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igor-henrique
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Introdução a algebra
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Introdução:
Existem grandezas que são caracterizadas por apenas uma componente (intensidade ou
magnitude). Outras grandezas necessitam de informações acerca de sua direção e seu sentido,
além de sua magnitude, para serem descritas. De maneira mais ampla, pode-se generalizar
estas idéias, introduzindo-se o conceito de tensores.
Tensores são entes matemáticos abstratos cujas propriedades fundamentais
independem do sistema de referência em que estão representadas. Além disso, atribui-se uma
ordem de grandeza aos tensores. Um tensor dito de ordem “n” terá 3n componentes.
� Tensores de Ordem Zero (escalar): Invariantes que são definidos por uma única
coordenada (30 = 1 componente). Sendo assim, não requerem um sistema de referência.
Embora sejam caracterizados apenas por sua magnitude, é necessário cuidado com o
sistema de unidades adotado para expressá-los. Esse cuidado deve se estender para os
demais tipos de tensores. Como exemplos de grandezas escalares, têm-se: massa,
temperatura, energia, etc...
� Tensores de Primeira Ordem (vetor): Utilizados para descrever grandezas que requerem
informações sobre sua magnitude, direção e sentido (31 = 3 componentes).
Exemplos: velocidade, aceleração, força, etc...
� Tensores de Segunda Ordem (diádico): Neste ponto, torna-se difícil o entendimento do
significado físico destes tensores (32 = 9 componentes). Esta tarefa é facilitada através da
analogia com fenômenos físicos. Para isso, considere o estado de tensões em um
elemento infinitesimal.
Exemplos: tensor de tensões, tensor de deformações, tensor de inércia, etc...
x
y
z
τ xy
τ xz
σ xx
σ yy
σ zz
τ yx
τ yz
τ zx
τ zy
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
σττ
τστ
ττσ
σ Tensor de Tensões:
Observação: Existem tensores de ordem superior. Por exemplo, o tensor elástico da
Lei de Hooke Generalizada para casos 3-D que é de quarta ordem. P/ o caso
anisotrópico, têm-se 34 = 81 componentes.
Exemplo: klijklij E εσ =