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Projeto de Controladores NoDomnio Da Freqncia
Newton Maruyama
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 1/49
Compensao por avano de fase
Funo de Transferncia:
H(s) = Kc Ts + 1Ts + 1 = Kc
s + 1Ts + 1
T
(0 < < 1) (1)
zero: s = 1T
plo: s = 1T
0 < < 1 logo o zero sempre se encontra direitado plo
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 2/49
Grfico polar
A figura ilustra o grfico polar de:
H(j) = Kc jT + 1jT + 1 (0 < < 1) (2)
com Kc = 1
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 3/49
Maior ngulo de avano m
Para um dado valor de existe o maior valor dafase de H(j) que ocorre na freqncia m:
sinm =12
1+2
= 11+ (3)
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 4/49
Diagrama de Bode
A figura ilustra o diagrama de Bode para Kc = 1 e = 0.1
Freqncias de canto = 1Te = 1
T
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 5/49
Freqncia m
m a mdia geomtrica das frqncias de canto:
logm = 12
(log
1
T+ log 1
T
)(4)
Logo:
m = 1T
(5)
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 6/49
Um exemplo
Suponha um sistema com a seguinte funo detransferncia em malha aberta:
G(s) = 4s(s + 2) (6)
Deseja-se projetar um controlador Gc(s) tal que: A constante de erro de velocidade estticoKv = 20seg1
Margem de fase seja pelo menos = 50o Margem de ganho Kg > 10dB
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 7/49
Passo 1 - Ajuste de constante esttico
Considere:
Gc(s) = Kc Ts + 1Ts + 1 = Kc
s + 1Ts + 1
T
(0 < < 1) (7)
Defina K = Kc Logo:
Gc(s) = K Ts + 1Ts + 1 (8)
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 8/49
Passo 1 - continuao ...
A funo de transferncia do sistema compensadopode ser expresso como:
Gc(s)G(s) = K Ts + 1Ts + 1G(s) (9)
= Ts + 1Ts + 1KG(s) (10)
= Ts + 1Ts + 1G1(s) (11)
onde G1(s) = KG(s)
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 9/49
Passo 1: continuao ...
No sistema em questo:
G1(s) = KG(s) = 4Ks(s + 2) (12)
onde K = Kc Projete K para Kv = 20seg1
Kv = lims0
sGc(s)G(s) = lim s Ts + 1Ts + 1G1(s) (13)
= lims0
s4K
s(s + 2) = 2K = 20 K = 10 (14)(15)
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 10/49
Passo 2 - Margem de Fase do sistema G1(s)
Diagrama de Bode
G1(j) = 40j+ 2 =
20
j(0.5j+ 1) (16)
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 11/49
Passo 2: continuao ...
Da figura obtemos = 17o e Kg =
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 12/49
Passo 3 - ngulo m
A especificao pede que o sistema final tenha pelomenos = 50o
Ou seja, necessrio acrescentar 33o
Este ngulo adicional vai ser provido pelo mximongulo de avano do controlador Gc, m
Ou seja, faremos com que m coincida com afreqncia de crossover g
Entretanto a freqncia de crossover final nopermanece no mesmo local devido ao mdulo deGc(s). Dessa forma, introduz-se aqui um fator decorreo de 5o (Porque este valor ?)
m = 33o + 5oProjeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 13/49
Passo 4: Clculo de
Considerando m = 38o:
sinm = 11+ = 0.24 (17)
Devemos determinar a freqncia m onde omdulo de
G1(j) = 20 log 1db
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 14/49
Passo 4: continuao ...
Porque este valor ?
|Gc(j)| = 1+ jT1+ jT
m= 1T
(18)
= 1 20 log 1
dB (19)
A frqncia m deve ser tal que
|Gc(j)G1(j)| = 0dB (20)
ou seja, m =g
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 15/49
Passo 4: continuao ...
