Ajuste de Curvas: Método dos Mínimos Quadrados

Ajuste de Curvas: Métododos Mínimos Quadrados

ZAB0161 – “Álgebra linear com aplicações em geometria

analítica”

Prof. Dr. Jorge Lizardo Díaz Calle

Dpto. de Ciências Básicas – FZEA – USP

13 de maio de 2020

NoçãoDados os valores experimentais de grandezas (considerando que contêm erros)

Objetivo: encontrar uma curva “adequada” que “represente” os dados fornecidos e outros relacionados, de tal forma que seja minimizado o erro total cometido no sentido da média quadrática.

Método: Método dos mínimos quadrados utilizando matrizes.

Lei de Ohm – Laboratório de Física

Fonte:https://www.ibytes.com.br/os-procedimentos-para-medir-a-intensidade-da-corrente-continua/

R

I

E

Lei de OhmA • lei de Ohm que relaciona o diferencial de potencial (tensão) em uma resistência como o produto da resistência vezes a intensidade de corrente.

𝐸 = 𝐼𝑅

Como a resistência é uma, consideramos 𝑅 fixo.

Supondo que podemos utilizar 𝐼 como variávelconhecida de uma função linear, então:

𝐸 𝐼 = 𝑅𝐼 ⇒ 𝑦 𝑥 = 𝑅𝑥

Tabela com valores experimentais

0.11

2.9

8.7

0.7

5.6

8.4

5.3

0.3

2.2

0.1

Tensão

0.2

8.1

6.1

4.1

2.1

0.1

8.0

6.0

4.0

2.0

eIntensidad

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

ItemVerificar a lei de Ohm!!!

Realizam-se experiências

em um laboratório de física.

Aplicamos 10 diferentes

intensidades de corrente e

realizamos as medições do

diferencial de potencial,

com um tensiômetro.

Registramos os dados na

Tabela de Dados:

Se geramos um gráfico dos dados, observa-se:

Aparenta ter um comportamento linear com algumas

oscilações.

Tentando desenhar uma reta que una os dados:

Se unimos os pontos dos dados, observa-se:

O conjunto de segmentos de reta, podem ser ajustados com

uma reta, pois os “picos” podem ser medições com erro.

Existe uma formulação simples para a curva desenhada???

Pode ser que os dados correspondem a uma reta:

Tentando desenhar uma reta que una os dados, temos

infinitas possibilidades. Qual a mais aproximada????

Pode ser que os dados correspondiam a uma reta:

Tentando desenhar uma reta que una os dados, temos

infinitas possibilidades. Qual a mais aproximada????

A ideia é identificar a reta mais próxima de todos os pontos:

Não desconsiderar nenhum ponto. Melhor aproximação.

Utilizando matrizes pode-se aproximar uma reta???

Ajustando os dados com uma reta• Observamos os dados.

• A tensão será ajustada com uma reta.

• Determinando as variáveis (independente e dependente) expressamos a equação de uma reta na forma:

bxayy

x

Tensão

eIntensidad

Ajustando os dados com uma retaObservamos os dados. •

A tensão será ajustada com uma reta.•

Determinando as variáveis (independente e •

dependente) expressamos a equação de uma reta na forma:

Os coeficientes • 𝑎 e 𝑏 são desconhecidos

bxayy

x

Tensão

eIntensidad

Ajustando os dados com uma retaSupondo que temos a equação de uma reta

Observar que conhecemos alguns valores da variável independente (intensidade) e da variável dependente (tensão). Substituindo esses dados conhecidos, podemos escrever:

bxay

bxay ii

0.11

2.9

8.7

0.7

5.6

8.4

5.3

0.3

2.2

0.1

Tensão

0.2

8.1

6.1

4.1

2.1

0.1

8.0

6.0

4.0

2.0

eIntensidad

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Item ii yxi

Temos um número finito de dados relacionados:

Observar: É um sistema com incógnitas 𝑎 e 𝑏.

ba

ba

ba

ba

bxay ii

)0.2(0.11

)6.0(0.3

)4.0(2.2

)2.0(0.1

0.11

2.9

8.7

0.7

5.6

8.4

5.3

0.3

2.2

0.1

Tensão

0.2

8.1

6.1

4.1

2.1

0.1

8.0

6.0

4.0

2.0

eIntensidad

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Item ii yxi

O sistema matricial é

0.11

2.9

8.7

0.7

5.6

8.4

5.3

0.3

2.2

0.1

10.2

18.1

16.1

14.1

12.1

10.1

18.0

16.0

14.0

12.0

0.11)0.2(

2.9)8.1(

8.7)6.1(

0.7)4.1(

5.6)2.1(

8.4)0.1(

5.3)8.0(

0.3)6.0(

2.2)4.0(

0.1)2.0(

b

a

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

bxay ii

O sistema matricial é

110210

0.11

2.9

8.7

0.7

5.6

8.4

5.3

0.3

2.2

0.1

10.2

18.1

16.1

14.1

12.1

10.1

18.0

16.0

14.0

12.0

0.11)0.2(

2.9)8.1(

8.7)6.1(

0.7)4.1(

5.6)2.1(

8.4)0.1(

5.3)8.0(

0.3)6.0(

2.2)4.0(

0.1)2.0(

Bb

aA

b

a

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

bxayii

O sistema matricial tem solução???

