View
22
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Algebra Linear II
São Cristóvão/SE2011
Danilo Felizardo BarbozaWilberclay Gonçalves Melo
Elaboração de ConteúdoDanilo Felizardo Barboza
Wilberclay Gonçalves Melo
Barboza, Danilo FelizardoB238a Álgebra linear II / Danilo Felizardo Barboza, Wilberclay Gonçalves Melo. -- São Cristóvão: Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2011.
1. Álgebra linear. 2. Cálculo vetorial. 3. Projeção ortogonal. 4. Operadores lineares. I. Melo, Wilberclay Gonçalves. II. Título.
CDU 512
Copyright © 2011, Universidade Federal de Sergipe / CESAD.Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização por escrito da UFS.
Ficha catalográFica produzida pela BiBlioteca central
universidade Federal de sergipe
Algebra Linear II
Projeto Gráfico Neverton Correia da Silva
Nycolas Menezes Melo
CapaHermeson Alves de Menezes
Presidente da RepúblicaDilma Vana Rousseff
Ministro da EducaçãoFernando Haddad
Diretor de Educação a DistânciaJoão Carlos Teatini Souza Clímaco
ReitorJosué Modesto dos Passos Subrinho
Vice-ReitorAngelo Roberto Antoniolli
Chefe de GabineteEdnalva Freire Caetano
Coordenador Geral da UAB/UFSDiretor do CESAD
Antônio Ponciano Bezerra
coordenador-adjunto da UAB/UFSVice-diretor do CESADFábio Alves dos Santos
Diretoria PedagógicaClotildes Farias de Sousa (Diretora)
Diretoria Administrativa e Financeira Edélzio Alves Costa Júnior (Diretor)Sylvia Helena de Almeida SoaresValter Siqueira Alves
Coordenação de CursosDjalma Andrade (Coordenadora)
Núcleo de Formação ContinuadaRosemeire Marcedo Costa (Coordenadora)
Núcleo de AvaliaçãoHérica dos Santos Matos (Coordenadora)
Núcleo de Tecnologia da InformaçãoJoão Eduardo Batista de Deus AnselmoMarcel da Conceição SouzaRaimundo Araujo de Almeida Júnior
Assessoria de ComunicaçãoGuilherme Borba Gouy
Coordenadores de CursoDenis Menezes (Letras Português)Eduardo Farias (Administração)Paulo Souza Rabelo (Matemática)Hélio Mario Araújo (Geografi a)Lourival Santana (História)Marcelo Macedo (Física)Silmara Pantaleão (Ciências Biológicas)
Coordenadores de TutoriaEdvan dos Santos Sousa (Física)Raquel Rosário Matos (Matemática)Ayslan Jorge Santos da Araujo (Administração)Carolina Nunes Goes (História)Viviane Costa Felicíssimo (Química)Gleise Campos Pinto Santana (Geografi a)Trícia C. P. de Sant’ana (Ciências Biológicas)Vanessa Santos Góes (Letras Português)Lívia Carvalho Santos (Presencial)Adriana Andrade da Silva (Presencial)
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECidade Universitária Prof. “José Aloísio de Campos”
Av. Marechal Rondon, s/n - Jardim Rosa ElzeCEP 49100-000 - São Cristóvão - SE
Fone(79) 2105 - 6600 - Fax(79) 2105- 6474
NÚCLEO DE MATERIAL DIDÁTICO
Hermeson Alves de Menezes (Coordenador)Marcio Roberto de Oliveira Mendonça
Neverton Correia da SilvaNycolas Menezes Melo
Sumario
1 Produto Interno e Norma de um Vetor 1
1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Definicao de Produto Interno e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Propriedades do Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Norma de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Definicao de Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Ortogonalidade e Processo de Gram-Schmidt 16
2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Angulo entre Vetores e Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Definicao de Vetores Ortogonais e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Propriedades da Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Conjuntos Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Processo de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
ii
2.4 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Complemento e Projecao Ortogonal 30
3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Complemento Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Resultado Importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.3 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 A Adjunta de um Operador Linear 40
4.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Adjunta de um Operador Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.2 Existencia e Unicidade da Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.3 Propriedades da Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.4 Matriz da Adjunta em Relacao a uma Base Ortonormal . . . . . . . . 49
4.3 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Operadores Auto-adjuntos 54
5.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii
5.2 Operadores Auto-adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2.2 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.3 Matrizes de Operadores Auto-adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.4 Teorema Espectral para Operadores Auto-adjuntos . . . . . . . . . . 58
