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UNIDADE
3 Cônicas e números complexos
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ma
ge
s
Por que secções cônicas? Porque são curvas obtidas
por meio da interseção entre um cone circular reto e
um plano, que diferem de acordo com o ângulo com que
o plano secante corta o cone.
As superfícies parabólicas, elípticas e hiperbólicas
possuem propriedades de reflexão que podem ser
observadas em diversas aplicações tecnológicas.
Os refletores elípticos usados pelos dentistas
têm por objetivo concentrar o máximo de luz
na área de trabalho, além de evitar que os
raios luminosos ofusquem a visão do paciente,
causando desconforto.
115
Ro
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1. A que se deve o renome mundial do forno solar de Odeillo?
2. Que tipos de formatos de espelhos são usados em alguns telescópios?
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O forno solar de Odeillo, localizado nos Pireneus franceses, é formado por um espelho parabólico com a altura de um edifício de sete andares.É um dos dois maiores fornos solares do mundo, junto com o de Parkent (Usbequistão), e deve sua reputação à sua especialização na investigação de concentração de radiação solar e do comportamento dos materiais submetidos a temperaturas extremas.
O espelho hiperbólico é também usado em telescópios (esta imagem é do telescópio de Hale) como um espelho secundário, além do espelho parabólico principal. Sua importância está em redirecionar a luz do foco principal para um ponto mais conveniente.
116
5CAPÍTULO
Geometria analítica: secções cônicas
Cônicas é o título da obra em que o matemático e astrônomo grego
Apolônio de Pérgamo (262 a.C.-190 a.C.) apresenta o mais completo
estudo das curvas obtidas a partir de cortes (secções) específicos em
cones: a parábola, a hipérbole e a elipse, atribuindo a elas os nomes
como são conhecidas até hoje. Essa obra auxiliou o trabalho de muitos
pensadores, principalmente astrônomos.
3. Elipse2. Hipérbole1. Parábola
Copérnico, Kepler, Halley e Newton, por exemplo, fizeram uso de suas
configurações para explicar fenômenos físicos, como as trajetórias dos
planetas e a trajetória descrita por um projétil.
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ma
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s
Ao serem inseridas na Geometria analítica, as secções cônicas, defini-
das como lugares geométricos (conjuntos de pontos que verificam certa
propriedade), ganharam uma expressão algébrica, ampliando ainda mais
sua importância e sua aplicabilidade.
Neste capítulo vamos partir das definições desses lugares geomé-
tricos para as equações algébricas que as representam, estudar suas
propriedades e identificar seus elementos.
Representação do Sistema Solar. (Esta imagem não segue a proporção e as cores reais.)
117Capítulo 5 • Geometria analítica: secções cônicas
1 Reconhecendo formasConsideremos as seguintes situações:
• A trajetória de um projétil, em queda livre, é um arco de parábola.
• Os planetas giram em torno do Sol em uma trajetória cuja
forma é uma elipse.
• O gráfico que relaciona pressão (P) e volume (V) de um gás à temperatura constante,
como o da figura, é um ramo de hipérbole.
« Vejamos mais algumas situações em que aparecem a parábola, a elipse e a hipérbole. Tente associar
cada figura a seguir a uma das cônicas citadas.
2 Parábola*
OrigemVamos considerar um cone circular reto seccionado por um plano paralelo à geratriz, como mostram as
ilustrações seguintes:
geratriz
plano paralelo à geratriz
Nesse caso, dizemos que foi obtida uma secção cônica chamada parábola:
Sol
P
V
Ilu
str
açõ
es:
Da
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’So
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rqu
ivo
da
ed
ito
ra
* Vamos retomar e aprofundar o que você já estudou no capítulo 4 do volume 1 – Função quadrática.
parábola
Unidade 3 • Cônicas e números complexos118
Definição e elementosInicialmente consideremos, no plano do papel, uma reta d e um
ponto F que não pertence a ela.
Vamos marcar, agora, uma série de pontos que estão a uma
mesma distância do ponto fixado F e da reta d. Na prática, isso pode
ser feito com o auxílio de uma régua, um esquadro, lápis, alfinete e
barbante. Veja:
Construindo o gráfico ponto a ponto teremos:
DV
F
M
A
B
C
E
G
d
H
N
P
Q
R
S
DV
c
F
M
A
B
Cd
N
P
A parábola é o conjunto de todos os pontos do plano que estão à mesma distância de F e d.
Na figura devemos destacar:
• o ponto F, foco da parábola;
• a reta d, diretriz da parábola;
• o ponto V, vértice da parábola (ponto médio de tFDu, distância de F até d);
• a reta que passa por F, perpendicular à diretriz d, que se chama eixo de simetria da parábola;
• a medida de tFDu, parâmetro (2c) da parábola.
