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matematica
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DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 1
APOSTILA 2015
DESENHO GEOMTRICO
PROFESSOR: DENYS YOSHIDA
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 2
Sumrio
1. Trigonometria no triangulo retngulo .....................................................................................3
1.1 Tringulo retngulo .................................................................................................................4
1.2 Teorema de Pitgoras.............................................................................,,,,,,,.........................4
1.3 Outras relaes no tringulo retngulo ...................................................................................7
1.4 Nomenclatura dos catetos....................................... ................................................................9
1.5 Razes trigonomtricas no tringulo retngulo .......................................................................9
2. Geometria Plana...................................................................................................................13
2.1 Razes entre segmentos de retas ........................................................................................13
2.2 Segmentos proporcionais ......................................................................................................13
2.3 Teorema de Tales..................................................................................................................16
2.4 Semelhana de tringulos......................................................................................................21
2.5 Casos de semelhana............................................................................................................21
3. Polgonos .............................................................................................................................25
3.1 Definio e classificao.......................... .............................................................................25
3.2 Polgonos convexos e no convexos.....................................................................................26
3.3 ngulos de um polgono ........................................................................................................27
3.4 Diagonais de um polgono .....................................................................................................27
3.5 rea de polgonos .................................................................................................................28
4. Circunferncia e crculo........................................................................................................34
4.1 Definio........................... ....................................................................................................34
4.2 Comprimento da circunferncia.............................................................................................34
4.3 rea da circinferncia.............................................................................................................35
5. Polgonos regulares..............................................................................................................37
5.1 Definio................................................................................................................................37
5.2 Polgonos inscritos e circunscritos na circunferncia.............................................................37
5.3 Quadrado inscrito na circunferncia.......................................................................................38
5.4 Tringulo equiltero inscrito na circunferncia.......................................................................38
5.5 Hexgono inscrito na circunferncia......................................................................................38
Referncias bibliogrficas...........................................................................................................42
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 3
1. Trigonometria no tringulo retngulo
A Trigonometria possui uma infinidade de aplicaes prticas. Como medir a altura de um
arranha-cu de 100 andares sem escal-lo? Ou medir a largura de um rio sem atravess-lo de
uma margem outra? A trigonometria (trigono=tringulo; metria=medida) o ramo da
matemtica que trata das relaes entre os lados e ngulos de tringulos e serve para calcular
distncias inacessveis, muito utilizadas na astronomia e geografia. A trigonometria uma
ferramenta da Engenharia, Arquitetura, Fsica, Aeronutica, Navegao, Topografia e em toda
atividade que envolve a localizao espacial de pontos e o clculo de distncias entre eles.
Enfim, a trigonometria serve para uma infinidade de clculos, dentre eles, podemos citar:
calcular a quantidade de degraus necessrios para por numa escada, determinar o tamanho e
declividade de um terreno para evitar deslizamentos e assim salvar vidas, calcular o ngulo
certo para lanamento de misses e foguetes, calcular o ngulo de declividade de rampas de
acessos a prdios e etc.
Determinao da altura de certo monumento:
Os gregos determinaram a medida do raio da Terra, por um processo muito simples. Seria
impossvel se medir a distncia da Terra Lua, porm com a Trigonometria isso se torna muito
simples.
Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele
mais fcil quando ele usa alguns recursos trigonomtricos.
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 4
Um cartgrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento
de um rio, etc. Sem a Trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa. Tudo isto
possvel calcular com o uso da Trigonometria no tringulo retngulo.
1,1 Tringulo Retngulo
um tringulo que possui um ngulo reto, isto , um de seus ngulos mede noventa graus, da
o nome de tringulo retngulo. Como a soma das medidas dos ngulos internos de um
tringulo igual a 180, ento os outros dois ngulos mediro 90.
Observao: Se a soma de dois ngulos mede 90, estes ngulos so chamados
complementares, portanto podemos dizer que o tringulo retngulo possui dois ngulos
complementares.
Lados de um Tringulo Retngulo
Os lados de um tringulo retngulo recebem nomes especiais. Estes nomes so dados de
acordo com a posio em relao ao ngulo reto. O lado oposto ao ngulo reto a hipotenusa.
Os lados que formam o ngulo reto (adjacentes a ele) so os catetos.
1.2 Teorema de Pitgoras
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 5
O teorema de Pitgoras talvez seja o mais importante teorema de toda a matemtica. Com ele
podemos descobrir a medida de um lado de um tringulo retngulo, a partir da medida de seus
outros dois lados.
