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Copyright © Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
10 Equações Paramétricas
e Coordenadas Polares
James Stewart – Cálculo – Volume 2
Copyright © Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
10.5 Seções Cônicas
3
Seções Cônicas
Nesta seção apresentadas as definições
geométricas de parábolas, elipses e hipérboles e
deduziremos suas equações padrão. Elas são chamadas
seções cônicas, ou cônicas, porque resultam da
intersecção de um cone com um plano, como mostrado na
Figura 1.
Cônicas
Figura 1
4
Parábolas
5
Parábolas
Uma parábola é o conjunto de pontos em um plano
cujas distâncias a um ponto fixo F (denominado foco) e
uma reta fixa (denominada diretriz) são iguais. Essa
definição é ilustrada pela Figura 2.
Figura 2
6
Parábolas
Observe que o ponto na metade do caminho entre o
foco e a diretriz está na parábola; ele é conhecido como
vértice.
A reta que passa pelo foco e é perpendicular à
diretriz é intitulada eixo da parábola.
No século XVI, Galileu mostrou que a trajetória de
um projétil atirado no ar com um certo ângulo em relação
ao solo é uma parábola. Desde essa época, os formatos
parabólicos têm sido usados para desenhar faróis de carro,
telescópios refletores e pontes suspensas.
7
Parábolas
Obteremos uma equação da parábola de modo simples se
colocarmos o vértice da parábola na origem O do sistema
Cartesiano e sua diretriz paralela ao eixo x, como na
Figura 3.
Figura 3
8
Parábolas
Se o foco for o ponto (0, p), então a diretriz tem a equação
y = –p. Se P (x, y) é qualquer ponto na parábola, então a
distância de P até o foco é de
| PF | =
e a distância de P até a diretriz é | y + p |. (A Figura 3 ilustra
o caso onde p > 0.) A propriedade de definição de uma
parábola é que essas distâncias são iguais:
= | y + p |
9
Parábolas
Obtemos uma equação equivalente elevando ao
quadrado e simplificando:
x2 + (y – p)2 = | y + p |2 = (y + p)2
x2 + y2 – 2py + p2 = y2 + 2py + p2
x2 = 4py
Se escrevermos a = 1/(4p), então a equação padrão de
uma parábola torna-se y = ax2.
10
Parábolas
A concavidade é para cima se p > 0 e para baixo se p < 0
[veja a Figura 4, partes (a) e (b)].
(a) x2 = 4py, p > 0
Figura 4
(b) x2 = 4py, p < 0
11
Parábolas
O gráfico é simétrico em relação ao eixo y porque não
muda quando x é trocado por –x.
Se trocarmos x e y em , obteremos
que é uma equação da parábola com foco (p, 0) e diretriz
x = –p. (Trocar x e y significa refletir em relação à linha
diagonal y = x.)
12
Parábolas
A parábola abre para a direita se p > 0 e para a esquerda
se p < 0 [veja a Figura 4, partes (c) e (d)].
Em ambos os casos, o gráfico é simétrico em relação ao
eixo x, que é o eixo da parábola.
(c) y2 = 4px, p > 0 (d) y2 = 4px, p < 0
Figura 4
13
Exemplo 1
Encontre o foco e a diretriz da parábola y2 + 10x = 0
e esboce o gráfico.
SOLUÇÃO: Se escrevermos a equação como y2 = –10x e
a compararmos com a Equação 2, veremos que 4p = –10,
assim, p = Então, o foco é (p, 0) = ( , 0) e a diretriz é
x =
14
Exemplo 1 – Solução
O esboço é mostrado na Figura 5.
continuação
Figura 5
15
Elipses
16
Elipses
Uma elipse é o conjunto de pontos em um plano cuja
soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é uma
constante (veja a Figura 6).
Esses dois pontos são chamados focos. Uma das Leis de
Kepler é que as órbitas dos planetas no sistema solar são
elipses com o Sol em um dos focos.
Figura 6
17
Elipses
Para obtermos a equação mais simples para uma elipse,
colocamos os focos no eixo x nos pontos (– c, 0) e (c, 0)
como na Figura 7, de modo que a origem esteja na metade
do caminho entre os focos.
Figura 7
18
Elipses
Seja a soma das distâncias de um ponto ma elipse até os
focos 2a > 0. Então P (x, y) é um ponto na elipse quando
| PF1 | + | PF2 | = 2a
isto é,
ou
19
Elipses
Elevando ao quadrado ambos os lados, temos
x2 – 2cx + c2 + y2 = 4a2 – 4a + x2 + 2cx + c2 + y2
que é simplificada para
Elevamos ao quadrado novamente:
a2(x2 + 2cx + c2 + y2) = a4 + 2a2cx + c2x2
que se torna (a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2)
A partir do triângulo F1F2P na Figura 7, vemos que 2c < 2a,
assim, c < a e, portanto, a2 – c2 > 0. Por conveniência,
seja b2 = a2 – c2.
20
Elipses
A equação da elipse torna-se b2x2 + a2y2 = a2b2, ou,
se ambos os lados forem divididos por a2b2,
Como b2 = a2 – c2 < a2, segue que b < a. As interseções com
o eixo x são encontradas fazendo y = 0: x2/a2 = 1, ou x2 =
a2, assim x = a. Os pontos correspondentes (a, 0) e (–a, 0)
são chamados vértices da elipse, e o segmento de reta
que une os vértices é dito eixo maior. Para encontrarmos
as interseções com o eixo y fazemos x = 0 e obtemos y2 =
b2, ou seja, y = b. O segmento de reta unindo os pontos
(0, b) e (0, –b) é chamado eixo menor.
