12 de Maio de 2005Listas e Ordenação1 Pedro Barahona DI/FCT/UNL Maio 2005

12 de Maio de 2005 Listas e Ordenação 1

Listas e Ordenação

Pedro BarahonaDI/FCT/UNL

Maio 2005


ListasUma lista é uma sequência de dados do mesmo tipo, simples ou complexo, para as quais estão definidas (em Octave) as operações de:

• Criação: list(elem_1, elem_2, ..., elem_k)

–Cria uma lista, com os elementos de 1 a k (ou uma lista vazia se k = 0)

• Adição: append(nome_lista,elem_1, ...,elem_k)

–Acrescenta os os elementos de 1 a k à lista com o nome indicado no 1º argumento

• Acesso: nth(nome_lista, k)

–Acede ao k-ésimo elemento da lista. De notar que esse elemento pode ser uma estrutura arbitrariamente complexa.


Listas• Para ilustrar o conceito de lista, vamos considerar um ficheiro com

informação sobre empregados e criar uma lista com essa informação.

• A cada linha do ficheiro corresponde uma estrutura, emp, com os campos cod, nome, venc e data. Por exemplo,

• A leitura dos vários campos de uma estrutura pode ser feita como anteriormente

[emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data,count] = fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C");

cod nome venc data610 Paulo Fernandes Lopes 2341.36 15/04/1996


Leitura de Listas

O programa completo, que cria uma lista, tab_empregados, com a informação sobre os empregados do ficheiro “empresa_aux.txt”, é o seguinte:

[f_aux, msg] = fopen("empresa_aux.txt", "r"); tab_empregados = list(); n = 0; [emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data, count] = fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C"); while !feof(f_aux) n = n+1; tab_empregados = append(tab_empregados, emp); [emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data, count] = fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C"); endwhile; fclose(f_aux);


Estruturas e Listas em FunçõesEstruturas e listas podem ser retornadas como resultado de uma função. Por exemplo, a função abaixo retorna a lista anterior e o número dos seus elementos:

function [tabela, n] = ler_tab_emp(ficheiro); rem_sp(ficheiro,”empresa_aux.txt”) [f_aux, msg] = fopen(“empresa_aux.txt”, "r"); tabela = list(); n = 0; [emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data, count] =

fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C"); while !feof(f_aux) n = n+1; tabela = append(tabela, emp); [emp.cod,emp.nome,emp.venc,emp.data, count] =

fscanf(f_aux,"%i%s%f%s","C"); endwhile; fclose(f_aux);endfunction;


Processamento de Listas

• A partir deste momento, todo o processamento da informação sobre os empregados pode ser feito sem leitura do ficheiro, mas apenas por acesso à lista “tab_empregados”.

• Vamos ilustrar esta situação em 3 problemas:

– Cálculo da média dos vencimentos dos empregados.

– Selecção dos empregados com o nome Paulo

– Ordenação dos empregados por ordem crescente de antiguidade


Média de Vencimentos

• Uma vez lida a informação dos empregados para a lista

“tab_empregados”, com n elementos, ela pode ser acedida directamente, sem necessidade de nova leitura do ficheiro.

• O cálculo do total e da média dos vencimentos é feito através de um ciclo que percorre todas as estruturas da lista e soma os correspondentes campos “venc”.

%[tab_empregados, n] = ler_tab_emp(“empresa_in_var.txt”); total = 0; for i = 1:n total = total + nth(tab_empregados,i).venc; endfor; printf("o total de vencimentos é %7.2f \n“, total); printf(“ e a sua média é %7.2f \n", total/n);


Selecção de Elementos de Listas

• Igualmente se podem seleccionar os elementos de uma lista que satisfazem um certo critério.