Teorema de Pitgoras: a soma dos quadrados dos catetos igual ao quadrado da
hipotenusa.
a + b = c
Exemplo de aplicao
Calcule o valor do segmento desconhecido no tringulo retngulo a seguir:
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 6
15
225
225
14481
129
2
2
222
x
x
x
x
x
Exerccios propostos
1- Enuncie o Teorema de Pitgoras.
2- Determine o valor do segmento desconhecido no tringulo abaixo:
3- Os catetos de um tringulo retngulo so respectivamente 6 m e 8 m. Qual a medida da
hipotenusa?
4- Sabendo que os catetos de um tringulo retngulo medem 1 m e 3 m, calcule o valor da
hipotenusa.
5- A hipotenusa de um tringulo retngulo igual a 12 m e um cateto mede 8 m. Quanto
mede o outro cateto?
6- A hipotenusa de um tringulo retngulo mede 13 cm e um de seus catetos mede 5 cm.
Calcule o valor de outro cateto?
7- Determine o permetro de um tringulo retngulo cujos catetos medem 12 cm e 5 cm.
8- A altura de uma rvore 7 m. Ser fixada uma escada a 1 m de sua base para que um
homem possa podar seus galhos. Qual o menor comprimento que essa escada deve ter?
9- Genoveva est participando de uma caa ao tesouro com um mapa de instrues e uma
bssola. Ao chegar a ultima instruo, ela seguiu 120 passos para o oeste, mas deveria ter
12 x
16
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 7
seguido 50 passos para o norte. Ao perceber o erro, resolveu voltar e recomear, mas
pensou que poderia economizar alguns passos se soubesse a direo exata do tesouro a
partir daquele ponto. Se pudesse ir direto ao tesouro, quantos passos a menos Genoveva
daria?
10- Qual o valor dos catetos de um tringulo retngulo issceles sabendo que a hipotenusa
mede 10 cm?
11- As razes da equao 048142 xx expressam em centmetros as medidas dos
catetos de um tringulo retngulo. Determine a medida da hipotenusa e o permetro desse
tringulo.
12- Em um tringulo retngulo, um cateto mede o dobro do outro, e a hipotenusa mede 10 m.
Calcule a medida, em metros, do cateto maior desse tringulo.
13- Determine a medida da diagonal de um quadrado de 9 cm de lado.
14- Calcule a medida do lado de um quadrado cuja diagonal mede cm28 .
15- (PUC-SP) Um ciclista acrobtico vai atravessar de um prdio a outro com uma bicicleta
especial, percorrendo a distncia sobre um cabo de ao, como demonstra o esquema a
seguir:
Qual a medida mnima aproximada do comprimento do cabo de ao?
1.3 Outras relaes no tringulo retngulo
Dado um tringulo retngulo ABC, reto em A, com hipotenusa igual a a e catetos iguais a b e c:
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 8
Se nesse mesmo tringulo retngulo traarmos uma reta h que parte do vrtice A e que seja
perpendicular ao lado a no ponto H, essa reta ser a altura do meu tringulo retngulo e ir
dividir o lado a em dois lados m e n:
Assim formamos mais dois tringulos retngulos: ABH e AHC.
Nesses novos tringulos podemos observar as seguintes relaes:
nmh .2
amc .2
anb .2
hacb ..
Exemplo
Calcular os catetos de um tringulo retngulo, sabendo que as suas projees sobre a
hipotenusa medem 2 cm e 3 cm.
cmanma 532
cmbbanb 1515. 22
cmccamc 1010. 22
Exerccios propostos
16- Num tringulo retngulo, os catetos medem 6 cm e 8 cm. Determine a medida:
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 9
a) Das projees ortogonais de cada cateto sobre a hipotenusa.
b) Da altura relativa hipotenusa
c) Da hipotenusa
17- Num tringulo retngulo, a hipotenusa mede 10 e os catetos medem 52 e 54 . Calcule
a altura correspondente hipotenusa.
18- Determine, num tringulo retngulo de catetos com medidas iguais a 3 e 4, a medida da
hipotenusa e a altura relativa hipotenusa.
19- Em um tringulo retngulo ABC, a altura relativa hipotenusa BC divide-a em dois
segmentos que medem 3 cm e 12 cm. Calcule a rea desse tringulo.
20- Em um tringulo retngulo ABC, o cateto AB mede 5 cm e a altura relativa hipotenusa BC
mede m52 . Calcule a medida do cateto AC.
1.4 Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posio em relao ao ngulo sob
anlise. Se estivermos operando com o ngulo C, ento o lado oposto, indicado por c, o
cateto oposto ao ngulo C e o lado adjacente ao ngulo C, indicado por b, o cateto adjacente
ao ngulo C.
