básicas:

( )

tan

( ) ( )

5

2

0 6 0 1

2p Vgz cons te

F Ft

w d w V dAS BVC SC

z z

�

� �

� � �

� �

� � � �∂∂

∀∫ ∫r r

Considerações: (1) Escoamento permanente.(2) Escoamento incompressível.(3) Escoamento ao longo de uma linha de corrente.(4) Escoamento sem atrito.(5) Pressão atmosférica agindo ao longo do jato.

(6) Despreze a massa de água sobre o disco, FBz � 0.

(7) Escoamento uniforme em cada seção.

CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM39

A equação de Bernoulli torna-se

Vgh

Vg o ou V V gh V V gh V0

2 22

02

02

2 22 2� � � � � � �( ) ; ←

Da equação da quantidade de movimento

R VA V A V A

V

z o o� � � � � � � �

� � � � �

1 22

1 2 0

� � �{ } { }

Mas, da continuidade

˙ . , ,

, ,

, ( , ) ( , ) , ,

m V A VA Assim VA V A e

R V A V V A V gh R

Para h m

Rkg

m

m

sm

m

s

m

sm

o o o o

z o o o o o

z

z

� � �

� � �

�

� � � � � �

� �

� �

�

2

32 2 2

2

2 2

2

1 5

999 1 54

0 015 1 5 2 9 81 1 5

←

←

1 2 2

1 49

/

, ( )

N s

kg m

R N força Rz z

�

�

� para cima

Problema *4.93

Dados: Corrente de ar na condição padrão atinge um defletor curvo. Um tubo de estagnação conectado a um manômetro deágua está instalado no plano de saída do bocal.

Determine: (a) A velocidade do ar deixando o bocal.(b) A componente horizontal da força exercida pelo jato sobre o defletor.(c) Comente sobre cada uma das considerações feitas na solução do problema.

Solução: Aplique a definição de pressão de estagnação e a componente x da equação da quantidade de movimento.Por definição,

p p Var0

21

2� � �

Tubo deestagnação

Defletor fixo

Ar

Aberto

Água

Jato dear livre

CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM40

Da estática dos fluidos,

p p g hágua0 � � � �

Combinando,

� ��

�água ar

água

ar

g h V ou Vg h

Vslug

ft

ft

sin

ft

slug

ft

inft s V

� � ��

� � � � � � �

1

2

2

2 1 94 32 2 70 00238 12

175

2

3 2

312

, , ., .

/

←

A equação da quantidade de movimento é

� �

� � � �

0 2 0 3( ) ( )

F Ft

u d u V dAS BSCVC

x x

∂∂

∀ ∫∫ � �r r

Considerações: (1) Não existem forças de pressão.(2)

FBx � 0.

(3) Escoamento permanente.(4) Escoamento uniforme.(5) Velocidade constante no defletor.

Então,

R u VA u VA V A

u V u V

Rslug

ft

ft

sft lbf

x

x

� � � � � �

� � �

� � � � � � �

1 22

1 2

32

2

2

2

2

1

0 00238 1754

2

121 30 2 97

� � �

�

{ } { }

°

( cos )

cos

, ( ) ( cos ) ,

A força do ar no defletor é

K R lbf para a Kx x x�� �� 2 97, ( )direita ←

Comentários sobre cada consideração usada para resolver este problema:

• Escoamento sem atrito no bocal é uma boa aproximação.• Escoamento incompressível é uma boa aproximação para esse escoamento de baixa velocidade.• Nenhuma componente horizontal da força de campo é exata.• Nenhuma força de pressão resultante sobre o volume de controle é exata.• Escoamento sem atrito ao longo do defletor não é realista; o escoamento de ar ao longo do defletor deve ser desacelerado

por atrito, reduzindo o fluxo de quantidade de movimento na saída.

Problema *4.96

Dados: Bocal plano descarregando água em regime permanente e atingindo uma placa inclinada. Despreze o atrito no bocale ao longo da superfície da placa.

CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM41

Determine: (a) A pressão manométrica mínima requerida na entrada do bocal.(b) Magnitude e sentido da força exercida pela corrente d’água sobre a placa inclinada.(c) Esboce um gráfico da distribuição de pressão ao longo da superfície da placa.

Solução: Aplique as equações da continuidade, da quantidade de movimento e de Bernoulli, usando as coordenadas e o VCmostrados.

Equações básicas:

V A V Ap V

gzp V

gz

R Ft

v d v V dAy BSCVC

y

1 1 2 21 1

2

12 2

2

22 2

0 6 0 3

� � � � � �

� �

� � � �

� �

� �

( ) ( )∂∂

∀ ∫∫r r

Considerações: (1) Escoamento sem atrito.(2) Escoamento incompressível.(3) Escoamento permanente.(4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente.(5) Escoamento uniforme em cada seção.

Então, da equação da continuidade,

V

A

AV

WV

mm

mm

m

sm s1

2

12 2

12 7

51 812 2 2 99� �

�� � �

,

,, , /

Bocal

Água

CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM42

Da equação de Bernoulli,

�

� � � � � � �

� � � � � � ��

��

0

2

1

2999 12 2 2 99 999 9 81 0 15 68 4

1 22

12

1 2 2 1 2

1 22 2

2

2 3

1

1

p V V g z z p z z h

pkg

m

m

s

kg

m

m

sm

N s

kg mkPa manométrica p

g g

g g

��( ) ( ) ;

( , ) ( , ) , , , ( )[ ]

←

Calcule V3 na ausência da placa usando Bernoulli (p2 � p3)

V V g H

m

s

m

sm s3 2

2 22

2 22 12 2 2 9 81 4 85 15 6

12

� � � � � � �( , ) , , , /

Da quantidade de movimento: Rx � 0, posto que não existe atrito na superfície da placa.

Considerações:(6) Despreze as massas da placa e da água sobre a placa.(7) Pressão atmosférica age sobre todo o volume de controle;

F RS yy � .

Então,

0 0

15 6 30 999 0 0155 209 209

3 3 4 4 5 5 3 3 3

3

3

R v m v m v m V Q visto que v V

Rm

s

kg

m

m

s

N s

kg mN K N K

y

y yy

� � � � � � � � � �

� � � � ��

�� � �

˙ ˙ ˙ cos , cos

, cos , ,

{ } { } { }

° ←

A pressão é máxima no ponto de estagnação e mínima (patm) em � e �. A pressão em a é maior que em b devido à curvatura dalinha de corrente.

CAP004/3 11/4/02, 2:32 PM43

Problema *4.100

Dados: Escoamento uniforme em espaço estreito entre placas paralelas, conforme mostrado. O fluido preenchendo esseespaço tem movimento horizontal apenas.

Determine: Expressão para p(x).

Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento.Equações básicas:

�

� � �

� �

� � � �

0 1

0

0 5 0 1

( )

( ) ( )

∂∂

∀

∂∂

∀

∫∫

∫ ∫

td V dA

F Ft

u d u V dA

SCVC

S BVC SC

x x

� �

� �

r r

r r

Considerações: (1) Escoamento permanente.(2) Escoamento incompressível.(3) Escoamento uniforme em cada seção.(4) Atrito desprezível.

(5) FBx � 0.

Então,

0

0 0 0

� � � � � � ��

� � � � � �

��

� � � ��

r rV dA V h

Q

Ldx V dV h hdV

Q

Ldx

VQ

h

x

Lc c pois V V x

Q

h

x

L

VC∫ { }

{ }( ) ;

; ( ) ; ( )

Da quantidade de movimento,

p h p dp h u V h uQ

hdx u V dV h

u V u u d V dV

x dx x dx

x dx x x

� � � � � � � � ��

� � � � �

� � � � �

�( ) ( )� � �{ }

{ }0

CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM44

Da continuidade,

( )V dV h V h Q

dx

L� � � � �

logo

� � �� � � � � � �

�� � � � � � � �

dp h V h V dV V h Qdx

L

V h V h V hdV V Qdx

LQ dV

dx

L

� �

� � � � �

2

2 2

0 ) (

Desprezando produtos de diferenciais (dVdx � dx), e com dV

Q

h

dx

L�

�

� � ��

��

�� �

� ��

���

�

� � ��

dp VdVV Q

h

dx

LV

Q

h

dx

L

V Q

h

x

L

Q

h

dx

L

dpQ

hLxdx p x

Q

hLx C

Se p p então p xQ

h

x

L p x

��

��

� �

�

2

0

2 2

2

0 0

2 2

←

( )

( ) , ( )( )

p

Problema 4.107

Dados: Jato de água atingindo uma pá móvel conforme mostrado.

Determine: A força necessária para manter a velocidade da pá constante.

Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento usando o VC móvel mostrado.

Equações básicas:

� �

� � � �

� �

� � � �

0 2 0 3

0 2 0 3

( ) ( )

( ) ( )

F Ft

u d u V dA

F Ft

v d v V dA

S B xyzVC

xyzSC

xyz

S B xyz xyz xyzSCVC

x x

y y

∂∂

∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫∫

� �

� �

r r

r r

CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM45

Considerações: (1) Nenhuma força resultante de pressão sobre VC; F R F RS x S yx y� �,

(2) FBx � 0. ; despreze FBy .

(3) Escoamento permanente relativo à pá.(4) Escoamento uniforme em cada seção.(5) Área do jato e velocidade relativa à pá constantes.

