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Principais delineamentos:
Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC)
Delineamento Casualizado em Blocos (DBC)
Delineamento em Quadrado Latino (DQL)
Quadrado de Youden
1
Delineamento em Quadrado Latino
Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros
DTAiSeR-Ar
2
Delineamento em Quadrado Latino (DQL)
É um experimento muito usado em estudo com animais.
O DQL levam em conta os três princípios básicos da experimentação,sendo que o controle local é considerado em 2 sentidos perpendiculares.São portanto, 2 gradientes de variabilidade (efeito de 2 fatoresperturbadores), num sentido chamamos de linhas e, no outro, de colunas.Exemplo: Fertilidade em um terreno em declive e micro-clima nesse mesmo terreno, nosentido perpendicular ao declive.
A característica desses experimentos é que:
_ O número de tratamentos é igual ao número de linhas e igual aonúmero de colunas.
_ Cada tratamento ocorre uma só vez em cada linha e uma só vez emcada coluna.
3
Exemplo 1:
Num laboratório devem ser comparados 5 métodos de análise (A, B, C, D e E),
programados em 5 dias úteis e, em cada dia é feita uma análise a cada hora, num
período de 5 horas. O quadrado latino assegura que todos os métodos sejam
processados, uma vez em cada período e em cada dia. O croqui abaixo ilustra a
configuração a ser adotada.
Dia
Período 1 2 3 4 5
1 A E C D B
2 C B E A D
3 D C A B E
4 E D B C A
5 B A D E C
Note que os níveis de uma fonte formam as linhas e os níveis da
outra fonte formam as colunas
4
Exemplo 2:
Num experimento com suínos pretende-se testar 4 tipos de ração (A,B,C,D), em
4 raças e 4 idades de animais. Sendo interesse fundamental o comportamento dos
4 tipos de ração, toma-se a raça e a idade como blocos, ou seja:
Raça
Idade R1 R2 R3 R4
I1 A B D C
I2 B C A D
I3 D A C B
I4 C D B A
Como cada linhas contém todos os tratamentos, assim como, cada coluna, então
cada linha ou, cada coluna é uma repetição.
Ai está o princípio da repetição!
5
Exemplo 3:
Um experimento de competição de 6 variedades de cana-de-açúcar em que a
área experimental apresenta gradiente de fertilidade do solo em duas direções. O
quadrado latino possibilita a formação de blocos nas duas direções, ou seja,
procedemos a um duplo controle local. O croqui seguinte ilustra a distribuição
das variedades (A, B, C, D, E, F) nas parcelas.
Colunas
Linhas 1 2 3 4 5 6
1 F B C E D A
2 B D E A F C
3 D F A C B E
4 A C D F E B
5 C E F B A D
6 E A B D C F6
Restrições de uso do DQL
Este delineamento é aconselhável quando o número de tratamentososcila entre 3 e 10.
O uso para 3 e 4 tratamentos, somente deve ser feito quando se puderrepetir o experimento em vários quadrados latinos (QL’s). Pois pelos gl.do resíduo, vê-se que QL’s de (22), (33) e (44), têm respectivamente0, 2 ou 6 gl.
Por outro lado acima de (88), tem-se um número elevado de parcelas oque pode comprometer a homogeneidade da área experimental ou, não sedispor de número suficiente de animais.
Assim, os QL’s mais utilizados são os de (55) até (88).
7
Como não se pode “quebrar” a estrutura do QL’s, o princípio da casualização é
obtido sorteando-se as linhas e/ou as colunas como um todo.
Por exemplo, consideremos 5 tratamentos: A, B, C, D, E.
1.o) Faz-se a distribuição sistemática dos tratamentos dentro das linhas, de
maneira que cada coluna contenha também todos os tratamentos;
Croqui e Casualização no DQL
Colunas
Linhas 1 2 3 4 5
1 A B C D E
2 E A B C D
3 D E A B C
4 C D E A B
5 B C D E A8
2.o) Em seguida distribui-se ao acaso as linhas entre si, e depois as colunas,
podendo-se obter um quadrado final semelhante ao apresentado abaixo.