• No exemplo abaixo são seleccionados, e mostrados ao terminal, os empregados cujo vencimento é superior a 1000 €

%[tab_empregados,n] = ler_tab_emp(“empresa_in_var.txt”); printf("Lista de empregados com mais de 1000 €: \n"); for i = 1:n emp = nth(tab_empregados,i); if emp.venc > 1000 printf(“ %-30s\t%7.2f\n",emp.nome,emp.venc); endif; endfor;


Selecção de Elementos de Listas

• O critério utilizado para seleccionar os elementos de uma lista é arbitrário, podendo ser naturalmente outro.

• No exemplo abaixo são seleccionados, e mostrados ao terminal, os empregados que têm o nome Paulo (bem como o seu vencimento)

%[tab_empregados, n] = ler_tabela(“empregados_var.txt); for i = 1:n emp = nth(tab_empregados,i); if index(toupper(emp.nome),"PAULO") > 0 printf("\t%-30s\t%7.2f\t\n",emp.nome,emp.venc); endif; endfor;


Ordenação de Vectores, Matrizes e Listas

• As estruturas de dados (vectores, matrizes ou listas) são frequentemente armazenadas de uma forma ordenada.

• A ordenação facilita, a pesquisa de informação. Como veremos, numa lista ordenada com n elementos a procura de um elemento pode ser feito com log2(n) acessos em vez de n operações.

• Por exemplo, se uma lista tiver 107 = 10 000 000 elementos (por exemplo, o número de portugueses na base de dados do BI), em vez de 10 000 000 de acessos à lista (para encontrar um #BI), são necessários apenas cerca de log2(107) ≈ 23.25, em média.

• Evidentemente a ordenação tem custos. Mas como é frequentemente o caso, a ordenação é feita 1 vez, e os acessos muitas vezes, compensa manter as estruturas de dados ordenadas.


Ordenação de Vectores

• Analisemos primeiro a ordenação de vectores (ou listas), para o que existem vários algoritmos (de ordenação) com vantagens e desvantagens em diferentes contextos.

• Uma característica importante dos algoritmos é o espaço de memória utilizado, que não consideraremos neste caso, já que apenas se utiliza o espaço ocupado pelo vector.

• Outra característica importante é a sua complexidade, medida em número de acessos ao vector. Este número depende naturalmente do número n de elementos da estrutura de dados utilizada.

• Embora existam algoritmos (quicksort) mais rápidos (necessitam de cerca de nlog2 n acessos), o que apresentamos (bubblesort) é mais simples de descrever.


Ordenação de Vectores – Bubble Sort

• A ideia do algoritmo é comparar dois elementos consecutivos do vector, e trocá-los se tiverem na ordem “errada”.

• Esta comparação é feita entre todos os n-1 pares do vector, por uma determinada ordem, por exemplo (1,2), (2,3), ..., (n-1,n).

• Se não fôr feita nenhuma troca, o vector já está ordenado. Caso contrário, repete-se o processo.

• No pior caso (em que V(n) era o elemento mais pequeno do vector), é necessário executar n-1 vezes este “varrimento” do vector (mais 1 vez para “ter a certeza”).

• No total, e para o pior caso, são feitas n(n-1) comparações, das quais algumas serão trocas, pelo que a complexidade será quadrática no número de elementos do vector (≈ n2).


Ordenação de Vectores – Bubble Sort• Podemos observar o comportamento deste algoritmo nos dois

casos abaixo com um vector com 4 elementos, que se pretende ordenar de forma crescente.

9 7 4 1 t

7 9 4 1 t

7 4 9 1 t

7 4 1 9 t

4 7 1 9 t

4 1 7 9

4 1 7 9 t

1 4 7 9

1 4 7 9

1 4 7 9

1 4 7 9

1 4 7 9

1 9 7 4

1 9 7 4 t

1 7 9 4 t

1 7 4 9

1 7 4 9 t

1 4 7 9

1 4 7 9

1 4 7 9

1 4 7 9

Pior caso4*3 = 12 comparações

6 trocas

Caso “típico”3*3 = 9 comparações

3 trocas


Ordenação de Vectores – Bubble Sort

• A função abaixo implementa o algoritmo de bubble sort. No início de cada ciclo for a variável troca é falsa. Se se mantiver falsa no fim do ciclo, o vector já se encontra ordenado e não é necessário mais nenhum ciclo for.