Todas as velocidades devem ser relativas ao VC. Então,

R u V U A u V U A

u V U u V Ue

R V U A

kg

m

m

smm

m

mm

N s

kg m

R N para a R

x

x

x x

� � � � �

� � � �

� � �

� � ��

�

��

1 2

1 2

2

32

2

22

2

6 2

1

999 30 15 60010

90 1

135

� �

�

( ) ( )

( )cos

( ) (cos )

( ) (cos )

( )

{ } { }

°

← esquerda

Também,

R v V U A v V U A

v v V U sen

R V U A sen

kg

m

m

smm

m

mmsen

N s

kg mN

R N a força deve ser para R

y

y

y y

� � � � �

� � �

� �

� � �

��

�

1 2

1 2

2

32

2

22

2

6 2

2

0

999 30 15 60010

90 135

135

� �

�

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

{ } { }

°

← cima

Problema 4.109

Dados: Prato circular com orifício e jato movendo-se conforme mostrado.

Determine: A força requerida para manter o movimento do prato.

CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM46

Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC movendo-se com o pratocomo mostrado.

Equações básicas:

�

� � �

� �

� � � �

0 1

0

0 3 0 1

( )

( ) ( )

∂∂

∀

∂∂

∀

∫∫

∫ ∫

td V dA

F Ft

u d u V dA

xyzSCVC

B S xyzVC

xyzSC

x x

� �

� �

r r

r r

Considerações: (1) Escoamento permanente relativo ao VC.(2) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC.

(3) Horizontal; FBx � 0.

(4) Escoamento uniforme em cada seção.(5) Nenhuma variação na velocidade do jato relativa à pá.(6) Escoamento incompressível.

Então,

04 4

4 40 020 0 010 2 36 10

2 2

3 4

3 42 2 2 2 2 4 2

� � � � � � �

� � � � � �

r rV dA V U

D dA

A D d m m

xyzSC∫

[ ]

( ) ( )

( ) ( , ) ( , ) ,

,

,

� �

� �

Da equação da quantidade de movimento,

R u V UD

u V Ud

u V U A

u V U u V U u V U

R V UD

V Ud

V U

x

x

� � � � � � � � �

� � � � �� �

�� � � � � �

1

2

2

2

3 3 4

1 2 3

22

22

2

4 4

40

4 4

��

��

�

��

��

�

( ) ( ) ( )

( ) cos

( ) ( ) ( )

,

{ }

°

��

��

440

41 40

999 30 10 2 36 10 1 40

167

2 2

2 2 2

32

2

24 2

2

( ) cos

( ) ( ) ( cos )

( ) , ( cos )

( )

D d

V U D d

kg

m

m

sm

N s

kg m

R N a força deve ser aplicada para a Rx x

�

�� � � �

�� � � �

�

��

�

°

°

°

← direita

{Nota: Ry � Mg, pois não há fluxo líquido de quantidade de movimento na direção y.}

CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM47

Problema 4.114

Dados: Uma série de pás atingidas por jatos contínuos, conforme mostrado.

Determine: (a) O ângulo do bocal, �.(b) A força para manter a velocidade das pás constante.

Solução: Aplique a equação da quantidade de movimento usando o VC móvel com as pás como mostrado.Equação básica:

� �

� � � �

0 2 0 3( ) ( )

F Ft

u d u V dAS B xyzVC

xyz xyzSC

x x

∂∂

∀∫ ∫� �r r

Considerações: (1) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC.

(2) Horizontal; FBx � 0.

(3) Escoamento permanente relativo ao VC.(4) Escoamento uniforme em cada seção.(5) Nenhuma variação na velocidade relativa sobre a pá.(6) Escoamento entra e sai tangencialmente às pás.

O ângulo do bocal pode ser obtido por trigonometria. O triângulo de velocidades para a entrada é mostrado no esquema:

Da lei de senos,

sen

V

sen

V

sen

U

senU

Vsen sen sen

Do esquema de velocidades o

Também V

rb

rb

�

� �

��

�

� � � �

� � � � � � � � � � �

� �

(

( ),

( )

, , log ,

cos

90

9050

86 6120 30

90 90 90 30 30 30

1

11

1

1

1

)

1

°

°

° ° ° ° ° ° ←

,, ;cos

,cos

, /� � � �V sen V Vsen m

s

senm srb�

�

1

86 630

3050 0

°°

CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM48

Da equação da quantidade de movimento (considere a vazão total m dos escoamentos através das pás)

R u m u m V sen m V sen m V m sen sen

u V sen u V sen R m V

x rb rb rb

rb rb y rb

� � � � � � � � �

� �� � � �

1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 2

˙ ˙ ( ˙ ) ( ˙ ) ˙ ( )

, ; ˙ ( cos cos )

{ } { }

Dessa forma, como ,m Q� �

R V Q sen sen

m

s

kg

m

m

ssen sen

N s

kg m

R kN para a R

x rb

x x

� � �

� � � �

�

��

� ( )

, ( )

, ( )

1 2

3

3 2

50 999 0 170 30 45

10 3

° °

← esquerda

{Nota: A força resultante sobre o VC na direção y é Ry � �1,35 kN.}

Problema 4.122

Dados: Catapulta hidráulica do Problema 4.118 deslocando-se sobre trilha horizontal com resistência F kUD � 2, velocidadeU, partindo do repouso em t � 0.

Determine: (a) Instante de aceleração máxima.(b) Esquema da aceleração versus tempo.(c) Valor de para maximizar aceleração, por quê?(d) Se U alcançará V em algum momento; explique.

Solução: Aplique a componente x da quantidade de movimento ao VC em aceleração.Equação básica:

�

� � � � �

0 2 0 3( ) ( )�

F F a dt

u d u V dAS B rfxVC

xyz xyz xyzSCVC

x x � � �∀ ∂∂

∀∫ ∫∫r r

Considerações: (1) F F kUS Dx �� �� 2, onde k � 0,92 N�s2/m2.

(2) Horizontal; FBx � 0 .

(3) Despreze a massa da água sobre o defletor.(4) Escoamento uniforme no jato.(5) Nenhuma variação na velocidade relativa sobre o defletor.

CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM49

Então,

� � � � � � � � �� � �

� � �� �

��

� �

kU a M u V U A u V U A sen V U A

u V U u V U sen

ou

dU

dt

A sen

MV U kU M

rfx vc

vcvc

21 2

2

1 2

2 2

1

1

� � �

�

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) /

{ } { }

(1)

(a) A aceleração é máxima para t � 0, quando U � 0. ← (b) A aceleração como função do tempo será

(c) Da Eq. 1, dU/dt é máximo quando � �/2 e sen � 1dudt

máx.←

(d) Da Eq. 1, dU/dt irá a zero quando U � V; isto corresponderá à velocidade terminal para o veículo, Ut. Da Eq. 1, dU/dt �0 quando

ou

�

�

�

A sen V U kU

U

A senk

A senk

V V

( ( )

( )

(,

/

/

1

1

11

0 472

2 2

1 2

1 2

� � �

�

�

��

�

)

U será assintótico em relação a V.

Problema 4.124

Dados: Veículo com pá defletora deslocando-se com resistência desprezível.

a m s cons terfx � �2 2/ tan

A área do jato é A(t), programada.

tendência assintótica a zero

CAP004/4 11/6/02, 9:29 AM50

Determine: (a) Expressão para A(t).(b) Esquematize para t � 4s.(c) Avalie para t � 2s.

Solução: Aplique a quantidade de movimento segundo x ao VC com aceleração linear.Equação básica:

� �

� � � � �

0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )�

F F a dt

u d u V dAS B rfxVC

xyzVC

xyzSC

xyzx x � � �∀ ∂∂

∀∫ ∫ ∫r r

Considerações: (1) Nenhuma resistência ao movimento.

(2) Movimento horizontal, logo FBx � 0.

(3) Despreze massa de líquido no VC.(4) Escoamento uniforme em cada seção.(5) Todas as velocidades medidas em relação ao VC.(6) Nenhuma variação na área da corrente ou na velocidade sobre a pá.

Então (com a arfx � ),

� � � � � � � �� � �

� � � � �� �

a M u V U A u V U A V U A

u V U u V U V U

1 22

1 2

3

2

1201

2

� �( ) ( ) ( )

( ) cos ( )

{ } { }

°

Como a � constante, U � at e

A A ta M

V at A t

Em t A AaM

V

AssimA

A at

� ��

� � �

��

( )( ) ( )

, ( ) .

,( )

2

3

0 02

3

1

1

2

0 2

02

�

�

←

Esquema:

Para t � 2s,

Am

skg

m

kg ms

ms

s

mm

mmm A�

�

�2

32 3

999

1

10 2 2

10 111 22

3

2

26

2

22

← ( )

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM51

Problema 4.127

Dados: Foguete trenó desacelerado por concha arrastando água. Arrasto aerodinâmico proporcional a U2. Para U0 � 300 m/s, FD � 90 kN. Largura da concha, w � 0,3 m.

Determine: A profundidade de imersão da concha para reduzir a velocidade a 100 m/s após percorrer a distância L.

Solução: Aplique a componente x da equação de quantidade de movimento usando o VC com aceleração linear mostrado.Equação básica:

�

� � � � �

0 1 0 2( ) ( )�

F F a dt

u d u V dAS BVC

rfx xyz xyz xyzSCVC

x x ∫ ∫∫∀ ∂∂

∀� � �r r

Considerações: (1) FBx � 0.(2) Despreze taxa de variação de u dentro do VC.(3) Escoamento uniforme em cada seção.(4) Nenhuma variação na velocidade relativa do líquido na concha.

Então,

� � � � � �

� � �

� � �

��

� � � � �

�

F Ma u Uwh u Uwh h imersão da concha

u U u U

Mas F kU kF

UkN

s

m

N

kN

kg m

N skg m

kU MdU

dtU wh posto que a dU dt

Assim

D rfx

DD

rtx

1 2

1 2

2 0

0

2

2 2

3

2

2 2

2

90300

101 00

1

� �

�

{ } { };

cos

;( )

, /

( cos ), / .

