17 Março de 2005Simulação da Queda de Corpos1 Pedro Barahona DI/FCT/UNL Março 2004

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 1

Simulação da Queda de Corpos

Pedro BarahonaDI/FCT/UNLMarço 2004


Bases Físicas do Problema

• Sem contar com a resistência do ar, um corpo em queda livre é sujeito à aceleração (constante) da gravidade com o valor de 9.8 ms-2.

• A resistência do ar pode ser modelada através de uma força, logo de uma aceleração, proporcional à velocidade e de sentido contrário, que depende do objecto em queda.

• Denotando por a a aceleração instantânea (no instante t), e tendo em conta os sentidos no referencial, temos

a = g - k · v

a g v x


Bases Físicas do Problema• Adicionalmente sabemos que

– a velocidade é a variação da distância com o tempo – a aceleraçao é a variação da velocidade com o tempo

• Desta forma temos que v = dx/dt e que a = dv/dt

• Juntando esta equação com as anteriores obtemos o sistema de equações

a = g - k · vv = dx/dta = dv/dt

• Problema: Determinar os valores de x, v e a ao longo do tempo.


Resolução Informal• Problema: Obter o valor de um conjunto de funções (a, v, x) ao

longo do tempo.

• Informalmente podemos simular a variação de uma função f ao logo do tempo da seguinte forma:

– Sabendo o valor de f no instante t, vamos determinar o valor de f num “instante” Δt posterior, ou seja no instante t + Δt

– Ora, se o tempo avança para um valor posterior de uma quantidade Δt, o valor de f vai igualmente variar nesse instante posterior de um valor df, ou seja para f + Δf.

• Como se relacionam os valores de Δf e de Δt?


• Graficamente podemos ilustrar a relação de Δf e de Δt como se segue

• Em geral, é uma boa aproximação considerar que a razão Δf /Δt se aproxima da tangente da curva f(t), isto é

Δf /Δt ≈ df/dte por conseguinte podemos fazer

Δf = df/dt * Δt

Resolução Informal

Δt

Δf

f

t


Modelação Formal de Equações Diferenciais• Sabendo o valor da função f no ponto t, f(t), podemos obter o

seu valor num instante “seguinte”, t+dt, pelo valor da derivada em relacão ao tempo, df/dt, num ponto θ compreendido entre t e t + dt. Com efeito, temos (série de Taylor)

f(t+dt) = f(t) + df(θ)/dt · dt e em determinadas condições (continuidades da função, ...) é assegurado existir o ponto θ.

t

f(t)

f

tθt+dt

f(t+dt)


Modelação Formal de Equações Diferenciais• Mais formalmente podemos usar o desenvolvimento em série

de Taylor de até ao tremo de 2ª ordem e obtemos

f(t+δ) = f(t) + df(t)/dt · dt + ½ d2f(θ)/dt2 · dt2

em que t θ t+dt.

• Para pequenos valores de dt, temos que dt2 << dt e portanto o último termo pode ser desprezado sem grande erro, obtendo-se

f(t+dt) f(t) + df(t)/dt · dt

e que pode ser descrito mais informalmente por

f(t+dt) f + df = f + df/dt · dt


Velocidade e Aceleração• Como vimos, a = dv/dt, ou seja a aceleração é a derivada da

velocidade. Mais precisamente, num instante t temos

a(t) = dv(t)/dt

• Assim podemos determinar v(t+δ), o valor aproximado da velocidade no instante t+δ, conhecendo o seu valor no instante t, v(t), por aplicação do método geral

f(t+ δ) f(t) + df(t)/dt · δ

ao caso em que a função f é a velocidade, isto é

v(t+δ) v(t) + a(t) · δ


Posição e Velocidade• Como vimos, v = dv/dt, ou seja a velocidade é a derivada da

posição. Mais precisamente, num instante t temos

v(t) = dx(t)/dt

• Assim podemos determinar x(t+δ), o valor aproximado da posição no instante t+δ, conhecendo o seu valor no instante t, x(t), por aplicação do método geral

f(t+ δ) f(t) + df(t)/dt · δ

ao caso em que a função f é a posição, isto é

x(t+ δ) x(t) + v(t) · δ


Aceleração, Velocidade e PosiçãoEm resumo, dados os valores da velocidade e posição no instante t, o seu valor aproximado no instante t+δ, é

x(t+ δ) x(t) + v(t) · δ

v(t+ δ) v(t) + a(t) · δ

sendo a aceleração do corpo em queda livre dada por

a(t) = g - k · v(t)

Uma vez esboçada a forma de calcular os sucessivos valores da altura, velocidade e aceleração, podemos especificar o problema.


Especificação do Problema

Dada uma altura inicial, determinar com base no coeficiente de resistência do ar e para uma dada precisão do intervalo de tempo, o tempo que dura a queda, bem como as velocidades e aceleração no solo.