NGULO LADO OPOSTO LADO
ADJACENTE
C c cateto oposto b cateto adjacente
B b cateto oposto c cateto adjacente
1.5 Razes trigonomtricas no tringulo retngulo
Num tringulo retngulo, podemos estabelecer razes entre as medidas dos seus lados:
catetos (que formam o ngulo reto) e hipotenusa (que se ope ao ngulo reto). Dado o
tringulo retngulo ABC abaixo:
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 10
Podemos definir as seguintes razes trigonomtricas:
Seno de um ngulo: a razo entre a medida do cateto oposto a esse ngulo e da
hipotenusa.
Cosseno de um ngulo: a razo entre a medida do cateto adjacente a esse ngulo e da
hipotenusa.
Tangente de um ngulo: a razo entre a medida do cateto oposto e do cateto adjacente a
esse ngulo.
Exemplo de aplicao:
Calcule o seno, o cosseno e a tangente dos ngulos B e C no tringulo retngulo abaixo:
4
3
12
9
5
4
15
12cos
5
3
15
9
Btg
B
Bsen
3
4
9
12
5
3
15
9cos
5
4
15
12
Btg
C
Csen
Valores importantes de seno, cosseno e tangente.
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 11
30 45 60
Seno
2
1
2
2 2
3
Cosseno
2
3 2
2 2
1
Tangente
3
3
1 3
Exerccios propostos
21- Dado o tringulo retngulo abaixo:
E sabendo que o lado AB mede 8 cm e o lado AC mede 6cm, calcule seno, cosseno e
tangente dos ngulos B e C.
22- Num tringulo retngulo, os catetos medem 2 m e 3 m. Sendo o menor ngulo desse
tringulo, calcule o seno, o cosseno e a tangente de .
23- Num tringulo retngulo, os catetos medem 9 cm e 12 cm. Sendo o menor ngulo
desse tringulo, calcule o seno, o cosseno e a tangente de .
24- Dado o tringulo abaixo, calcule o valor de seno, cosseno e tangente dos ngulos de 30 e
60.
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 12
25- Calcular os catetos de um tringulo retngulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos
ngulos mede 60.
26- Calcule o permetro do tringulo retngulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC
igual a 10m e 5
3cos .
27- Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4m do solo, forma com essa
parede um ngulo de 60. Qual o comprimento da escada em metros?
28- Uma escada de 10m apoiada em um muro, formando com o cho um ngulo de 20.
Calcule a altura do muro, sabendo que 34,020 sen .
29- Um navio avista a torre de um farol segundo um ngulo de 30. Sabendo que a altura do
farol de 72 m, determine a distncia do navio ao farol. (Despreze a altura do navio).
30- Num campeonato de asa-delta, um participante se encontra a uma altura de 160 m e v o
ponto de chegada a um ngulo de 60. Determine a distncia aproximada em que ele est
desse ponto de chegada.
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 13
2. Geometria Plana
Os estudos iniciais sobre a Geometria Plana esto relacionados Grcia Antiga, ela tambm
pode ser denominada Geometria Euclidiana, em homenagem a Euclides de Alexandria, grande
matemtico educado na cidade de Atenas.
Os princpios que levaram elaborao da Geometria Plana eram baseados nos estudos do
ponto, da reta e do plano. O ponto era considerado um elemento que no tinha definio
plausvel, a reta era definida como uma sequncia infinita de pontos e o plano definido
atravs da disposio de retas.
2.1 Razo entre segmentos de retas
Segmento de reta o conjunto de todos os pontos de uma reta que esto limitados por dois
pontos que so as extremidades dos segmentos, sendo um deles o ponto inicial e o outro o
ponto final. Denotamos um segmento por duas letras quaisquer.
A _____________ B
Chamamos razo entre dois segmentos a razo ou quociente entre os nmeros que
expressam as medidas desses segmentos, tomados na mesma unidade.
Exemplo: Consideremos os segmentos AB e CD, indicados:
A________B m(AB)=2cm
C ______________ D m(CD)=5 cm
A razo entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por CD
AB, definida como a razo entre
as medidas desses segmentos, logo: 5
2
CD
AB.
2.2 Segmentos proporcionais
Dizemos que quatro segmentos BA , DC , FE e HG , nessa ordem, so proporcionais,
quando a razo entre os dois primeiros for igual razo entre os dois ltimos, ou seja:
HG
FE
DC
BA .