function V = bubble_vec(V); % bubble sort n = length(V) do troca = false; for i = 1:n-1 if V(i) > V(i+1) troca = true; x=V(i); V(i)=V(i+1); V(i+1)=x; %troca endif; endfor; until ! troca; endfunction;


Ordenação de Listas – Bubble Sort• A função abaixo implementa o algoritmo de bubble sort mas para

uma lista de estruturas, ordenada por um campo (venc). function L = bubble_list(L); % bubble sort n = length(L); do troca = false; for i = 1:n-1 reg1 = nth(L,i); reg2 = nth(L,i+1); if reg1.venc < reg2.venc troca = true; L(i) = reg2; L(i+1) = reg1; endif; endfor; until ! troca; endfunction;

• Nota: o campo não pode ser passado como parâmetro. Porquê?


Pesquisa em Vectores

• Consideremos um vector V, não ordenado, onde queremos encontrar o número x. O algoritmo abaixo determina se o número x está ou não incluído no vector, comparando x com todos os valores da lista.

• A função retorna o índice i onde se encontra x (ou seja, V(i) = x), ou retorna 0 se x não estiver incluído no vector

function i = procura_vec(x,V); for i = 1:length(V); if V(i) == x return; endif endfor; i = 0; endfunction;


Pesquisa em Vectores• A complexidade do algoritmo, em termos do número de acessos

ao vector, pode ser analisado da seguinte forma:– Se x não pertence ao vector, então terão de ser feitas n leituras.– Se x pertencer ao vector, o número de leituras é variável.

Assumindo que x pode estar em qualquer posição, deverão ser lidos, em média, n/2 valores.

• Assumindo que x pode estar em V com uma probabilidade p (e não estar com uma probabilidade q = 1-p), o número médio de acessos será de aproximadamente

p n/2 + q n• Se p = q = ½ teremos uma complexidade média de

½ ½ n + ½ n = ¾ no que indica uma complexidade assintótica linear, O(n).


Pesquisa Linear em Vectores Ordenados

• A complexidade da pesquisa pode ser melhorada se o vector está ordenado. Assumindo uma ordenação crescente, a pesquisa pode terminar se o valor V(i) já exceder o valor de x, porque nesse caso, os valores de V(j) com j > i serão ainda maiores!

function i = procura_vec_lin(x,V); i = 1; while i < length(L) & x > V(i); i = i + 1; endwhile if x != V(i) i = 0 endif; endfunction;


Pesquisa Linear em Vectores Ordenados

• A complexidade, em termos do número de acessos ao vector, pode ser analisado da seguinte forma:

– Como anteriormente, se x pertencer ao vector, o número de leituras é variável, sendo em média lidos n/2 valores.

– Se x não pertencer ao vector, esse facto poderá ser descoberto no início ou no fim, consoante o valor de x. Em média, podemos assumir que apenas metade dos valores são testados

• Como x está em V com uma probabilidade p, e não está com probabilidade 1-p, o número médio de acessos será de

p n/2 + (1-p) n/2 = n/2

• O número de acessos baixa assim de ¾ n para ½ n, mas mantém a mesma complexidade assintótica linear, O(n).


Pesquisa Bipartida em Vectores Ordenados• Se o vector está ordenado, podemos sempre determinar se x, a

existir no vector está à frente ou atrás de um elemento testado.

• Assim em vez de testar sequencialmente os valores de V, podemos testá-los “em saltos”, delimitando em cada teste a zona do vector onde valerá a pena pesquisar.

