Curso de Especialização em Telecomunicações

Tersio Guilherme de Souza Cruz

1 – Noções de Função e Derivada

1.1 – Noções de Função

Definição: se uma variável y depende de outra variável x, de

tal forma que cada valor de x determina exatamente um valor

de y, então dizemos que y é uma função de x.

Exemplo2

xy

Entrada x Saída yfunção

x y

0 0

1 1

4 2

-1 1

-2 4

2xy

Outros exemplos:

xxyouxy cos)(cos

2

21

4

1

0

)(r

qqrE

2

2

1

2

2

1

)( attvxtx

ou

attvxx

oo

oo

Seja a posição x de um móvel em MRUV em função do tempo

t dada pela equação

22105)( tttx

Então, a posição do móvel no instante t = 1,0 s é

mx

x

x

13)10(

0,20,105)0,1(

)0,1(2)0,1(105)0,1(2

Função Linear:

a

x

y

x0

y0

(x0,y0)

(x1,y0)y1

x1

x1-x0

y1-y0

01

01

xx

yymtg

)(0101

xxmyy

)(0101

xxmyy

mxay

com a = y0 – mx0

a

x

y

mxay

1.2 – Nocões de Derivada

-Kepler, Galileu, Simon Stevin, Pièrre de Fermat, René Descartes,

Blaise Pascal ....

Origens do Cálculo

Gottfried Wilhelm Leibnz

(1646 – 1716)

Isaac Newton (1642 – 1727)

1.2 – O “Problema dos Matemáticos”

Como traçar a reta tangente a uma curva dada num

determinado ponto das curva?

tangenteCircunferência

raio

P

1 – A tangente em P é uma reta que passa por P,

perpendicularmente ao raio por esse mesmo ponto.

2 – A tangente em P é a reta que só toca a circunferência

neste ponto

Outras curvas: problemas!

P

Qual o raio?

P

Tangente?

P

Tangente. Mas toca duas vezes a reta

x

y

y = f(x)

P

Definindo a tangente em P:

x

f(x)

secante

Q

x+ x

f(x+ x)

x

f(x+ x)-f(x)

Logo, a secante msec é dada por

x

xfxxfm

)()(sec

x

y = f(x)

P

Definindo a tangente em P:

x

f(x)

Q

x+ x

f(x+ x)

x

f(x+ x)-f(x)

Q1

secante

y

x

y

y = f(x)

P

Definindo a tangente em P:

x

f(x)

Q

x+ x

f(x+ x)

x

f(x+ x) - f(x)

Q1

secante

Q2

A tangente mtang é definida por

x

xfxxfm

xg

)()(lim

0tan

P

x

f(x)

Q

tangente em

P

f(x+ x)

x+ x

secante

1.3 – “Problema dos Físicos”:

Como calcular a velocidade instantânea?

Seja x(t) a posição de uma partícula em função do tempo t.

t

x(t)x(t)

t

x(t)x(t)

P

t0

x(t0)

x(t0) = posição da partícula no instante t0

t0+ t

Qx(t0+ t)

x(t0+ t) = posição da partícula no instante t0

t

txttx

t

xv

m

)()(

t

x

Qual a velocidade (instantânea) v(t) no instante t?

t

x(t)x(t)

P

t0

x(t0)t

x

t0+ t

Qx(t0+ t)

t

txttxtv

t

)()(lim)(

0

Paradoxo do Zenão de Eléia

1.4 - Definição de derivada

A derivada de uma função f é a função f´ tal que o seu valor

em qualquer número x do domínio de f seja dado por

t

txttx

dx

dff

t

)()(lim

0

´

se este limite existir

Uma função derivável em um ponto pode ser não-derivável em

outro!!!!

Duas Interpretações:

1- A derivada f´ de uma função é uma função cujo valor em x é a

inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) em x.

2 – A derivada f´ é uma função cujo valor em x é a taxa

instantânea da variação de y com relação a x no ponto x.

Exemplos:

dt

dxtv )(

dt

dQtI )(

t

x(t))]([)( tx

dt

dtv

t0

v(t0)

v(t0) 0

t1

v(t1)

v(t1)= 0

t2

v(t2)v(t2) 0

Exemplo usando a definição: calcule a derivada da função

f(x) = 3+x2

x

xfxxff

x

)()(lim´

0

x

xxxx

x

xxxxf

23)(3)(

222

xxxx

xxxf

xx

2]2[lim]2

[lim´0

2

0

xxdx

dxf

dx

d

dx

dff 2]3[)]([´

2

1.5 - Algumas regras de derivação

1.5.1 - Regra da Constante: para qualquer constante c

0)(cdx

d

x

y

cy = c

Inclinação = 0

1.5.2 - Regra da Potência: para qualquer número real n

1)(

nnnxx

dx

dVer exemplo

anterior

1.5.3 - Regra da Multiplicação por uma Constante:se c é uma

constante e f(x) é uma função derivável no ponto x, cf(x) também

é uma função derivável e

)()]([ xcfxcfdx

d

Exemplo: seja

2)( cxxf

cxcxdx

d2)(

2

1.5.4 - Regra da Soma:se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis

no ponto x, a soma s(x) = f(x) + g(x) também é derivável e

)´()´()´( xgxfxs

)]([)]([)]()([ xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d

Exemplo: seja a função2

5410)( tttx

f(x) = 10 g(x) = 4t h(x) = -5t 2

ttttdx

d1041040)5410(

2

1.5.5 - Regra da Produto:se f(x) e g(x) são duas funções

deriváveis no ponto x, o produto P(x) = f(x) . g(x) também é

derivável e

dx

dfxg

dx

dgxfxgxf

dx

d).().()]().([

´.´)´.( fgfggf

Exemplo: seja a função )13()(2

xxxP

f(x) = x2 g(x) =3x+1

xxxxxxP 29)2).(13()3).(()(́22

1.5.6 - Regra da Quociente:se f(x) e g(x) são duas funções

deriváveis no ponto x, o quociente P(x) = f(x) / g(x) também é

derivável e

0´´.