Exemplo de aplicao
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 14
Verifique se os seguintes segmentos cmAB 4 , cmCD 6 , cmEF 8 e cmGH 12
formam, nessa ordem, uma proporo.
6
4
12
8
6
4
GH
EF
CD
AB
Logo, podemos afirmar que os segmentos, nessa ordem, so proporcionais.
Exerccios propostos
31- Dados os seguintes segmentos:
m( AB ) = 5 cm
m( BC ) = 15 cm
m( DE ) = 7 cm
m( EF ) = 14 cm
Determine:
a) BC
AB d)
EF
DE
b) EF
AB e)
BC
DE
c) DE
EF f)
AB
BC
32- Observe a figura abaixo, onde mostra m( AB ) = m( BC ) = m (CD ) = m( DE )=1cm cada
um dos segmentos, e determine:
__________________________
A B C D E
a) BD
AB d)
AE
AC
b) CD
BE e)
AD
BE
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 15
c) DE
AB f)
CE
DE
33- Sabendo-se que AB , CD , EF e GH so proporcionais, nessa ordem, determine o valor
de x nos seguintes casos:
a) AB= 4 cm CD=X EF=12 cm GH= 9 cm
b) AB= 2 m CD=X EF= X GH= 8 m
c) AB= X CD=4 dm EF=16 dm GH= X
d) AB=15 cm CD=3 cm EF=X 3 GH= 1 cm
e) AB= 2X + 1 CD=9 cm EF=5 cm GH= 3 cm
f) AB= 5 m CD= X EF=2X GH= 10 m
34- Responda s questes:
a) A razo entre certo nmero e 6 2. Qual esse nmero?
b) A razo entre os segmentos AB e CD igual a 7
3. Qual a medida de AB, em mm, se
cmCD 35 ?
35- Calcule as medidas segmentos AB e BC nos seguintes casos:
a) BC
AB=
3
2 e AC= 20 cm
__________________________
A B C
b) BC
AB =
2
5 e AC=21 cm
__________________________
A B C
a b
b a
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 16
c) BC
AB = 1 e AC=30 cm
__________________________
A B C
2.3 Teorema de Tales
Tales de Mileto foi um importante filsofo, astrnomo e matemtico grego que viveu antes de
Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a
altura de uma pirmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam
Terra estavam na posio inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia
uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos.
Feixe de retas paralelas: o conjunto de trs ou mais retas paralelas num plano. A reta que
intercepta as retas do feixe chamada de reta transversal.
Teorema de Tales: um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer,
segmentos proporcionais.
a b
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 17
Na figura acima temos: ''
''
CB
BA
BC
AB .
Exemplo de aplicao
Determine o valor de x no seguinte feixe de retas paralelas:
5
8
85
45
2
x
x
x
Exerccios propostos
36- Enuncie o Teorema de Tales.
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 18
37- Calcule o valor de x na figura abaixo:
38- Aplicando o Teorema de Tales, calcule o valor de x:
39- Determine o valor de x nos feixes de retas paralelas:
40- (FMU-SP) Calcule x e y:
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 19
41- (UNIBAN-SP) No feixe de paralelas a seguir, calcule as medidas de x e y:
42- Aplicando a proporcionalidade do Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB
e BC na figura abaixo:
43- Determine o valor de x na figura abaixo:
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 20
44- Dois lotes esto representados na figura abaixo. Calculas as medidas de frente para a rua
R de cada um dos terrenos, respectivamente.
45- Considerando a figura abaixo:
a) Determine AD, sabendo que DB=5 cm, EC=10 cm e AE=8 cm.
b) Determine AD e DB, sabendo que AB=26 cm, AE=8 cm e EC=5 cm.
c) Determine AD e DB, sabendo que AB=27 cm, AE=10 cm e AC=18 cm.
X
X+11
20 m 30 m
P
R
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 21
2.4 Semelhana de tringulos
As figuras geomtricas so semelhantes se possuem exatamente a mesma forma,
independentemente do seu tamanho. Dois tringulos so semelhantes se tiverem os ngulos
iguais e os lados correspondentes proporcionais.
2.5 Casos de semelhana de tringulos
Os critrios de semelhana servem para provar que dois tringulos so semelhantes.
1 Caso (AA): Se dois tringulos possuem dois ngulos ordenadamente congruentes, eles so
semelhantes.
'''~'
'CBAABC
BB
AA
2 Caso (LAL): Se dois tringulos possuem dois lados correspondentes ordenados
proporcionais e o ngulo compreendido entre esses lados congruentes, ento os tringulos
so semelhantes.