1= 1
0.24= 1
0.49(21)
= 20 log 1= 6.2dB (22)
No grfico |G1(j)| = 6.2dBg = 9rad/seg Ou seja,
|G1(jg)Gc(jg)| = 6dB+ 6.2dB = 0dB (23)
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 16/49
Passo 5: Determinar o plo e zero
A nova freqncia de crossoverg =m = 1/
T = 9rad/seg
Ou seja: Plo:
1
T= g = 4.41rad/seg (24)
Zero:1
T= 18.4rad/seg (25)
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 17/49
Passo 6: Calcular Kc
H(s) = Kcs + 1Ts + 1
T
= Kc s + 4.41s + 18.4 = Kc
0.227s + 10.054s + 1
(26)
Kc = K= 10
0.24= 41.7 (27)
O controlador pode ser escrito como:
Gc(s) = 41.7s + 4.41s + 18.4 = 10
0.227s + 10.054s + 1 (28)
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 18/49
Passo 7: Verificao
Para efeitos do grfico:
Gc(s)
KG1(s) = Gc(s)
1010G(s) = Gc(s)G(s) (29)
Gc(s)G(s) = 41.7s + 4.41s + 18.4
4
s(s + 2) (30)
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 19/49
Passo 7: continuao ...
g mudou de 6.3rad/seg para 9rad/seg g c Sistema mais rpido
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 20/49
Passo 7: continuao ...
Resposta a degrau Resposta mais rpida porm mais oscilatria
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 21/49
Passo 7: continuao ...
Resposta a rampa
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 22/49
Compensao por atraso de fase
Funo de transferncia:
Gc(s) = Kc Ts + 1Ts = 1 = Kc
s + 1Ts + 1
T
> 1 (31)
como > 1 o plo est sempre a direita do zero
Grfico polar
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 23/49
Diagrama de Bode
No controlador por avano de fase utilizamos comoponto de crosssover g o ponto de mximoavano fase
No controlador por atraso de fase utilizamos comoponto de crossover g um ponto onde o mdulodo controlador Gc(s) seja mnimo e a fase sejapraticamente zero
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 24/49
Diagrama de Bode
Diagrama de Bode para Kc = 1.0 e = 10
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 25/49
Um exemplo
Seja o seguinte sistema:
G(s) = 1s(s + 1)(0.5s + 1) (32)
Projetar um controlador por atraso de fase tal que: Kv = 5seg1 Margem de fase 40o margem de granho Kg 10dB
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 26/49
Passo 1: Ajustar o ganho K
Kc = K (33)
G1(s) = KG(s) = Ks(s + 1)(0.5s + 1) (34)
Kv = 5 (35)
Kv = lims0
sGc(s)G(s) = lims0
Ts + 1Ts + 1G1(s) (36)
= lims0
sK
s(s + 1)(0.5s + 1) K = 5 (37)Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 27/49
Passo 2: Verificao da margem de fase e de ganho
G1(j) = 5j(j+ 1)(0.5jw + 1) (38)
= 20o e Kg = 11dB Sistema instvel
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 28/49
Passo 2: continuao ...
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 29/49
Passo 3: Escolher g
Desejamos 40o Vamos tentar definir qual seria a fase do sistema num ponto onde = 40o
Lembre-se que aqui desejamos utilizar a regio docontrolador Gc(s) que tem ganho mnimo. Deve-seatentar ao fato que a fase do controlador no pontoescolhido nunca ser zero o que pode provocar umdeslocamento do ponto de crossover g
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 30/49
Passo 2: continuao ...
Receita de bolo: acrescentar de 5o a 12o como fatorde compensao
= 180o++fator de compensao = 12o = 128o(39)
No grfico temos, g = 0.5rad/seg para = 128o
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 31/49
Passo 3: Escolher as freq. de canto
Para evitar os efeitos do atraso de fase o plo e ozero devem estar localizados bem abaixo de g
A freqncia de canto = 1/T escolhida umaoitava ou uma dcada menor (Obs: quanto menor mais lento o sistema)
Escolhamos: = 1/T = 0.1rad/seg
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 32/49
Passo 4: Determinar o ganho
Determinar a atenuao necessria para queg = 0.5rad/seg
No grfico, obtemos atenuao de -20dB Da equao da assntota de alta freqncia,obtemos:
20 log1
= 20 = 10 (40)
Obtido o valor do ganho , podemos obter a outrafreqncia de canto:
= 1T
= 0.01rad/seg (41)Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 33/49
passo 5: Determinao do ganho Kc
Kc = K= 5
10= 0.5 (42)
Desta forma o sistema se torna,
Gc(s)G(s) = 5(10s + 1)s(100s + 1)(s + 1)(0.5s + 1) (43)
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 34/49
Passo 6: Verificao
No grfico, obtemos = 40o e Kg = 11dB alm deKv = 5seg1
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 35/49
Passo 6: continuao
Resposta a degrau:
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 36/49
Passo 6: continuao
Resposta a rampa
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 37/49
Controlador por atraso-avano
Funo de transferncia
Gc(s) = Kcs + 1T1s +
T1
s + 1T2s + 1T2
, > 1 (44)
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 38/49
continuao ...