Assim, definimos que parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam igualmente de
uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não pertencente à diretriz, chamado foco.
F
d
Fo
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o/A
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da
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ra
d
F
Fique atento!
VF � FD
2 � c
Fique atento!Todo ponto da parábola
tem essa propriedade e
todo ponto do plano que
possui essa propriedade
pertence à parábola.
119Capítulo 5 • Geometria analítica: secções cônicas
Equação da parábola
Equação da parábola com vértice na origemA partir do foco (F) e da diretriz (d), podemos chegar à equação da parábola formada por todos os pontos
P(x, y) do plano tais que d(P, F) � d(P, d).
1o caso: diretriz x � �c e foco F(c, 0)
y
d
OxF(c, 0)
Q(�c, y) P(x, y)
x � �c
d(P, F) � d(P, Q) ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )x c y x c y y� � � � � � �2 2 2 2
0 ⇒ (x � c)2 � y2 � (x � c)2 ⇒
⇒ x cx c y x cx c2 2 2 2 22 2� � � � � � ⇒ y2 � 4cx
Nesse caso, o vértice está na origem e a parábola é simétrica em relação ao eixo Ox, que é o eixo da parábola.
2o caso: diretriz y � �c e foco F(0, c)
F(0, c) P(x, y)
Q(x, �c)y ��c
y
x
O
d
d(P, F) � d(P, Q) ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )x y c x x y c� � � � � � �02 2 2 2
⇒ x2 � (y � c)2 � (y � c)2 ⇒
⇒ x y c y c y c y c2 2 2 2 22 2� � � � � � ⇒ x2 � 4cy
Nesse caso, o vértice está na origem e a parábola é simétrica em relação ao eixo Oy, que é o eixo da parábola.
3o caso: diretriz x � c e F(�c, 0)
y
d
O xF(�c, 0)
Q(c, y)P(x, y)
x � c
y2 � �4cx
Fique atento!c indica a distância do foco ao vértice e é sempre positivo. Logo, �c indica um número negativo.
Unidade 3 • Cônicas e números complexos120
4o caso: diretriz y � c e F(0, �c)
F(0, �c)P(x, y)
Q(x, c)y � c
y
x
d
O
x2 � �4cy
Assim, parábolas com foco em um dos eixos, diretriz paralela ao outro eixo e vértice V(0, 0) têm essas
equações. Vale também a recíproca do que foi visto: as equações y2 � 4cx, x2 � 4cy, y2 � �4cx e x2 � �4cy,
com c � 0, representam parábolas com foco em um dos eixos, diretriz paralela ao outro eixo e vértice V(0, 0).
Fique atento!O valor do coeficiente c
indica a dist‰ncia do foco
ao vŽrtice e, consequente-
mente, a concavidade da
par‡bola.
Exercícios resolvidos
1. Determine a equação da parábola de foco F(0, �5) e diretriz y � 5.
P(x, y)F(0, �5)
y � 5(x, 5)
V(0, 0)
y
x
d
Resolução:
Usando a propriedade de todo ponto P(x, y) da parábola, temos:
d(P, F) � ( ) ( )x y( ( ) ( ( � � )x yx y )0 5 ) )0 5( ) )x y ) ) ( ( � � ) )x yx y ) ) �2 2( )0 50 5( ) )x y( ( � �� �x yx yx y � � x y2 2x yx y2 22 2( x yx y )2 22 2
52 22 2
� �2 22 2x yx y2 22 2x yx y( x yx y2 22 2x yx y
A distância de P à reta y � 5 é igual à distância de P até (x, 5), que é igual a ( ) ( ) .x x( ( ) ) y( ( � � )x xx x ) ) �2 2( )( ( � �� � ) ) ) )
Como as distâncias são iguais, temos:x2 � (y � 5)2 � 02 � (y � 5)2 ⇒
⇒ x2 � y yy y22y yy yy y10y yy y 2525� �y y� �y yy y10y yy y � y yy y22y yy yy y10y yy y 2525� �y y� �y yy y10y yy y ⇒ x2 � �20y
2. Determine o foco e a diretriz da parábola de equação y2 � 5x.
Resolução:
Podemos escrever y2 � 5x como y2 � 4 � 5
4x .
A distância do vértice (0, 0) ao foco é c � 5
4.
