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1 Profesor Asistente Departa-mento de Matemáticas, Uni-versidad de los Andes.

2 Profesor investigador Labo-ratorio de Automática, Mi-croelectrónica e InteligenciaComputacional (LAMIC),Universidad Distrital FJDC.

3 Profesor Titular Facultad deIngeniería e Investigador delGrupo de Investigación enAutomatización y Produc-ción (GIAP), Universidad delos Andes.

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Figura 1. Líneas de contorno de la funciónφφφφφ (x), las cuales dan una aproximación suave

de la forma del conjunto factible X.

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Tabla I Parámetros del modelo del Péndulo invertido

Parámetro Símbolo Valor Aceleración de la gravedad g 9.8 m/s2 Masa del péndulo m 2 kg Masa del carro M 8 kg Longitud del péndulo l2 1 m

Factor de masas Mm

a+

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022 <+ PAPAT

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Figura 2. Resultados del control del péndulo invertido. Arribala respuesta del ángulo x1 y abajo la velocidad x2.

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Figura 3. Resultados del control del péndulo invertido conmatriz de retroalimentación de estado Kop .

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Figura 4. Resultados del control del péndulo invertidocon restricciones en la acción de control u.

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Figura 5. Señal de control (Fuerza) aplicadaen el caso del sistema con restricciones.

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Figura 6. Respuesta del sistemasiguiendo una referencia tipo paso.

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4 )"#.)[1] A. Ben-Tal y A. Nemirovsky, «Lectures on Modern Convex

Optimization: Analysis, Algorithms and EngineeringApplications», Society for Industrial and Applied Mathematics:Mathematical Programming Society, 2001.

[2] J. G. VanAntwerp y R. D. Braatz, «A tutorial on linear andbilinear matrix inequalities», Journal of Process Control, vol.10, pp. 363-385, 2000.

[3] S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron y V. Balakrishnan, «LinearMatrix Inequalities in Systems and Control Theory», Studiesin Applied Mathematics, Society for Industrial and AppliedMathematics, vol. 15, 1994.

[4] S. Boyd y L. El Ghaoui, «Method of Centers for MinimizingGeneralized Eigenvalues», Linear Algebra and Applications,Special. issue on Numerical Lin. Algebra methods in Control,Signals and Syst., vol. 188, pp. 63-111, 1993.

[5] M. Grötschel, L. Lovász y A. Schrijver, «Geometric Algorithmsand Combinatorial Optimization», Springer-Verlag, 2da. ed., 1993.

[6] Yu. Nesterov y A. Nemirovsky, «Interior-point PolynomialMethods in Convex Programming», Studies in AppliedMathematics, Society for Industrial an Applied Mathematics,vol. 13, 1994.

[7] L. Vandenberghe y S. Boyd, «Semidefinite Programming»,Society for Industrial and Applied Mathematics Review, vol.38, pp 49 – 95, 1996.

[8] C.W. Richter Jr., G.B. Sheblé, «Modern Control Engineering»,Prentice Hall, 3ra. ed., 1997.

[9] D. Muench y A. Titli, «Introduction to the Design of FuzzyControlers Using Linear Matrix Inequalities», Final InternshipReport, Laboratorio LAAS, Toulouse, Francia, 1999.

- ),/Nació en Bogotá, Colombia. Es Ingeniero Eléctrico y Matemáticode la Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia. Actualmenteadelanta la Maestría en Matemáticas en la misma universidad. Seha desempeñado como Profesor Asistente del Departamento deMatemáticas de la Universidad de los Andes y actualmente ade-lanta trabajos de investigación en el área de optimización yprecondicionares numéricos. e-mail: m-junca@uniandes.edu.co

4 &&) Nació en Bogotá, Colombia. Es Ingeniero Electrónico de la Univer-sidad Distrital, Bogotá. Obtuvo su titulo de Maestría en IngenieríaEléctrica en 2002 en la Universidad de los Andes, de Bogotá. Escandidato a PhD en Ingeniería (Automática) en la Universidad delos Andes de Bogotá y en la Universidad Paul Sabatier, de Toulouse,Francia.Se desempeñó durante varios años como ingeniero en elárea de automatización y control en diversos sectores industrialesde Colombia. Desde 1999 está vinculado como Profesor de la Fa-cultad de Ingeniería de la Universidad Distrital FJDC. Actualmentese desempeña como profesor en el área de Automática en el Pro-grama de Ingeniería Electrónica de la Universidad Distrital, de Bo-gotá y es investigador del Laboratorio de Automática, Microelec-trónica e Inteligencia Computacional (LAMIC), donde realiza estu-dios aplicados en sistemas inteligentes y control automático de pro-cesos. e-mail: vhgrisales@ieee.org

*Es Ingeniero Eléctrico del Institute Universitaire de Technologie,de Grenoble, Francia. Obtuvo sus títulos de Maestría y Doctoradoen Automática en 1974 y 1977, respectivamente, en el Laboratoired’Automatique de Grenoble. INPG, Francia.Se desempeñó comoinvestigador con la industria privada francesa, en donde desarrollóvarios proyectos relacionados con centrales nucleares. Desde 1982está vinculado con la Universidad de los Andes, en donde se de-sempeña como profesor titular en el área de automática. Es inves-tigador titular del Grupo de Investigación en Automatización y Pro-ducción (GIAP), Universidad de los Andes. Sus áreas de interésson el control no lineal, la robótica y los sistemas inteligentes. e-mail: agauthie@uniandes.edu.co