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 22
'''~'
''''
'
CBAABC
CA
AC
BA
AB
AA
3 Caso (LLL): Se dois tringulos possuem os trs lados correspondentes ordenadamente
proporcionais, ento eles so semelhantes.
'''~'''''''
CBAABCCA
AC
CB
BC
BA
AB
Exemplo de aplicao
Determine o valor de y no seguinte par de tringulos semelhantes:
cmy
y
y
10
202
5
4
2
Exerccios propostos
2
cm
5cm
A A
B B
C C
4 cm Y
x
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 23
46- Defina figuras geomtricas semelhantes.
47- Determine o valor de x e y nos seguintes pares de tringulos semelhantes:
a)
b)
48- Sabendo que a razo de semelhana entre dois polgonos 3
4 e que o menor deles
apresenta o lado BC medindo 30 cm, determinar a medida do lado correspondente a BC no
maior polgono.
49- Dois tringulos issceles semelhantes tm permetros iguais a 48 cm e 600 mm. Se o lado
desigual do tringulo maior mede 25 cm, quais so as medidas dos lados do tringulo
menor e do tringulo maior?
2
cm
5cm
A A
B B
C C
4 cm Y
x
3
cm
7cm
A A
B B
C C
9 cm Y
x
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 24
50- Reescreva as sentenas falsas corrigindo-as:
a) Dois tringulos retngulos quaisquer so semelhantes.
b) Dois tringulos equilteros quaisquer nem sempre so semelhantes.
c) Dois tringulos so semelhantes se, e somente se, os ngulos correspondentes so
congruentes e os lados correspondentes so proporcionais.
51- Uma rgua de 1m de comprimento fincada no solo na posio vertical e projeta uma
sombra de 0,4m. No mesmo instante, um poste projeta uma sombra de 2,4m. Calcule a
altura do poste.
52- Para medir a altura de um prdio, uma pessoa mediu a sombra desse prdio, obtendo 9m,
e no mesmo instante, a sua prpria sombra, obtendo 0,6m. Se essa pessoa tem 1,80m de
altura, determine a altura do prdio.
53- Um edifcio iluminado pelos raios solares projeta uma sombra de comprimento igual a 72
m. Simultaneamente, uma vara vertical de 2,5 m de altura, colocada ao lado do edifcio,
projeta uma sombra de comprimento 3 m. Calcule a altura do edifcio.
54- Um estudante curioso e perspicaz deseja saber a altura de um prdio. Num dia ensolarado
e munido de uma trena ele mediu o comprimento da sombra do prdio e o comprimento da
prpria sombra, obtendo os valores 20 m e 0,6 m, respectivamente. Sendo sua altura de
1,80 m, qual a altura do prdio?
55- (ENEM-1998) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo
momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a
sombra do poste diminui 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:
a) 30 cm b) 45 cm c) 50 cm d) 80 cm e) 90 cm
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 25
3. Polgonos
3.1 Definio e classificao
Polgonos so figuras fechadas formadas por segmentos de reta, sendo caracterizados pelos
seguintes elementos: ngulos, vrtices, diagonais e lados.
Podemos classificar os polgonos quanto ao seu nmero de lados:
3 lados tringulo
4 lados quadriltero
5 lados pentgono
6 lados hexgono
7 lados heptgono
8 lados octgono
9 lados enegono
10 lados decgono
11 lados undecgono
12 lados dodecgono
TRINGULO
PARALELOGRAMO RETNGULO QUADRADO
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 26
LOSANGO TRAPZIO
PENTGONO HEXGONO HEPTGONO
ENEGONO DECGONO
3.2 Polgonos convexos e no convexos
Se os ngulos do polgono forem menores que 180 ele ser convexo.
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 27
Caso o polgono tenha um ngulo com medida maior que 180 ele ser classificado como
no convexo ou cncavo.
3.3ngulos de um polgono
A soma dos ngulos internos de qualquer polgono depende do nmero de lados (n),
sendo usada a seguinte expresso para o clculo:
180).2( nS , onde n o nmero de lados do polgono.
3.4 Diagonais de um polgono
Diagonal de um polgono o segmento de reta que liga um vrtice ao outro, passando
pelo interior da figura. O nmero de diagonais de um polgono depende do nmero de
lados (n) e pode ser calculado pela expresso:
2
)3.(
nnd
Exemplo de aplicao
Determine o nmero de diagonais de um polgono com 8 lados
20
2
40
2
5.8
2
)38.(8
d
d
d
d
Exerccios propostos
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 28
56- Determine o nmero de diagonais de um polgono com:
a) 5 lados e) 6 lados
b) 7 lados f) 9 lados
c) 10 lados g) 12 lados
d) 20 lados
57- Qual o nome do polgono no qual a quantidade de diagonais igual ao triplo do nmero
de lados?