Logo, F ( )( )5
40, e a diretriz é x � �
5
4.
y
d
xV(0, 0)
5
4x �
[ , 0]5
4
121Capítulo 5 • Geometria analítica: secções cônicas
3. Esboce os gráficos das parábolas de equação:
a) y2 � x � 4 � 1
4x b) y2 � 4x � 4 � 1x c) y2 � 8x � 4 � 2x
Resolução:
a) x y
0 0
1 1
1 �1
4 2
4 �2
y
x
F
[ , 0]F1
4
1
1
2
2 3 4
b) x y
0 0
1 2
1 �2
4 4
4 �4
F(1, 0)
y
x
F 2
1
�1
3 4
2
�2
3
�3
4
�4
c) x y
0 0
1
2 2
1
2�2
2 4
2 �4
F(2, 0)
y
x
F
1
1
2
3
4
1
2�1
�2
�3
�4
Observação: Como o valor do coeficiente c indica a distância do foco ao vértice e a concavidade da parábola, compare as parábolas do exercício resolvido 3: em y2 � 8x (c � 2), a concavidade é maior que em y2 � 4x (c � 1), pois 2 � 1.
2. Determine o foco, o vértice e a diretriz da parábola a partir das equações:a) y2 � 28x c) x2 � 10y
b) x2 � �4y d) y2 � �16x
1. Determine a equação da parábola de foco F e diretriz d nos seguintes casos:a) F(9, 0) e d: x � �9 c) F(0, 7) e d: y � �7
b) F(0, �6) e d: y � 6 d) F(�5, 0) e d: x � 5
ATENÇÃO!Não escreva no
seu livro!Exercícios
Unidade 3 • C™nicas e nœmeros complexos122
Equa•‹o da par‡bola com vŽrtice em um ponto qualquer
Vamos determinar a equa•‹o da par‡bola que tem como diretriz a reta de equa•‹o x � �4 e como
foco o ponto F(6, 2):
D(�4, 2)
Q(�4, y)
F(6, 2)
P(x, y)
V
d
x
yx � �4
Nesse caso, o vŽrtice Ž o ponto mŽdio do segmento FD, no qual F(6, 2) e D(�4, 2):
V6 4
2
2 2
2
� �,
⇒ V(1, 2)
Pela dist‰ncia de V atŽ F encontramos o valor de c:
c � ( ) ( )6 1 2 22 2
� � � � 5
Os pontos P(x, y) da par‡bola s‹o tais que d(P, F) � d(P, Q), em que Q(�4, y):
d(P, F) � d(P, Q) ⇒ ( ) ( )x y� � �6 22 2 � ( ) ( )x y y� � �4
2 2 ⇒
⇒ (x � 6)2 � (y � 2)2 � (x � 4)2 ⇒ (y � 2)2 � (x � 4)2 � (x � 6)2 �
� x2 � 8x � 16 � x2 � 12x � 36 � 20x � 20 ⇒ (y � 2)2 � 20(x � 1)
Observemos que na equa•‹o obtida aparecem as coordenadas do vŽrtice xV � 1 e yV � 2 e tambŽm
o valor c � 5:(y � 2)2 � 20 (x � 1)
4 � 5
c
yv xv
Reciprocamente, a partir da equa•‹o da par‡bola, (y � 2)2 � 20(x � 1), podemos chegar ao vŽrtice e ao
valor de c (dist‰ncia de V a F ou de V ˆ diretriz d) e, da’, ao foco e ˆ diretriz:
(y � 2)2 � 20(x � 1) � 4 � 5(x � 1)
em que V(1, 2) e c � 5.
Esbo•ando o gr‡fico, vem:
V(1, 2)
x � 1 � 5
F(1 � 5, 2)
d
x
Logo, F(6, 2) e diretriz x � �4.
Generalizando, podemos dizer que, a partir do foco e da diretriz, Ž poss’vel determinar o vŽrtice V(xV, yV)
e o valor de c e, da’, a equa•‹o da par‡bola e a posi•‹o correspondente.
123Capítulo 5 • Geometria analítica: secções cônicas
Veja os casos poss’veis:
(y � yV)2 � 4c(x � xV)
d
F
(y � yV)2 � �4c(x � xV)
d
F
(x � xV)2 � 4c(y � yV)
d
F
(x � xV)2 � �4c(y � yV)
d
F
Devemos lembrar que vale a rec’proca: a partir da equa•‹o da par‡bola podemos chegar ao vŽrtice e
ao valor de c e, da’, ao foco e ˆ diretriz.
Observação: No volume 1 desta cole•‹o, estudamos as fun•›es quadr‡ticas
y � ax2 � bx � c, cujos gr‡ficos s‹o par‡bolas. Aquelas par‡bolas e as
estudadas neste cap’tulo s‹o as mesmas, pois, quando usamos a tŽcnica
de completar quadrados, podemos transformar qualquer equa•‹o do tipo
y � ax2 � bx � c, vista no volume 1, em uma do tipo (x � xV)2 � �4c(y � yV),
como temos trabalhado neste volume.