, MMdU

dtk wh U MU

dU

dX

oudU

UCdX onde C

k wh

M

IntegrandoU

UCX o C

X

U

U

Cm

m

� � � � �

� � �� �

� � � �

� � � � �

�

�

( cos

,( cos )

, ln , log ln

ln ,

1

1

1

1

800

100

3001 37 10

2

0 0

3 1

)[ ]

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM52

Resolvendo para h hMC k

w

h kgm

kg

m

m

kg mm

h mm h

,( cos )

,,

, cos,

,

��

�

�

� �

�

�

�

� 1

80001 37 10

1 00999

1

0 3

1

1 300 0179

17 9

3 3

°( )

←

Problema 4.143

Dados: Foguete trenó com massa inicial de 4000 kg, incluindo 1000 kg de combustível. A resistência ao movimento é dadapor kU com k � 75 N/m/s.

Determine: A velocidade do trenó 10 s após a partida do repouso.

Plote: A velocidade e a aceleração do trenó como funções do tempo.

Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linear mostrado.Equação básica:

�

� � � � �

0 2 0 3( ) ( )

( )F F a dt

u d u V dAS B rfxVC

xyzVC

xyz xyzSC

x x � � �∀ ∂∂

∀∫ ∫ ∫r r

Considerações: (1) pe � patm (dado), logo F FS Rx �� .

(2) FBx � 0.

(3) Despreze efeitos transientes dentro do VC.(4) Escoamento uniforme no plano de saída.

Então,

� � � � �� � ��F a M u m V m F kU VR rfx e e R e

˙ ˙ ,{ } { }ue

Da continuidade, M M mt� �0˙ . Substituindo com

a

dU

dtrfx �

� � � ��

��

� ��

�

� � �

kU M mtdU

dtV m

dU

dt

V m kU

M mtou

dU

V m kU

dt

M mt

Integrandok

V m kUm

M mt

e

e

e

eU t

( ˙ ) ˙

˙

˙ ˙ ˙

, ln ( ˙ ) ln ( ˙ )

0

0 0

0 0 0

1 1] ]

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM53

e

V m kU

V m

kU

V m

k

m

M mt

M

k

m

mt

M

EntãokU

V m

mt

Me

UV m

k

mt

M

e

e e

e

k m

e

k m

ln˙

˙ln (

˙ ˙ln

˙

˙ln (

˙

,˙

(˙

˙ ˙

/ ˙

/ ˙

�� �

�� �

� � �

� � �

( )

1 1

1 1

1 1

0

0 0

0

0

←

Para t s

Um

s

kg

s

m

N s

N s

kg m

kg

ss

kg

N s

m

s

kg

kg m

N s

U m s U

�

� �

�

�� �

�

�

�

�

10

1500 9075

1 1 90 101

400075

90

344

2

2

/

(1)

Problema 4.145

Dados: Motocicleta com foguete de propulsão, para saltos, acelerando-se em pista horizontal. Velocidade necessária, Uj �875 km/h. Velocidade de descarga do foguete, Ve � 2510 m/s. Massa total, MB � 375 kg (sem combustível).

Determine: A massa mínima de combustível necessária para alcançar Uj.

Solução: Aplique a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC em aceleração mostrado.

Da continuidade,

M M mtvc � �0˙

Equação básica:

� �0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )�

� � � � �F F a dt

u d u V dAS B rfxVC

xyzVC

xyzSC

xyzx x � � �∀ ∂∂

∀∫ ∫ ∫r r

Considerações: (1) Despreze resistências do ar e de rolamento.

(2) Movimento horizontal, logo FBx � 0.

(3) Despreze efeitos transientes dentro do VC.(4) Escoamento uniforme no plano de saída do bocal.(5) Pe � Patm.

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM54

Então,

� � � �� � ��

��

a M u m V m oudU

dt

V m

M

V m

M mt

u V

rfx vc e ee

vc

e

o

e e

˙ ˙˙ ˙

˙{ }

Separando variáveis e integrando,

dU Vmdt

M mtou U V M mt V

M

M mt

Mas M M M e M mt por to

U

V

M M

M

M

M

M

M

eo

j e o ot

eo

o

o B F F

j

e

B F

B

F

B

F

� ��

�� � � �

�

� � �

��

� � �

˙

˙ln( ˙ ) ln

˙

˙ , tan ,

ln ln ;

1 1BB

U V F

B

Uj V

F BUj V

F

F

eM

Me

Finalmente M M e

M kgkm

h

s

m

m

km

h

s

M kg M

j e e

e

F

� � �

� �

� �

�

/ /

/

;

, ( )

exp

,

1

1

375 8752510

10003600

1

38 1

←

A massa de combustível requerida é cerca de 10% da massa da motocicleta � motociclista.

Problema 4.155

Dados: Tanque movimentado por jato ao longo de pista horizontal. Resistência desprezível. Aceleração a partir do repouso.Massa inicial, M0.

Determine: (a) Aplique a continuidade e a componente x da quantidade de movimento para mostrar que

M � Mo V/(V � U)

(b) Expressão geral para U/V como uma função do tempo.

Solução: Aplique a continuidade e a componente x da equação da quantidade de movimento ao VC com aceleração linearmostrado.

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM55

Equações básicas:

0

0 1 0 2 0 3

� � �

� �

� � � � �

∂∂

∀

( )∀ ∂

∂∀

∫ ∫

∫ ∫ ∫

td V dA

F F a dt

u d u V dA

VCxyz

SC

S B rfxVC

xyzVC

xyzSC

xyzx x

� �

� � �

r r

r r( ) ( ) )�

Considerações: (1) FSx � 0.

(2) FBx � 0.

(3) Despreze u dentro do VC.(4) Escoamento uniforme no jato.

Da continuidade,

0 � � � � � �

∂∂ { }t

M V U A oudM

dtV U Avc � �( ) ( )

Da quantidade de movimento,

� �� � � � � � � � � �

� � �� �

� ��

�� � � � �

�

a MdU

dtM u V U A V U V U A u V U

Mas da continuidade V U AdM

dte dU d V U por to

dU

dtM

d V U

dtM V U

dM

dtou M V U cons te M V

Assim M M

rfx

o

o

� �

�

( ) ( ) ( ) ;

, ( ) , ( ), tan ,

( )( ) ( ) tan

,

{ } [ ]

VV V U M/( )� ←

Substituindo na quantidade de movimento,

� �

�

��� �

dU

dtM

d V U

dt

M V

V UV U Ao( )

( )( )� 2

ou

d V U

V U

A

VMdt

o

( )

( )

�

�� �

3

�

Integrando,

d V U

V U V U V

A

VMdt

A

VMt

V

V U

oo

t

o

( )

( ) ( )

�

���

�� �� ��

��

3 2 2

1

2

1 1∫ ∫

�

Resolvendo,

U

V VAM

tUV

� �

��

11

12

0

1 2

←

/

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM56

Problema 4.158

Enunciado: Vários fabricantes de brinquedos vendem “foguetes” de água que consistem de tanques de plástico que sãoparcialmente enchidos com água e pressurizados, em seguida, com ar. Quando liberado, o ar comprimido força a águarapidamente para fora do bocal, impulsionando o foguete. Você foi chamado para auxiliar na especificação das condiçõesótimas para o sistema de propulsão a jato d’água. Para simplificar a análise, considere apenas o movimento horizontal. Façaa análise e o projeto necessários para definir o desempenho de aceleração do foguete com propulsão a jato d’água e arcomprimido. Identifique a fração do volume do tanque que deveria ser inicialmente preenchido com ar comprimido paraalcançar o desempenho ótimo (isto é, a máxima velocidade obtida com a carga d’água). Descreva o efeito da mudança napressão inicial do ar no tanque.

Discussão: O processo pode ser modelado como uma expansão politrópica do ar aprisionado que força um jato d’água a sairpelo bocal, causando a aceleração do “foguete”. O expoente politrópico pode ser variado para modelar qualquer coisa entreum processo de expansão isotérmica (n � 1) até um processo de expansão adiabática (n � k), o qual é provavelmente omodelo mais adequado para a expansão súbita do ar.

A velocidade do jato d’água deixando o “foguete” é proporcional à raiz quadrada da diferença de pressão entre o tanquee a atmosfera.

Qualitativamente, é aparente que, quanto menor for a fração inicial em volume de ar aprisionado, maior será a razão deexpansão do ar e mais rápida será a redução da pressão quando o ar se expande. Isto causará uma queda rápida na velocidadedo jato d’água. A combinação da baixa velocidade do jato d’água e a massa relativamente grande de água produzirá umaaceleração lenta.

O aumento na fração inicial em volume de ar reduzirá a razão de expansão, logo, pressões mais altas serão mantidas pormais tempo no tanque e o jato d’água manterá velocidades maiores por tempos mais longos. Isto, combinado com a massarelativamente pequena de água no tanque, produzirá aceleração rápida.

Se a fração inicial em volume de ar é muito grande, toda a água será gasta antes que a pressão do ar seja reduzidasignificativamente. Nesta situação, uma parte da energia do ar armazenado será dissipada num jato de ar relativamenteineficaz. Conseqüentemente, para cada pressão inicial no tanque existe uma fração ótima de ar.

Este problema não pode ser resolvido com formulação analítica devido às variações na pressão e na vazão mássica do are na massa de água no tanque; ele só pode ser resolvido numericamente. Um possível esquema de integração é dar incrementosde tempo e resolver para todas as propriedades do sistema em cada instante. A desvantagem deste esquema é que a água éexaurida em um incremento de tempo par, o que não é de todo razoável. Um segundo esquema é dar incrementos ao volumede água remanescente e resolver para as propriedades, usando a vazão média durante o intervalo. Este esquema é delineadoa seguir.

