Principais delineamentos:

Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC)

Delineamento Casualizado em Blocos (DBC)

Delineamento em Quadrado Latino (DQL)

Quadrado de Youden

1

Delineamento em Quadrado Latino

Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros

DTAiSeR-Ar

2

Delineamento em Quadrado Latino (DQL)

É um experimento muito usado em estudo com animais.

O DQL levam em conta os três princípios básicos da experimentação,sendo que o controle local é considerado em 2 sentidos perpendiculares.São portanto, 2 gradientes de variabilidade (efeito de 2 fatoresperturbadores), num sentido chamamos de linhas e, no outro, de colunas.Exemplo: Fertilidade em um terreno em declive e micro-clima nesse mesmo terreno, nosentido perpendicular ao declive.

A característica desses experimentos é que:

_ O número de tratamentos é igual ao número de linhas e igual aonúmero de colunas.

_ Cada tratamento ocorre uma só vez em cada linha e uma só vez emcada coluna.

3

Exemplo 1:

Num laboratório devem ser comparados 5 métodos de análise (A, B, C, D e E),

programados em 5 dias úteis e, em cada dia é feita uma análise a cada hora, num

período de 5 horas. O quadrado latino assegura que todos os métodos sejam

processados, uma vez em cada período e em cada dia. O croqui abaixo ilustra a

configuração a ser adotada.

Dia

Período 1 2 3 4 5

1 A E C D B

2 C B E A D

3 D C A B E

4 E D B C A

5 B A D E C

Note que os níveis de uma fonte formam as linhas e os níveis da

outra fonte formam as colunas

4

Exemplo 2:

Num experimento com suínos pretende-se testar 4 tipos de ração (A,B,C,D), em

4 raças e 4 idades de animais. Sendo interesse fundamental o comportamento dos

4 tipos de ração, toma-se a raça e a idade como blocos, ou seja:

Raça

Idade R1 R2 R3 R4

I1 A B D C

I2 B C A D

I3 D A C B

I4 C D B A

Como cada linhas contém todos os tratamentos, assim como, cada coluna, então

cada linha ou, cada coluna é uma repetição.

Ai está o princípio da repetição!

5

Exemplo 3:

Um experimento de competição de 6 variedades de cana-de-açúcar em que a

área experimental apresenta gradiente de fertilidade do solo em duas direções. O

quadrado latino possibilita a formação de blocos nas duas direções, ou seja,

procedemos a um duplo controle local. O croqui seguinte ilustra a distribuição

das variedades (A, B, C, D, E, F) nas parcelas.

Colunas

Linhas 1 2 3 4 5 6

1 F B C E D A

2 B D E A F C

3 D F A C B E

4 A C D F E B

5 C E F B A D

6 E A B D C F6

Restrições de uso do DQL

Este delineamento é aconselhável quando o número de tratamentososcila entre 3 e 10.

O uso para 3 e 4 tratamentos, somente deve ser feito quando se puderrepetir o experimento em vários quadrados latinos (QL’s). Pois pelos gl.do resíduo, vê-se que QL’s de (22), (33) e (44), têm respectivamente0, 2 ou 6 gl.

Por outro lado acima de (88), tem-se um número elevado de parcelas oque pode comprometer a homogeneidade da área experimental ou, não sedispor de número suficiente de animais.

Assim, os QL’s mais utilizados são os de (55) até (88).

7

Como não se pode “quebrar” a estrutura do QL’s, o princípio da casualização é

obtido sorteando-se as linhas e/ou as colunas como um todo.

Por exemplo, consideremos 5 tratamentos: A, B, C, D, E.

1.o) Faz-se a distribuição sistemática dos tratamentos dentro das linhas, de

maneira que cada coluna contenha também todos os tratamentos;

Croqui e Casualização no DQL

Colunas

Linhas 1 2 3 4 5

1 A B C D E

2 E A B C D

3 D E A B C

4 C D E A B

5 B C D E A8

2.o) Em seguida distribui-se ao acaso as linhas entre si, e depois as colunas,

podendo-se obter um quadrado final semelhante ao apresentado abaixo.

