17 Março de 2005Simulação da Queda de Corpos1 Pedro Barahona DI/FCT/UNL Março 2004

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Simulação da Queda de Corpos

Pedro BarahonaDI/FCT/UNLMarço 2004

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Bases Físicas do Problema

• Sem contar com a resistência do ar, um corpo em queda livre é sujeito à aceleração (constante) da gravidade com o valor de 9.8 ms-2.

• A resistência do ar pode ser modelada através de uma força, logo de uma aceleração, proporcional à velocidade e de sentido contrário, que depende do objecto em queda.

• Denotando por a a aceleração instantânea (no instante t), e tendo em conta os sentidos no referencial, temos

a = g - k · v

a g v x

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Bases Físicas do Problema• Adicionalmente sabemos que

– a velocidade é a variação da distância com o tempo – a aceleraçao é a variação da velocidade com o tempo

• Desta forma temos que v = dx/dt e que a = dv/dt

• Juntando esta equação com as anteriores obtemos o sistema de equações

a = g - k · vv = dx/dta = dv/dt

• Problema: Determinar os valores de x, v e a ao longo do tempo.

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Resolução Informal• Problema: Obter o valor de um conjunto de funções (a, v, x) ao

longo do tempo.

• Informalmente podemos simular a variação de uma função f ao logo do tempo da seguinte forma:

– Sabendo o valor de f no instante t, vamos determinar o valor de f num “instante” Δt posterior, ou seja no instante t + Δt

– Ora, se o tempo avança para um valor posterior de uma quantidade Δt, o valor de f vai igualmente variar nesse instante posterior de um valor df, ou seja para f + Δf.

• Como se relacionam os valores de Δf e de Δt?

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• Graficamente podemos ilustrar a relação de Δf e de Δt como se segue

• Em geral, é uma boa aproximação considerar que a razão Δf /Δt se aproxima da tangente da curva f(t), isto é

Δf /Δt ≈ df/dte por conseguinte podemos fazer

Δf = df/dt * Δt

Resolução Informal

Δt

Δf

f

t

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Modelação Formal de Equações Diferenciais• Sabendo o valor da função f no ponto t, f(t), podemos obter o

seu valor num instante “seguinte”, t+dt, pelo valor da derivada em relacão ao tempo, df/dt, num ponto θ compreendido entre t e t + dt. Com efeito, temos (série de Taylor)

f(t+dt) = f(t) + df(θ)/dt · dt e em determinadas condições (continuidades da função, ...) é assegurado existir o ponto θ.

t

f(t)

f

tθt+dt

f(t+dt)

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Modelação Formal de Equações Diferenciais• Mais formalmente podemos usar o desenvolvimento em série

de Taylor de até ao tremo de 2ª ordem e obtemos

f(t+δ) = f(t) + df(t)/dt · dt + ½ d2f(θ)/dt2 · dt2

em que t θ t+dt.

• Para pequenos valores de dt, temos que dt2 << dt e portanto o último termo pode ser desprezado sem grande erro, obtendo-se

f(t+dt) f(t) + df(t)/dt · dt

e que pode ser descrito mais informalmente por

f(t+dt) f + df = f + df/dt · dt

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Velocidade e Aceleração• Como vimos, a = dv/dt, ou seja a aceleração é a derivada da

velocidade. Mais precisamente, num instante t temos

a(t) = dv(t)/dt

• Assim podemos determinar v(t+δ), o valor aproximado da velocidade no instante t+δ, conhecendo o seu valor no instante t, v(t), por aplicação do método geral

f(t+ δ) f(t) + df(t)/dt · δ

ao caso em que a função f é a velocidade, isto é

v(t+δ) v(t) + a(t) · δ

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Posição e Velocidade• Como vimos, v = dv/dt, ou seja a velocidade é a derivada da

posição. Mais precisamente, num instante t temos

v(t) = dx(t)/dt

• Assim podemos determinar x(t+δ), o valor aproximado da posição no instante t+δ, conhecendo o seu valor no instante t, x(t), por aplicação do método geral

f(t+ δ) f(t) + df(t)/dt · δ

ao caso em que a função f é a posição, isto é

x(t+ δ) x(t) + v(t) · δ

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Aceleração, Velocidade e PosiçãoEm resumo, dados os valores da velocidade e posição no instante t, o seu valor aproximado no instante t+δ, é

x(t+ δ) x(t) + v(t) · δ

v(t+ δ) v(t) + a(t) · δ

sendo a aceleração do corpo em queda livre dada por

a(t) = g - k · v(t)

Uma vez esboçada a forma de calcular os sucessivos valores da altura, velocidade e aceleração, podemos especificar o problema.

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Especificação do Problema

Dada uma altura inicial, determinar com base no coeficiente de resistência do ar e para uma dada precisão do intervalo de tempo, o tempo que dura a queda, bem como as velocidades e aceleração no solo.