Modele o “foguete” com propulsão a jato de água e ar, usando o VC e as coordenadas mostradas.

Primeiro, escolha as dimensões e a massa do “foguete” a ser simulado:

Dados de Entrada:

Diâmetro do jato: Dj � 0,003 mDiâmetro do tanque: Dt � 0,035 mComprimento do tanque: L � 0,1 mMassa do tanque: Mt � 0,01 kgExpoente politrópico: n � 1,4 —

Em seguida, escolha condições iniciais para a simulação (veja exemplo de cálculos a seguir):

Água Ar

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM57

Condições Iniciais:

Fração de ar no tanque: � � 0,5 —Pressão no tanque: p0 � 200 kPa (manométrica)Incremento de volume: �� � 0,02 —

Calcule parâmetros de referência:

Parâmetros Calculados:

Área do jato: Aj � 7,07E-06 m2

Volume do tanque: �t � 9,62E-05 m3

Massa inicial de ar: �0 � 4,81E-05 m3

Massa inicial de água: M0 � 0,0481 kg

(Estes parâmetros são usados na planilha a seguir.)

Diminua, então, a fração de água no tanque de ��:

Resultados dos Cálculos:

Velocidade Vazão Intervalo Tempo Aceleração VelocidadeFração Pressão Massa do Jato Mássica de Tempo Corrente do do

de Água Manométrica de Água Mw Vj (m/s) dm/dt �t t (s) “Foguete”, a “foguete”, U�w/�t(—) p (kPa) (kg) (kg/s) (s) (m/s2) (m/s)

0,50 200 0,0481 20,0 0,141 0 0 48,7 00,48 184 0,0461 19,2 0,135 0,0139 0,0139 47,5 0,668

O cálculo é feito como segue:

(1) Diminua � de ��(2) Calcule p de

p po

on

�∀∀

p kPa kPa manométrica� � � �( , )

,

,, , ( )

,

200 101 3250 50

0 52101 325 183 9

1 4

(3) Use Bernoulli para calcular a velocidade do jato

V

p N

m

m

kg

kg m

N sm sj �

��

�

��

22 183 9 10

99919 103

2

3

2

12

�, , / *

(4) Calcule a massa de água usando �(5) Use a conservação da massa para calcular a vazão

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM58

˙ , , , /m V A

kg

m

m

sm kg sj j� � ��� 999 19 10 7 07 10 0 1349

36 2

(6) Use a vazão média durante o intervalo para aproximar �t:

� �

��

�� � �t

m

dm dt

m

mkg

s

kgs

/ ˙( , , )

,, *0 0481 0 0461

0 1380 01449

(7) Use a quantidade de movimento para calcular a aceleração (note que M � Mw � Mt):

a

mV

M

kg

s

m

s kgm srfx

j� �

��

˙, ,

, ,, / *0 135 19 2

1

0 0461 0 010046 2 2

(8) Finalmente, use a aceleração média para obter a velocidade

U U a t

m

sm s� � � � � �0 2

0 48 1 0 01395 0 669, , , / *

Repita esses cálculos até que a água seja esgotada ou a pressão do ar caia a zero, como mostrado a seguir:

Velocidade Vazão Intervalo Tempo Aceleração VelocidadeFração Pressão Massa do Jato Mássica de Tempo Corrente do do

de Água Manométrica de Água, Mw Vj (m/s) dm/dt �t t (s) “Foguete”, a “Foguete”, U�w/�t(—) p (kPa) (kg) (kg/s) (s) (m/s2) (m/s)

0,50 200 0,0481 20,0 0,141 0 0 48,7 00,48 184 0,0461 19,2 0,135 0,0139 0,0139 47,5 0,6680,46 169 0,0442 18,4 0,130 0,0145 0,0284 45,2 1,340,44 156 0,0423 17,7 0,125 0,0151 0,0435 43,1 2,010,42 143 0,0404 16,9 0,120 0,0157 0,0592 41,2 2,670,40 132 0,0384 16,3 0,115 0,0164 0,0756 39,4 3,330,38 122 0,0365 15,6 0,110 0,0171 0,0927 37,8 3,990,36 112 0,0346 15,0 0,106 0,0178 0,110 36,2 4,650,34 103 0,0327 14,4 0,101 0,0186 0,129 34,8 5,310,32 94,6 0,0308 13,8 0,0972 0,0194 0,148 33,5 5,970,30 86,8 0,0288 13,2 0,0931 0,0202 0,169 32,2 6,630,28 79,5 0,0269 12,6 0,0891 0,0211 0,190 31,0 7,300,26 72,7 0,0250 12,1 0,0852 0,0221 0,212 29,9 7,970,24 66,3 0,0231 11,5 0,0814 0,0231 0,235 28,9 8,650,22 60,4 0,0211 11,0 0,0776 0,0242 0,259 27,9 9,340,20 54,7 0,0192 10,5 0,0739 0,0254 0,284 26,9 10,00,18 49,4 0,0173 9,95 0,0702 0,0267 0,311 26,0 10,70,16 44,4 0,0154 9,43 0,0666 0,0281 0,339 25,2 11,50,14 39,7 0,0135 8,92 0,0630 0,0297 0,369 24,3 12,20,12 35,2 0,0115 8,40 0,0593 0,0314 0,400 23,5 12,90,10 31,0 0,00961 7,88 0,0556 0,0334 0,434 22,7 13,70,08 27,0 0,00769 7,35 0,0519 0,0357 0,469 22,0 14,50,06 23,2 0,00577 6,81 0,0481 0,0384 0,508 21,2 15,30,04 19,6 0,00384 6,26 0,0442 0,0416 0,550 20,4 16,20,02 16,1 0,00192 5,68 0,0401 0,0456 0,595 19,5 17,10,00 12,9 0,0000 5,07 0,0358 0,0506 0,646 18,6 18,1

*Note o efeito do erro de arredondamento.

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM59

Nesta simulação, a água é esgotada quando t � 0,65 s; Vmáx � 18,1 m/s.Mudanças na fração inicial de ar produzem o seguinte:

Para essa combinação de parâmetros, uma velocidade máxima de cerca de 20,8 m/s é atingida com uma fração inicial de arde 0,66, aproximadamente.

Problema 4.159

Dados: Jato vertical incidindo sobre um disco. O disco pode mover-se livremente na vertical.

Determine: (a) Equação diferencial para h(t), se o disco for solto de uma altura H � h0, sendo h0 a altura deequilíbrio.

(b) Esboce h(t) e explique.

Solução: Aplique a equação de Bernoulli ao jato e, em seguida, a componente y da equação da quantidade de movimento aoVC com aceleração linear.

Equações básicas:

�

� � � � �

�

� � � � �

0

2 2

0 6 0 7

0 02

01 1

2

1

p Vgz

p Vgz

F a dt

v d v V dAB rfyVC

xyzVC

xyzSC

xyzy

� �

� � �

( ) ( )�

FSy ∀ ∂∂

∀∫ ∫ ∫r r

Vel

oci

dad

e m

áxim

a, V

máx

(m/s

)

Fração inicial de ar, �(––)

(manométrica)

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM60

Considerações: (Os itens de 1 a 4 aplicam-se apenas ao jato.)

(1) Escoamento permanente.(2) Escoamento incompressível.(3) Atrito desprezível.(4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente.(5) p1 � p0 � patm.(6) Nenhuma força de pressão sobre VC, logo

FSy � 0.

(7) Massa de líquido desprezível no VC e v � 0 no VC.(8) Escoamento uniforme em cada seção.(9) Velocidades medidas em relação ao VC.

Da quantidade de movimento

� �

�

0 7 0 7

0

1 1 1 21

2

1 1 2

2

2

2

2 1

2

1

( ) ( )( ) ( ) ( ) ˙

, ,

� � � � � � � �

� �

� �

� � �� �

� �M m g a M m v V U A v m

v V U v

Com ad h

dtU

dh

dtentão

Mg Md h

dtV

dh

dtA

rfy

rfy

�

�

{ } { }

Mas, de Bernoulli,

V Vgz por to V V gh pois z h t1

202

1 1 02

12 2

2� � � � �, tan , , ( )

Também da continuidade, V1A1 � V0A0, logo, A1 � A0V0/V1. Substituindo,

d h

dtV gh

dh

dt

A V

M V ghg

Eq Diferencial p h t

Para a altura de equilíbrio h hdh

dte

d h

dtEntão

V gh A V Mg

E assim V ghMg

V

oo o

o

o

o o o o

o oo

2

22

2

2

2

2

2

2

22

0 0

2 0

2

� � ��

�

� � �

� � �

� �

�

�

�

← . / ( )

, , . ,

,AAo

2

Esta equação pode ser resolvida para obter

hV

g

Mg

V A

V

g

Mg

mVo

o

o o

o

o

� � � �2

2

22

2

21

21

�

˙

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM61

Quando o disco é liberado, H � h0 e dh/dt � 0. Visto que a equação para d2 h/dt2 é não-linear, oscilações ocorrerão. Ocomportamento esperado é esboçado a seguir:

Notas: (1) Oscilações esperadas.(2) �h3 � �h2 � �h1, devido à equação não-linear.

