EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CURVAS CÔNICAS

8/13/2019 EXERCCIOS RESOLVIDOS CURVAS CNICAS

1/24

Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line

www.mat.uel.br/geometrica Resumo . Maria Bernadete Barison apresenta exerccios resolvidos sobre CURVASCNICAS em Desenho Geomtrico. Geomtrica vol.1 n.9c. 2005

1

EXERCCIOS RESOLVIDOS CURVAS CNICAS

1. ENCONTRAR OS FOCOS DE UMA ELIPSE SENDO DADOS OEIXO MAIOR E O MENOR.

Sejam os eixos AA' e BB' dados que se intersectam no ponto O (centro daelipse). Coloque a ponta seca do compasso no ponto B e com abertura igual OA trace um arco que corte o eixo AA', encontrando assim os pontos F e F'(focos da elipse).

2. ENCONTRAR O EIXO MENOR DE UMA ELIPSE SENDO DADOS OEIXO MAIOR E A DISTNCIA ENTRE OS FOCOS.

Sejam dados o eixo AA' e a distncia focal FF'. Trace a mediatriz de AA'encontrando assim o centro O da elipse.

Centre a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual OA traceum arco que corte a reta mediatriz nos pontos B e B'. O eixo menor procurado o segmento BB'.


2/24



2

3. TRAAR UMA ELIPSE PELO MTODO DO JARDINEIRO(BARBANTE) SENDO DADOS O EIXO MAIOR E OS FOCOS.

Sejam o eixo menor BB' e a distncia focal FF' dados que se intersectam noponto O (centro da elipse). Prolongue o segmento FF' para a esquerda e para adireita.

Coloque aponta seca do compasso em O e com abertura igual distncia FBtrace um arco que corte a reta que passa por FF' em A e A', encontrando assimo eixo maior da elipse.

4. TRAAR UMA ELIPSE PELO MTODO DO JARDINEIRO(BARBANTE) SENDO DADOS O EIXO MAIOR E OS FOCOS.

Sejam dados o eixo maior AA' e a distncia focal FF'. Corte um barbante quetem por comprimento a distncia do eixo maior AA' e fixe-o em F e F'. Coloquea ponta do lpis no ponto B tomando o cuidado de esticar o barbante.


3/24



3

Movimente o lpis sempre com o barbante esticado de forma a marcar vriospontos no papel. Em seguida, trace a elipse movimentando o lpis que seencontra preso no ponto B do barbante.

5. TRAAR UMA ELIPSE PELO MTODO DE "SCHOOTEN" (TIRA

DE PAPEL) SENDO DADOS OS DOIS EIXOS.Sejam dados os eixos AA' e BB'. Corte uma tira de papel como indicado abaixo,e marque nela os pontos P, A e B. O segmento PB deve ser igual ao eixo maiore o segmento PA deve ser igual ao eixo menor.

Coloque a tira de papel posicionada de tal forma que o ponto A fique sobre oeixo AA' e o ponto B fique sobre o eixo BB' e marque um ponto onde estiver oponto P. Mude a posio da tira de papel, mas tomando o cuidado de deixar oponto A sempre sobre o eixo AA' e o ponto B sempre sobre o eixo BB'.


4/24



4

Assim v mudando sucessivamente a posio da tira e marcando os pontos daelipse. Ao marcar todos os pontos, trace a elipse.

6. TRAAR A ELIPSE PELO MTODO DOS PONTOS SENDODADOS OS DOIS EIXOS.Sejam os eixos AA' e BB' dados. Encontre os focos F e F'.

Marque a partir do ponto F os pontos 1, 2, 3, 4, 5 e a partir do ponto F' ospontos 1', 2', 3', 4' e 5'. Coloque a ponta seca do compasso no ponto F e comabertura igual a 1'A' , 2'A', 3'A', 4'A' e 5'A' trace cinco arcos.


5/24



5

Coloque a ponta seca do compasso no ponto F' e com abertura igual a 1A , 2A,3A, 4A e 5A trace mais cinco arcos. Depois, coloque a ponta seca no ponto F' ecom abertura igual a 1A', 2A', 3A', 4A' e 5A', trace mais cinco arcos que cortamos anteriores, encontrando assim dez pontos da elipse.

Com centro em F e abertura 1'A , 2'A, 3'', 4'A e 5'A trace arcos que cortam osanteriores encontrando assim os pontos da elipse.


6/24



6

7. TRAAR A ELIPSE PELO MTODO DOS CRCULOS PRINCIPAISSENDO DADOS OS DOIS EIXOS.

Sejam os dois eixos AA' e BB'. Encontre os Focos F e F'. Trace um dos crculosprincipais: centre o compasso no ponto O e trace uma circunferncia de raioOA.

Trace o outro crculo principal com centro em O e raio OB. Divida o crculomaior em n partes iguais (n = 16, por exemplo).

