6. Polígonos regulares inscritos em uma circunferência

Polígono regular é todo polígono convexo que tem os lados congruentes e os ângulos internos também congruentes.

» Relações entre os elementos dos polígonos regulares e da circunferência circunscrita

Considerando os elementos dos polígonos regulares:

▪ l :medida do lado do polígono;▪ a: medida do apótema (segmento cujos extremos são o centro do polígono regular e o ponto médio de um de seus lados);▪ A: área do polígono inscrito;▪ p: semiperímetro do polígono;▪ O: centro da circunferência circunscrita;▪ R: raio da circunferência circunscrita.

podemos estabelecer as seguintes relações:

7. Polígonos regulares circunscritos a uma circunferência

Dividindo-se a circunferência em n arcos congruentes, as tangentes nos pontos consecutivos de divisão formam um polígono regular de n lados, circunscrito à circunferência.

Indicamos, então, os elementos:

▪ ln : medida do lado do polígono regular;▪ an : medida do apótema do polígono regular inscrito;▪ Ln : medida do lado do polígono regular circunscrito;

▪ An : medida do apótema do polígono regular circunscrito .

Sabemos que os polígonos regulares inscrito e circunscrito, com o mesmo número de lados, são semelhantes; então, os lados e os apótemas são proporcionais.

Daí, concluímos que .

Exercícios de fixação

01. Um hexágono regular está inscrito em uma circunferência de raio três centímetros. Calcule:

a) o lado do hexágono b) a área do hexágono

02. Um quadrado tem 16 cm2 de área. Calcule a área do círculo circunscrito e a área do círculo inscrito ao quadrado.

03. O lado de um hexágono regular inscrito em uma circunferência mede quatro centímetros. Calcule:

a) o raio da circunferência;b) o apótema do hexágono;c) a área do hexágono;d) a área do círculo circunscrito.

04. Calcule o lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência com três centímetros de raio.

05. Sendo ABCD um quadrado de seis centímetros de lado, calcule a área da região hachurada em cada caso.

a) b)

06. (UFAL) Uma tora de madeira tem secção circular de comprimento igual a 62,8 cm. Calcule o lado da maior secção quadrangular que ode ser obtida na tora.

07. Calcule a área do círculo onde está inscrito um triângulo equilátero de lado cm.

08. (Mack – SP) Na figura, ABCDE é um pentágono regular, é paralelo a , e é paralelo a . A medida do ângulo é:

09. (UFC) Um quadrado inscrito numa circunferência tem quarenta centímetros de perímetro. Um triângulo eqüilátero foi circunscrito nessa circunferência. Qual é o perímetro desse triângulo eqüilátero?

10. (UFPR) Um hexágono está inscrito num triângulo eqüilátero cujo lado mede cinco centímetros. Calcule a medida do perímetro desse hexágono.