Algoritmo de Queda

de Corpos

Entrada

Resistência do ArAltura Inicial

Intervalo de Tempo

Resultados

Tempo da QuedaVelocidade FinalAceleração Final

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Variáveis Utilizadas

Èm geral, na especificação de um algoritmo definem-se as variáveis e constantes que vão ser utilizadas, bem como o seu significado. Neste problema, apenas existe uma constante

• g = 9.8 a aceleração da gravidade (na Terra)As variáveis a utilizar são, naturalmente, as seguintes

• t: o tempo• δ: o valor do intervalo de tempo usado na simulação• x : a altura do corpo em cada instante t• v : a velocidade do corpo no instante t• a: a aceleração do corpo no instante t• k: o coeficiente de resistência do ar

(dependente da forma do corpo)

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Estrutura do Algoritmo

O algoritmo para simulação da queda dos corpos pode ser decomposto em 3 “componentes”

1. Inicialização de Variáveis2. Ciclo de Simulação da Queda3. Apresentação de Resultados

Cada uma destas componentes pode ser considerada separadamente

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Inicialização de Variáveis

• Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as variáveis são inicializadas e as constantes definidas antes de poderem ser referidas em expressões.

• Assumindo que a queda começa na origem do tempo, a partir de repouso, as condições iniciais são expressas por

• Quer a altura inicial, quer o valor do coeficiente da resistência do ar, quer o intervalo de tempo utilizados, devem ser especificados pelo utilizador através de instruções de entrada.

g = 9.8; v = 0; t = 0; a = g; x = 0

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Inicialização de Variáveis

1. Inicialização de Variáveis

Entra h; % Altura inicialEntra k; % Coeficiente de AtritoEntra δ; % Intervalo de Tempog ← 9.8; % Aceleração da Gravidadev ← 0; t ← 0;a ← g;x ← 0;

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Ciclo de Simulação

A parte fundamental do algoritmos é um ciclo em que se vão calculando os sucessivos valores de tempo t, da altura x, da velocidade v e da aceleração a, em tempos espaçados de um intervalo δ

enquanto ... fazer t t + δ ; x x + v· δ ; v v + a· δ ; a g - k·v ;fim enquanto

% x(t+ δ) x(t) + v(t) · δ% v(t+ δ) v(t) + a(t) · δ% a(t) = g - k · v(t)

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Condições de Entrada no Ciclo

• Em qualquer ciclo é necessário especificar em que condições é que o ciclo é executado.

• Neste caso, estamos interessados em estudar a queda até se atingir o solo (x = h). A condição de controle do ciclo é pois

x < h, donde

enquanto x < h fazer t t + δ ; x x + v· δ ; v v + a· δ ; a g - k·v ;fim enquanto

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Ciclo de Simulação

2. Ciclo de Simulação

enquanto x < h fazer t t + δ ; x x + v · δ ; v v + a · δ ; a g - k·v ;fim enquanto

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Apresentação de Resultados

3. Apresentação de Resultados

O tempo de duração da queda, a velocidade final com que se atinge o solo, e a aceleração nesse ponto, são simplesmente o valor das variáveis t, v e a no final do ciclo. A apresentação de resultados resume-se pois a

Sai t; % Tempo de duração da QuedaSai v; % Velocidade de chegada ao soloSai a; % Aceleração na chegada ao solo

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Algoritmo Completo% Inicialização de Variáveis

Entra h; % Altura inicialEntra k; % Coeficiente de AtritoEntra δ; % Intervalo de Tempog 9.8; % Aceleração da Gravidadev 0; t 0; a g; x 0;

% Ciclo de Simulaçãoenquanto x < h fazer

t t + δ ; x x + v· δ ; v v + a· δ ; a g - k·v ;

fim enquanto% Apresentação de Resultados

Sai t; % Tempo de duração da QuedaSai v; % Velocidade de chegada ao soloSai a; % Aceleração de chegada ao solo

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Progama Octaveg = 9.8 ; % aceleração da gravidadeh = input(" Qual a altura inicial (em metros) ? ")k = input(" e o coeficiente de atrito (1/s) ? ");dt= input(" e o intervalo de tempo (em segs) ? ");t = 0;x = h;v = 0;a = g; while x < h t = t + dt; x = x + v * dt; v = v + a * dt; a = g - k * v;endwhile;disp(" O tempo de queda (em segundos) foi de "), disp(t)disp(" e a velocidade final (em m/s) foi de "), disp(v)disp(" e a aceleração final (em m/s2) foi de "), disp(a)

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Progama Octave

• O programa pode ser testado com vários valores dos parâmetros de entrada (h, k e dt).

• A altura inicial h tipica é da ordem dos 1000 metros.

• Realçar a importância de dt tomar valores pequenos, de forma a garantir que erros cometidos pela aproximação das equações diferenciais não sejam muito significativos (dt 0.1 seg).

• Tipicamente k toma valores no intervalo • 0 – sem resistência do ar• 1 – resistência muito alta