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MATEMÁTICA VAULA 16:
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO
EXERCÍCIOS PROPOSTOSANUAL
VOLUME 4
OSG.: 102305/16
01. R(1, 5)
M(– 2, 3)
A(3, – 4)
P
r
s
I. P: circuncentro (encontro das mediatrizes)II. Propriedade do ponto P: equidista dos vértices A, R e M.
III. Coefi ciente angular RM my
xS
� ���( ) = −+
= → = − = −
+
5 3
1 2
2
3
3
2
412
IV. Coefi ciente angular AM my
xr
� ���( ) = − −+
= − → = =+
−
4 3
3 2
7
5
5
7
1212V. reta r: 5x – 7y = 6
reta s: 6x + 4y = 13
VI. r ∧ s → resolver o sistema → P =
115
62
29
62,
Resposta: B
02. Reescrevendo a equação da reta y = – 2x + 1 sob a forma x
y1 2
1+ = , tem-se que os pontos de interseção dessa reta com os eixos
cartesianos são N =
1
20, e M = (0, 1).
Como os triângulos POQ e MON são semelhantes por AA, temos
( )
( )
,
POQ
MONk k
k
= ⇒⋅ ⋅
=
⇒ =
2 2912
112
6
com k sendo a razão de semelhança. Desse modo, vem P = (0, 6) e Q = (3, 0).
Portanto, o resultado pedido é
d P Q( , ) .= + =6 3 3 52 2 m
Resposta: B
03. A reta cujos pontos são equidistantes de A e B é exatamente a mediatriz do segmento de extremos A e B. Portanto, devemos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular a ele.
Cálculo do ponto médio de AB: 1 7
2
2 14
24 8 0 0
+ +
= ( ) ⇔, , ( , )x y
Coefi ciente angular da reta que passa por A e B: 14 2
7 12
−−
=
Portanto, o coefi ciente angular da mediatriz r é mr =
−1
2 Encontrando, agora, a equação da mediatriz r.
y – 8 = −1
2 (x – 4) ⇒ 2y – 16 = – x + 4 ⇒ x + 2y – 20 = 0
OSG.: 102305/16
Resolução – Matemática V
04. De acordo com as informações acima, temos os pontos A e B localizados abaixo:
y
x
A(– 3, 4)
B(3, – 2)
Determinaremos, agora, a equação da reta que passa pelos pontos A(– 3, 4) e B(3, – 2).
Cálculo do coefi ciente angular m:
m = − −− −
= −2 4
3 31
( )
Utilizando o ponto A(– 3, 4) para determinar a equação da reta, temos:
y – 4 = – 1(x – (– 3)) ⇒ y – 4 = – x + 3 ⇒ x + y – 1 = 0
Resposta: B
05. As retas dadas são paralelas, pois possuem o mesmo coefi ciente angular m = 3/4.
O ponto P(0, – 2) pertence à reta (r) 3x – 4y – 8 = 0, portanto a distância entre as retas, (r) 3x – 4y – 8 = 0 e (s) 4y – 3x – 12 = 0 será dada por:
d dr s P s, ,
( ) ( )
( )= =
⋅ − − ⋅ −
+ −= =
4 2 3 0 12
4 3
20
54
2 2
A medida do diâmetro da circunferência é igual a distância entre as retas r e s.
r
s
Portanto, o raio da circunferência é r = 2 e seu comprimento C será dado por C = 2 · π · 2 = 4π.
Resposta: A
OSG.: 102305/16
Resolução – Matemática V
06. Determinando a equação da reta suporte do lado C do paralelogramo.
Cálculo do coefi ciente angular: m =−
−=
53
43
2 1
1
3
Equação da reta suporte do lado C: y x x y− = − ⇒ − + =4
3
1
31 3 3 0( )
Analisando as proposições, temos que:I. Verdadeira.II. Falsa.III. Verdadeira. O coefi ciente linear da reta suporte de C é 1, portanto não há chance da estante atingir a altura do início do mural.IV. Falsa, pois a distância entre as retas paralelas será dada pela distância de P
1 até a reta suporte do lado C.
d =− ⋅ +
+ −( )=
1 373
3
1 3
3
102 2
Resposta: C
07.
y
r
x
s
10– 2
1
3
2
I. r: x y
−+ =
2 11 (segmentária) → y x mr= + → =1
21
1
2.
II. s r my
xx ys⊥ → = − =
−
−→ + − =2
321
4 2 7 0s: .
Resposta: E
08. I. I é a interseção das retas perpendiculares, r e s.
II. PI (menor distância).
III. s r my
xx ys⊥ → = − = −
−→ + =1
3
5
23 17s: .
IV. Interseção → sistema
y xx y
x e y= ++ ={ → = =3 2
3 1711
10
53
10
Logo, I =
11
10
53
10, .
Resposta: D
r: y = 3x + 2
P(2, 5)
x0
s
I
y
OSG.: 102305/16
Resolução – Matemática V
09. y (cm)
Área = 6 cm2
d S
r
(0, 6)
x (cm)0– 3
Retas: x y
−+
3 4 = 1 (segmentária) → 4x – 3y + 12 = 0
Logo: d cm=− +
+ −=
4 0 3 6 12
4 3
6
52 2
. .
( )
Resposta: C
10. y
A B
D
0x
C (6, 10)
AB yx
AD y xdados
� ���
� ���:
:
= +
= −
214
4 2
I. ABCD é um paralelogramo, então:
BC AD y x n� �� � ��� � ��
// → ( ) = +Reta BC : 4
II. (6, 10) ∈ y = 4x + n → n = – 14
III. B ∈ AB BC� ��� � ��
∩ , então:y x
yx B
= −
= +
→ = ( )
4 14
214
8 18,
Resposta: C
NAILTON – REV.: TP10230516_pro_Aula16-Posições Relativas de Duas Retas no Plano
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