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Física ModernaFísica ModernaRelatividade RestritaRelatividade Restrita
Dinâmica RelativísticaDinâmica Relativística
2
Dinâmica Relativística
Objetivos:
Definir:
Momento Linear Energia Cinética Energia Total Energia de Repouso
Conceitos Fundamentais:
• Lei de composição de velocidades relativísticas• 4-vetores: espacial, velocidade, momento linear
3
Composição de velocidades relativísticas
td
zdv
td
ydv
td
xdv
dt
dzv
dt
dyv
dt
dxv
zyx
zyx
,,:S Em
,, :S EmP
Componentes cartesianas da velocidade da partícula P:
Qual é a relação entre as velocidades dadas pelos dois referenciais?
P
4
Composição de velocidades relativísticas
)(
)(
2dx
c
Vdttd
dzzd
dyyd
Vdtdxxd
x
xx
vcVVv
dtdx
cV
Vdtdx
dxcV
dtdt
dtVdtdx
td
Vdtdxv
td
xd
222 11)(
)1(
)1()1()(
2
222
x
zz
x
yyy
vcVv
vtd
zd
vcV
v
dtdx
cV
v
dxcV
dtdt
dtdy
vtd
yd
Velocidade em S´em termos da velocidade em S:
5
Composição de velocidades relativísticas
x
xx
vcVVv
vdt
dx
21
)1(
)1(
2
2
x
zz
x
yy
vc
Vv
vdt
dz
vc
V
vv
dt
dy
Velocidade em S em termos da velocidade em S´:
Como S se move em relação a S´ com velocidade –V, a transformação de S´ para S deve ter a mesma forma das anteriores bastando trocar V por -V
6
Composição de velocidades relativísticas
zz
yy
xx
vv
vv
Vvv
O limite não-relativístico:
Em outras palavras, a Mecânica Newtoniana é uma boa aproximação da teoria da relatividade quando as velocidades são muito menores que c. c
7
QuadrivetoresÉ um conjunto de quatro componentes (a0, a1, a2, a3) que se
transformam de um referencial inercial S para outro S´ segundo a regra que mantém a seguinte quantidade invariante:
espacial componente
23
22
21
20
espacial componente
23
22
21
20 )()( aaaaaaaa
temporalcomponente
temporalcomponente
Embora as suas componente mudem quando mudamos de referencial, a combinação específica escrita acima tem o mesmo valor em todos os referenciais.
100
33
22
011
ac
Vaa
aa
aa
ac
Vaa
Onde:
8
Quadrivetores
4-posição: ),(),,,( rctzyxct
4-velocidade: ),(),,,( vcvvvc zyx
Para que as leis da Mecânica sejam as mesmas em todos os referenciais inerciais (Princípio da Relatividade), elas devem ser formuladas em termos de quadrivetores, pois estes se transformam por mudança de referencial (transformação de Lorentz) exatamente da forma necessária para garantir a equivalência entre os diferentes referenciais inerciais.
4-momento:
Lorentz de invariante:repouso de massa
:icorelativíst momento
),(),,,(
0
00
vm
pcmpppcm
m
zyx
No referencial de repouso da partícula: 0,0 mmv
9
Quadrivetores
4-posição: ),(),,,( rctzyxct
4-velocidade: ),(),,,( vcvvvc zyx
Para que as leis da Mecânica sejam as mesmas em todos os referenciais inerciais (Princípio da Relatividade), elas devem ser formuladas em termos de quadrivetores, pois estes se transformam por mudança de referencial (transformação de Lorentz) exatamente da forma necessária para garantir a equivalência entre os diferentes referenciais inerciais.
4-momento:
Lorentz de invariante:repouso de massa
:icorelativíst momento
),(),,,(
0
00
vm
pcmpppcm
m
zyx
No referencial de repouso da partícula: 0,0 mmv
10
11
12
Velocidade proporcional ao momento
Momento relativístico
13
Energia Cinética
f
i
f
i
r
r
r
r
FdxTxFFrdFT
ˆ,
A energia cinética T adquirida pela partícula de massa de repouso m0 vale, no instante em que sua velocidade tem
modulo v:
0
20
220
20
EET
cmmccmcmT
Energia totalEnergia de repouso
Relativístico
Clássico
18
Massa e Energia
Princípio da Equivalência entre massa e energia:
E=mc2
Vale para todas as formas de energia, por exemplo para a energia eletromagnética, a qual também devemos associar uma quantidade de inércia de acordo com esta equação.
19
Momento e Energia
Invariância de Lorentz:
2220
2222
2
2202
220222
2
20
2222
2222
2
)(
)(
,0:
ccmpppc
Ec
cmc
cmppp
c
E
cmEpS
pppc
Eppp
c
E
p
zyx
zyx
zyxzyx
c
E
pc
Epcmpppcm zyx
0
00
p
),(),(),,,(4-momento
20
Momento e Energia
420
222
2220
2222
2
2
)(
cmcpE
ccmpppc
Ec
p
zyx
Partículas com massa de repouso nula:
pcE
21
Momento e Energia
Massa de repouso nula
Limite não-relativístico
cmp 0
cmp 0
cmp 0
22
RESOLUÇÃO:
(a)
(d)
(c)
(b)
23
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