Instituto Federal do Esprito Santo Campus Vitria

Sees CnicasProf. Fernanda Capucho Cezana Disciplina: Geometria Analtica Semestre: 2011/01 Turma: IEE01

Sees CnicasUma cnica no plano definida como o conjunto dos pontos P = (x, y) que satisfazem a equaco

ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0,em que a, b, c, d, e e f so nmeros reais, com a, b e c no simultaneamente nulos.(Santos, Reginaldo J.. Matrizes,Vetores e Geometria Anatlica, http://www.mat.ufmg.br/~regi/livros.html)

Sees Cnicas no-degeneradas

circunferncia

elipse

(Steinbruch, A., Winterle, P., Geometria Anatlica)

Sees Cnicas no-degeneradas

parbola

hiprbole

(Steinbruch, A., Winterle, P., Geometria Anatlica)

Sees Cnicas degeneradas

(Steinbruch, A., Winterle, P., Geometria Anatlica)

A parbola Definio: Uma parbola o conjunto dos pontos P no plano equidistantes de uma reta r (diretriz) e de um ponto F (foco), no pertencente a r, ou seja, a parbola o conjunto dos pontos P tais que dist(P, F) = dist(P, r).

Equaes Reduzidas de uma parbola com vrtice na origem(a)A equao da parbola com foco F = (p, 0) e reta diretriz r : x = p

y = 4px.

Equaes Reduzidas de uma parbola com vrtice na origem(b)A equao da parbola com foco F = (0, p) e reta diretriz r : y = p

x = 4py.

A elipse Definio: A elipse o conjunto dos pontos P no plano tais que a soma das distncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) constante, ou seja, se dist(F1, F2) = 2c, ento a elipse o conjunto dos pontos P tais que dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a, onde que a > c.

Elementos de uma elipse Focos: so os pontos F1 e F2; Distncia focal: distncia entre os focos 2c; Centro: o ponto mdio C do segmento F1F2; Eixo maior: o segmento A1A2 de comprimento 2a; Eixo menor: o segmento B1B2 de comprimento 2b; Vrtices: so os pontos A1, A2, B1 e B2; Excentricidade: o nmero e dado por e = c/a (como c < a, temse 0< e < 1).

Elementos de uma elipseEm toda elipse vale a relao: a = b + c

Equaes Reduzidas de uma elipse centrada na origem(a) A equao da elipse cujos focos so F1 = (c, 0) e F2 = (c, 0)

x y + 2 =1 2 a b(b) A equaco da elipse cujos focos so F1 = (0,c) e F2 = (0, c) 2 2

2

2

x y + 2 =1 2 b aEm ambos os casos

b = a c2

2

.

Demonstrao das equaes da elipse centrada na origemCaso (a): A equao da elipse cujos focos so F1 = (c, 0) e F2 = (c, 0)

x y + 2 =1 2 a bCaso (b): A equaco da elipse cujos focos so F1 = (0,c) e F2 = (0, c)

2

2

x y + 2 =1 2 b a

2

2

Exemplo 01

Exemplo 02

Exemplo 03Escreva a equao reduzida da elipse: 4x + 2y =1. Faa um esboo do grfico dessa elipse, identificando o eixo maior e o eixo menor e suas medidas, os vrtices, os focos, a excentricidade.

Exemplo 04 Escreva a equao reduzida da elipse: 4x + y =16. Faa um esboo do grfico dessa elipse, identificando o eixo maior e o eixo menor e suas medidas, os vrtices, os focos, a excentricidade.

Exemplo 05Escreva a equao da elipse de focos F1(-1, 2) e F2(3,2) e satisfaz dist(P, F1) + dist(P, F2) = 6.

Exemplo 06Determine a equao de uma elipse de centro na origem, um foco no ponto (3, 0) e a medida do eixo maior 8.

Exemplo 07Escreva a equao da elipse de focos F1(-1, -1) e F2(1, 1) e satisfaz dist(P, F1) + dist(P, F2) = 4. Resp. 3x + 3y - 2xy - 8=0