Divida o crculo menor no mesmo nmero de partes. Em seguida, trace retas

perpendiculares ao eixo AA' pelos pontos que dividem a circunferncia maior.Em seguida trace retas perpendiculares ao eixo BB' pelos pontos que dividem acircunferncia menor.


7/24



7

Na interseo das retas temos os pontos da elipse. Ligue os pontos para obter aelipse.

8. TRAAR A ELIPSE PELO MTODO DO PARALELOGRAMO.

Sejam os dois eixos AA' e BB' da elipse inscrita no paralelogramo que tem oslados iguais aos eixos maior e menor da elipse: AA' e BB'. Trace oparalelogramo PQRS.

Divida o lado RS em seis partes iguais. Divida o lado PQ em seis partes iguaistransportando os pontos 2, 1 e 1', 2' (com o uso dos esquadros) fazendoparalelas aos lados PS e QR.


8/24



8

Divida os segmentos OB e OB' em trs partes iguais cada um e em seguida,divida os segmentos PQ e SR em seis partes iguais cada.

Para obter os pontos da elipse ligue o ponto A ao ponto 2''' e o ponto B aoponto 3 e prolongue at encontrar o segmento A2'''. No cruzamento dessasduas retas tem-se um ponto da elipse. Em seguida, ligue o ponto A ao ponto 1'''e o ponto B ao ponto 4 e prolongue at encontrar o segmento A1'''. Nocruzamento dessas duas retas tem-se mais um ponto da elipse.

Repita o mesmo procedimento para as outras trs partes do paralelogramo

obtendo assim, todos os pontos da elipse.


9/24



9

9. TRAAR A ELIPSE PELO MTODO DO RETNGULO.

Primeiro trace os eixos maior e menor (AA' e BB') da elipse inscrita noretngulo. Depois trace o retngulo PQRS cujos lados so retas paralelas aosdois eixos da elipse.

Divida os lados do retngulo em n partes iguais (no caso n = 6). Transporteessas 6 divises para o eixo BB' e em seguida trace retas partindo de A' quechegam nos pontos do lado SR e depois trace retas que partem de A e passampelas divises do eixo BB'. No cruzamento das retas teremos os pontos daelipse.

Ligue os pontos encontrados obtendo assim a elipse.


10/24



10

10. ENCONTRAR O FOCO DE UMA PARBOLA, SENDO DADOS OEIXO, A DIRETRIZ E O VRTICE.

Sejam a diretriz d e o vrtice V contido no eixo da parbola. Centre o compassono ponto V e com abertura VO trace um arco que corta o eixo no ponto F. Asdistncias OV e VF so semiparmetro e a distncia OF o parmetro.

11. TRAAR A PARBOLA PELO MTODO DOS PONTOS, SENDODADOS O FOCO E A DIRETRIZ.

Sejam dados a diretriz d e o foco F da parbola. Para construir a parbola,primeiro encontre o vrtice, que est no ponto mdio do segmento FO que adistncia entre o foco e a diretriz. Marque pontos no eixo a partir de F (no caso5 pontos a uma distncia arbitrria).

Trace retas perpendiculares ao eixo pelos pontos F, 1, 2, 3, 4 e 5. Centre aponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual a medida de F at adiretriz, trace um arco que corte a reta que passa pelo ponto F em dois pontosda parbola. Depois, sempre com centro do compasso no ponto F e comabertura igual distncia que vai do ponto at a diretriz d, trace arcos quecortem as retas que passam pelos mesmos pontos, encontrando assim ospontos da parbola.


11/24



11

Ligue os pontos e obtenha a parbola (em cor azul).

12. TRAAR A PARBOLA PELO MTODO DO RETNGULO, SENDODADOS O VRTICE, O EIXO E UM PONTO DA CURVA (ARCOPARABLICO).

Seja o vrtice A e o ponto P da parbola. Trace duas retas perpendicularesentre si e que passam pelo ponto A. Em seguida, trace uma reta pelo ponto Pque seja perpendicular reta horizontal que passa pelo ponto A.


12/24



12

Trace uma reta paralela quela que passa pelo ponto P, a uma mesmadistncia. Depois, trace pelo ponto P uma reta paralela reta horizontal quepassa pelo ponto A, formando assim o retngulo PP' RR'.

Divida os lados PR e P'R' em N partes iguais (no caso N = 4). Divida ossegmentos PQ e QP' em quatro partes iguais.


13/24



13

Trace retas perpendiculares ao lado RR' pelos pontos 4, 5, 6, 6', 5' e 4'. Ligue oponto A aos pontos 1, 2, 3 e 1', 2' e 3'.

Na interseco das retas tm-se os pontos da parbola. Ligue os pontosobtendo assim a parbola inscrita no retngulo

13. TRAAR AS "ASSINTOTAS" DE UMA HIPRBOLE SENDO DADOS

OS EIXO REAL E IMAGINRIO.Sejam os eixos AA' e BB'. Trace por B e B' retas paralelas ao eixo real AA'.


