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Curso de Especialização em Telecomunicações
Tersio Guilherme de Souza Cruz
1 – Noções de Função e Derivada
1.1 – Noções de Função
Definição: se uma variável y depende de outra variável x, de
tal forma que cada valor de x determina exatamente um valor
de y, então dizemos que y é uma função de x.
Exemplo2
xy
Entrada x Saída yfunção
x y
0 0
1 1
4 2
-1 1
-2 4
2xy
Outros exemplos:
xxyouxy cos)(cos
2
21
4
1
0
)(r
qqrE
2
2
1
2
2
1
)( attvxtx
ou
attvxx
oo
oo
Seja a posição x de um móvel em MRUV em função do tempo
t dada pela equação
22105)( tttx
Então, a posição do móvel no instante t = 1,0 s é
mx
x
x
13)10(
0,20,105)0,1(
)0,1(2)0,1(105)0,1(2
Função Linear:
a
x
y
x0
y0
(x0,y0)
(x1,y0)y1
x1
x1-x0
y1-y0
01
01
xx
yymtg
)(0101
xxmyy
)(0101
xxmyy
mxay
com a = y0 – mx0
a
x
y
mxay
1.2 – Nocões de Derivada
-Kepler, Galileu, Simon Stevin, Pièrre de Fermat, René Descartes,
Blaise Pascal ....
Origens do Cálculo
Gottfried Wilhelm Leibnz
(1646 – 1716)
Isaac Newton (1642 – 1727)
1.2 – O “Problema dos Matemáticos”
Como traçar a reta tangente a uma curva dada num
determinado ponto das curva?
tangenteCircunferência
raio
P
1 – A tangente em P é uma reta que passa por P,
perpendicularmente ao raio por esse mesmo ponto.
2 – A tangente em P é a reta que só toca a circunferência
neste ponto
Outras curvas: problemas!
P
Qual o raio?
P
Tangente?
P
Tangente. Mas toca duas vezes a reta
x
y
y = f(x)
P
Definindo a tangente em P:
x
f(x)
secante
Q
x+ x
f(x+ x)
x
f(x+ x)-f(x)
Logo, a secante msec é dada por
x
xfxxfm
)()(sec
x
y = f(x)
P
Definindo a tangente em P:
x
f(x)
Q
x+ x
f(x+ x)
x
f(x+ x)-f(x)
Q1
secante
y
x
y
y = f(x)
P
Definindo a tangente em P:
x
f(x)
Q
x+ x
f(x+ x)
x
f(x+ x) - f(x)
Q1
secante
Q2
A tangente mtang é definida por
x
xfxxfm
xg
)()(lim
0tan
P
x
f(x)
Q
tangente em
P
f(x+ x)
x+ x
secante
1.3 – “Problema dos Físicos”:
Como calcular a velocidade instantânea?
Seja x(t) a posição de uma partícula em função do tempo t.
t
x(t)x(t)
t
x(t)x(t)
P
t0
x(t0)
x(t0) = posição da partícula no instante t0
t0+ t
Qx(t0+ t)
x(t0+ t) = posição da partícula no instante t0
t
txttx
t
xv
m
)()(
t
x
Qual a velocidade (instantânea) v(t) no instante t?
t
x(t)x(t)
P
t0
x(t0)t
x
t0+ t
Qx(t0+ t)
t
txttxtv
t
)()(lim)(
0
Paradoxo do Zenão de Eléia
1.4 - Definição de derivada
A derivada de uma função f é a função f´ tal que o seu valor
em qualquer número x do domínio de f seja dado por
t
txttx
dx
dff
t
)()(lim
0
´
se este limite existir
Uma função derivável em um ponto pode ser não-derivável em
outro!!!!
Duas Interpretações:
1- A derivada f´ de uma função é uma função cujo valor em x é a
inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) em x.
2 – A derivada f´ é uma função cujo valor em x é a taxa
instantânea da variação de y com relação a x no ponto x.
Exemplos:
dt
dxtv )(
dt
dQtI )(
t
x(t))]([)( tx
dt
dtv
t0
v(t0)
v(t0) 0
t1
v(t1)
v(t1)= 0
t2
v(t2)v(t2) 0
Exemplo usando a definição: calcule a derivada da função
f(x) = 3+x2
x
xfxxff
x
)()(lim´
0
x
xxxx
x
xxxxf
23)(3)(
222
xxxx
xxxf
xx
2]2[lim]2
[lim´0
2
0
xxdx
dxf
dx
d
dx
dff 2]3[)]([´
2
1.5 - Algumas regras de derivação
1.5.1 - Regra da Constante: para qualquer constante c
0)(cdx
d
x
y
cy = c
Inclinação = 0
1.5.2 - Regra da Potência: para qualquer número real n
1)(
nnnxx
dx
dVer exemplo
anterior
1.5.3 - Regra da Multiplicação por uma Constante:se c é uma
constante e f(x) é uma função derivável no ponto x, cf(x) também
é uma função derivável e
)()]([ xcfxcfdx
d
Exemplo: seja
2)( cxxf
cxcxdx
d2)(
2
1.5.4 - Regra da Soma:se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis
no ponto x, a soma s(x) = f(x) + g(x) também é derivável e
)´()´()´( xgxfxs
)]([)]([)]()([ xgdx
dxf
dx
dxgxf
dx
d
Exemplo: seja a função2
5410)( tttx
f(x) = 10 g(x) = 4t h(x) = -5t 2
ttttdx
d1041040)5410(
2
1.5.5 - Regra da Produto:se f(x) e g(x) são duas funções
deriváveis no ponto x, o produto P(x) = f(x) . g(x) também é
derivável e
dx
dfxg
dx
dgxfxgxf
dx
d).().()]().([
´.´)´.( fgfggf
Exemplo: seja a função )13()(2
xxxP
f(x) = x2 g(x) =3x+1
xxxxxxP 29)2).(13()3).(()(́22
1.5.6 - Regra da Quociente:se f(x) e g(x) são duas funções
deriváveis no ponto x, o quociente P(x) = f(x) / g(x) também é
derivável e
0´´.