Algoritmo de Queda

de Corpos

Entrada

Resistência do ArAltura Inicial

Intervalo de Tempo

Resultados

Tempo da QuedaVelocidade FinalAceleração Final


Variáveis Utilizadas

Èm geral, na especificação de um algoritmo definem-se as variáveis e constantes que vão ser utilizadas, bem como o seu significado. Neste problema, apenas existe uma constante

• g = 9.8 a aceleração da gravidade (na Terra)As variáveis a utilizar são, naturalmente, as seguintes

• t: o tempo• δ: o valor do intervalo de tempo usado na simulação• x : a altura do corpo em cada instante t• v : a velocidade do corpo no instante t• a: a aceleração do corpo no instante t• k: o coeficiente de resistência do ar

(dependente da forma do corpo)


Estrutura do Algoritmo

O algoritmo para simulação da queda dos corpos pode ser decomposto em 3 “componentes”

1. Inicialização de Variáveis2. Ciclo de Simulação da Queda3. Apresentação de Resultados

Cada uma destas componentes pode ser considerada separadamente


Inicialização de Variáveis

• Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as variáveis são inicializadas e as constantes definidas antes de poderem ser referidas em expressões.

• Assumindo que a queda começa na origem do tempo, a partir de repouso, as condições iniciais são expressas por

• Quer a altura inicial, quer o valor do coeficiente da resistência do ar, quer o intervalo de tempo utilizados, devem ser especificados pelo utilizador através de instruções de entrada.

g = 9.8; v = 0; t = 0; a = g; x = 0


Inicialização de Variáveis

1. Inicialização de Variáveis

Entra h; % Altura inicialEntra k; % Coeficiente de AtritoEntra δ; % Intervalo de Tempog ← 9.8; % Aceleração da Gravidadev ← 0; t ← 0;a ← g;x ← 0;


Ciclo de Simulação

A parte fundamental do algoritmos é um ciclo em que se vão calculando os sucessivos valores de tempo t, da altura x, da velocidade v e da aceleração a, em tempos espaçados de um intervalo δ

enquanto ... fazer t t + δ ; x x + v· δ ; v v + a· δ ; a g - k·v ;fim enquanto

% x(t+ δ) x(t) + v(t) · δ% v(t+ δ) v(t) + a(t) · δ% a(t) = g - k · v(t)


Condições de Entrada no Ciclo

• Em qualquer ciclo é necessário especificar em que condições é que o ciclo é executado.

• Neste caso, estamos interessados em estudar a queda até se atingir o solo (x = h). A condição de controle do ciclo é pois

x < h, donde

enquanto x < h fazer t t + δ ; x x + v· δ ; v v + a· δ ; a g - k·v ;fim enquanto


Ciclo de Simulação

2. Ciclo de Simulação

enquanto x < h fazer t t + δ ; x x + v · δ ; v v + a · δ ; a g - k·v ;fim enquanto


Apresentação de Resultados

3. Apresentação de Resultados

O tempo de duração da queda, a velocidade final com que se atinge o solo, e a aceleração nesse ponto, são simplesmente o valor das variáveis t, v e a no final do ciclo. A apresentação de resultados resume-se pois a

Sai t; % Tempo de duração da QuedaSai v; % Velocidade de chegada ao soloSai a; % Aceleração na chegada ao solo


Algoritmo Completo% Inicialização de Variáveis

Entra h; % Altura inicialEntra k; % Coeficiente de AtritoEntra δ; % Intervalo de Tempog 9.8; % Aceleração da Gravidadev 0; t 0; a g; x 0;

% Ciclo de Simulaçãoenquanto x < h fazer

t t + δ ; x x + v· δ ; v v + a· δ ; a g - k·v ;

fim enquanto% Apresentação de Resultados

Sai t; % Tempo de duração da QuedaSai v; % Velocidade de chegada ao soloSai a; % Aceleração de chegada ao solo


Progama Octaveg = 9.8 ; % aceleração da gravidadeh = input(" Qual a altura inicial (em metros) ? ")k = input(" e o coeficiente de atrito (1/s) ? ");dt= input(" e o intervalo de tempo (em segs) ? ");t = 0;x = h;v = 0;a = g; while x < h t = t + dt; x = x + v * dt; v = v + a * dt; a = g - k * v;endwhile;disp(" O tempo de queda (em segundos) foi de "), disp(t)disp(" e a velocidade final (em m/s) foi de "), disp(v)disp(" e a aceleração final (em m/s2) foi de "), disp(a)


Progama Octave

• O programa pode ser testado com vários valores dos parâmetros de entrada (h, k e dt).

• A altura inicial h tipica é da ordem dos 1000 metros.

• Realçar a importância de dt tomar valores pequenos, de forma a garantir que erros cometidos pela aproximação das equações diferenciais não sejam muito significativos (dt 0.1 seg).

• Tipicamente k toma valores no intervalo • 0 – sem resistência do ar• 1 – resistência muito alta

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