Problema *4.163

Enunciado: Uma demonstração em classe da quantidade de movimento linear é planejada, usando-se um sistema de propulsãoa jato d’água para um carrinho trafegando sobre uma pista reta horizontal. O comprimento da pista é de 5 m e a massa docarrinho é de 155 g. O objetivo do projeto é obter o melhor desempenho para o carrinho, usando 1L de água contida em umtanque cilíndrico aberto feito de folha plástica com massa específica de 0,0819 g/cm3. Para estabilidade, a altura máxima dotanque de água não pode exceder 0,5 m. O diâmetro do orifício bem arredondado do jato d’água não pode exceder 10% dodiâmetro do tanque. Determine as melhores dimensões para o tanque e para o jato d’água, modelando o desempenho dosistema. Plote aceleração, velocidade e distância como funções do tempo. Determine as dimensões ótimas para o tanque deágua e para o orifício do jato no tanque. Discuta as limitações de sua análise. Discuta como as suposições afetam o desempenhoprevisto para o carrinho. Seria o desempenho real do carrinho melhor ou pior do que o previsto? Por quê? Que fatoresinfluenciam a(s) diferença(s)?

Discussão: A solução é uma extensão do Problema *4.162. A análise para o nível do tanque, aceleração e velocidade éidêntica; retorne à solução do Problema *4.162 para as equações que descrevem cada uma dessas variáveis como funções dotempo.

Um novo aspecto deste problema é o cálculo da distância percorrida. A Eq. 7 do Problema *4.162 poderia ser integradaanaliticamente para fornecer uma equação para a distância percorrida como uma função do tempo. Contudo, a integral seriaconfusa e não levaria a um bom entendimento da dependência dos parâmetros chaves. Conseqüentemente, uma análisenumérica foi escolhida neste problema. Os resultados são apresentados em gráficos e planilhas a seguir.

Nós decidimos escolher velocidade como a saída a ser maximizada.Um segundo novo aspecto deste problema é a restrição geométrica: o comprimento máximo da pista é de 5 m. Intuitivamente,

o diâmetro do jato seria escolhido como a maior fração possível do diâmetro do tanque para o desempenho ótimo. Usando aplanilha para variar � d/D confirmamos esta escolha. Então, usamos a razão máxima permitida, � 0,1, para todos oscálculos.

A altura do tanque deve ser um fator de desempenho. A intuição sugere que aumentar a altura do tanque melhora odesempenho. A planilha mostra uma dependência muito fraca com a altura. O desempenho é melhor para alturas pequenasdo tanque, correspondendo ao mínimo de massa no tanque.

Quando a altura do tanque diminui, o diâmetro aumenta porque o volume do tanque é mantido constante. Como a razão dediâmetros é constante, o diâmetro do jato aumenta com a diminuição da altura do tanque. Este efeito praticamente anula oefeito da altura do tanque.

As principais limitações na análise são as suposições de resistência desprezível ao movimento e de inclinação zero para asuperfície livre da água no tanque. O desempenho real do carrinho seria, provavelmente, menor do que o previsto por causada resistência ao movimento.

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM62

A distância é modelada como

x x U t a ti i x i� � � � � �1 1

21

2,

A incerteza deste modelo para a posição é consistente com a incerteza do modelo do sistema de propulsão a jato d´água.Análise do carrinho impulsionado por jato d´água criado por gravidade:

Dados de Entrada:

g � 9,81 m/s2 Aceleração da gravidadeH � 500 mm Altura do tanqueMc � 0,155 kg Massa do carrinho� � 1,00 L Volume do tanque � 0,100 (—) Razão do diâmetro do jato para o diâmetro do tanque� � 999 kg/m3 Massa específica da água��� � 0,819 kg/m2 Massa específica do material do tanque (por área)

Parâmetros Calculados:

a � 0,471 (—) (a2 �) Razão da massa do tanque para a massa inicial de águab � 0,0313 s�1 Parâmetro geométrico da soluçãod � 5,05 mm Diâmetro do jato d’águaD � 50,5 mm Diâmetro do tanqueMc � 1,00 kg Massa inicial de água no tanqueMp � 0,0666 kg Massa de plástico do tanqueMt � 0,222 kg Massa de plástico do tanque mais carrinho

Resultados dos Cálculos:

Tempo, Nível Aceleração Velocidade Posiçãot y/H ax U X(s) (—) (m/s2) (m/s) (m)

0 1 0,161 0 00,5 0,903 0,160 0,080 0,02011,0 0,810 0,159 0,160 0,0801,5 0,723 0,158 0,239 0,1802,0 0,640 0,157 0,317 0,3192,5 0,583 0,158 0,395 0,4973,0 0,490 0,154 0,473 0,7143,5 0,423 0,153 0,550 0,974,0 0,360 0,152 0,626 1,264,5 0,303 0,151 0,702 1,605,0 0,250 0,150 0,777 1,975,5 0,203 0,148 0,852 2,376,0 0,160 0,147 0,925 2,826,5 0,123 0,145 1,00 3,307,0 0,0900 0,144 1,07 3,827,5 0.0625 0,142 1,14 4,378,0 0,0400 0,141 1,21 4,968,03 0,0388 0,141 1,22 5,009,0 0,0100 0,137 1,359,5 0,0025 0,135 1,42

10,0 0,0000 0,133 1,49

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM63

Problema *4.167

Dados: Borrifador de irrigação montado sobre um carrinho.

V � 40 m/s � 30°D � 50 mm Escoamento de águah � 3 m M � 350 kg

Nível de Água, Aceleração, Velocidade e Distância versus Tempo

Nív

el, A

cele

raçã

o, V

elo

cid

ade

e D

istâ

nci

a

Tempo, t (s)

Tempo, t (s)

Distância

Nível de água

Velocidade

Aceleração

Dis

tân

cia,

X (m

)

Distância versus Tempo

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM64

Determine: (a) Magnitude do momento que tende a derrubar o carrinho.(b) Valor de V de movimento iminente; natureza do movimento iminente.(c) Efeito da inclinação do jato sobre os resultados.

Plote: Velocidade do jato como uma função de para o caso de movimento iminente.

Solução: Aplique a equação de momento da quantidade de movimento, usando o VC fixo mostrado.

A origem de coordenadas está no chão junto à roda esquerda do carrinho. Com este sistema de coordenadas, momentos nosentido anti-horário são positivos (em torno do eixo z).Equação básica:

� �

� � � � �

0 1 0 2( ) ( )

( )r r r r r r r r r r rr F r g d T

tr V dV r V V dAs

VCs

SCVC

� � �∀ ∂∂∫ ∫∫∫

Considerações: (1)

rTs � 0.

(2) Escoamento permanente.(3) Escoamento uniforme na saída do bocal.

(4) Despreze r rr V do escoamento de entrada.

(5) Centro de massa localizado em x � w/2.(6) O comprimento do bocal é pequeno; as coordenadas da saída do bocal são (x2, y2) � (W/2, h).

Então,

�

� � � � �

� � � �

� � �

� �

0 4

2

2 2

2

1 1 1 1 2 2 2 2 2

2 2

4

4

( )

ˆ ˆ (cos ˆ)

ˆ ˆ ˙ ˆ cos ˙ ˆ

˙

r r r r r r r rr F r Mg r V V A r V V A

rW

ı hj V V i sen j

e

WN kW

Mg kW

V sen m k h V m k

WNW

Mg mVW

S � �

{ } { }

22sen h � cos

(1)

CAP004/4 11/6/02, 9:30 AM65

Reescrevendo a Eq. 1 na forma �M3 � 0 {para equilíbrio estático}

WN

WMg m V h

Wsen4

2 20� � � �˙ cos� �

(2)

O último termo na Eq. 2 é o momento (devido ao jato) que tende a derrubar o carrinho.Avaliando,

˙

˙ ( , ) / , /

m A VD

V

mkg

mm m s kg s

� � � ��

� ��

� �

2 2

2

2

32 2

4

9994

0 05 40 78 5

Portanto, com V2 � 40 m/s,

Momento do jatokg

s

m

s

N s

kg mm

msen

Momento kN m Momentojato jato

� � �

�

�

78 5 40 3 301 5

230

6 98

2

, cos,

,

° °

←

Para o caso de tombamento iminente (em torno do ponto 3), N4 → 0 e, da Eq. 2,

� � � �

�

�

�

� � � � ��

���

WMg m V h

Wsen o

Para resolver para V escreva m A V

VWMg

A hW

sen

Vm

kgm

s

m

kg m sen m

V

2 2

22

1 5

2350 9 81

999

1

1 96 10

1

3 30 0 75 30

2 2 2

22

2

22

2

3

3 2

2

˙ cos

, ˙

cos

,,

, ( cos , )

� �

�

� � �

°

22 2 22592 24 3 2� �m s V m s V/ , /∴ ←

(3)

Assim, a velocidade máxima permitida sem tombamento é menor do que o valor sugerido.

O movimento iminente será de inclinação desde que F3 µN3.Da equação de quantidade de movimento segundo x

f mV3 2� ˙ cos �

Da equação de quantidade de movimento segundo y

N Mg mV sen3 2� � ˙ �

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM66

Para inclinação, µ � 0,377

Da Eq. 2, deduzimos que, quando � aumenta, a tendência para tombar diminui.Para tombamento iminente, da Eq. 3,

VW Mg

A hW

sen�

�22

2

1 2

� � �cos

/

Problema *4.172

Dados: Regador de jardim girando no plano horizontal. Despreze o atrito. Q � 68 L/min.

Determine: A velocidade angular em regime permanente para � � 30°.

Plote: Velocidade angular em regime permanente para 0 � � � 90°.

Solução: Escolha VC rotativo. Aplique o princípio da quantidade de movimento angular, Eq. 4.53.