110210

B

b

aA

Observar:

O sistema tem duas incógnitas.

O sistema não tem solução.

Pergunta: Podemos reduzir o sistema

para um sistema de duas incógnitas e

duas equações.

O produto com a transposta

• Lembrar: o produto de uma matriz com a sua transposta resulta em uma matriz quadrada

• O primeiro caso permite reduzir a um sistema de duas equações com duas incógnitas, assim:

22210102 PAAt

1010102210 PAA t

Sistema projetado a dimensão 2

110102210102 BAXAA tt

1222

BAXAA tt

110210

B

b

aA

Sistema projetado a dimensão 2

0.11

2.9

8.7

0.7

5.6

8.4

5.3

0.3

2.2

0.1

1111

28.14.02.0

10.2

18.1

16.1

14.1

12.1

10.1

18.0

16.0

14.0

12.0

1111

28.14.02.0

b

a

110102210102 BAXAA tt

0.11

2.9

8.7

0.7

5.6

8.4

5.3

0.3

2.2

0.1

1111

28.14.02.0

10.2

18.1

16.1

14.1

12.1

10.1

18.0

16.0

14.0

12.0

1111

28.14.02.0

b

a

)0.11(1...)0.1(1

)0.11)(2(...)0.1)(2.0(

)1(1...)1(1)0.2(1...)2.0(1

)1(2...)1(2.00.2...2.022

b

a

0.56

12.79

100.11

0.114.15

b

a

Método dos mínimos quadrados

Esse processo é chamado de Método dos Mínimos Quadrados.

Agora basta resolver o sistema obtido.

Resolvemos o sistema por Gauss Jordan

6.511.1

52.1703.3

6.511.1

12.790.114.15

25

610

55

29201

6.511.155

29201

25

6

55

292 xy

0.561011

12.790.114.15 :é estendidamatrix A

Os valores foram ajustados (reta)

Podemos projetar outros valores

Se precisar o valor

da tensão para outro

valor de intensidade:

Por exemplo:

𝐼 = 0.85 ⇒

E = 29255 0.85 − 6

25

E = 4.272727…

Para 𝐼 = 3.0 ⇒E = 15.687272…

n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

y

y

y

y

y

y

y

x

x

x

x

x

x

x

1

4

3

2

1

1

4

3

2

1

n

i

4

3

2

1

Sistema geral projetado

para dimensão 2:

Vejamos de forma geral.

Temos um conjunto finito

de valores de uma variável

(independente) e os valores

de uma outra (dependente)

Sistema geral projetado a dimensão 2

n

n

nn

n

n

nn

y

y

y

y

y

y

y

xxxx

b

a

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

1

5

4

3

2

1

121

1

5

4

3

2

1

121

1111

1

1

1

1

1

1

1

1111

1222

n

t

nn

t

nBAXAA

n

n

nn

n

n

nn

y

y

y

y

y

y

y

xxxx

b

a

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

1

5

4

3

2

1

121

1

5

4

3

2

1

121

1111

1

1

1

1

1

1

1

1111

)(1...)(1

))((...))((

)1(1...)1(1)(1...)(1

)1(...)1(...

1

11

1

1

22

1

n

nn

n

nn

yy

yxyx

b

a

xx

xxxx

O sistema em dimensão 2

• Observe o sistema obtido

• Isso significa que podemos resolver completando a tabela inicial com os produtos necessários e seus somatórios.

n

i

i

n

i

ii

n

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

y

yx

b

a

x

xx

1

1

11

11

2

1

n

i

ii

nn

ii

n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

x

x

x

x

x

x

x

y

y

y

y

y

y

y

x

x

x

x

x

x

x

1

44

33

22

11

1

2

2

2

4

2

3

2

2

2

1

2

1

4

3

2

1

1

4

3

2

1

n

i

i

n

i

ii

n

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

y

yx

b

a

x

xx

1

1

11

11

2

1

n

i

4

3

2

1

Posso utilizar outros polinômios?

Ajuste linear ou em Reta:•

Ajuste Quadrático ou em parábola:•

Ajuste • Polinômico:

bxay

cxbxay 2

01

1

1 ... axaxaxay n

n

n

n