5.3 Operadores Definidos Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4 Raiz Quadrada de Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.2 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.6 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 Operadores Ortogonais 78
6.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Operadores Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.1 Definicao e Exemplos de Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2.2 Operadores Lineares e Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.3 Definicao e Exemplos de Operadores Ortogonais . . . . . . . . . . . . 81
6.2.4 Alguns Resultados sobre Operadores Ortogonais . . . . . . . . . . . . 82
6.2.5 Matrizes de Operadores Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
iv
7 Operadores Normais 89
7.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.2 Operadores Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.2.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.2.2 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2.3 Matrizes de Operadores Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8 Formas Bilineares 97
8.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2 Formas Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2.2 Formas Bilineares Simetrica e Anti-simetrica . . . . . . . . . . . . . . 102
8.2.3 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.2.4 Matrizes de Formas Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.3 Formas Quadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3.1 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8.4 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.5 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9 Polinomio Mınimo e Operadores Nilpotentes 117
9.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.2 Polinomio Mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.2.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
v
9.3 Operadores Nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.3.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.3.2 Resultados Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.3.3 Matrizes de Operadores Nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.4 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.5 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10 Teorema da Decomposicao Primaria e Forma Canonica de Jordan 139
10.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.2 Teorema da Decomposicao Primaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.2.1 Aplicacao do Teorema da Decomposicao Primaria . . . . . . . . . . . 142
10.3 Forma Canonica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.3.1 Definicao de Forma Canonica de Jordan e Exemplos . . . . . . . . . 146
10.4 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.5 Exercıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
vi
Capıtulo 1
Produto Interno e Norma de umVetor
Curso: Licenciatura em Matematica
Professor-autor: Danilo Felizardo Barboza
Wilberclay Goncalves Melo
Disciplina: Algebra Linear II
Unidade II
Aula 1: Produto Interno e Norma de um Vetor
Meta
Estender os conceitos de produto escalar e comprimento de vetores para espacos vetoriais
arbitrarios.
1
Objetivos
Ao final desta aula, o aluno devera ser capaz de calcular o produto interno entre elementos
de um espaco vetorial bem como determinar sua norma.
Pre-requisitos
Algebra Linear I.
1.1 Introducao
Caro aluno, no curso de Vetores e Geometria Analıtica, voce estudou um produto especial
entre dois vetores de R2 (ou de R3), denominado produto escalar, que permitia introduzir a
ideia de distancia, comprimento de um vetor e angulo entre dois vetores. Nesta disciplina
estenderemos esta nocoes para um espaco vetorial arbitrario, obtendo assim uma estrutura
mais rica, denominada espaco vetorial com produto interno. Em todo o curso trabalharemos
apenas sobre o corpo dos numeros reais, fazendo algumas observacoes no caso complexo.
1.2 Definicao de Produto Interno e Exemplos
Definicao 1.1. Seja V um espaco vetorial sobre R. Dizemos que uma aplicacao 〈·, ·〉 :
V ×V −→ R, que associa dois vetores u, v ∈ V a um unico numero 〈u, v〉 real, e um produto
interno sobre V , se esta satisfaz as seguintes condicoes:
i) (Distributividade) 〈u+ w, v〉 = 〈u, v〉+ 〈w, v〉, para todos u, v, w ∈ V ;
ii) 〈λu, v〉 = λ〈u, v〉, para todos u, v ∈ V e todo λ ∈ R;
iii) (Comutatividade) 〈u, v〉 = 〈v, u〉, para todos u, v ∈ V ;
iv) (Positividade) 〈v, v〉 ≥ 0, para todo v ∈ V ;
v) 〈v, v〉 = 0 se, e somente se, v = 0.