Vel

oci

dad

e d

o ja

to, V

jato (

m/s

)

Velocidade do jato para tombamento iminente

Ângulo, � (graus)

(Gira)

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM67

Equação básica:

� � �

� � � �

� �

� � � � � � � �

�

� � � �

0 1 0 2 0 3

0 5 0 6

2

0 6

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

r r r

r r r r r r r

r r r r r r

r F r g d T

r V r r d

tr V d r V V dA

SVC

eixo

xyzVC

xyzVC

xyzSC

xyz

∫

∫

∫ ∫

∀

[ ] ∀

∂∂

∀

�

�

� �

Considerações: (1)

rFS � 0. (2) Torques de campo anulam-se. (3)

rTeixo � 0. (4) Arrasto aerodinâmico desprezível. (5) Nenhuma

componente k da aceleração centrípeta. (6) Escoamento permanente. (7) L � R.

Analise um braço do regador. Da geometria, r rr ri r Ri� �ˆ , ˆno VC no jato. Então,

� � � � � � ��

� � � � ��

� �� �

� �

r r rr V d Ri Vsen j

Q QRVsen k

ri k Vi Vr k VR A k

E inando k VR AQRV

sen por to com VA Q

V

Rsen V

Q

xyzVC

VC

23 3

2 2

33

3

2

2

[ ] ∀∫

∫

� � � � �

�

� � �

�

ˆ ( ˆ) ˆ

ˆ ( ˆ ˆ) ˆ ; ˆ

lim ˆ, , tan , / ,

;AA

Q

d

m

m sm s

m

s msen sen rad s

� � � � � � �

� � � � �

�4

3

4

368 10

1

0 00635 6011 9

11 91

0 15278 3

23

3

2 2� �

�

min ( , )

min, /

,,

, / ←

Traçando os gráficos:

(graus)

Para

Gráfico

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM68

Problema *4.174

Dados: Tubo rotativo simples com água. Q � 13,8 L/min.

Determine: O torque que deve ser aplicado para manter rotação em regime permanente usando:

(a) Volume de controle rotativo.(b) Volume de controle fixo.

Solução: Aplique o princípio da quantidade de movimento angular,

� �331

33 49

revrad s

min, /

(a) VC rotativo: use velocidades relativas, Eq. 4.53.Equação básica:

� �

� � � �

� �

� � � � � � � �

� �

� � � � �

0 1 0 2

0 3 0 4

2

0 5 0 6

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

r r r r

r r r r r r r r

r r r r r r

r F r g d T

r V r r d

tr V d r V V d

SVC

eixo

xyzVC

xyzVC

xyzSC

xyz

�

�

�

∀

[ ] ∀

∂∂

∀

∫

∫

∫ ∫ AA

Considerações: (1)

rFS � 0. (2) Torques de campo anulam-se. (3) Nenhuma componente k da aceleração centrípeta. (4)

r

. � 0 (5) Escoamento permanente. (6) r rr V� � 0.

Então,

T k r V d rı k Vı Adr VAR k Q R k

Trad

s

kg

m

mm

s

N s

kg mN m T

eixoo

R

VC

eixo

ˆ ( ) ˆ ( ˆ ˆ) ˆ ˆ

, ,min

( , )min

,

� � � � � � � �

� � � � � � �

� �

r r r2 2

3 49 999 13 8 10 0 360

0 0722

2 2

33

32 2

2

� � � �∀

←

∫∫

(b) VC fixo: use velocidades absolutas, Eq. 4.47.

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM69

Equação básica:

� �

� � � � � � � �

0 1 0 2( ) ( )r r r r r r r r r rr F r g d T

tr V d r V V dAS eixo

VCxyz

SCVC� � �∀ ∂

∂∀∫ ∫∫

Em relação às coordenadas fixas XY,

r

r

r r

r r ı sen j

V V ı sen j r sen ı j

r Vi j kr rsen oV r sen Vsen r o

k rVsen rrvsen r sen

r k

Dessa forma

� �

� � � � �

� �� �

� � � �

�

(cos ˆ ˆ)

(cos ˆ ˆ) ( ˆ cos ˆ)

ˆ ˆ ˆ

coscos cos

ˆ ( cos coscos )

ˆ

� �

� � � �

� �� � � �

� � �� � �

2 2 2

2 2 22

,, / ˆ ˆ

ˆ ˆ ( ( )); ,

∂ ∂ { }

←

∫t e r V V dA R k Q Q R k e

T k Q R k como no caso a T N m T

SCxyz

eixo

� � � � �

� �

0

0 0722

2 2

2

r r r r� � �

�

{Note que, quando aplicadas corretamente, as duas escolhas de VC produzem o mesmo resultado.}

Problema *4.175

Dados: Pequeno regador rotativo de jardim conforme mostrado. O torque de atrito no pivô é zero. I � 0,1 kgm2. A vazão éQ � 4,0 L/min.

Determine: Aceleração angular inicial, a partir do repouso.

Solução: Aplique o momento da quantidade de movimento, usando o VC fixo confinando os braços do regador.Equação básica:

� 0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( )� �

� � � � � � � � r r r r r r r r r r rr F r g d T

tr V d r V V dAS

VCeixo

VC SC� � �∀ ∂

∂∀∫ ∫ ∫

suprimento(manométrica)

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM70

Considerações: (1) Despreze torque devido a forças de superfície.(2) Torques de forças de campo cancelam-se por simetria.(3) Escoamento permanente.(4) Escoamento uniforme em cada jato.

Então,

� � � � � �

� �

� � ��

T k r V Q r V Q

r V r Ri

V R V i V sen i

eixo entrada jato

entrada r

rel re z

ˆ ( ) ( )

( ) ˆ

( cos )ˆ ˆ

r r r r

r r rr

� �

� �

{ }

21

2

0

1

�

O jato sai do regador a

rV abs V i sen irel z( ) cos ( ˆ ) (ˆ )� � �� ��[ ]Portanto,

r rr V Ri V i sen i RV i sen ir rel z rel z� � � � � � � � �ˆ cos ( ˆ ) (ˆ ) cos ( ˆ ) ( ˆ )� � � �� �[ ] [ ]Somando os momentos sobre o rotor, �

r rM I� . Dessa forma,

˙ cos

min, ,

min,

,

˙ , / ˙

� ��

� � � � � � � � �

�

�T

I

QRV T

I

kg

m

Lm

m

s

m

L sN m

kg m

N s kg m

rad s

rel eixo� �

999 4 0 2 17 0 8661000 60

0 181

0 1

0 161

3

3

2 2

2

←

{Não é necessário usar um VC rotativo porque, para o instante considerado, r

� 0 e I é conhecido.}

Problema *4.178

Dados: Conjunto de bocal girando em regime permanente, conforme mostrado no esquema

Coordenadasxyz giramcom VC

VC rotativo

Coordenadas XYZsão fixas

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM71

Determine: (a) Torque requerido para mover o conjunto.(b) Torques de reação no flange.

Solução: Aplique a equação do momento da quantidade de movimento ao VC rotativo mostrado.Equação básica:

� 0 2

0 3 0 5 0 7

2

( )

( ) ( ) ( )

( ) ˙

r r r r r

r r r r r r r r r r r r r r

r F r g d T

r V r r dt

r V d r V V dA

SVC

eixo

VCxyz xyz

VCxyz

VCxyz

� � � �

� � �

� � � � � � � � � � � �

∫

∫ ∫ ∫

∀

[ ] ∀ ∂∂

∀

�

� � �

Considerações: (1) rTVC representa todos os torques atuando sobre o VC.

(2) Despreze torque devido à força de campo.(3) Velocidade angular constante.(4) Despreze a massa do braço comparada com a massa de água no seu interior.(5) Escoamento permanente no VC.(6) Despreze comprimento do bocal comparado com L.

(7) rr colinear com

rV, logo,

r rr Vxyz� � 0.

Então,

r r r r r r r

r r

r r

r r r

r r r r

T r V r d

Posto que k e r l sen ı k então

r l sen j

r k l sen j l sen ı

e r r

VC xyzVC

� � � � � �

� � �

� �

� � � � � �

� � �

2

2

( )

ˆ ( ˆ cos ˆ ),

ˆ

( ) ˆ ˆ ( ˆ)

( )

[ ] ∀

[

∫ �

� �

�

� �

]]

[ ]

� � � � � �

� �

� � � � �

� � �

l sen ı k l sen ı l sen j

Posto que V V sen ı k então

V k V sen ı k V sen j

e r V l sen ı

xyz VC

xyz VC VC

xyz

( ˆ cos ˆ ) ( ˆ) cos ( ˆ)

( ˆ cos ˆ ),

ˆ ( ˆ cos ˆ ) ˆ

( ˆ

� � � � �

� �

� � �

�

2 2 2

2 2 2

2

r

r r

r r r�� � �

� �

cos ˆ ) ˆ ˆ

cos ( ˆ)

� � �

� �

k V sen j l V sen k

l V sen ı

VC VC

VC

2 2

2

2

Substituindo e introduzindo d dl∀ ∀� ,

r

r

T lV sen i l sen j lV sen k Adl

T L V sen iL

sen j L V sen k A

VC VC VC

L

VC VC VC

� � � � �

� � �

�

( cos ˆ cos ˆ ˆ )

cos ˆ cos ˆ ˆ

2 2

3

2 2 2

0

22 3

2 2

� � � � �

� � � � � �

∫

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM72

O torque de eixo necessário para manter a rotação do conjunto em regime permanente é

T T L V sen A LQ

Asen A Q L sen

kg

m

m

s

revm

rad

rev s

N s

kg m

T N m T

eixo VCz VC

eixo eixo

� � � � � �

� � � � � � � �

�

2 2 2 2 2 2

3

32 2 2

2

999 0 15 30 0 5 0 5 260

29 4

� � � �

�,min

( , ) ( , )min

, ←

Os momentos de reação atuando sobre o flange são

M T L V sen A QU L sen

kg

m

m

s

revm

rad

rev s

N s

kg m

M N m aplicado a flange VC M

x VC VC

x

x

x

�� � � �

� � � � � � � �

�

2 2

3

32 2

2

999 0 15 30 0 5 0 5 0 866 260

51 0

� � � � �

�

cos cos

,min

( , ) ( , )( , )min

, ( sobre pelo ←

MM T L A sen

kg

m

rev rad

rev sm m

N s

kg m

M N m aplicado a flange VC M

y VC

y

y

y

�� �

� � � � � � �

�

1

3

1

3999 30 2

600 5

40 1 0 5 0 866

140

2 3

3 2

2

3 3 2 22

� � �

��

cos

min

min( , ) ( , ) ( , )( , )

, ( )

← sobre pelo

{Torques causados por massas de água, tubo e bocal devem ser considerados no projeto global.}

Problema 4.182

Dados: Compressor, ,m �1 0 kg/s.

p kPa abs

T K

V m s

1

1

1

101

288

75

�

�

�

( )

/

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM73

Determine: A potência requerida.