58- Determine a soma dos ngulos internos de um polgono com:
a) 6 lados d) 7 lados
b) 8 lados e) 10 lados
c) 12 lados f) 20 lados
59- (UNIBAN-SP) Em qual polgono o nmero de diagonais o dobro do nmero de lados?
60- Quantos lados possui o polgono onde o nmero de lados corresponde a sexta parte dp
nmero de diagonais?
3.5 rea de polgonos
O clculo da rea uma atividade cotidiana na vida de todos ns. Sempre nos vemos
envolvidos em alguma situao que h a necessidade de se calcular a rea de um polgono.
Seja na aquisio de um terreno, na reforma de um imvel ou na busca de reduzir custos de
uma embalagem, o uso do conhecimento de clculo se faz presente.
rea do retngulo
Sendo b e h as dimenses do retngulo, a rea A dada por: hbA . .
rea do quadrado
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 29
Sendo b e h as dimenses do quadrado, a rea A dada por: hbA . .
rea do tringulo
Sendo b e h as dimenses do tringulo, a rea A dada por: 2
.hbA .
No caso do tringulo equiltero (3 lados iguais), a rea A dada por: 4
32l.
rea do paralelogramo
Sendo b e h as dimenses do quadrado, a rea A dada por: hbA . .
rea do losango
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 30
Sendo b e h as dimenses do losango, e 1d e 2d as diagonais do losango, a rea A dada
por: 2
. 21 ddA .
rea do trapzio
Sendo B a base maior do trapzio, b a base menor e h a altura, a rea A dada por:
2
).( hbBA
.
Exemplos de aplicao
Calcule a rea de:
a) Um retngulo de lados 5 cm e 8 cm
240
8.5
cmA
cmcmA
b) Um trapzio de bases 7 cm e 4 cm e altura 2 cm.
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 31
211
2
22
2
2.11
2
2).47(
cmA
A
A
A
VOC SABIA...
Podemos encontrar polgonos na natureza e em objetos criados pelo ser humano.
comum o uso de polgonos regulares no cotidiano. As abelhas utilizam-se do hexgono
regular nas colmeias.
Nas bolas de futebol tambm aparecem figuras baseadas em polgonos regulares
(pentgonos e hexgonos regulares).
Na engenharia, algumas formaes poligonais so utilizadas, pode-se ver a formao de
tringulos e quadrilteros, formados pelas barras de ao que ligam as torres.
Nas caladas de algumas cidades e pavimentao de ruas, so usadas as figuras geomtricas
planas hexagonais.
Ponte Herclio Luz (SC) nordeste da Irlanda
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 32
Exerccios propostos
61- Calcule a rea das seguintes figuras planas:
a) Um quadrado de lado 6,2cm
b) Um retngulo de base 9,5cm e altura 6,8cm
c) Um paralelogramo de base 5,8cm e altura 6,1cm
d) Um losango de diagonais 2,3cm e 5,1cm
e) Um trapzio de altura 3 cm e bases 5,7cm e 7,2cm
f) Um tringulo de base 8,1cm e altura 3,8cm
g) Um tringulo equiltero de lado 5,4cm
62- Um terreno tem a forma quadrada, de lado 30,2 m. Calcule a rea desse terreno.
63- Qual a rea de um tringulo retngulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos
mede 5 cm?
64- Qual a rea de um quadrado que tem cm26 de diagonal?
65- Calcule a rea de um retngulo, em que a base mede 34 cm e sua altura mede a metade
da base.
66- A regio de uma cartolina limitada por um paralelogramo que tem 15,4 cm de
comprimento por 8,5 cm de largura. Qual a rea dessa regio?
67- Quantos metros de tecido, no mnimo, so necessrios para fazer uma toalha para uma
mesa que mede 300 cm de comprimento por 230 cm de largura?
68- Um hexgono regular tem 12 cm de lado. Determine a rea desse hexgono. (Lembre-se:
o hexgono regular formado por 6 tringulos equilteros de mesma rea).
69- A rea de um trapzio 239m . A base maior mede 17 m e a altura mede 3 m. Qual a
medida da base menor?
70- Uma lajota retangular tem 30 cm por 20 cm. Qual a rea da lajota? Quantas lajotas so
necessrias para cobrir o piso de uma garagem de 296m de rea?
71- Determine a rea de um retngulo, sabendo que tem 46 cm de permetro e que o
comprimento excede de 7 cm a largura.