2
Quando munimos o espaco vetorial V de um produto interno 〈·, ·〉, dizemos que V e um
espaco vetorial com produto interno 〈·, ·〉 ou que V e um espaco Euclidiano.
Obs 1.1 (Produto Interno sobre C). Poderıamos ter definido produto interno num espaco
vetorial V sobre C (conjunto dos numeros complexos), chamado produto interno Hermitiano,
como sendo uma aplicacao 〈·, ·〉 : V × V −→ C que verifica os itens i), ii), iv) e v), mas ao
inves do item iii), obtemos a veracidade de
iii’) 〈u, v〉 = 〈v, u〉, para todos u, v ∈ V , onde 〈v, u〉 significa o conjugado do numero
complexo 〈v, u〉.
Exemplo 1.1. Seja V = R2 o espaco vetorial com a adicao de vetores e multiplicacao por
escalar usuais, ou seja, (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) e λ(x1, x2) = (λx1, λx2), para
todo λ ∈ R. Defina 〈·, ·〉 : R2 × R2 −→ R por 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 := x1y1 + x2y2. Afirmamos
que 〈·, ·〉 e um produto interno sobre R2 (dito produto interno canonico de R2). Com efeito,
sejam u = (x1, x2), v = (y1, y2), w = (z1, z2) ∈ R2 e λ ∈ R, entao
i) 〈u+ w, v〉 = 〈(x1, x2) + (z1, z2), (y1, y2)〉
= 〈(x1 + z1, x2 + z2), (y1, y2)〉 (definicao de adicao)
= (x1 + z1)y1 + (x2 + z2)y2 (definicao de produto interno)
= x1y1 + z1y1 + x2y2 + z2y2 (distributividade em R)
= (x1y1 + x2y2) + (z1y1 + +z2y2) (associatividade da adicao emR)
= 〈(x1, x2), (y1, y2)〉+ 〈(z1, z2), (y1, y2)〉 (definicao de produto interno)
= 〈u, v〉+ 〈w, v〉.
Na verificacao das demais propriedades que compoem a definicao de produto interno justifi-
que cada passagem, conforme item anterior.
ii) 〈λu, v〉 = 〈λ(x1, x2), (y1, y2)〉
= 〈(λx1, λx2), (y1, y2)〉
= (λx1)y1 + (λx2)y2
= λ(x1y1 + x2y2)
= λ〈(x1, x2), (y1, y2)〉
= λ〈u, v〉,
3
iii) 〈u, v〉 = 〈(x1, x2), (y1, y2)〉
= x1y1 + x2y2 = y1x1 + y2x2
= 〈(y1, y2), (x1, x2)〉
= 〈v, u〉,
iv) 〈v, v〉 = 〈(y1, y2), (y1, y2)〉
= y1y1 + y2y2
= y21 + y22 ≥ 0
v) 〈v, v〉 = 0
⇔ y21 + y22 = 0
⇔ y1, y2 = 0
⇔ v = (y1, y2) = (0, 0) = 0.
Em particular, 〈(1, 0), (1,−1)〉 = 1 · 1 + 0(−1) = 1 e 〈(1, 0), (0, 1)〉 = 1 · 0 + 0 · 1 = 0.
Exemplo 1.2. Podemos generalizar o resultado anterior para o espaco vetorial
V = Rn = {(x1, x2, ..., xn) : xi ∈ R, i = 1, · · · , n}
com adicao de vetores e multiplicacao por escalar usuais, isto e,
(x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn)
e
λ(x1, x2, ..., xn) = (λx1, λx2, ..., λxn),
para todo λ ∈ R. Defina 〈·, ·〉 : Rn × Rn −→ R por
〈(x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn)〉 = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn.
