A Matematica e a Arte de Escher

Mauritis Cornélio Mauritis Cornélio EscherEscher

(1898-1970)(1898-1970)

Você já viu alguma obra do artista Você já viu alguma obra do artista Escher?Escher?

Se você não lembra é porque, provavelmente, não Se você não lembra é porque, provavelmente, não viu nenhuma. Olhar as imagens criadas por viu nenhuma. Olhar as imagens criadas por

Escher é uma experiência inesquecível.Escher é uma experiência inesquecível.

Seus desenhos, porém, não nasciam de passes de Seus desenhos, porém, não nasciam de passes de mágica. Sua obra está apoiada em conceitos mágica. Sua obra está apoiada em conceitos

matemáticos, relacionados principalmente com a matemáticos, relacionados principalmente com a geometria.geometria.

Escher usou três octraedros para fazer a figura central de Starts.Escher usou três octraedros para fazer a figura central de Starts.

Conheça um pouco de sua históriaConheça um pouco de sua história Mauritis Cornelis Escher, nasceu em

Leeuwarden na Holanda em 1898, faleceuem 1970 e dedicou toda a sua vida às

artes gráficas. Na sua juventude não foium aluno brilhante, nem sequer

manifestava interesse pelos estudos, masos seus pais conseguiram convencê-lo a

entrar na Escola de Belas Artes deHaarlem para estudar arquitetura. Alguns anos depois, deixou

a escola para iniciar nas técnicas da gravura, dedicando-se ao desenho, à litografia e à xilogravura.

Esquema de uma queda d'água de Escher.

A sua obra e a MatemáticaA sua obra e a Matemática

Após terminar os estudos Mauritis resolve viajar por todo o Mundo!

As passagens pordiferentes culturas, inspiraram a mente deEscher, nomeadamente a passagem por

Alhambra, em Granada, onde conheceu osazulejos mouros. Este contato com a arte árabe está na

base do interesse e da paixão de Escherpela divisão regular do plano em figuras

geométricas que se transfiguram, se repetem erefletem, pelas pavimentações. Porém, no

preenchimento de superfícies, Escher substituíaas figuras abstrato - geométricas, usadas pelos

árabes, por figuras concretas, perceptíveis eexistentes na natureza, como pássaros, peixes,

pessoas, répteis, etc.

Em seus simples desenhos e repetidos em série no plano, Em seus simples desenhos e repetidos em série no plano, aplicava múltiplas deslocações e deformações geométricas. aplicava múltiplas deslocações e deformações geométricas. Estas séries repetem-se até ao infinito, unicamente limitadas Estas séries repetem-se até ao infinito, unicamente limitadas

pelos limites do papel! Nunca abandonou os ideais pelos limites do papel! Nunca abandonou os ideais geométricos da translação, simetria, rotação e inclinação. De geométricos da translação, simetria, rotação e inclinação. De

um modo geral, Escher substituiu as aborrecidas figuras um modo geral, Escher substituiu as aborrecidas figuras geométricas por outras mais belas e atraentes, criando um geométricas por outras mais belas e atraentes, criando um

maior sentido do uso da Geometria.maior sentido do uso da Geometria.

M. C. Escher. Circle M. C. Escher. Circle limitlimit

Caminhando pelas obras de Caminhando pelas obras de Maurits Cornelis Escher Maurits Cornelis Escher chegamos a uma rica chegamos a uma rica

variedade de elementos, além variedade de elementos, além dos já apresentados, dos já apresentados,

destacaremos: a perspectiva, destacaremos: a perspectiva, a ilusão de óptica, a a ilusão de óptica, a

aproximação com o infinito, aproximação com o infinito, os paradoxos e as paisagens.os paradoxos e as paisagens.

O que é ilusão de óptica?" O que é ilusão de óptica?"

São ilusões que "enganam" o sistema visual humano.São ilusões que "enganam" o sistema visual humano.

"O que são paradoxos?" "O que são paradoxos?"

O paradoxo pode ser um argumento que, apesar de O paradoxo pode ser um argumento que, apesar de aparentemente correto, apresenta uma conclusão ou aparentemente correto, apresenta uma conclusão ou

conseqüência contraditória.conseqüência contraditória.

M. C. Escher. RelativityM. C. Escher. Relativity

Viajando no mundo de EscherViajando no mundo de Escher

Quase toda a metadesuperior da estampa é a

imagem refletida dametade inferior. A escadasuperior, onde um bicho

desce da esquerda para adireita, reflete-se duas

vezes: no meio e no ladoinferior. Na escada, nocanto superior direito,

neutraliza-se a oposiçãoentre subida e descida:

duas filas de bichosavançam lado a lado;contudo, uma sobe,

enquanto a outra desce.