• Esquemáticamente, podemos considerar um esquema de bipartição

• O algoritmo pode pois considerar um intervalo de pesquisa cada vez menor, como exemplificado de seguida.

x > V(i)x < V(i)

i


Pesquisa Bipartida em Vectores Ordenados

• Consideremos um vector V, ordenado por ordem crescente, com 31 números, onde queremos encontrar o número x. Inicialmente os índices onde se faz a pesquisa estão no intervalo (1,31).

• Podemos comparar x com o número intermédio 16 (i.e. (1+31)/2).– Se V(16) = x, este está encontrado.

– Se V(16) < x, este deverá ser procurado no intervalo (17,31).

– Se V(16) > x, este deverá ser procurado no intervalo (1,15).

• Neste último caso, podemos comparar x com o número intermédio 8 (i.e. (1+15)/2).

– Se V(8) = x, este está encontrado.

– Se V(8) < x, este deverá ser procurado no intervalo (9,15).

– Se V(8) > x, este deverá ser procurado no intervalo (1,7).



• No segundo caso, podemos comparar x com o número intermédio 12 (i.e. (9+15)/2).

– Se V(12) = x, este está encontrado. – Se V(12) < x, este deverá ser procurado no intervalo (13,15). – Se V(12) > x, este deverá ser procurado no intervalo (9,11).

• No segundo caso, podemos comparar x com o número intermédio 14 (i.e. (13+15)/2).

– Se V(14) = x, este está encontrado. – Se V(14) < x, este deverá ser procurado no intervalo (15,15). – Se V(14) > x, este deverá ser procurado no intervalo (13,13).

• Nestes últimos casos, são feitas comparações com um só elemento V(13) ou V(15), que indicam se x está ou não no vector V .



• No máximo, são feitas 5 comparações, com V(16), V(8), V(12), V(14) e V(15), o que confirma que o número máximo de acessos é da ordem de log2(n), já que log2(31) = 4.95 ≈ 5.

• Em geral, o intervalo inicial, de largura n, é reduzido para metade em cada um de p passos, sendo feita uma comparação em cada passo, e terminando o processo quando o intervalo tiver largura 1. Assim, temos

n ½ ½ ... ½ = 1, donde n / 2p = 1

e portanto n = 2p ou p = log2(n).

• Como p é o número de comparações, a pesquisa bipartida tem, como visto atrás, complexidade assintótica logaritmica O( log2(n))



• O algoritmo descrito pode ser implementado através das funções procura_vec_bip e p_vec_bip, que retornam o índice do elemento do vector V onde se encontra o valor x, caso ele exista. Caso contrário retornam o valor 0.

• A função procura_vec_bip apenas conta os elementos do vector e chama a função p_vec_bip, que procura o elemento x no vector V nos elementos com índices entre dois limites, inferior e superior (no início estes limites são 1 e n, respectivamente):

function i = procura_vec_bip(x,V);

n = length(V);

i = p_vec_bip(x,V,1,n);

endfunction.



• A função p_vec_bip verifica se x é o elemento “do meio” do vector. Se não, procura nos índices ou inferiores ou superiores, consoante x for menor ou maior que esse elemento.

• A pesquisa para quando os limites superior e inferior forem os mesmos, testando-se se x é o valor desse elemento.

function i = p_vec_bip(x,V,lo,up); i = 0; while up >= lo & i == 0

mid = floor((lo+up)/2); if x > V(mid) lo = mid+1; elseif x < V(mid) up = mid-1

else i = mid; endif

endwhileendfunction


Pesquisa Bipartida em Listas Ordenadas• As funções pesquisa_list e p_list, abaixo apresentadas, são as

correspondentes funções de acesso a uma lista L, ordenada por um determinado campo (no exemplo, cod).

function i = procura_lista_bip(x,L); i = p_lista_bip(x,L,1,length(L));endfunction.

function i = p_lista_bip(x,L,lo,up); i = 0; while up >= lo & i == 0 mid = floor((lo+up)/2);

if x > V(mid).cod lo = mid+1; elseif x < V(mid).cod up = mid-1 else i = mid; endif

endwhileendfunction

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