Seguindo os mesmos passos do Exemplo 1.1 e possıvel provar que 〈·, ·〉 e um produto interno
sobre Rn (chamado produto interno canonico de Rn). Em particular,
〈(1, 0, ..., 0, 2), (1, 0, ..., 0,−1)〉 = 1 · 1 + 0 · 0 + ...0 + +2(−1) = −1.
4
Exemplo 1.3. Seja V = C([a, b]) o espaco vetorial das funcoes reais contınuas em [a, b] com
as operacoes de adicao de vetores e multiplicacao por escalar usuais, ou seja,
(f + g)(t) = f(t) + g(t) e (λf)(t) = λf(t),
para todo t ∈ [a, b] e λ ∈ R. Defina a seguinte aplicacao
〈f, g〉 =
∫ b
a
f(t)g(t)dt,
onde f, g ∈ V (este e o produto interno canonico de C([a, b])). Vamos provar que 〈·, ·〉 e um
produto interno. De fato, se f, g, h ∈ C([a, b]) e λ ∈ R, entao
i)〈f + g, h〉 =
∫ b
a
[f + g](t)h(t)dt
=
∫ b
a
[f(t) + g(t)]h(t)dt
=
∫ b
a
[f(t)h(t) + g(t)h(t)]dt
=
∫ b
a
f(t)h(t)dt+
∫ b
a
g(t)h(t)dt
= 〈f, h〉+ 〈g, h〉.
ii) 〈λf, h〉 :=
∫ b
a
(λf)(t)h(t)dt =
∫ b
a
λf(t)h(t)dt = λ
∫ b
a
f(t)h(t)dt =: λ〈f, h〉.
iii) 〈f, h〉 :=
∫ b
a
f(t)h(t)dt =
∫ b
a
h(t)f(t)dt =: 〈h, f〉.
iv) 〈f, f〉 :=
∫ b
a
f(t)f(t)dt =
∫ b
a
f(t)2dt ≥ 0.
v) 〈f, f〉 = 0 se, e somente se,∫ baf(t)2dt = 0. Mas isto implica que f(t) = 0, para todo
t ∈ [a, b]. Logo, f ≡ 0. (ver item iv)) Aqui utilizamos o seguinte resultado para integrais:
Se ϕ e uma funcao contınua com ϕ(t) ≥ 0, para todo t ∈ [a, b] e
∫ b
a
ϕ(t)dt = 0, entao ϕ ≡ 0.
Em particular, se f(t) = t e g(t) = 1, para todo t ∈ [0, 1], entao
〈f, g〉 :=
∫ 1
0
f(t)g(t)dt =
∫ 1
0
t · 1dt =
∫ 1
0
tdt =t2
2
∣∣∣10
=1
2.
5
Obs 1.2. Quando nada for dito sobre o produto interno, estaremos usando o produto interno
canonico dos espacos vetoriais exemplificados acima.
Exemplo 1.4. Seja V = M(2 × 2,R) o espaco vetorial das matrizes 2 × 2 com entradas
reais. Entao definimos sobre V um produto interno por
〈A,B〉 = tr(BtA),
onde A,B ∈ V . Recorde que o traco de uma matriz quadrada M, denotado por tr(M), e a
soma dos elementos da diagonal principal da matriz M. Convidamos o aluno a verificar que,
de fato, esta funcao satisfaz a definicao de produto interno.
Exemplo 1.5. Seja V = R2 o espaco vetorial com adicao de vetores e multiplicacao por
escalar usuais. Defina 〈·, ·〉 : R2 × R2 −→ R por 〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = −2x1y1 + x2y2. Afir-
mamos que 〈·, ·〉 nao e um produto interno sobre R2. Com efeito, para v = (1, 0) ∈ R2,
temos que 〈v, v〉 = 〈(1, 0), (1, 0)〉 := (−2)1 · 1 + 0 · 0 = −2 < 0, e isto contradiz o item iv) da
Definicao 1.1.