21
Elipses
A Equação 3 não muda se x for trocado por –x ou y
for trocadodo por –y, logo, é simétrica em relação a ambos
os eixos. Observe que, se os focos coincidirem, então c =
0, portanto, a = b e a elipse torna-se um círculo com raio
r = a = b.
Resumimos essa discussão a seguir (veja também a
Figura 8).
Figura 8
22
Elipses
Se os focos de uma elipse estiverem localizados no
eixo y em (0, c), então podemos encontrar sua equação
trocando x e y em (Veja a Figura 9.)
Figura 9
23
Elipses
24
Exemplo 2
Esboce o gráfico de 9x2 + 16y2 = 144 e localize os focos.
SOLUÇÃO: Dividindo ambos os lados da equação por 144:
A equação está agora na forma padrão para uma elipse,
e assim temos a2 = 16, b2 = 9, a = 4, e b = 3. As
intersecções com o eixo x são 4 e as intersecções com o
eixo y são 3.
25
Exemplo 2 – Solução
Além disso, c2 = a2 – b2 = 7, portanto c = 7 e os focos são
( , 0). O gráfico é esboçado na Figura 10.
continuação
9x2 + 16y2 = 144
Figura 10
26
Hipérboles
27
Hipérboles
Uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos em
um plano cuja diferença entre as distâncias a dois pontos
fixos F1 e F2 (os focos) é uma constante. Essa definição é
ilustrada na Figura 11.
Figura 11
P está na hipérbole quando
| PF1 | – | PF2 | = 2a.
28
Hipérboles
Observe que a definição de uma hipérbole é similar
àquela de uma elipse; a única mudança é que a soma das
distâncias torna-se uma diferença das distâncias. De fato,
a dedução da equação de uma hipérbole é também similar
àquela dada anteriormente para uma elipse. Quando os
focos estão no eixo x na (c, 0) e a diferença das
distâncias for | PF1 | – | PF2 | = 2a, então a equação da
hipérbole é
com c2 = a2 + b2.
29
Hipérboles
Observe que as interseções com o eixo x são
novamente a, e os pontos (a, 0) e (–a, 0) são os vértices
da hipérbole. Mas, se colocarmos x = 0 na Equação 6,
teremos y2 = –b2, que é impossível; dessa forma, não existe
intersecção com o eixo y. A hipérbole é simétrica em
relação a ambos os eixos.
Para analisarmos a hipérbole um pouco mais,
olhamos a Equação 6 e obtemos
Isso mostra que x2 a2, de modo que | x | =
30
Hipérbole
Portanto, temos x a ou x –a. Isso significa que a
hipérbole consiste em duas partes, chamadas ramos.
Quando desenhamos uma hipérbole é útil desenhar
primeiro as assíntotas, que são as linhas pontilhadas
y = (b/a)x e y = –(b/a)x mostradas na Figura 12.
Figura 12
31
Hipérboles
Ambos os ramos da hipérbole atingem as assíntotas; isto
é, eles se tornam arbitrariamente perto das assíntotas.
32
Hipérboles
Se os focos de uma hipérbole estiverem no eixo y, então,
trocando os papéis de x e y, obtemos a seguinte
informação, que é ilustrada na Figura 13.
Figura 13
33
Exemplo 4
Encontre os focos e as assíntotas da hipérbole
9x2 – 16y2 = 144 e esboce seu gráfico.
SOLUÇÃO: Dividindo ambos os lados da equação por 144:
que é a forma dada em com a = 4 e b = 3.
34
Exemplo 4 – Solução
Com c2 = 16 + 9 = 25, os focos são (5, 0). As assíntotas
são as retas y = e y = – . O gráfico é visto na Figura
14.
continuação
Figura 14
9x2 – 16y2 = 144
35
Cônicas Transladadas
36
Cônicas Transladadas
Transladamos as cônicas tomando as equações-padrão
e e trocando x e y por x – h e y – k.
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Exemplo 6
Encontre uma equação para a elipse com focos (2, –2),
(4, –2) e vértices (1, –2), (5, –2).
SOLUÇÃO: O eixo maior é o segmento de reta que une os
vértices (1, –2), (5, –2) e tem comprimento 4; assim, a = 2.
A distância entre os focos é 2, e assim, c = 1. Então,
b2 = a2 – c2 = 3. Como o centro da elipse é (3, –2),
trocamos x e y em por x – 3 e y + 2 para obter
como a equação da elipse.
38
Exemplo 7
Esboce a cônica 9x2 – 4y2 – 72x + 8y + 176 = 0 e ache seus
focos.
SOLUÇÃO: Completamos os quadrados como a seguir:
4(y2 – 2y) – 9(x2 – 8x) = 176
4(y2 – 2y + 1) – 9(x2 – 8x + 16) = 176 + 4 – 144
4(y – 1)2 – 9(x – 4)2 = 36
39
Exemplo 7 – Solução
Isso está na forma de , exceto que x e y estão trocados
por x – 4 e y – 1. Então, a2 = 9, b2 = 4, e c2 = 13. A
hipérbole está deslocada quatro unidades para a direita e
uma unidade para cima.
continuação
40
Exemplo 7 – Solução
Os focos são (4, 1 + ) e (4, 1 – ) e os vértices são
(4, 4) e (4, –2). As assíntotas são y – 1 = A
hipérbole é esboçada na Figura 15.
continuação
Figura 15
9x2 – 4y2 – 72x + 8y + 176 = 0
41
Exercícios recomendados
1 ao 8, 11 ao 16, 19 ao 24, 25 ao 30.
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