Avano de fase:
s + 1T1
s + T1
= 1
T1s + 1
T1s + 1
> 1 (45)
Atraso de fase:
s + 1T2
s + 1T2
= (T2s + 1T2s + 1
) > 1 (46)
Frequentemente utiliza-se =
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 39/49
Grfico Polar
Grfico polar para Kc = 1 e = Atraso 0 < < 1, Avano 1 <
Diagrama de Bode
Diagrama de Bode para Kc = 1, = = 10 eT2 = 10T1
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 41/49
Um exemplo
Seja o seguinte sistema em malha aberta
G(s) = Ks(s + 1)(s + 2) (47)
Projete um compensador tal que Kv = 10seg1 = 50o Kg 10dB
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 42/49
Soluo
Constante Kc = 1 Avano de fase:
s + 1T1s + T1
= s + 0.7s + 7 =
1
10
1.43s + 10.143s + 1 (48)
Atraso de fase:
s + 1T2
s + 1T2
= s + 0.15s + 0.015 = 10
6.67s + 166.7s + 1 (49)
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 43/49
Verificao
Diagrama de Bode: = 50o e Kg = 16dB
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 44/49
Verificao
Resposta a degrau
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 45/49
Verificao
Resposta a rampa
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 46/49
Resumo: avano de fase
Utiliza o avano de fase para aumentar a margemde estabilidade
Permite maior freqncia de crossover g ou sejamaior freqncia de corte c ou seja maior largurade banda Bw
Se Bw aumenta ento o tempo de subida tr e otempo de assentamento ts so menores
A maior largura de banda permite passar rudos dealta freqncia
necessrio em geral aumentar o ganho devido ascaractersticas atenuantes do controlador poravano de fase
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 47/49
Resumo: atraso de fase
Reduz o ganho em altas freqncias sem reduzir oganho em baixas freqncias, o que permitereduzir o erro esttico
Menor freqncia de crossover g o que resultanuma largura de banda Bw menor
Largura de banda Bw menor o que resulta numsistema mais lento
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 48/49
Caractersticas no tempo
Projeto de Controladores No Domnio Da Frequencia p. 49/49
Compensao por avano de faseGrfico polarMaior ngulo de avano $phi _m$Diagrama de BodeFreqncia $omega _m$Um exemplosmall Passo 1 - Ajuste de constante estticoPasso 1 - continuao ...Passo 1: continuao ...small Passo 2 - Margem de Fase do sistema $G_1(s)$Passo 2: continuao ...Passo 3 - ngulo $phi _m$Passo 4: Clculo de $alpha $Passo 4: continuao ...Passo 4: continuao ...Passo 5: Determinar o plo e zeroPasso 6: Calcular $K_c$Passo 7: VerificaoPasso 7: continuao ...Passo 7: continuao ...Passo 7: continuao ...Compensao por atraso de faseDiagrama de BodeDiagrama de BodeUm exemploPasso 1: Ajustar o ganho $K$small Passo 2: Verificao da margem de fase e de ganhoPasso 2: continuao ...Passo 3: Escolher $omega _g$Passo 2: continuao ...Passo 3: Escolher as freq. de cantoPasso 4: Determinar o ganho $eta $passo 5: Determinao do ganho $K_c$Passo 6: VerificaoPasso 6: continuaoPasso 6: continuaoControlador por atraso-avanocontinuao ...Grfico PolarDiagrama de BodeUm exemploSoluoVerificaoVerificaoVerificaoResumo: avano de faseResumo: atraso de faseCaractersticas no tempo
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