Para refletirQuando estudamos a par‡bola como gr‡fico de uma fun•‹o quadr‡ tica, n‹o havia possibilidade de o eixo de si metria ser horizontal. Por qu•?
Fique atento!Cuidado! O c de y � ax2 � bx � c n‹o Ž o mesmo c de y � yV � �4c(x � xV)2.
4. Determine a equa•‹o e as coordenadas do vŽrtice da par‡bola que tem foco no ponto F(1, 5) e a reta diretriz de equa•‹o y � �3.
Resolução:
Os dados do problema permitem fazer um esbo•o do gr‡fico e, assim, identificar o tipo da equa•‹o:
F(1, 5)
D(1, �3)
V
y � �3
(x � xV)2 � 4c(y � yV)O vŽrtice Ž o ponto mŽdio de tFDu. Ent‹o:
V ( )( )1 1
2
5 3
2,
� �1 11 1 5 35 3 ⇒ V(1, 1)
Pela dist‰ncia de V a F encontramos o valor de c:
c � ( ) ( )1 1( ( ) ) 5 1( ( ) )2 2( )5 1( ( ) )� � )1 11 1 ) )2 22 25 15 1 � 0 160 10 1 � 4
Podemos escrever agora a equa•‹o procurada:(x � xV)2 � 4c(y � yV) ⇒ (x � 1)2 � 4 � 4(y � 1) ⇒ (x � 1)2 � 16(y � 1)Logo, a equa•‹o Ž (x � 1)2 � 16(y � 1) e V(1, 1).
Exerc’cios resolvidos
Unidade 3 • C™nicas e nœmeros complexos124
5. Se uma parábola tem como equação x2 � 4x � 12y � 8 � 0, determine as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, a equação da reta diretriz da parábola e a equação do eixo de simetria.
Resolu•‹o:
Completando os quadrados perfeitos, temos:x2 � 4x � 12y � 8 � 0 ⇒ x2 � 4x � 12y � 8 ⇒ x2 � 4x � ……4 � 12y � 8 � ……4 ⇒ x x y
x
2x xx x4x xx x 4 12 1y 2
2(
� �x xx x4x xx x � �4 14 12 12 1y
�
� �� �� �� �� �� �
)) ( )2
12( )( )� ( )( )y( )( )
⇒
⇒ (x � 2)2 � 4 � 3(y � 1) em que xV � 2, yV � �1 e c � 3
Fazendo um esboço do gráfico, vem:
(2, �1 � 3)
(2, �1)
(2, �1 � 3)
3
3
y � �4
Logo, V(2, �1), F(2, 2), a diretriz é y � �4 e o eixo de simetria é x � 2.
6. Determine a equação, o foco F e a diretriz d da parábola com vértice V(�2, �3), sabendo que o foco está no quarto quadrante, d é paralela ao eixo y e o parâmetro, p (2c), é 8.
Resolu•‹o:
p � 8 indica que c � 4, pois c � p
2.
As informações do problema levam a um esboço do gráfico ao lado.
A posição da parábola indica que a equação é da forma (y � yV)2 � 4c(x � xV).Daí, vem:V(�2, �3)c � 4F(�2 � 4, �3) ⇒ F(2, �3)D(�2 � 4, �3) ⇒ D(�6, �3)diretriz x � �6
Substituindo as informações na fórmula, temos:(y � yV)2 � 4c(x � xV) ⇒ (y � 2)2 � 4 � 4(x � 3) ⇒ (y � 2)2 � 16(x � 3)Logo, a parábola tem equação (y � 2)2 � 16(x � 3), F(2, �3) e diretriz x � �6.
d
x
y
D(�2 �4, �3) V(�2, �3) F(�2 � 4, �3)
3. Determine a equação da parábola que tem:a) foco no ponto F(3, 0) e diretriz de equação x � �3;
b) diretriz de equação y � 3 e vértice V(0, 0);
c) foco no ponto F(1, 2) e diretriz de equação x � �2;
d) diretriz de equação x � 2 e vértice V(�1, �3).
4. A parábola de equação x2 � 6x � y � 8 � 0 intersec-ta o eixo x nos pontos A e B. Sendo V o vértice da pa-rábola, determine a área do triângulo VAB.
Exercícios
5. Encontre as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, a equação da reta diretriz e a equação do eixo de simetria das parábolas de equações:a) y2 � 6y � 12x � 21 � 0b) x2 � 2x � y � 4 � 0
6. Determine a equação das parábolas:a) de vértice V(�1, 4), eixo paralelo ao eixo y e que
passa pelo ponto A(3, 0);b) de vértice V(4, 2) e foco F(4, 5).
