POLGONOS REGULARES 1.INTRODUO: Os Polgonos Regulares so bastante aplicados emvriassituaesprticas,comoporexemplo, norevestimentodepisosouparedes,em calamento de ruas etc. 2.POLGONO REGULAR: Umpolgonoregularquandotemoslados congruentes e os ngulos congruentes. VEJA: s Congruente nguloss Congruente LadosREGULAR QUADRADO) 2) 1) ( :

s Congruente ngulosDiferentes LadosIRREGULAR RETNGULO) 2) 1) ( : s Congruente nguloss Congruente LadosREGULAR EQUILTEROTRINGULO) 2) 1) ( : 3.POLGONO REGULAR INSCRITO ECIRCUNSCRITO: Jvimosqueopolgonoregulartemosladosiguais e os ngulos tambm iguais. Polgonoinscritonocrculoopolgono,cujos vrticesficamnacircunferncia.Osladosso cordas. O crculo diz-se circunscrito ao polgono. Polgonocircunscritoaocrculoopolgono, cujosladossotangentescircunferncia.Os ladossocordas.Ocrculodiz-seinscritoao polgono.

3. 1GENERALIDADES: A inscrio de polgonosregulares baseia-se no teorema,ondearcosiguaissubtendemcordas iguais; Centrodeumpolgonoregularocentroda circunferncia circunscrita; Raiodeumpolgonoregularoraioda circunferncia circunscrita; Aptema de um polgono regular a distncia do centro a qualquer lado. APTEMA O Aptema sempre perpendicular ao lado. ngulocntricodopolgonoregularongulo formadopordoisraiosconsecutivosdomesmo polgono.Ovalordongulocntrico n0360, sendo n o nmero de lados. Todos os polgonos regulares so inscritveis e circunscritveis. 4.RELAES MTRICAS NOS POLGONOS REGULARES INSCRITO: ) 1 QUADRADO: Clculo da medida do lado ( )4L :F

OR E C R 4L

D Clculo da medida do aptema ( )4AP : E C 4L 4AP F D NoCOD A , temos: 2224242 242 2 24RR LR LR R LL ===+ = Na figura, observe que: 22:224444REntoR L ComoLAPAP == = Exemplo: Ex:Calcularamedidadoladoedoaptemado quadradoinscritonumacircunfernciaderaio8cm. 4L 8 4AP ) 2 HEXGONO REGULAR : Clculo da medida do lado ( )6L : O RR A B 6LClculo da medida do aptema ( )6AP : O R

6AP A M B

2R

Exemplo: Ex:Calcularamedidadoladoedoaptemado hexgono regularinscrito numa circunferncia de raio 12 cm. 8 ) 3 TRINGULO EQUILTERO: Clculo da medida do lado ( )3L : A

3LO 2R CB R D Clculo da medida do aptema ( )3AP : A O

3AP BC D

Exemplo: Ex:Calcularamedidadoladoedoaptemado tringuloeqilteroinscritonumacircunferncia de raio 10 cm. 10 Soluo: 2 422 822)2 82 )4444= === =APRAP bLR L a OAOB A Eqiltero. Logo:AB OB OA = = Ento: RL =6 NoMOB A , temos: 23434262622 262226RRAPRR APRRAPAP == == |.|

\|+

SOLUO: Como a)3 623 1223)12 : ,666 6== == =APRAP bL ento R L No ABD A ,temos: ( )33 3423232 232 2 232 2 23RR L R LR R LR R LL == == += + O quadrilteroBCDO um losango, pois os lados so congruentes (medem R). Logo:2 233R ODAPAP = = SOLUO: 52102)3 10 3 )3 33 3= = == =APRAP bL R L a FRMULASMACETE PARA POLGONOS INSCRITOS:

||.|

\|||.|

\|==nRAPnsen RLnn00180cos .180. . 2 Onde: lados de nmero n = OBSERVE: : ) QUADRADO A ( ) 4 = n Clculo do lado: ( )( )2 .22. . 2: ;2245 :45 . . 24180. . 24 40004R Rento sen Sendosen R sen RL LL= ===||.|