Solução: Aplique a primeira lei da termodinâmica, usando o VC mostrado.Equação básica:

� �

� � � � �

0 1 0 2( ) ( )

˙ ˙ ˙ ( )Q W Wt

e d e pv V dAs cisalhamentoSCVC

∂∂

∀ ∫∫ � �r r

Considerações: (1) ˙ .Wcisalhamento � 0

(2) Escoamento permanente.(3) Escoamento uniforme em cada seção.(4) Despreze �z.

(5) Gás ideal, p RT h Cp T Cp kJ kg k� � � � � � , ; , / .1 00

(6) Da continuidade, ˙ ˙ .m m m1 2� �

Então,

� �0 4 0 4

2 2

2

222

2 1 2 112

1 1 1

22

12

2 1

( ) ( )

˙ ˙ ( ) ˙ ( ) ˙

, ˙ ˙ , tan ,

˙ ˙ ˙

Q W uV

gz p v m uV

gz p v m

Note que h u pv e Q mdQ

dmpor to

W W mV V

h hdQ

dm

s

entrada s

� � � � � � � � � �

� � �

�� ��

� � �

{ } { }

��

�� � �

� � �

�

�

� � �

�

˙ ( )

˙ , ( ) ( )

, ( )

˙ ,˙

mV V

cp T TdQ

dm

ou

Wkg

s

m

s

N s

kg m

kJ

N m

kJ

kg kK

kJ

kg

kW s

kJ

W kW

entrada

entrada

22

12

2 1

2 22

2

2

2

1 01

2125 75

1000

1 00 345 288 18

80 0

[ ]

WWentrada←

Problema 4.184

Dados: Escoamento através de turbomáquina conforme mostrado. O fluido é ar.

(da atmosfera)

(manométrica)

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM74

˙ , /

( )

m kg s

T K

p kPa abs

i

�

�

�

0 8

288

1011

Determine: O trabalho de eixo.

Solução: Aplique a equação da energia, usando o VC mostrado.Equação básica:

p RT h C T

Q W W Wt

e d u vV

gz V dAs cisalhamento outrosVC SC

� � � �

� � � � �

� � � � � � � �

� �

� � �

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

˙ ˙ ˙ ˙ ( )

0 1 2 0 2 0 3 0 5

2

2∂∂

∀∫ ∫r r

Considerações: (1) Ar comporta-se como gás ideal com calor específico constante.

(2) Wcisalhamento � 0 pela escolha do VC; ˙ .Woutros � 0

(3) Escoamento permanente.(4) Escoamento uniforme em cada seção.(5) Despreze �z.(6) V1 � 0.

(7) ˙ .Q � 0

Por definição, h � u � pv, logo,

� 0 (1)

� � � � � � � � �

� � � � � � �

�

˙ ˙ ˙ ˙

˙ ˙ ˙

,

W hV

m hV

m m h hV

ou

W m h hV

m C T TV

kg

s

s

s p

112

222

2 122

2 122

2 122

2 2 2

2 2

0 8 1

{ }

{ }

( )

,,.

( )

( )

˙ , ˙ , ˙

00 403 288

10010

96 0 96 0

22

2

2

3

kJ

kg kK

m

s

N s

kg m

kJ

N m

kW s

kJ

W kW ou W kW Ws s s

�

� �

�

� � � �

←

{A potência entra no VC porque ˙ .Ws 0 }

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM75

Problema 4.186Dados: Garrafa, � � 10 ft3, contém ar comprimido a p � 3000 psia, T � 140°F. Em t � 0, , / .m � 0 105 lbm s

Determine: ∂ ∂T

t em t � 0.

Solução: Use o VC mostrado.Equação básica:

0

0 1 0 2 0 3 0 3 0 4 0 5

2

2

2

2

� �

� � � � � � � �

� � �

∂∂

∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫∫

td V dA

Q W W Wt

e d u pvV

gz V dA

e uV

gz

VC SC

S cisalhamento outrosSCVC

� �

� �

r r

r r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

˙ ˙ ˙ ˙ ( )

� �

Considerações: (1) Q � 0 (isolado).

(2) ˙ .Ws � 0

(3) ˙ ˙ .W Wcisalhamento outros� � 0

(4) Despreze V2.(5) Despreze �z.(6) Gás perfeito, u � cvT.(7) Propriedades uniformes na garrafa e na saída.

Da continuidade,

O

M

tm

M

tmVC VC� � ��

∂∂

∴ ∂∂

˙ ˙

Da primeira lei,

Ot

u d up

m

uM

tM

u

tu

pm

O u m MT

tu

pmCV

� � �

� � � �

� � � � �

∂∂

∀

∂∂

∂∂

∂∂

∫ ��

�

�

˙

˙

( ˙ ) ˙

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM76

Dessa forma,

∂∂ ∀ ∀

°°

∴ ∂∂

°

T

t

m p

M c

m p

c

m p

c

Ondep

RT

lbf

in

in

ft

lbm R

ft lbf R

lbm

ft

T

t

lbm

s

lbf

in

in

ft ft

lbm R

Btu

Btu

ft

V V V

� � � � �

� � � �

� �

� � � � � �

�

˙ / ˙ ˙

,,

,,

�

� � �

�

2

2

2

2 3

2

2

2 3

3000144

53 3

1

60013 5

0 1 3000144 1

10 0 171 778 lbflbf

ft

lbm

T

tR s

Tt

�

� �

1

13 5

0 178

2

6

2( , )

, /∂∂

°∂∂←

Problema 4.187

Dados: Sistema de bombeamento conforme mostrado. �bomba � 0,75.

Determine: A potência requerida.

Solução: Aplique a primeira lei ao VC mostrado, notando que o escoamento entra com velocidade desprezível na seção �.Equação básica:

� � �

� � � � � �

� � �

0 1 0 1 0 2

2

2

( ) ( ) ( )

˙ ˙ ˙ ˙ ( )Q W W Wt

e d ep

V dA

e uV

gz

eixo cisalhamento outrosSCVC

∂∂

∀ ∫∫ ��

�r r

Considerações: (1) ˙ ˙ .W Wcisalhamento outros� � 0

(2) Escoamento permanente.(3) V1 � 0.(4) z1 � 0.(5) p1 � 0 (manométrica).(6) Escoamento uniforme em cada seção.(7) Escoamento incompressível; V1A1 � V2A2.

(manométrica)

água

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM77

Então,

� 0 3 0 4 0 5

2 2

2

112

11

222

22

2 22

2 2 1

( ) ( ) ( )

˙ ˙ ˙ ˙

˙ ˙

� �

� � � � � � � � � �

� � � � � � ��

Q W uV

gzp

m uV

gzp

m

ou

W mp V

gz u uQ

dm

s

s

� �

�

{ }

{ }

Obtenha a potência de entrada ideal ou mínima desprezando efeitos térmicos. Assim,

� �

�� �˙ ˙

,W mp V

gzs ideal2 2

2

22

Para o sistema,

˙ ( , ) , /

˙ , , ( ) ,

˙

,

,

m V Akg

m

m

sm kg s

e

Wkg

s

N

m

m

kg

m

s

N s

kg m

m

sm

N s

kg m

WN m

s ideal

s ideal

� � � � �

� � � � � �

� � �

��

��

2 2 32 2

52

32

2

2

2

2

2

999 34

0 075 13 2

13 2 1 70 10999

1

23 9 81 2

2560

ss

kW s

N mkW

Finalmente

WW kW

kW Ws real

s ideals real

�

��

��

��

��

102 56

2 56

0 753 41

3,

,

˙˙ ,

,, ˙

,,

,←

Problema 4.188

Dados: Bomba centrífuga para água operando sob as seguintes condições:

D1 � D2 � 4 in. Q � 300 gpmp1 � 8 in de Hg (vácuo), p2 � 35 psig z1 � z2

℘entrada � 9,1 hp

Determine: A eficiência da bomba.

Solução: Aplique a equação da energia ao VC mostrado. Despreze todas as perdas para determinar a energia cedida ao fluido.

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM78

Equações básicas:

� � �

� � � � � �

� � � � � � � �

˙˙

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

˙ ˙ ˙ ˙

Wonde W potência para o fluido

Q W W Wt

k d u pvV

gz V dA

s

entradas

s cisalhamento outrosSCVC

�

0 1 0 2 0 2 0 3 0 4 0 5

2

2∂∂

∀

∫∫ � �

r r

Considerações: (1) Q � 0 (isolado).

