CÔNICAS

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Seções Cônicas

São curvas obtidas pela interseção de um cone com um plano.

Circunferência

Dados um ponto C e uma distância r, é o lugar

geométrico plano dos pontos que estão à mesma

distância r de C.

Equação reduzida da circunferência

Considere o ponto C de coordenadas (xC, yC),

chamado centro, e a distância r, chamada raio. Os

pontos pertencentes à circunferência Ω devem

atender à equação:

Tal equação é obtida a partir da aplicação do

teorema de Pitágoras a todos os pontos da

circunferência.

Se P ϵ Ω → dpc= r

Equação geral

Do desenvolvimento da equação reduzida, obtém-se:

com a, b e c constantes reais.

022 22222 ryxyyxxyx cccc

022 cbyaxyx

Elipse

Dados dois pontos F1 e F2 (focos), é o lugar geométrico plano no

qual a soma das distâncias de qualquer ponto sobre a curva aos

focos é constante e maior que a distância entre os focos.

Elementos

• Focos: os pontos F1 e F2

• Eixo maior: o segmento

A A1A2 , que passa pelos focos

(A1A2 = 2a)

• Centro: o ponto O, médio de A1A2 A1A2

• Eixo menor: o segmento B1B2 , perpendicular a A1A2 A1A2,

que passa por O (B1B2 = 2b).

• Distância focal: a distância 2c = F1F2 entre os focos

B1

B2

A1 A2

(0;b)

P(x;y)

(a;0) x

y

F2(c;0)

(0; -b)

a

0 F1(-c;0)

x F2

y

a

b

F1

F2

a

x

y

b

F1

F2

a

x

y

b

x

F2

y

a

b

C(x’, y’) F1

C(x’, y’)

Equação

• Elipse com eixo maior na horizontal (a > b):

• Elipse com eixo maior na vertical (a < b):

Excentricidade

A razão e = c/a (com c a).

Conforme essa razão se aproxima de 0, o formato da

elipse se assemelha a uma circunferência; à medida que

e se aproxima de 1, ela se torna mais achatada.

Parábola

Dados uma reta r e um ponto F fora dela, é o lugar geométrico

plano dos pontos que equidistam de r e F.

Elementos

• Foco: o ponto F

• Diretriz: a reta r

• Eixo de simetria: a reta s,

perpendicular a r, que passa pelo foco

• Vértice: o ponto V, intersecção da parábola com o eixo de

simetria

• Parâmetro da parábola: a distância p entre o foco e a diretriz,

i.e, p = FD

Equação

• Forma geral:

• Pelas coordenadas do vértice:

• Equação reduzida

concavidade para cima:

concavidade para baixo:

• Parábola com diretriz na vertical:

Hipérbole

Dados dois pontos F1 e F2 (chamados focos), é o lugar geométrico

plano cuja diferença, em módulo, entre as distâncias de qualquer

ponto aos focos é constante e menor que F1F2.

Elementos

• Focos: os pontos F1 e F2

• Distância focal: a distância

2c = F1F2 entre os focos

• Vértices: os pontos A1 e A2,

intersecções de F1F2 com a hipérbole

• Centro: o ponto médio O de A1A2

• Eixo real ou transverso: o segmento A1A2 (A1A2 = 2a)

• Eixo imaginário ou conjugado: o eixo B1B2 (B1B2 = 2b)

Equação reduzida

Assíntotas: duas retas secantes que passam pelo seu centro e não

a interceptam. Suas equações são dadas por:

r1: bx - ay = 0

r2: bx + ay = 0

• Eixo geral horizontal:

• Eixo real na vertical:

Excentricidade

É a razão e = (com c > a).

À medida que essa razão se aproxima de 1, os ramos da

hipérbole se tornam mais fechados; no ponto em que e tende

a infinito, seus ramos se tornam mais abertos. Observe:

c a