\|= Clculo do aptema: ( )( )22 .22.: ;2245 cos :45 cos .4180cos .4 40004RRento SendoR RAP APAP= ===||.|

\|= : ) REGULAR HEXGONO B ( ) 6 = n Clculo do lado: ( )( )R Rento sen Sendosen R sen RL LL= ===||.|

\|=4 6000621. . 2: ;2130 :30 . . 26180. . 2 Clculo do aptema: ( )( )23.: ;2330 cos :30 cos .6180cos .60006Rento SendoR RAPAP===||.|

\|= : ) EQUILTERO TRINGULO C ( ) 3 = n Clculo do lado: ( )( )3 .23. . 2: ;2360 :60 . . 23180. . 24 30003R Rento sen Sendosen R sen RL LL= ===||.|

\|= Clculo do aptema: ( )( )2 21.: ;2160 cos :60 cos .3180cos .3 30003RRento SendoR RAP APAP= ===||.|

\|= 5.RELAES MTRICAS NOS POLGONOS REGULARES CIRCUNSCRITO: ) 1 QUADRADO: R RAP L= =4 4. 2 ) 2 HEXGONO REGULAR: RRAP L= =6 633 . . 2 ) 3 TRINGULO EQUILTERO: R RAP L= =3 33 . . 2 FRMULASMACETE PARA POLGONOS CIRCUNSCRITOS:

R APntg RLnn==||.|

\|0180. . 2 EXERCCIOS PROPOSTOS 1.(FRANCO)Calculeoaptemadeumquadrado inscrito numa circunferncia de raio2 7 cm. Resp:7 cm 2.(FRANCO)O ladode um quadrado inscrito numa circunferncia mede2 10cm. Calcule o raio da circunferncia. Resp:10 cm 3.(FRANCO) A medida do aptema de um quadrado inscritonumacircunferncia25cm.Calculeo raio da circunferncia. Resp: 2 25cm 4.(FRANCO)Calculeoaptemadeumquadrado inscrito numa circunferncia de raio2 8cm.Resp:8 cm 5.(FRANCO)O ladode um quadrado inscrito numa circunfernciamede4cm.Calculeoraioda circunferncia. Resp: 2 2cm 6.(FRANCO) Um quadrado tem o aptema medindo 5cm. Calcule o permetro desse quadrado inscrito na circunferncia. Resp:40 cm 7.(FRANCO)Calcularamedidadoraioedo aptemanoquadradoinscritonuma circunferncia, cujo o lado mede 12cm. Resp: 2 6 cme6 cm 8.(FRANCO) A diagonal de um quadrado inscrito em uma circunferncia mede 5cm. Calcule o lado do hexgonoregularinscritonessamesma circunferncia. Resp:2,5 cm 9.(FRANCO)Oladodeumquadradoinscritoem umacircunfernciamede2 10 cm.Calculea medida do lado do tringulo eqiltero inscrito na mesma circunferncia. Resp: 3 10cm 10.(FRANCO) O lado de um quadrado inscrito numa circunfernciamede2 12 cm.Calcularolado do quadrado circunscrito ao mesmo crculo. Resp:24 cm 11.(FRANCO)Emumcrculo,estoinscritosumquadrado e um tringulo eqiltero. Se o lado do tringulomede12cm,quantomedeoladodo quadrado? Resp: 6 4cm 12.(FRANCO)Opermetrodeumquadradoinscrito mede2 32 cm.Calcularamedidadoraiodo crculo de inscrio. Resp:8 cm 13.(FRANCO)Determineopermetrodeum hexgono regularinscrito numa circunferncia de 5cm de raio. Resp:30 cm 14.(FRANCO)Oaptemadeumhexgonoregular inscrito numa circunferncia mede15cm.Quanto mede o seu lado? Resp: 3 10cm 15.(FRANCO)Oaptemadeumhexgonoregular inscritonumacircunfernciamede3 7 cm. Determine o permetro do hexgono. Resp:84 cm 16.(FRANCO)Oraiodeumhexgonoregular inscrito numa circunferncia mede 5cm. Calcule o permetro do hexgono. Resp:30 cm 17.(FRANCO)Oladodeumhexgonoregular inscrito numa circunferncia mede26cm.Quanto mede o seu aptema? Resp: 3 13cm 18.(FRANCO)Acharoladodohexgonoregular, inscrito num crculo, onde a diagonal do quadrado circunscrito mede 8cm. Resp:2,828 cm 19.(FRANCO)Emumcrculoestinscrito,um quadradoeumhexgonoregular.Seoaptema do hexgono mede 12cm, quanto mede o lado do quadrado? Resp: 6 8cm 20.(FRANCO)Numcrculoestoinscritosumhexgonoregulareumtringuloeqiltero.A somadoquadradodonmeroquerepresentaa medidadoaptemadohexgonocomonmero que representa o aptema do tringulo, vale 310. Calcular o lado do hexgono e o do tringulo. Resp:20 cme34,6 cm 21.(FRANCO)Emummesmocrculoestinscrito, umtringuloeqiltero,umquadradoeum hexgonoregular.Calculeoraiodocrculo, sabendo-se que 6 4 3L L L + +mede 33,12cm. Resp:8 cm 22.(FRANCO)Calculeoaptemadeumtringulo eqiltero inscrito numa circunferncia de raio28 cm. Resp:14 cm 23. (FRANCO) O aptema de um tringulo eqiltero inscritonumacircunfernciamede3 cm. Quanto mede o seu lado? Resp:6 cm 24.(FRANCO)Numcrculoestoinscritosumquadrado, um tringulo eqiltero e um hexgono regularcujasomadeseuspermetrosvale 168,3m. Calcular os aptemas das trs figuras. Resp: m AP m AP m AP 65 , 8 / 5 / 05 , 76 3 4= = = T E S T E S 1.(FRANCO)Numacircunfernciaestinscritoum tringuloeqilterocujoaptemamede3cm.A medida do dimetro dessa circunferncia : a)10cmb)12cm c)14cm d)16cm 2.(FRANCO)Opermetrodeumhexgonoregular inscrito numa circunferncia de 14cm de dimetro : a)36cmb)42cmc)48cmd)54cm 3.(FRANCO)Amedidadodimetrodeuma circunferncia36cm.Amedidadoladodeum quadrado inscrito nessa circunferncia : a) 9cm b)cm 2 12 c)cm 3 12d)cm 2 18 4.(FRANCO)Opermetrodeumquadradoinscrito numacircunferncia40cm.Ento,oraioda circunferncia mede: a) cm 2 5 b) cm 3 5c) cm 2 10 d) cm 3 10 5.(FRANCO)Opermetrodeumhexgonoregular cujo aptema medecm 3 5: a)58cmb)60cm c)62cmd)64cm 6.(FRANCO)Oraiodeumacircunfernciaondese inscreveumtringuloeqilterode3cmdelado: a)1b) 3c)23 d)43

7.(FRANCO)Opermetrodeumquadradoinscrito numa circunferncia cujoaptema medecm213: a)24cm b)26cmc)28cm d)30cm 8.(FRANCO)Oladodoquadradoinscritonuma circunfernciamede4cm.Oladodotringulo eqilteroinscritonamesmacircunferncia mede: a) 3 2b) 6 2 c) 2 3 d) 2 6 9.(FRANCO)Adistnciaentredoisladosparalelos deumhexgonoregularinscritonuma circunferncia definida por( ) m a 3 . 2 + . Assim sendo,oraiodessacircunfernciatempor expresso: a) m 3 2 b) m a 3c) ( )m a 2 + d) ma22 + 10.(FRANCO)Numacircunfernciainscreve-seumtringuloeqilterocujoladomedem 3 10 .Em seguida,nointeriordotringuloconstri-seoutro tringulo,tambmeqiltero,cujosladosficam afastados1mdosladosdoprimeiro.Oaptema do tringulo menor mede: a)4mb) m 3 2c) m 2 3 d) m 3 5 G A B A R I T O 1.B 3.D 5.B 7.C 9.C 2.B 4.A 6.B 8.B 10.A