Croqui e Casualização no DQL

Colunas

Linhas 1 2 3 4 5

2 E A B C D

4 C D E A B

5 B C D E A

1 A B C D E

3 D E A B C

→ Sorteio das linhas: 2, 4, 5, 1, 3

Colunas

Linhas 1 2 3 4 5

1 A B C D E

2 E A B C D

3 D E A B C

4 C D E A B

5 B C D E A

9

Colunas

Linhas 3 5 1 4 2

2 B D E C A

4 E B C A D

5 D A B E C

1 C E A D B

3 A C D B E

Croqui e Casualização no DQL

→ Sorteio das colunas: 3, 5, 1, 4, 2.

Colunas

Linhas 1 2 3 4 5

2 E A B C D

4 C D E A B

5 B C D E A

1 A B C D E

3 D E A B C

10

Croqui e Casualização no DQL

→ Numere novamente linha e coluna:

Quadrado Latino final

Colunas

Linhas 3 5 1 4 2

2 B D E C A

4 E B C A D

5 D A B E C

1 C E A D B

3 A C D B E

Colunas

Linhas 1 2 3 4 5

1 B D E C A

2 E B C A D

3 D A B E C

4 C E A D B

5 A C D B E

yijk

11

Coluna

Linha 1 2 ... K Total

1 y11 y12 ... y1K L1

2 y21 y22 ... y2K L2

... ... ... ... ... ...

K yI1 yI2 ... yIK LK

Totais C1 C2 ... CK G = y..

Quadro de tabulação dos dados (DQL)

Considere um experimento instalado no DQL com I tratamentos. A coleta de dados da pesquisa pode ser resumida, num quadro do tipo a seguir:

n.o de unidades experimentais:

Total geral:

Total para o tratamento i:

Média para a Linha k: Média geral do experimento:

KKn

J

ii

I

i

J

jij LyG

11 1

i

J

jiji yyT

1

K

Lm k

k ˆ 2ˆ

K

Gm

Média para a Coluna k:K

Cm k

k ˆ Total para a coluna k:

ij

K

qijqj yyC

1

Total para a linha k: qi

I

Iijqj yyB

1

12

)()( kijkjikij etclmy

em que,

yij(k) é o valor observado para a variável resposta em estudo referente ao k-ésimotratamento, na i-ésima linha e na j-ésima coluna;

m é média de todas unidades experimentais para a variável em estudo;

li é o efeito da i-ésima linha;

cj é o efeito da j-ésima coluna;

tk é o efeito do k-ésimo tratamento, obtido por:

eij(k) é o erro experimental associado ao valor observado yij(k) em que:

Modelo estatístico (DQL)

Para os dados oriundos de um experimento instalado segundo o DQL, o seguinte

modelo estatístico deve ser utilizado nas análises estatísticas:

13

As hipóteses a serem testadas - DQL

As hipóteses para o teste F da análise de variância de um DQL ao nível α de significância para tratamentos são as seguintes:

H0: c1 = c2 = ... = cI = 0(não existe efeito de coluna, OU os efeitos de coluna são iguais a zero).

Ha: ! cu ≠ ck, u ≠ k; u,k = 1, 2, ..., I(existe pelo menos um efeito de coluna que é estatisticamente diferente de zero).

E

H0: l1 = l2 = ... = lI = 0(não existe efeito de linha, OU os efeitos de linha são iguais a zero).

Ha: ! lu ≠ lk, u ≠ k; u,k = 1, 2, ..., I(existe pelo menos um efeito de linha que é estatisticamente diferente de zero).

14

As hipóteses a serem testadas - DQL

As hipóteses para o teste F da análise de variância de um DQL ao nível α de significância para tratamentos são as seguintes:

H0: t1 = t2 = ... = tI = 0(não existe efeito de tratamento, OU os efeitos de tratamento são iguais a zero).

Ha: ! tu ≠ tk, u ≠ k; u,k = 1, 2, ..., I(existe pelo menos um efeito de tratamento que é estatisticamente diferente de zero).

Ou

H0: m1 = m2 = ... = mI (não existe diferença entre as médias de tratamento).

Ha: ! mu ≠ mk, u ≠ k; u,k = 1, 2, ..., I(existe pelo menos uma média de tratamento que difere das demais).

15

Análise de Variância DQL

OBS: O quadro da ANOVA é um algoritmo para a realização de um teste de hipóteses sobre os efeitos dos tratamentos constantes em um experimento.