(2) Wcisalhamento � 0 (pela escolha do VC); ˙ .Woutros � 0

(3) Escoamento permanente.(4) Despreze �u.(5) �z � 0.(6) Escoamento incompressível.(7) Escoamento uniforme na entrada e na saída.

Então,

� � � � � � �

� �

� � � � �

� �

� � �

˙ ˙ ˙

˙ ( )

˙ ( ) ( )

, ,

W pV

m pV

m

Visto que m Q e V V da continuidade

W Q p p Q p p

p gh SG gh

pslug

ft

s i

s

H O

112

2 222

1 2

2 2 1 1 2 1

1

1 3

2 2

13 6 1 94

2

v v

v v

{ }

{ }

�

�

� �

3232 2 812 144

3 93

3007 48 60

35 3 93144

550

2

2 2

2

3

2

2

2

, ( ) ,

˙min ,

min( , )

ft

sin

ft

in

lbf s

ft slug

ft

inpsig

Wgal ft

gal s

lbf

in

in

ft

hp s

ft lbfs

� � � ��

� ��

� � � � � � � � �

∴ [ ]

˙ ,Ws ��6 81 hp (o sinal negativo indica energia adicionada)

Portanto,

� � � � �

˙ ,

,, ,

Wou por centos

entrada�

6 81

9 10 748 74 8 ←

Problema 4.189

Dados: Barco de combate a incêndio.

superfície da água

CAP004/5 11/4/02, 2:37 PM79

Determine: (a) Q2.(b) zmáx.(c) Força, se horizontal.

Solução: Aplique a primeira lei ao VC “a” mostrado na figura.Equação básica:

( ) ( ) ( ) ( )

˙ ˙ ˙ ( )

( )

1 0 2 0 2 0 3

1

2

2

� � �

� � � � � �

� � �

Q W W Wt

e d e V dA

e uV

gz

s cisalhamento outrosVC Sc

∂∂

∀∫ ∫� �pvr r

Considerações: (1) Despreze perdas, isto é, u u

dQ

dm2 1 0� � �

(2) ˙ ˙ .W Wcisalhamento outros� � 0

(3) Escoamento permanente.(4) Escoamento uniforme em cada seção.(5) Despreze V1.(6) z1 � 0.

(7) Escoamento incompressível, v v v2 1 1 2 3� � � �, ˙ ˙ ˙m m m(8) p2 � p1 � patm � 0 (manométrica).

Então,

� 0 5 0 60 8

2 20 8

2

112

1 1 222

2 2 2

22

2 2 2

( ) ( )( )

˙ ˙ , ˙ ˙

( )

˙ ˙ ; ˙

��

� � � � � � � � � �

�

� � � �

Q W uV

gz p m uV

gz m

ou

WV

gz m m V A

s

s

v p v

( )

( )

�

Note que esta equação contém V2 à terceira potência, logo, não pode ser resolvida diretamente. Como uma primeira aproximação,despreze z2:

� � � � � �

�� � � �

��

�

�

�

˙ ; ( , ) ,

˙

,

WV

V A V A A D m m

VW

AkW

m

kg m

N m

kW s

kg m

N s

entrada

s

�

�

22

2 2 23

2 2 22 2 2 4 2

22

13 3

4 23

2

2

1

2 4 40 025 4 91 10

22 10

999

1

4 91 1010

� �� �

�

13

34 4� , /m s

Comparando termos,

V

m s gzm

sm m s2

2 2

2 22 2

2 2

2

34 4

2592 9 81 3 29 4�

,/ ; , , /

( )� � � � , cerca de 5%.

Então, esse valor de V2 é cerca de 5/3 por cento maior. Admita

V m s e Q V A

m

sm m s Q2 2 2

4 2 333 8 33 8 4 91 10 0 0166� , / , , , , /� � � � ��

←

CAP004/5 11/4/02, 2:38 PM80

Para calcular zmáx, aplique a primeira lei ao VC “b” usando as considerações citadas anteriormente, mais

(9) V3 � 0.Então,

�

� � � � � � � �

��

� � � �

�

�

0 9

2999 0 0166 16 6

109 81 16 6

10 61 4

32

3

3

23

2

( )

˙ ˙ ; ˙ , , /

˙

˙ , ,,

WV

gz m m Qkg

m

m

skg s

ou

zWs

gmkW

s

m

s

kg

N m

kW s

kg m

N sm z

s máx

máx máx

←

Para determinar a força horizontal, aplique a componente x da equação da quantidade de movimento, usando o VC “a”, comescoamento saindo em � horizontalmente.

Equação básica:

� �

� � �

0 11 0 3( ) ( )

F Ft

u d u V dAS BVC SC

x x

∂∂

∀∫ ∫� �r r

Considerações: (10) Nenhuma força resultante de pressão sobre o VC; F RS xx � .

(11) FBx � 0.

Portanto,

R u m u m mV ou u

ou

K mVkg

s

m

s

N s

kg mN K

x i

x x

� � � � �

� � � � � �

� �

˙ ˙ ˙ , .

˙ , ,

1 2 2 1

2

2

0

16 6 33 8 561

{ } { }

←

{O sinal menos indica reação sobre o barco no sentido oposto ao da corrente de saída.}

Problema *4.190

Dados: Aparelho tipo helicóptero mostrado. Massa M � 1500 kg.

Admita pressão atmosférica na saída e trate o escoamento como permanente, uniforme e incompressível. Considere o ar nacondição padrão.

CAP004/5 11/4/02, 2:38 PM81

Determine: (a) Velocidade do ar saindo do aparelho.(b) Potência mínima requerida.

Solução: Use o VC inercial e as coordenadas mostradas. Aplique a continuidade e a quantidade de movimento para determinarV2, em seguida, aplique a primeira lei para determinar a potência.

Equações básicas:

p RT h c Tp V

gz cons te

td V dA

F Ft

d V dA

p

VC SC

S BVC SC

z z

� � � � � � �

�

� �

�

� � �

��

� �

� �

; ; tan

( )

( )

2

2

0 2

0

0 2

∂∂

∀

∂∂

∀

∫ ∫

∫ ∫

r r

r r

Considerações: (1) O ar é um gás ideal, cp � constante.(2) Escoamento permanente.(3) Escoamento incompressível.(4) Escoamento uniforme em cada seção.

(5) Pressão uniforme na entrada; F p p A p AS atm gz � � ��( ) .1 1 1 1

Então,

� � � � �

� �

p

RT

N

m

kg k

N m kkg m1 01 10

287

1

2881 225

23, , /

e da continuidade

0

4 43 3 8 55

4 43 3 3 0 1 48

1 1 2 2 2 2 1 1 1 22

1

1 02 2 2 2

2 02

22 2 2 2 2

� � � � � �

� � �

� � � � �

� � �

� �

� �

V A V A V A V A ou V VA

A

Então A D m m

A D D m m

{ } { }

( ) ( )[ ]

( )

( , ) ,

( ) , , ,

Da quantidade de movimento

� � � � �

�� �� �

� � � � �� �

p A Mg V A V A

V V e V A V A

p A Mg V V A V V A V A V V

g

g

1 1 1 1 1 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1

� �

� �

� � �

{ } { }

( )

Para escoamento permanente, incompressível, sem atrito, ao longo de uma linha de corrente da atmosfera para �, Bernoullifornece, desprezando �z,

� 01

2

1

2

1

202

1 12

1 1 12p V gz p V gz por to p Vatm o g� � � � � ��� � �, tan

CAP004/5 11/4/02, 2:38 PM82

Usando a continuidade,

p A V A V A V V A

A

Ag1 1 1

21 2 2 1 2

22

2

1

1

2

1

2

1

2�� �� ��� � �

Substituindo na equação de quantidade de movimento e usando de novo a continuidade,

1

21 1 1

1

2

112

1500 9 811 22

1

1

22

22

122

21

222

22

122

22

1

2

22

1

2

3

� � � �

�

V AA

AMg V A

V

VV A

A

Aou Mg V A

A

A

Assim

VMg

AAA

kgm

s

m

kg

� �� � �� � � �

��

� � � �

,

( ),

, ,, ,,

, /48

1

112

1 488 55

94 52

12

2m

m s V

�

�

←

Equação básica:

� � � �

� � � � � � � �

0 6 0 6 0 2 0 7 0 8

2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

˙ ˙ ˙ ˙ ( )

�

Q W W Wt

c d u vV

gz V dAs cisalhamento outrosVC SC

∂∂

∀∫ ∫� �pr r

Considerações adicionais: (6) ˙ ˙ .W Wcisalhamento outros� � 0

(7) pv � constante.(8) Despreze �z.

Então,

� � � � � � �

� ��

� � �

˙ ˙ ˙ ˙

˙ ˙ ˙ ( )

W uV

m uV

m Q

W mV V

m u udQ

dm

s

s

112

222

22

12

2 1

2 2

2

{ }

{ }

O termo (u2 � u1 � dQ/dm) representa energia não-mecânica. O trabalho mínimo possível será alcançado quando a energianão-mecânica for zero. Assim,

� ��

� � � �

� � � � � �

˙ ˙ ˙

˙ , , ( , ),

/minW mV V

mV V

V

A V A

A

Wkg

mm

m

s

s

s

22

12

22

1

2

2

2 23

2

1

2

32 3

3

3

2 21

21

1

21 22 1 48 94 5 1

1 48

8

�

,,

˙ ( ) ˙/min

55 10

739

2 2

3

←

N s

kg m

kW s

N m

W kW entrada Ws s

�

��

{A potência requerida para pairar o aparelho real será maior devido às perdas do escoamento, não-uniformidades etc.}

CAP004/5 11/4/02, 2:38 PM83