Neste desenho reproduz-seduas vezes a mesma

imagem, cada uma delasdum ponto de vistadiferente. A metade

inferior mostra a vista deum observador que estejano rés do chão. A metadesuperior mostra o que ele

veria se estivesse nosegundo andar. O ladrilho

que se encontra nocentro da composição

serve de chão no cenáriosuperior, contudo, este

vai servir de teto nocenário inferior.

Três casas estão colocadasperto umas das outra. A daesquerda vê-se de fora, a

dadireita a de dentro e a do

centro vê-se facultativamente

de dentro ou de fora. Em baixo

à esquerda, um homem sobe

uma escada para umaplataforma. Perto do

homemadormecido encontrará

umabacia em forma de concha.

Dolado direito alguém sobe

umaoutra escada, mas então, o

que visto da esquerda parecia

uma escada, torna-se agora no

lado interior de uma abóbada,

e a plataforma que era chão

firme transforma-se em teto.

Um pátio interior érodeado por um

edifício cujo telhado

consiste numaescadaria onde

tantose pode subir

comodescer, sem que

noentanto se consigachegar nem acima

nem abaixo. M. C. Escher. Ascending and descending

A água de uma cascatapõe em movimento aroda de um moinho e

corre depois para baixo,numa calha inclinadaentre duas torres, em

ziguezague, até ao pontoem que a queda d’águade novo começa. Ambasas torres são da mesmaaltura, mas a da direitaestá, contudo, um andarmais baixo do que a da

esquerda.

M. C. Escher. Watterfall

No piso inferior, nointerior da casa,

estáencostada uma

escada pela qualsobem duas

pessoas.Mas chegadas a

umpiso acima, estão

denovo ao ar livre e

têmde voltar a entrar

noedifício.

M.C. Escher. Belvedere

Os campos lavrados, de forma geométrica,elevam-se em direção ao céu e se Os campos lavrados, de forma geométrica,elevam-se em direção ao céu e se transformam, aos poucos, em aves brancas e pretastransformam, aos poucos, em aves brancas e pretas

Escher, semconhecimento

matemático prévio masatravés do estudosistemático e da

experimentação descobretodos os diferentes

grupos de combinaçõesisométricas que deixam

um determinadoornamento inariante. A

reflexão é brilhantementeutilizada na xilografia

"Day and Night", uma dasgravuras mais

emblemáticas da carreira

Desde o início que umdos seus fascínios era a

representaçãotridimensional dos objetos na

nevitávelbidimensionalidade dopapel. Escher, explorouem profundidade as leis

da perspectiva e desafiouessas leis nas

representaçõesbidimensionais etridimensionais,

provocando o conflito dasrepresentações.

M.C. Escher.Drawing hands (paradoxos visuais)

Dono de uma personalidade humilde,

Escher, não se considerava artista nem

matemático. Mas a verdade é quetransportou para os seus

desenhosestruturas matemáticas

complexas,perspectivas espaciais que

necessitamsempre de um apurado segundo

olhar,podemos mesmo dizer, de um

terceiro,...

São todos estes aspectos matemáticosaliados à mente artística de Escher que

resultamnum trabalho tão original e extraordinário.Escher foi reconhecido pelo mundo, pelos

seusdesenhos de ilusões espaciais, de

construçõesimpossíveis, onde a geometria se transforma

emarte ou a arte em geometria.

““...apesar de não possuir qualquer ...apesar de não possuir qualquer conhecimento nas ciências conhecimento nas ciências

exatas, sinto muitas vezes que exatas, sinto muitas vezes que tenho mais em comum com os tenho mais em comum com os matemáticos do que com os matemáticos do que com os

meus colegas artistas...” meus colegas artistas...”

EscherEscher

Referências BibliográficasReferências Bibliográficas

www.texas.net/escher, acessado em 09/07/08. www.texas.net/escher, acessado em 09/07/08. www.cs.unc.edu/~davemc/Pic/Escher, acessado www.cs.unc.edu/~davemc/Pic/Escher, acessado

em 09/07/08.em 09/07/08. www.znet.com/~wchow/escher.htm, acessado em www.znet.com/~wchow/escher.htm, acessado em

10/07/08.10/07/08. http://prof.ccems.pt/matematicaonline/Escher/http://prof.ccems.pt/matematicaonline/Escher/

browser.html, acessado em 10/07/08.browser.html, acessado em 10/07/08. http://mathematikos.psico.ufrgs.br/escher.html, http://mathematikos.psico.ufrgs.br/escher.html,

acessado em 10/07/08. acessado em 10/07/08. http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm21, http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm21,

acessado em 11/07/08.acessado em 11/07/08.