Croqui e Casualização no DQL
Colunas
Linhas 1 2 3 4 5
2 E A B C D
4 C D E A B
5 B C D E A
1 A B C D E
3 D E A B C
→ Sorteio das linhas: 2, 4, 5, 1, 3
Colunas
Linhas 1 2 3 4 5
1 A B C D E
2 E A B C D
3 D E A B C
4 C D E A B
5 B C D E A
9
Colunas
Linhas 3 5 1 4 2
2 B D E C A
4 E B C A D
5 D A B E C
1 C E A D B
3 A C D B E
Croqui e Casualização no DQL
→ Sorteio das colunas: 3, 5, 1, 4, 2.
Colunas
Linhas 1 2 3 4 5
2 E A B C D
4 C D E A B
5 B C D E A
1 A B C D E
3 D E A B C
10
Croqui e Casualização no DQL
→ Numere novamente linha e coluna:
Quadrado Latino final
Colunas
Linhas 3 5 1 4 2
2 B D E C A
4 E B C A D
5 D A B E C
1 C E A D B
3 A C D B E
Colunas
Linhas 1 2 3 4 5
1 B D E C A
2 E B C A D
3 D A B E C
4 C E A D B
5 A C D B E
yijk
11
Coluna
Linha 1 2 ... K Total
1 y11 y12 ... y1K L1
2 y21 y22 ... y2K L2
... ... ... ... ... ...
K yI1 yI2 ... yIK LK
Totais C1 C2 ... CK G = y..
Quadro de tabulação dos dados (DQL)
Considere um experimento instalado no DQL com I tratamentos. A coleta de dados da pesquisa pode ser resumida, num quadro do tipo a seguir:
n.o de unidades experimentais:
Total geral:
Total para o tratamento i:
Média para a Linha k: Média geral do experimento:
KKn
J
ii
I
i
J
jij LyG
11 1
i
J
jiji yyT
1
K
Lm k
k ˆ 2ˆ
K
Gm
Média para a Coluna k:K
Cm k
k ˆ Total para a coluna k:
ij
K
qijqj yyC
1
Total para a linha k: qi
I
Iijqj yyB
1
12
)()( kijkjikij etclmy
em que,
yij(k) é o valor observado para a variável resposta em estudo referente ao k-ésimotratamento, na i-ésima linha e na j-ésima coluna;
m é média de todas unidades experimentais para a variável em estudo;
li é o efeito da i-ésima linha;
cj é o efeito da j-ésima coluna;
tk é o efeito do k-ésimo tratamento, obtido por:
eij(k) é o erro experimental associado ao valor observado yij(k) em que:
Modelo estatístico (DQL)
Para os dados oriundos de um experimento instalado segundo o DQL, o seguinte
modelo estatístico deve ser utilizado nas análises estatísticas:
13
As hipóteses a serem testadas - DQL
As hipóteses para o teste F da análise de variância de um DQL ao nível α de significância para tratamentos são as seguintes:
H0: c1 = c2 = ... = cI = 0(não existe efeito de coluna, OU os efeitos de coluna são iguais a zero).
Ha: ! cu ≠ ck, u ≠ k; u,k = 1, 2, ..., I(existe pelo menos um efeito de coluna que é estatisticamente diferente de zero).
E
H0: l1 = l2 = ... = lI = 0(não existe efeito de linha, OU os efeitos de linha são iguais a zero).
Ha: ! lu ≠ lk, u ≠ k; u,k = 1, 2, ..., I(existe pelo menos um efeito de linha que é estatisticamente diferente de zero).
14
As hipóteses a serem testadas - DQL
As hipóteses para o teste F da análise de variância de um DQL ao nível α de significância para tratamentos são as seguintes:
H0: t1 = t2 = ... = tI = 0(não existe efeito de tratamento, OU os efeitos de tratamento são iguais a zero).
Ha: ! tu ≠ tk, u ≠ k; u,k = 1, 2, ..., I(existe pelo menos um efeito de tratamento que é estatisticamente diferente de zero).
Ou
H0: m1 = m2 = ... = mI (não existe diferença entre as médias de tratamento).
Ha: ! mu ≠ mk, u ≠ k; u,k = 1, 2, ..., I(existe pelo menos uma média de tratamento que difere das demais).
15
Análise de Variância DQL
OBS: O quadro da ANOVA é um algoritmo para a realização de um teste de hipóteses sobre os efeitos dos tratamentos constantes em um experimento.