14/24



14

Trace por A e A' retas paralelas ao eixo imaginrio BB'. Construdo o retngulo,trace as duas diagonais.

Agora, prolongue as diagonais do retngulo. As assntotas da hiprbole passampelas diagonais do retngulo.

14. ENCONTRAR OS FOCOS DE UMA HIPRBOLE SENDO DADOS OEIXO REAL E O EIXO IMAGINRIO

Sejam dados os vrtices AA' que se encontram no eixo real xx' e o eixoimaginrio BB'.


15/24



15

Centre o compasso no ponto O (que est na interseo dos dois eixos) e comabertura igual distncia AB trace um arco que corte o eixo real nos pontos F eF' encontrando assim os focos da hiprbole (F e F).

15. ENCONTRAR O EIXO REAL DE UMA HIPRBOLE SENDO DADOSOS FOCOS E O EIXO IMAGINRIO.

Sejam dados o eixo imaginrio BB', a distncia focal FF' e o eixo real que passapelos pontos F e F'. Pede-se encontrar o segmento AA' (vrtices da hiprbole)conhecido por eixo real.


16/24



16

Centre a ponta seca do compasso no ponto O e com a distncia FB trace umarco que corte o eixo real nos pontos A e A' que so os vrtices da hiprbole.

16. ENCONTRAR O EIXO IMAGINRIO DE UMA HIPRBOLE SENDO

DADOS O EIXO REAL E A DISTNCIA ENTRE OS FOCOS.Sejam dados a distncia focal e o eixo imaginrio BB'. Para encontrar osvrtices AA' da hiprbole, centre a ponta seca do compasso no ponto B e comraio igual distncia OF trace um arco que corte o eixo real nos pontos A e A'.

17. TRAAR A HIPRBOLE PELO MTODO DOS PONTOS SENDODADOS OS DOIS EIXOS.

Sejam dados o eixo imaginrio BB', os vrtices AA' e os focos FF' da hiprbole.


17/24



17

Marque a partir do ponto F para a esquerda os pontos 1', 2' e 3'. Marque apartir de F' para a direita os pontos 1, 2 e 3.

Centre o compasso no ponto F e com abertura igual F'1, F'2 e F'3 trace trsarcos.

Proceda da mesma forma do outro lado centrando o compasso em F'.


18/24



18

Agora com a ponta seca do compasso no ponto F e com abertura igual a 1A, 2Ae 3A trace arcos que cortam os anteriores encontrando assim os pontos de umramo da hiprbole.

Proceda da mesma forma do outro lado centrando o compasso em F'.

Ligue os pontos obtendo assim os dois ramos da hiprbole.


19/24



19


Sejam os vrtices A e A' e um ponto P da hiprbole e seus dois eixos: real eimaginrio.

Trace pelo ponto P uma paralela ao eixo real e uma paralela ao eixo imaginrioe com os valores PP1 e PP3 construa o retngulo P, P1, P2, P3 encontrando ospontos A e Q' no eixo imaginrio.

Trace pelos pontos A e A' retas paralelas ao eixo imaginrio encontrando R, R',R'' e R'''.


20/24



20

Divida o segmento P1R em N partes iguais (no caso N = 4). Em seguida dividaos segmentos QP1 e QP2 tambm em quatro partes iguais.

Transporte com os esquadros estas divises para os outros lados paralelos dosretngulos.

Ligue o vrtice A aos pontos do segmento PP3.


21/24



21

Ligue o vrtice A' aos pontos dos segmentos PR'' e P3R''' encontrando nainterseo das linhas os pontos de um dos ramos da hiprbole.

Repita o mesmo procedimento do outro lado para encontrar o outro ramo dahiprbole. Ligue A' aos pontos de P1P2.

Ligue A aos pontos de P1R e P2R' e na interseo das linhas marque os pontos.


22/24



22

Os dois ramos da hiprbole aparecem em cor azul.


Seja a elipse dada abaixo. Trace uma reta secante que corta a elipse em doispontos A e B.

Trace outra reta secante que seja paralela primeira e corte a elipse nospontos C e D. Encontre os pontos mdios M e M' das cordas AB e CDrespectivamente.


23/24



23

Ligue os pontos M e M' encontrando o dimetro DD'. Encontre o ponto mdio Odo dimetro DD'.

Centre o compasso no ponto O e com um raio arbitrrio trace um arco quecorte a elipse em trs pontos: H, I e J estabelecendo as cordas HI e IJ daelipse. O eixo maior AA' da elipse ser a mediatriz da corda IJ o eixo menor BB'da elipse ser a mediatriz de HI.


24/24



24

BIBLIOGRAFIA

BRAGA, Theodoro.Desenho Linear Geomtrico . So Paulo : cone. 13 ed. 230 p.

MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geomtrico e Elementar. So Paulo:Livraria Francisco Alves, 460p, 1951.

RIVERA, Flix ; NEVES, Juarenze; GONALVES, Dinei (1986). Traados em DesenhoGeomtrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

Documents

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CURVAS CÔNICAS