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 33
72- Um terreno tem a forma de um trapzio de bases medindo 36m e 24m, com altura de 20m.
Foi construdo no local um galpo retangular de lados medindo 10,6m e 5,5m. No restante
do terreno plantou-se grama. Qual a rea do terreno que foi gramada?
73- Em um paralelogramo ABCD, o lado AB mede 2 cm, a altura relativa ao lado BC mede
1,7cm e o permetro 12cm. Determina a rea desse paralelogramo.
74- Um retngulo tem rea igual a .40 2cm Sua base 3 cm maior que sua altura. Calcule a
medida da altura desse retngulo.
75- Determine o valor da altura de um trapzio de bases 6,3cm e 11,7cm, sabendo que sua
rea vale 245cm .
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 34
4. Circunferncia e crculo
4.1 Definio
Circunferncia o lugar geomtrico dos pontos de um plano, que distam (raio) de um ponto
fixo (centro).
Crculo o conjunto dos pontos internos de uma circunferncia.
O raio de uma circunferncia ou crculo definido como a distncia do centro a um ponto
qualquer da circunferncia. O dobro do raio chamado de dimetro.
4.2 Comprimento da circunferncia
O clculo do comprimento da circunferncia (permetro) foi obtido da seguinte forma: como
todas as circunferncias so semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo
centro foi concludo que a razo entre os comprimentos de qualquer circunferncia pelo
seu respectivo dimetro ser sempre uma mesma constante.
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 35
E essa constante foi provada pelo matemtico grego Arquimedes de Siracura que seria
aproximadamente 3,14, e como esse valor no era exato foi estipulado que poderia ser
representado pela letra do alfabeto grego , facilitando os clculos.
Sendo C o comprimento da circunferncia, temos: rC ..2 , onde r o raio da
circunferncia.
4.3 rea da circunferncia
Para calcularmos a rea de uma circunferncia utilizamos a seguinte frmula:
2.rA
Exemplo de aplicao
Calcule o comprimento e a rea de uma circunferncia de raio 5 cm. Dado 14,3 .
cmC
C
rC
4,31
5.14,3.2
..2
2
2
5,78
25.14,3
.
cmA
A
rA
Exerccios propostos
76- Calcule o comprimento da circunferncia nos seguintes casos:
a) Raio igual a 10 cm
b) Raio igual a 7,5cm
c) Raio igual 6,3cm
d) Raio igual a 14,7cm
e) Dimetro igual a 18 cm
f) Dimetro igual a 11 cm
g) Dimetro igual a 13 cm
77- Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrer uma pessoa na roda gigante
em 6 voltas?
78- Com um fio de arame deseja-se construir uma circunferncia de dimetro 12 cm. Qual
deve ser o comprimento do fio?
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 36
79- Calcule a rea da circunferncia nos seguintes casos:
a) Raio igual a 11 cm
b) Raio igual a 8 cm
c) Raio igual a 7,8 cm
d) Raio igual a 13,6 cm
e) Dimetro igual a 14 cm
f) Dimetro igual a 17 cm
g) Dimetro igual a 13 cm
80- Resolva:
a) O comprimento de uma circunferncia igual a 40,82cm. Calcule a medida aproximada do
dimetro dessa circunferncia.
b) Qual , aproximadamente, o comprimento de uma circunferncia que tem dimetro igual a
4m?
81- (Unicamp-SP) Em um restaurante, qual famlia come mais pizza: aquela que pede uma
grande de 43 cm de dimetro ou aquela que pede duas mdias de 30 cm de dimetro?
82- Num campo de futebol, o grande crculo tem 10 m de raio. Qual a rea do grande
crculo?
83- Determine quantos metros quadrados de grama so necessrios para preencher uma
praa circular com raio medindo 20 metros.
84- Dadas as reas, encontre a medida do raio de cada circunferncia:
a) 25,78 cm
b) 272,150 cm
85- Determine a rea da regio em destaque representada pela figura a seguir. Considerando
que a regio maior possui raio medindo 10 metros, e a regio menor, raio medindo 3
metros.
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 37
5. Polgonos regulares
5.1 Definio
Polgono regular todo polgono convexo que tem todos os lados congruentes e os ngulos
internos tambm congruentes.
Tringulo equiltero Quadrado Pentgono regular
5.2. Polgonos inscritos e circunscritos na circunferncia
Um polgono dito inscrito em uma circunferncia, se todos os seus vrtices esto na
circunferncia.