Lembrando que, para que esta técnica seja empregada é necessário que sejamsatisfeitas as seguintes pressuposições:
1) Os efeitos do modelo estatístico devem ser aditivos;
2) Os erros experimentais devem ser independentes;
3) Os erros experimentais devem ser normalmente distribuídos;
4) Os erros experimentais tem variâncias iguais.
5) Não exista “outliers” (dados discrepantes).
),0(~ 2Neij
16
O quadro da ANOVA - DQL
Fonte de Variação
(FV)
graus deliberdade
(gl)
Soma deQuadrados
(SQ)
QuadradoMédio(QM) Fcalc Ftab
Linha I – 1 SQLinha F[(I – 1); (I – 1) (I – 2)]
Coluna I – l SQColuna F[(I – 1); (I – 1) (I – 2)]
Tratamentos I – 1 SQTrat F[(I – 1); (I – 1) (I – 2)]
Resíduo (I – 1)(I – 2) SQRes - -
Total I2 – 1 SQTotal - - -
1
I
SQLinhaQMLinha
)2)(1(
ReRe
II
sSQsQM
sQM
QMColuna
Re
O quadro da ANOVA para a análise de um experimento instalado segundo o DQL, com K tratamentos é do seguinte tipo:
1
I
SQColunaQMColuna
sQM
QMLinha
Re
1
I
SQTratQMTrat
sQM
QMTrat
Re
17
CI
LSQLinhas
I
i
i 1
2
Em que:
CySQTotalI
i
I
jij
1 1
2
2
22
I
G
II
GC
A SQRes é obtida por diferença: SQRes = SQTotal – SQLinha – SQColuna – SQTrat
, sendo
CI
CSQColunas
I
j
j 1
2
A regra de decisão para o teste F será:
Se o valor do Fcalc ≥ Ftab, então rejeita-se H0 e conclui-se, ao nível designificância em que foi realizado o teste, que os tratamentos tem efeitodiferenciado; Se o valor de Fcalc < Ftab, então aceita-se H0 e conclui-se, ao nível designificância em que foi realizado o teste, que os tratamentos têm efeitos iguais.
CI
TSQTrat
K
k
k 1
2
18
ExemploOs dados que se seguem referem-se à produção de mandioca (kg/ha), obtidos de um experimento envolvendo quatro sistemas de plantio de manivas de mandioca,
instalado no delineamento em quadrado latino (44), pois a área experimental apresenta gradiente de fertilidade do solo em duas direções. Os tratamentos
envolvidos apresentavam as seguintes características:
A – Manivas com 0,30 metros, plantadas pelo sistema comum;B – Manivas com 0,30 metros, plantadas com 0,15 metros enterradas e inclinadas;C – Manivas com 0,30 metros, plantadas com 0,15 metros enterradas e inclinadas eem camalhão;D – Manivas com 0,30 metros, plantadas na horizontal na superfície do camalhão.
Colunas
Linhas 1 2 3 4 Totais
1 122,6 (A) 98,8 (D) 122,6 (B) 102,5 (C) 446,5
2 126,3 (B) 110,3 (A) 110,1 (C) 73,7 (D) 420,4
3 83,1 (D) 106,4 (C) 100,6 (A) 93,4 (B) 383,5
4 96,7 (C) 107,2 (B) 75,7 (D) 80,2 (A) 359,8
Totais 428,7 422,7 409,0 349,8 1610,2
Este experimento foi conduzido pela Seção de raízes e Tubérculos do
Instituto Agronômico de Campinas (IAC).
