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Diogo Neto Eduardo Cardoso Turma Teórico-Prática TP2 1 DE ABRIL DE 2008 MECÂNICA DOS FLUIDOS II UNIVERSIDADE DE COIMBRA FACULDADE DE CEIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA

TP2 08-04-08 Problema_1

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Diogo Neto

Eduardo Cardoso

Turma Teórico-Prática TP21 DE ABRIL DE 2008

MECÂNICA DOS FLUIDOS II

UNIVERSIDADE DE COIMBRA

FACULDADE DE CEIÊNCIAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA

Faculdade de Ciências e Tecnologia

Universidade de CoimbraMecânica dos Fluidos II Diogo Neto - Eduardo Cardoso

Considere a seguinte relação que exprime o deslocamento, S,

de um corpo em queda livre:

em que S0 é o deslocamento inicial, V0 a velocidade de queda

inicial, g a aceleração da gravidade e t o tempo. Exprima essa

relação sob forma adimensional, tomando para variáveis de

base para construção dos produtos П (Teorema Pi de

Buckingham):

a) S0 e V0; b) V0 e g; c) S0 e g.

Mostre, que na realidade, se trata de diferentes formas de uma

mesma adimensionalização.

2

00 gt2

1tVSS

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A análise dimensional representa uma técnica que permite

estruturar, clarificar e comparar resultados obtidos.

Toda a análise dimensional assenta numa base particularmente

simples, o chamado princípio da homogeneidade dimensional:

“qualquer expressão que represente correctamente um dado

fenómeno físico terá de ser dimensionalmente homogénea”.

Uma equação dimensionalmente homogénea pode sempre ser

representada, sem qualquer perda de informação, por formas

alternativas adimensionais mais compactas.

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Existem essencialmente três formas alternativas que permitem

adimensionalizar a formulação de um problema físico. São

elas:

Método do produto de potências;

Teorema П de Buckingham;

Adimensionalização das equações.

Teorema П de Buckingham;

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Teorema П de Buckingham:

Se um fenómeno físico que envolva n variáveis Qi (i=1, 2, 3,

…, n) pode ser representado por uma relação funcional da

forma: f (Q1, Q2, Q3, …, Qn)=0, então é também possível

traduzi-lo, sem qualquer perda de informação, por outra

relação funcional que envolve apenas k=n–j grupos

adimensionais independentes, formados com aquelas

variáveis: Ф (П1, П2, П3, …, Пk)=0, sendo j menor ou igual ao

número de dimensões fundamentais envolvidas no conjunto

das variáveis. Cada grupo Пi (i=1, 2, 3, …, k) representa um

produto da forma: П=Q1a Q2

b Q3c… Qn

z, com a, b, c, …, z tais

que Пi seja adimensional.

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As variáveis para formarem uma base devem satisfazer,

conjuntamente, os seguintes requisitos:

Devem conter, no seu conjunto, todas as dimensões

fundamentais intervenientes no problema;

Não podem formar, entre si, um grupo adimensional.

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A relação funcional entre as variáveis intervenientes no

problema pode ser expressa da seguinte forma:

2

00 gt2

1tVSS

),,,( 00 gtVSfS

Variável Dimensões Fundamentais

S [ L ]

S0 [ L ]

V0 [ L T −1 ]

t [ T ]

g [ L T −2 ]

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Variáveis de base: S0 e V0

O conjunto (S0, V0) satisfaz a primeira condição. Recordar

Para verificar a segunda condição, basta tentar formar um

produto adimensional Π, com as variáveis seleccionadas:

Π = S0a V0

b

[ L0 T 0 ] = [ L ]a [ L T −1 ]b

Obteve-se a solução trivial a=b=0, pelo que se conclui que

estas variáveis, por si só, não se adimensionalizam, cumprindo

assim a segunda condição.

0b

0a

b0

ba0

T

L

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Variáveis de base: S0 e V0 S = f (S0, V0, t, g)

De acordo com o teorema П de Buckingham:5 variáveis iniciais - 2 variáveis básicas = 3 grupos adimensionais.

Constroem-se, por conseguinte, três grupos adimensionais:

П1 = F1 (S, S0, V0) П2 = F2 (t, S0, V0) П3 = F3 (g, S0, V0)

os quais satisfazem a relação seguinte:

П1 = F (П2, П3)

Cada grupo adimensional pode, agora, ser resolvido

separadamente.

