Por: Profª Paula Patrícia

Quando você ouve falar em hipérbole,

elipse e parábola pensa que estão

falando grego. E estão mesmo. Foram

os discípulos de Pitágoras (cerca de

540 a.C.) que usaram pela primeira vez

estes termos, e é graças a eles que

podemos descrever o desenho curvo

que a luz projeta na parede, a parte

espelhada da lâmpada de uma lanterna

ou a superfície da água no copo, entre

outras coisas. No século XVI,

Johannes Kepler (1571 a 1630)

demonstrou que a linha curva descrita

por um planeta que gira ao redor do

Sol é uma elipse, e Galileu Galilei

(1584 a 1642) concluiu que a trajetória

de um projétil é uma parábola. Essas

descobertas tornaram mais evidente a

importância do estudo desses tipos de

curvas.

ONDE ENCONTRAMOS

ESSAS FIGURAS

GEOMÉTRICAS?

UM POUCO DE HISTÓRIA

O grego Apolônio (262 a.C. a 190 a.C.) utilizou o

termo cônicas ao observar que estas curvas

eram obtidas a partir de secções da superfície

de um cone de folha dupla. Muito tempo mais

tarde, com a criação da Geometria Analítica

pelo francês René Descartes (1596 a 1662), as

cônicas passaram a ser reconhecidas a partir de

suas equações. A Geometria Analítica tem como

idéia central a representação de pontos do

espaço por meio de coordenadas. Um grande

número de propriedades geométricas faz das

curvas cônicas um instrumento adequado para

diversas aplicações práticas.

ElipseÉ o lugar geométrico dos pontos do plano

em que a soma de suas distâncias até dois pontos fixos (chamados focos) é

constante.

Uma forma simples de desenhar a elipse é fixar as extremidades de um fio (que deve ter um comprimento maior que a

distância entre os dois focos) nos focos F e F' e, mantendo-o esticado, traçar

com lápis uma linha, formando a elipse.

A elipse também é definida como uma curva fechada plana que se produz

quando um cone de revolução é cortado por um plano oblíquo a seu eixo

Elementos

focos : os pontos F1 e F2

centro: o ponto O, que é o ponto médio de

semi-eixo maior: a

semi-eixo menor: b

semidistância focal: c

vértices: os pontos A1, A2, B1, B2

eixo maior:

eixo menor:

distância focal:

Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

Relação fundamental

Na figura, aplicando o Teorema de Pitágoras

ao triângulo OF2B2 ,

retângulo em O, podemos

escrever a seguinte relação

fundamental:

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.

Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de

uma circunferência.

EquaçõesVamos considerar os seguintes casos:

a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal

b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical

HipérboleÉ uma curva de dois ramos que

se origina do corte de um cone de

revolução por um plano paralelo

ao eixo do cone.

A hipérbole é o lugar geométrico

dos pontos do plano em que a

diferença de suas distâncias até

dois pontos fixos (focos da hipérbole) é um valor constante.

Elementos

focos: os pontos F1 e F2

vértices: os pontos A1 e A2

centro da hipérbole: o ponto

O, que é o ponto médio de

semi-eixo real: a

semi-eixo imaginário: b

semidistância focal: c

distância focal:

eixo real:

eixo imaginário:

Excentricidade

Chamamos de excentricidade o número real e tal que:

Como c > a, temos e > 1.

EquaçõesVamos considerar os seguintes casos:

a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox

F1 (-c, 0)

F2 ( c, 0)

b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy

Parábola

É uma curva aberta e plana resultante

do corte de um cone de revolução por

um plano paralelo à geratriz do cone

A parábola corresponde ao lugar geométrico dos

pontos do plano que eqüidistam de um ponto

fixo e de uma reta. O ponto fixo chama-se foco

(F) da parábola e a reta chama-se diretriz (DD').

Elementos

foco: o ponto F

diretriz: a reta d

vértice: o ponto V

parâmetro: p

o vértice V e o foco F ficam numa

mesma reta, o eixo de simetria e.

Equações

Vamos considerar os seguintes casos:

a) parábola com vértice na origem, concavidade

para a direita e eixo de simetria horizontal

b) parábola com vértice na origem, concavidade

para a esquerda e eixo de simetria horizontal

c) parábola com vértice na origem, concavidade

para cima e eixo de simetria vertical

d) parábola com vértice na origem, concavidade

para baixo e eixo de simetria vertical

Bibliografia:

Sites:

www.somatematica.com.br

www.klickeducacao.com.br

Trabalho realizado para disciplina Informática Educativa II do curso de Pós-Graduação em Novas Tecnologia no Ensino da Matemática