19
= 1%
No R:
## Entrada dos dados para análise
prod<- c(122.6, 98.8, 122.6, 102.5, 126.3, 110.3, 110.1, 73.7,
83.1, 106.4, 100.6, 93.4, 96.7, 107.2, 75.7, 80.2)
tratamento<- factor(c("A","D","B","C", "B","A","C","D",
"D","C","A","B", "C","B","D","A"))
linha <- factor(rep(c("L1","L2","L3","L4"), each=4)); linha
coluna<- factor(rep(c("C1","C2","C3","C4"), time=4)); coluna
DQL <- data.frame(linha, coluna, tratamento, prod); DQL
# OU
DQL<- read.csv2(‘DQL_mandioca.csv’, head=T); DQL
Os dados:
20
Coluna
Linha 1 2 3 4
1 122,6 (A) 98,8 (D) 122,6 (B) 102,5 (C)
2 126,3 (B) 110,3 (A) 110,1 (C) 73,7 (D)
3 83,1 (D) 106,4 (C) 100,6 (A) 93,4 (B)
4 96,7 (C) 107,2 (B) 75,7 (D) 80,2 (A)
linha coluna tratamento prodL1 C1 A 122,6L1 C2 D 98,8L1 C3 B 122,6L1 C4 C 102,5L2 C1 B 126,3L2 C2 A 110,3L2 C3 C 110,1L2 C4 D 73,7L3 C1 D 83,1L3 C2 C 106,4L3 C3 A 100,6L3 C4 B 93,4L4 C1 C 96,7L4 C2 B 107,2L4 C3 D 75,7L4 C4 A 80,2
Tabulação:DQL_mandioca.csv
21
tapply(DQL$y, DQL$trat, sum)A B C D
413.7 449.5 415.7 331.3
tapply(DQL$y, DQL$trat, mean)A B C D
103.425 112.375 103.925 82.825
tapply(DQL$y, DQL$trat, var)A B C D
320.77583 228.42917 32.82917 129.76917
No R:mod<- lm(prod ~ linha + coluna + tratamento, data=DQL)
## Teste de normalidade dos erros
shapiro.test(rstudent(mod))
boxplot(y ~ tratamento)
Analise as pressuposições
22
23
No R:# Gráfico quantil-quantil com envelope simuladorequire(car)qqPlot(rstudent(mod), pch=19, col="blue", distribution="norm")
# Gráfico de resíduos versus preditosplot(predict(mod), rstudent(mod), ylim= c(-4,4), pch=19) abline(h=c(-3,0,3), lty=2)
Analise as pressuposições
No R:require(ExpDes.pt)?dql
#USO: dql(trat, linha, coluna, resp, quali=TRUE, mcomp="tukey", sigT=0.05, sigF=0.05)
ANOVA e TCM
No R:
# Teste de normalidade dos errosshapiro.test(rstudent(mod))
Shapiro-Wilk normality testdata: rstudent(mod1) W = 0.9772, p-value = 0.9375
24
Exemplo (Resposta)
25
Tukey's testGroups Treatments Means
a B 112.375 a C 103.925 a A 103.425 b D 82.825
No R:anova(mod1)Analysis of Variance Table
Response: yDf Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
linha 3 1110.17 370.06 47.509 0.0001420 ***coluna 3 978.50 326.17 41.874 0.0002036 ***trat 3 1894.53 631.51 81.075 3.025e-05 ***Residuals 6 46.74 7.79Total 15 4029.94
Exemplo (Resposta)
Se utilizar o teste de Tukey a 1%, tem-se:
Tarefa
Consideremos o experimento da aula de DQL e teste o seguinte conjunto decontrastes ortogonais pelo teste F ao nível de significância de 1%. Apresente oscálculos e conclua. Interprete cada resultado.
CB
DCB
DCBA
mmY
mmmY
mmmmY
3
2
1
2
3
26
Vantagens do DQL
a) Maior oportunidade que o DCB para eliminar fontes de variação estranha dascomparações entre tratamentos e da estimativa do erro experimental;
b) Se a variação estranha é relevante, formação hábil de linhas e de colunaspermite que os tratamentos sejam comparados em condições mais homogêneasdo que em DCB.
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Desvantagens do DQL
a) Se a variação estranha controlada por linhas e colunas não é substancial, oDQL conduz à perda de precisão. A redução da estimativa da variância residualdecorrente de controle local pode não compensar a correspondente perda de grausde liberdade;
b) Para atender às condições de ortogonalidade e balanceamento, o número derepetições, de linhas e de colunas deve ser o mesmo, o que torna essa experimentode difícil execução, se o número de tratamentos é grande (acima de 8 ou 9tratamentos).
c) Por outro lado, se o número de tratamentos é pequeno (3 ou 4 tratamentos),então o experimento também é pequeno. Se, de fato, houver necessidade dessedelineamento com essas quantidades de tratamentos, então, o quadrado pode serrepetido para assegurar mais informações;
d) Em experimentos agrícolas de campo, em que usualmente o objetivo écontrolar gradientes de fertilidade em duas direções ortogonais, o formato dodelineamento requer um terreno de proporções aproximadamente quadradas.
28
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