)´(2

comg

fgfg

g

f

)(

).().(

)(

)(

2xg

dx

dgxf

dx

dfxg

xg

xf

dx

d

Exemplo: seja a função )3/()212(2

xxxy

2

2

2

2

)3(

156

)3(

)]1.(212()22).(3()(́

x

xx

x

xxxxxQ

1.5.7 - Regra da Cadeia:se g(x) for derivável em x e a função f

for derivável em g(x), então a função composta f o g será

derivável em x, e

)´()).(´())`(( xgxgfxgf

dx

du

du

dy

dx

dy

Exemplos:

a) Seja a função 12

xy

2

1

)(12

uuyxu

12

1)1(

2

1)(

2

1

2

2 2

1

2

1

x

xudu

dy

1

)2(

12

1

22x

xx

xdx

dy

xdx

du2

b) Seja a função geral do tipo

nxfy )(

nuyexfu )(

)(́1

xfdx

dunu

du

dy n

)(́1

xfnudx

du

du

dy

dx

dy n

1.5.8 – Funções Trigonométricas

uxf sen)(

dx

duuud

dx

xdfcos)(sen

)(

uxf cos)(

dx

duuud

dx

xdfsen)(cos

)(

dx

duutgu

dx

d 2sec)(

tguxf )(

u

uxf

cos

sen)( Regra do

quociente

Exemplo: seja a função

)310sen( xy

Vamos introduzir a variável intermediária

10310dx

duxu

)310cos(cossen xudu

dyuy

)310cos(10 xdx

du

du

dy

dx

dy

Exemplo: seja a função

1sen2

xy

uyxu sen12

1coscos2

xdu

dyu

du

dy

dx

du

du

dy

dx

dyRegra da cadeia

dx

xd

dx

duu

du

dy 2

1

2)1(

cos

dx

zd

dx

duxz

)(1

2

1

2

1

22

2

1 2

1

x

xxz

dx

dz

dz

du

dx

du

1

1cos

2

2

x

xx

dx

du

du

dy

dx

dy

1.5.9 – Função Logarítmica : se u é uma função diferenciável de x

e u(x) 0, então

dx

du

uu

dx

d 1][ln

Exemplo: seja a função

)12ln(3

xxy

12

23

3

2

xx

x

dx

dy

uyxxu ln123

2312

11 2

3x

dx

du

xxudu

dy

1.5.10 – Função Exponencial : se u é uma função diferenciável

de x, então

dx

duee

dx

d uu][

Exemplo: seja a função2

1

xey

3

212

xdx

duu

x

2

1

3

2][ xe

xdx

duee

dx

d

dx

dy uu

1.6 - Derivada no ponto: seja a posição de um móvel dada pela

função2

35,03)( tttx

com x dado em metros. Calcule a velocidade do móvel no

instante t = 10,0s.

dt

dxtv )(

)0,10(65,065,0)0,10(0,10

0,10

t

t

tdt

dxv

mtv 5,60)(

1.7 - Derivadas de Ordem Superior: se a função f for

derivável, então f´ é chamada de derivada primeira de f. Se a

derivada f´ existir, ela será chamada de derivada segunda de f e

poderá ser denotada por f´´.

A derivada enésima da função f (n=inteiro positivo e maior do

que 1), é a derivada primeira da derivada (n-1)ésima de f.

Notação de Leibniz

dx

df

2

2

dx

fd

derivada

primeira

derivada

segunda

3

3

dx

fd derivada

terceira

n

n

dx

fd derivada

enésima

Exemplo: no MRUV a posição da partícula é dada por

2

2

1

00)( attvxtx

em que x0 (posição inicial), v0 (velocidade inicial) e a

(aceleração) são constantes.

atvdt

dxtv

o)(

adt

xd

dt

dvta

2

2

)(

1.8 – Derivadas Parciais: seja a função escalar (x,y,z) no

espaço. As derivadas parciais de em relação a x, y e z são,

respectivamente,

zyx: lê-se “del”

Exemplo: seja a função32

),( yxyxf

232 x

yx

x

Exemplo: a equação de uma onda numa corda vibrante é

dada por

)cos(),( tkxytxym

com ym, k e constantes.

A velocidade vertical de um ponto localizado no ponto x

(fixo) da corda é dada por

)]cos([ tkxytt

yv

my

))].(sen([ tkxyvmy

)sen( tkxyvmy

A aceleração vertical deste ponto é dada por

)]sen([2

2

tkxytt

ya

my

))].([cos( tkxyamy

)cos(2

tkxyamy