)´(2
comg
fgfg
g
f
)(
).().(
)(
)(
2xg
dx
dgxf
dx
dfxg
xg
xf
dx
d
Exemplo: seja a função )3/()212(2
xxxy
2
2
2
2
)3(
156
)3(
)]1.(212()22).(3()(́
x
xx
x
xxxxxQ
1.5.7 - Regra da Cadeia:se g(x) for derivável em x e a função f
for derivável em g(x), então a função composta f o g será
derivável em x, e
)´()).(´())`(( xgxgfxgf
dx
du
du
dy
dx
dy
Exemplos:
a) Seja a função 12
xy
2
1
)(12
uuyxu
12
1)1(
2
1)(
2
1
2
2 2
1
2
1
x
xudu
dy
1
)2(
12
1
22x
xx
xdx
dy
xdx
du2
b) Seja a função geral do tipo
nxfy )(
nuyexfu )(
)(́1
xfdx
dunu
du
dy n
)(́1
xfnudx
du
du
dy
dx
dy n
1.5.8 – Funções Trigonométricas
uxf sen)(
dx
duuud
dx
xdfcos)(sen
)(
uxf cos)(
dx
duuud
dx
xdfsen)(cos
)(
dx
duutgu
dx
d 2sec)(
tguxf )(
u
uxf
cos
sen)( Regra do
quociente
Exemplo: seja a função
)310sen( xy
Vamos introduzir a variável intermediária
10310dx
duxu
)310cos(cossen xudu
dyuy
)310cos(10 xdx
du
du
dy
dx
dy
Exemplo: seja a função
1sen2
xy
uyxu sen12
1coscos2
xdu
dyu
du
dy
dx
du
du
dy
dx
dyRegra da cadeia
dx
xd
dx
duu
du
dy 2
1
2)1(
cos
dx
zd
dx
duxz
)(1
2
1
2
1
22
2
1 2
1
x
xxz
dx
dz
dz
du
dx
du
1
1cos
2
2
x
xx
dx
du
du
dy
dx
dy
1.5.9 – Função Logarítmica : se u é uma função diferenciável de x
e u(x) 0, então
dx
du
uu
dx
d 1][ln
Exemplo: seja a função
)12ln(3
xxy
12
23
3
2
xx
x
dx
dy
uyxxu ln123
2312
11 2
3x
dx
du
xxudu
dy
1.5.10 – Função Exponencial : se u é uma função diferenciável
de x, então
dx
duee
dx
d uu][
Exemplo: seja a função2
1
xey
3
212
xdx
duu
x
2
1
3
2][ xe
xdx
duee
dx
d
dx
dy uu
1.6 - Derivada no ponto: seja a posição de um móvel dada pela
função2
35,03)( tttx
com x dado em metros. Calcule a velocidade do móvel no
instante t = 10,0s.
dt
dxtv )(
)0,10(65,065,0)0,10(0,10
0,10
t
t
tdt
dxv
mtv 5,60)(
1.7 - Derivadas de Ordem Superior: se a função f for
derivável, então f´ é chamada de derivada primeira de f. Se a
derivada f´ existir, ela será chamada de derivada segunda de f e
poderá ser denotada por f´´.
A derivada enésima da função f (n=inteiro positivo e maior do
que 1), é a derivada primeira da derivada (n-1)ésima de f.
Notação de Leibniz
dx
df
2
2
dx
fd
derivada
primeira
derivada
segunda
3
3
dx
fd derivada
terceira
n
n
dx
fd derivada
enésima
Exemplo: no MRUV a posição da partícula é dada por
2
2
1
00)( attvxtx
em que x0 (posição inicial), v0 (velocidade inicial) e a
(aceleração) são constantes.
atvdt
dxtv
o)(
adt
xd
dt
dvta
2
2
)(
1.8 – Derivadas Parciais: seja a função escalar (x,y,z) no
espaço. As derivadas parciais de em relação a x, y e z são,
respectivamente,
zyx: lê-se “del”
Exemplo: seja a função32
),( yxyxf
232 x
yx
x
Exemplo: a equação de uma onda numa corda vibrante é
dada por
)cos(),( tkxytxym
com ym, k e constantes.
A velocidade vertical de um ponto localizado no ponto x
(fixo) da corda é dada por
)]cos([ tkxytt
yv
my
))].(sen([ tkxyvmy
)sen( tkxyvmy
A aceleração vertical deste ponto é dada por
)]sen([2
2
tkxytt
ya
my
))].([cos( tkxyamy
)cos(2
tkxyamy
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