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CIRCUNFERÊNCIAAceite para publicação em 15 de Março de

2010

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introdução

propriedades

polígonos regulares

rotações

extras

créditos

agradecimentos

fim

introdução

circunferência

ângulo inscrito

ângulo ao centro

pré-requisitos indispensáveis para a compreensão do tema em estudo

propriedades

propriedade 1

propriedade 2

propriedade 3

propriedade 4

propriedade 5

propriedade 6

propriedade 7

propriedade 8

propriedade 9

estudo das relações entre a circunferência e os elementos geométricos que lhe estão associados

circunferênciaa circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a O é igual a r

ângulo ao centroum ângulo ao centro é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência e cujos lados contêm raios

AOB

arcoAB

ângulo ao centro

arco correspondente

ângulo inscritoum ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados contêm cordas

ACB

arcoAB

ângulo inscrito

arco correspondente

Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e do arco

correspondente?

Clica na figura e tenta descobrir!

AOB

arcoAB

ângulo ao centro

arco correspondente

propriedade 1A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco correspondente.

60ºAOB

60ºAB

Ao ângulo ao centro

correspondem

o e a corda

Qual será a relação entre arcos e cordas de ângulos ao centro

geometricamente iguais?

Clica na figura e tenta descobrir!

AOB

arcoAB AB

Ao ângulo ao centro

correspondem

o e a corda

COD

arcoCD CD

propriedade 2A ângulos ao centro geometricamente iguais correspondem arcos e cordas geometricamente iguais.

AB CD

AOB COD

AB CD

Ao ângulo ao centro

e ao ângulo inscrito

corresponde o mesmo

Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e de um ângulo inscrito

no mesmo arco?

Clica na figura e tenta descobrir!

AOB

arcoABACB

Propriedade 3A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente.

2:AAC OBB

2:ACB AB

Propriedade 4Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco são geometricamente iguais.

2:ACB AB

2:ADB AB

2:AEB AB

ADB EACB A B

Propriedade 5Qualquer triângulo inscrito numa semi-circunferência é um triângulo rectângulo.

2 90: ºAOBACB

O triângulo [ABC] é um triângulo rectângulo.

O diâmetro coincide com a hipotenusa do triângulo rectângulo.

AB

Clica aqui para mais informações acerca de triângulos rectângulos

é oposto a

Qual será a relação entre as amplitudes de ângulos opostos de um quadrilátero inscrito

numa circunferência?

Clica na figura e tenta descobrir!

DAB DCB

ADC ABCé oposto a

Clica aqui para mais informações acerca de polígonos inscritos em circunferências

Propriedade 6Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência são suplementares.

180ºDAB DCB

180ºADC ABC

os ângulos ao centro e

As cordas paralelas e definem

Cordas paralelas definem dois ângulos ao centro, dois arcos e duas cordas. Qual será a

relação entre eles?

Clica na figura e tenta descobrir!

AB DC

BOC AOD

os arcos e

as cordas e

BC AD

BC AD

Propriedade 7Cordas paralelas definem arcos, cordas e ângulos ao centro geometricamente iguais.

180ºDAB DCB

180ºADC ABC

Qual será a posição relativa do raio [OT] e da recta tangente à circunferência em T?

Clica na figura e tenta descobrir!

OT Raio da circunferência

TPT

Recta tangente à

circunferência em

Propriedade 8Uma recta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

OT TP

90ºOTP

Qual será a posição relativa do centro de uma circunferência e da mediatriz de uma sua corda?

Clica na figura e tenta descobrir!

corda da

circunferência

OM ABMediatriz de

AB

Propriedade 9A mediatriz de qualquer corda passa no centro da circunferência.

OT TP

90ºOTP

Clica aqui para mais informações sobre a mediatriz

Polígonos RegularesUm polígono regular é um polígono com todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos com a mesma amplitude.

ABCDE

Qualquer polígono regular pode ser inscrito numa circunferência.

O pentágono é um polígono regular

ABC

CBF

Como determinar as amplitudes dos ângulos internos

e dos ângulos externos de polígonos regulares?

Clica na figura e tenta descobrir!

ângulo interno

ângulo externo

Ângulos de polígonos regularesExemplo: Para determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externos de um pentágono regular:

360 5 72º:OBF AOB

180 108º ºAB OBFO

ângulo externo

ângulo interno

Ângulos de polígonos regularesPara determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externo de um polígono regular com n lados:

RotaçõesUma rotação de centro O e ângulo de amplitude é uma transformação geométrica que ao ponto O faz corresponder o próprio ponto O e que a cada ponto A da figura inicial faz corresponder o ponto A´ da figura final tal que:

e´OA OA ´AOA

Clica aqui para experimentares outras rotações

70 ´, ´ ´º , ABC A CR BO

centro da rotação

ângulo da rotação

figura inicial

figura final

- +sentido da rotação

extrasnesta secção podem ser recordados outros pré-requisitos

teorema de Pitágoras

simbologia

mediatriz

classificação de ângulos

classificação de triângulos

polígonos inscritos em circunferências

simbologia

classificação de ângulos

classificação de triângulos

Propriedade: A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180ºClica aqui para veres uma demonstração

Teorema de PitágorasNum triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

AB A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo recto.

Os catetos são os dois lados perpendiculares.

AC

BC

Clica aqui para mais informações sobre o Teorema de Pitágoras

2 22ACA CB B

Voltar à propriedade 5

MediatrizA mediatriz de um segmento de recta [AB] é o conjunto dos pontos do plano que estão à mesma distância de A e de B.

mediatriz de

r AB

ponto médio de

M AB

AB r e são perpendiculares

Mediatriz e triângulosAs 3 mediatrizes dos lados de um triângulo intersectam-se num ponto que se chama circuncentro.

Clica aqui para mais informações sobre pontos notáveis de um triângulo

O circuncentro é o centro da circunferência que contém

os 3 vértices do triângulo.

Voltar à propriedade 9

Polígonos inscritos em circunferênciasUm polígono está inscrito numa circunferência se cada um dos seus vértices for um ponto da circunferência.

O polígono está inscrito na circunferência

voltar à propriedade 6

O polígono não está inscrito na circunferência

CréditosEste trabalho foi integralmente elaborado por Erika Bizarro usando Microsoft PowerPoint e Geogebra e tendo sido convertido posteriormente em documento html.

Este trabalho foi publicado sob licença

Creative Commons da Casa das Ciências

Agradecimentos

À minha colega Emília Valle que me iniciou no Geogebra

À minha colega Ana Silva que me apresentou a Casa das Ciências

Aos meus colegas da Casa das Ciências pelas dicas e sugestões

À minha aluna Ana Beatriz Pinto do 7ºE, pela ideia para a figura da

capa

Ao meu irmão e à Ana pelo apoio informático

Aos meus pais, os meus mais rigorosos revisores

Aos meus Davids pela minha falta de tempo para eles

FIM

Erika Bizarro 2010