Lembrando que, para que esta técnica seja empregada é necessário que sejamsatisfeitas as seguintes pressuposições:

1) Os efeitos do modelo estatístico devem ser aditivos;

2) Os erros experimentais devem ser independentes;

3) Os erros experimentais devem ser normalmente distribuídos;

4) Os erros experimentais tem variâncias iguais.

5) Não exista “outliers” (dados discrepantes).

),0(~ 2Neij

16

O quadro da ANOVA - DQL

Fonte de Variação

(FV)

graus deliberdade

(gl)

Soma deQuadrados

(SQ)

QuadradoMédio(QM) Fcalc Ftab

Linha I – 1 SQLinha F[(I – 1); (I – 1) (I – 2)]

Coluna I – l SQColuna F[(I – 1); (I – 1) (I – 2)]

Tratamentos I – 1 SQTrat F[(I – 1); (I – 1) (I – 2)]

Resíduo (I – 1)(I – 2) SQRes - -

Total I2 – 1 SQTotal - - -

1

I

SQLinhaQMLinha

)2)(1(

ReRe

II

sSQsQM

sQM

QMColuna

Re

O quadro da ANOVA para a análise de um experimento instalado segundo o DQL, com K tratamentos é do seguinte tipo:

1

I

SQColunaQMColuna

sQM

QMLinha

Re

1

I

SQTratQMTrat

sQM

QMTrat

Re

17

CI

LSQLinhas

I

i

i 1

2

Em que:

CySQTotalI

i

I

jij

1 1

2

2

22

I

G

II

GC

A SQRes é obtida por diferença: SQRes = SQTotal – SQLinha – SQColuna – SQTrat

, sendo

CI

CSQColunas

I

j

j 1

2

A regra de decisão para o teste F será:

Se o valor do Fcalc ≥ Ftab, então rejeita-se H0 e conclui-se, ao nível designificância em que foi realizado o teste, que os tratamentos tem efeitodiferenciado; Se o valor de Fcalc < Ftab, então aceita-se H0 e conclui-se, ao nível designificância em que foi realizado o teste, que os tratamentos têm efeitos iguais.

CI

TSQTrat

K

k

k 1

2

18

ExemploOs dados que se seguem referem-se à produção de mandioca (kg/ha), obtidos de um experimento envolvendo quatro sistemas de plantio de manivas de mandioca,

instalado no delineamento em quadrado latino (44), pois a área experimental apresenta gradiente de fertilidade do solo em duas direções. Os tratamentos

envolvidos apresentavam as seguintes características:

A – Manivas com 0,30 metros, plantadas pelo sistema comum;B – Manivas com 0,30 metros, plantadas com 0,15 metros enterradas e inclinadas;C – Manivas com 0,30 metros, plantadas com 0,15 metros enterradas e inclinadas eem camalhão;D – Manivas com 0,30 metros, plantadas na horizontal na superfície do camalhão.

Colunas

Linhas 1 2 3 4 Totais

1 122,6 (A) 98,8 (D) 122,6 (B) 102,5 (C) 446,5

2 126,3 (B) 110,3 (A) 110,1 (C) 73,7 (D) 420,4

3 83,1 (D) 106,4 (C) 100,6 (A) 93,4 (B) 383,5

4 96,7 (C) 107,2 (B) 75,7 (D) 80,2 (A) 359,8

Totais 428,7 422,7 409,0 349,8 1610,2

Este experimento foi conduzido pela Seção de raízes e Tubérculos do

Instituto Agronômico de Campinas (IAC).

19

= 1%

No R:

## Entrada dos dados para análise

prod<- c(122.6, 98.8, 122.6, 102.5, 126.3, 110.3, 110.1, 73.7,

83.1, 106.4, 100.6, 93.4, 96.7, 107.2, 75.7, 80.2)

tratamento<- factor(c("A","D","B","C", "B","A","C","D",

"D","C","A","B", "C","B","D","A"))

linha <- factor(rep(c("L1","L2","L3","L4"), each=4)); linha

coluna<- factor(rep(c("C1","C2","C3","C4"), time=4)); coluna

DQL <- data.frame(linha, coluna, tratamento, prod); DQL

# OU

DQL<- read.csv2(‘DQL_mandioca.csv’, head=T); DQL

Os dados:

20

Coluna

Linha 1 2 3 4

1 122,6 (A) 98,8 (D) 122,6 (B) 102,5 (C)