Os polgonos regulares podem sempre ser inscritos numa circunferncia, o mesmo no
acontecendo com os polgonos no regulares. Os tringulos so uma exceo a este fato, pois
qualquer tringulo pode ser inscrito numa circunferncia.
Um polgono dito circunscrito a uma circunferncia, se os seus lados so tangentes
circunferncia.
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 38
O aptema de figuras planas o segmento que vai do centro de um polgono regular at o
ponto mdio de um dos lados desse polgono, ou seja, o aptema corresponde ao raio da
circunferncia nele inscrita.
5.3 Quadrado inscrito na circunferncia
2rl (lado do quadrado)
2
2ra (aptema do quadrado)
5.4 Tringulo equiltero inscrito na circunferncia
3rl (lado do tringulo equiltero)
2
Ra (aptema do tringulo equiltero)
5.5 Hexgono inscrito na circunferncia
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 39
rl (lado do hexgono)
2
3ra (aptema do hexgono)
2
33 2lA (rea do hexgono)
Exemplos de aplicao
1- Um quadrado com 216cm de rea est inscrito numa circunferncia. Calcule a rea da
circunferncia.
cmlAq 416
22
2
4
24
2
r
r
r
rl
2
2
2
8
22.
.
cmA
A
rA
c
c
c
2- Um hexgono regular est inscrito numa circunferncia de raio 3 cm. Calcule:
a) O lado do hexgono
cml
rl
3
b) A rea do hexgono
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 40
2
2
2
2
327
2
3)3.(3
2
33
cmA
A
lA
Exerccios propostos
86- Defina:
a) Polgono regular
b) Aptema
87- Consideremos uma circunferncia de raio 20 cm. Nessas condies, calcule as medidas:
a) do lado e do aptema do quadrado inscrito;
b) do lado e do aptema do tringulo equiltero inscrito;
c) do lado e do aptema do hexgono regular inscrito.
88- Uma circunferncia tem 40 cm de raio. Nessas condies, determine a medida do lado e
do aptema de cada um dos seguintes polgonos regulares inscritos nessa circunferncia:
a) quadrado
b) hexgono regular
c) tringulo equiltero
89- O lado de um hexgono regular inscrito em uma circunferncia mede 4 cm. Calcule:
a) O raio da circunferncia
b) O aptema do hexgono
c) A rea do hexgono
90- Calcule o lado de um tringulo equiltero inscrito numa circunferncia com 3 cm de raio.
91- Uma circunferncia tem 12 cm de raio. Calcule a medida do lado do quadrado e do
tringulo equiltero inscritos nessa circunferncia.
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 41
92- O aptema de um hexgono regular igual altura de um tringulo equiltero, cujo lado
mede 4 cm. Calcule a rea do hexgono.
93- Um tringulo equiltero de lado 2 cm est inscrito numa circunferncia de raio r. Determine
a medida do dimetro dessa circunferncia.
94- (Mack-SP) O lado de um tringulo equiltero inscrito numa circunferncia mede cm62 .
Determine a medida do raio da circunferncia.
95- Um quadrado est inscrito numa circunferncia de raio 24 cm. Nessas condies,
determine:
a) A medida do lado do quadrado
b) A medida do aptema do quadrado
c) O permetro do quadrado
d) A rea do quadrado
96- (PUC-MG) Se o aptema de um hexgono regular mede cm26 , qual a medida do
permetro desse hexgono?
97- Um tringulo equiltero est escrito numa circunferncia de raio cm360 . Determine:
a) a medida do lado do tringulo
b) a medida do aptema do tringulo
98- Um quadrado cujo lado mede 16 cm est inscrito numa circunferncia. Determine o raio
dessa circunferncia.
99- O comprimento de uma circunferncia cm30 . Qual a rea do quadrado inscrito nessa
circunferncia?
100- Sabendo que o aptema de um tringulo equiltero inscrito em uma circunferncia de
raio r mede 15 cm, determine:
a) O comprimento do raio
b) A medida do lado do tringulo, fazendo 73,13 .
DESENHO GEOMTRICO 1 ANO - ENSINO MDIO - 2015 42
Referncias Bibliogrficas:
ANDRINI, lvaro. VASCONCELOS, Maria Jos. Novo Praticando Matemtica. So Paulo: Editora do Brasil, 2002.
DANTE,Luiz Roberto. Contexto & Aplicaes: ensino mdio: volume nico. So Paulo: Editora tica, 2001
GIOVANNI, Jos Ruy. BONJORNO, Jos Roberto. GIOVANNI JR., Jos Ruy. Matemtica Fundamental : uma nova abordagem: ensino mdio: volume nico. So Paulo: FTD, 2002.
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