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Variáveis de base: S0 e V0 S = f (S0, V0, t, g)

Grupo 1:

П1 = S S0a V0

b

[ L0 T 0 ] = [ L ] [ L ]a [ L T −1 ]b

0b

1a

b0

ba10

T

L

0

1S

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Variáveis de base: S0 e V0 S = f (S0, V0, t, g)

Grupo 2:

П2 = t S0a V0

b

[ L0 T 0 ] = [ T ] [ L ]a [ L T −1 ]b

1b

1a

b10

ba0

T

L

0S

tVΠ 0

2

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Variáveis de base: S0 e V0 S = f (S0, V0, t, g)

Grupo 3:

П3 = g S0a V0

b

[ L0 T 0 ] = [ L T −2 ] [ L ]a [ L T −1 ]b

2

1

2

1

b

a

b0

ba0

T

L

2

0

03

V

gSΠ

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Variáveis de base: V0 e g S = f (S0, V0, t, g)

Facilmente se verifica, de modo semelhante ao anterior, que as

variáveis V0 e g, também podem formar uma base.

Constroem-se os três grupos adimensionais:

П1' = F1' (S, V0, g) П2' = F2' (t, V0, g) П3' = F3' (S0, V0, g)

os quais satisfazem a relação seguinte:

П1' = F' (П2', П3')

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Variáveis de base: V0 e g S = f (S0, V0, t, g)

Grupo 1:

П1' = S V0a gb

[ L0 T 0 ] = [ L ] [ L T −1 ]a [ L T −2 ]b

1b

2a

2ba0

ba10

T

L

2

0

1V

Sg'Π

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Variáveis de base: V0 e g S = f (S0, V0, t, g)

Grupo 2:

П2' = t V0a gb

[ L0 T 0 ] = [ T ] [ L T −1 ]a [ L T −2 ]b

1b

1a

2ba10

ba0

T

L

0

2V

tg'Π

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Variáveis de base: V0 e g S = f (S0, V0, t, g)

Grupo 3:

П3' = S0 V0a gb

[ L0 T 0 ] = [ L ] [ L T −1 ]a [ L T −2 ]b

1b

2a

2ba0

ba10

T

L

2

0

03

V

gS'Π

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Variáveis de base: S0 e g S = f (S0, V0, t, g)

Novamente se verifica, de modo semelhante ao anterior, que

as variáveis S0 e g, também podem formar uma base.

Constroem-se os três grupos adimensionais:

П1'' = F1'' (S, S0, g) П2'' = F2'' (t, S0, g) П3'' = F3'' (V0, S0, g)

os quais satisfazem a relação seguinte:

П1'' = F'' (П2'', П3'')

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Variáveis de base: S0 e g S = f (S0, V0, t, g)

Grupo 1:

П1'' = S S0a gb

[ L0 T 0 ] = [ L ] [ L ]a [ L T −2 ]b

0b

1a

2b0

ba10

T

L

0

1S

S''Π

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Variáveis de base: S0 e g S = f (S0, V0, t, g)

Grupo 2:

П2'' = t S0a gb

[ L0 T 0 ] = [ T ] [ L ]a [ L T −2 ]b

21b

21a

2b10

ba0

T

L

tS

g''Π

0

2

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Variáveis de base: S0 e g S = f (S0, V0, t, g)

Grupo 3:

П3'' = V0 S0a gb

[ L0 T 0 ] = [ L T −1 ] [ L ]a [ L T −2 ]b

21b

21a

2b10

ba0

T

L 1

0

03

gS

V''Π

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A forma final dos parâmetros adimensionais, alcançada por

aplicação do teorema П de Buckingham, depende, como se

viu, da escolha das variáveis seleccionadas como base para a

sua construção.

Os grupos adimensionais, П1', П2' e П3', podem ser obtidos

por intermédio de operações matemáticas, envolvendo П1, П2

e П3:2

0

2

0

0

0

311V

Sg

V

gS

S

SΠΠ'Π

0

2

0

0

0

032

V

tg

V

gS

S

tVΠΠ'Π2

2

0

03

V

gSΠ'Π3

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De forma análoga, também os grupos adimensionais, П1'', П2''

e П3'', podem ser obtidos por intermédio de operações,

envolvendo П1, П2 e П3:

0

11S

SΠ''Π

tS

g

V

gS

S

tVΠΠ''Π

00

0

0

021

322

0

021

33gS

VΠ''Π

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Representação gráfica através de software

• Visual Basic 6.0

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Prós:

A análise dimensional permite uma redução significativa do

nº de variáveis independentes, que o senso comum indica

como necessárias, para uma dada situação física;

Qualquer parâmetro, Пi, pode ser substituído pelo seu

produto por uma constante adimensional, pelo seu produto por

um ou mais dos restantes П's ou por uma potência de si

próprio com expoente constante qualquer.

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Contras:

Não possui a capacidade de fazer intervir uma ou mais

variáveis, que tenham sido erradamente omitidas na

formulação inicial do problema;

Apenas indica a existência de uma relação funcional entre

parâmetros adimensionais, pelo que o aspecto dessa relação

funcional deverá ser ilustrado por recurso complementar a

análises do tipo teórico ou experimental.

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