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Introdução:

Existem grandezas que são caracterizadas por apenas uma componente (intensidade ou

magnitude). Outras grandezas necessitam de informações acerca de sua direção e seu sentido,

além de sua magnitude, para serem descritas. De maneira mais ampla, pode-se generalizar

estas idéias, introduzindo-se o conceito de tensores.

Tensores são entes matemáticos abstratos cujas propriedades fundamentais

independem do sistema de referência em que estão representadas. Além disso, atribui-se uma

ordem de grandeza aos tensores. Um tensor dito de ordem “n” terá 3n componentes.

� Tensores de Ordem Zero (escalar): Invariantes que são definidos por uma única

coordenada (30 = 1 componente). Sendo assim, não requerem um sistema de referência.

Embora sejam caracterizados apenas por sua magnitude, é necessário cuidado com o

sistema de unidades adotado para expressá-los. Esse cuidado deve se estender para os

demais tipos de tensores. Como exemplos de grandezas escalares, têm-se: massa,

temperatura, energia, etc...

� Tensores de Primeira Ordem (vetor): Utilizados para descrever grandezas que requerem

informações sobre sua magnitude, direção e sentido (31 = 3 componentes).

Exemplos: velocidade, aceleração, força, etc...

� Tensores de Segunda Ordem (diádico): Neste ponto, torna-se difícil o entendimento do

significado físico destes tensores (32 = 9 componentes). Esta tarefa é facilitada através da

analogia com fenômenos físicos. Para isso, considere o estado de tensões em um

elemento infinitesimal.

Exemplos: tensor de tensões, tensor de deformações, tensor de inércia, etc...

x

y

z

τ xy

τ xz

σ xx

σ yy

σ zz

τ yx

τ yz

τ zx

τ zy

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

σττ

τστ

ττσ

σ Tensor de Tensões:

Observação: Existem tensores de ordem superior. Por exemplo, o tensor elástico da

Lei de Hooke Generalizada para casos 3-D que é de quarta ordem. P/ o caso

anisotrópico, têm-se 34 = 81 componentes.

Exemplo: klijklij E εσ =