2 126,3 (B) 110,3 (A) 110,1 (C) 73,7 (D)

3 83,1 (D) 106,4 (C) 100,6 (A) 93,4 (B)

4 96,7 (C) 107,2 (B) 75,7 (D) 80,2 (A)

linha coluna tratamento prodL1 C1 A 122,6L1 C2 D 98,8L1 C3 B 122,6L1 C4 C 102,5L2 C1 B 126,3L2 C2 A 110,3L2 C3 C 110,1L2 C4 D 73,7L3 C1 D 83,1L3 C2 C 106,4L3 C3 A 100,6L3 C4 B 93,4L4 C1 C 96,7L4 C2 B 107,2L4 C3 D 75,7L4 C4 A 80,2

Tabulação:DQL_mandioca.csv

21

tapply(DQL$y, DQL$trat, sum)A B C D

413.7 449.5 415.7 331.3

tapply(DQL$y, DQL$trat, mean)A B C D

103.425 112.375 103.925 82.825

tapply(DQL$y, DQL$trat, var)A B C D

320.77583 228.42917 32.82917 129.76917

No R:mod<- lm(prod ~ linha + coluna + tratamento, data=DQL)

## Teste de normalidade dos erros

shapiro.test(rstudent(mod))

boxplot(y ~ tratamento)

Analise as pressuposições

22

23

No R:# Gráfico quantil-quantil com envelope simuladorequire(car)qqPlot(rstudent(mod), pch=19, col="blue", distribution="norm")

# Gráfico de resíduos versus preditosplot(predict(mod), rstudent(mod), ylim= c(-4,4), pch=19) abline(h=c(-3,0,3), lty=2)

Analise as pressuposições

No R:require(ExpDes.pt)?dql

#USO: dql(trat, linha, coluna, resp, quali=TRUE, mcomp="tukey", sigT=0.05, sigF=0.05)

ANOVA e TCM

No R:

# Teste de normalidade dos errosshapiro.test(rstudent(mod))

Shapiro-Wilk normality testdata: rstudent(mod1) W = 0.9772, p-value = 0.9375

24

Exemplo (Resposta)

25

Tukey's testGroups Treatments Means

a B 112.375 a C 103.925 a A 103.425 b D 82.825

No R:anova(mod1)Analysis of Variance Table

Response: yDf Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

linha 3 1110.17 370.06 47.509 0.0001420 ***coluna 3 978.50 326.17 41.874 0.0002036 ***trat 3 1894.53 631.51 81.075 3.025e-05 ***Residuals 6 46.74 7.79Total 15 4029.94

Exemplo (Resposta)

Se utilizar o teste de Tukey a 1%, tem-se:

Tarefa

Consideremos o experimento da aula de DQL e teste o seguinte conjunto decontrastes ortogonais pelo teste F ao nível de significância de 1%. Apresente oscálculos e conclua. Interprete cada resultado.

CB

DCB

DCBA

mmY

mmmY

mmmmY

3

2

1

2

3

26

Vantagens do DQL

a) Maior oportunidade que o DCB para eliminar fontes de variação estranha dascomparações entre tratamentos e da estimativa do erro experimental;

b) Se a variação estranha é relevante, formação hábil de linhas e de colunaspermite que os tratamentos sejam comparados em condições mais homogêneasdo que em DCB.

27

Desvantagens do DQL

a) Se a variação estranha controlada por linhas e colunas não é substancial, oDQL conduz à perda de precisão. A redução da estimativa da variância residualdecorrente de controle local pode não compensar a correspondente perda de grausde liberdade;

b) Para atender às condições de ortogonalidade e balanceamento, o número derepetições, de linhas e de colunas deve ser o mesmo, o que torna essa experimentode difícil execução, se o número de tratamentos é grande (acima de 8 ou 9tratamentos).

c) Por outro lado, se o número de tratamentos é pequeno (3 ou 4 tratamentos),então o experimento também é pequeno. Se, de fato, houver necessidade dessedelineamento com essas quantidades de tratamentos, então, o quadrado pode serrepetido para assegurar mais informações;

d) Em experimentos agrícolas de campo, em que usualmente o objetivo écontrolar gradientes de fertilidade em duas direções ortogonais, o formato dodelineamento requer um terreno de proporções aproximadamente quadradas.

28