Obs 1.3. Podemos definir varios produtos internos sobre um espaco vetorial. Por exemplo,
sobre R2 poderıamos definir 〈(a, b), (b, c)〉 = ac+ bc+ ad+ 3bd. Verifique!
1.2.1 Propriedades do Produto Interno
Vejamos algumas propriedades do produto interno que decorrem imediatamente de sua de-
finicao.
Proposicao 1.1. Seja V um espaco vetorial sobre R com produto interno 〈·, ·〉. Entao as
seguintes afirmacoes sao verdadeiras:
i) 〈u, λv〉 = λ〈u, v〉, para todos u, v ∈ V e todo λ ∈ R;
ii) 〈0, v〉 = 〈v,0〉 = 0, para todo v ∈ V ;
iii) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈v, w〉, para todos u, v, w ∈ V ;
iv) Se 〈u, v〉 = 0, para todo v ∈ V , entao u = 0.
6
Demonstracao. Sejam u, v ∈ V . Entao 〈u, λv〉 = 〈λv, u〉 = λ〈v, u〉 = λ〈u, v〉, onde nestas
igualdades utilizamos os itens iii), ii), iii), da Definicao 1.1, respectivamente. Isto prova
o item i). Agora, mostremos que o item ii) e verdadeiro. De fato, usando o item i) e a
comutatividade da Definicao 1.1, obtemos 〈0, v〉 = 〈v,0〉 = 〈v, 0 ·0〉 = 0〈v,0〉 = 0, para todo
v ∈ V, onde 0 ∈ R e o numero zero e 0 ∈ V e o vetor nulo de V .
Vejamos a demonstracao do item iii). Sejam u, v, w ∈ V , entao
〈u, v + w〉 = 〈v + w, u〉 = 〈v, u〉+ 〈w, u〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉,
aqui usamos os itens iii), i), iii), da Definicao 1.1, respectivamente. Por fim, verifiquemos
o item iv). Se 〈u, v〉 = 0, para todo v ∈ V , entao 〈u, u〉 = 0 (basta considerar v = u).
Utilizando a Definicao 1.1, item v), obtemos que u = 0. Isto conclui a demonstracao.
Obs 1.4 (Propriedades em C). Os itens ii), iii) e iv) da Proposicao 1.1 continuam sendo
validos em espacos vetoriais com produto interno sobre C, mas o item i) tem uma significante
modificacao:
〈u, λv〉 = λ〈u, v〉,
para todos u, v ∈ V e todo λ ∈ C. Pense nisso!!!
Exercıcios de Fixacao
1. Considerando o espaco vetorial R3, calcular 〈u, v〉 nos seguintes casos
i) u = (12, 2, 1) e v = (4, 1,−3);
ii) u = (2, 1, 0) e v = (4, 0, 2);
iii) u = (1, 1, 1) e v = (2,−1, 5).
2. Usando o produto interno canonico de C([0, 1]) no espaco vetorial formado por polinomios
de grau menor que ou igual a 2. Determine o produto escalar de:
i) f(t) = t e g(t) = 1− t2;
ii) f(t) = t− 12
e g(t) = 12−(t− 1
2
).
3. Seja V um espaco vetorial e defina 〈u, v〉 = 0, para todos u, v ∈ V. Prove que 〈·, ·〉 e um
produto interno em V .
7
4. Seja V = R2. Sendo u = (1, 2) e v = (−1, 1) ∈ R2, determine um vetor w deste espaco
tal que 〈u,w〉 = −1 e 〈v, w〉 = 3.
5. Sendo u = (x1, x2) e v = (y1, y2) ∈ R2, definamos
〈u, v〉 :=x1y1a2
+x2y2b2
,
com a, b ∈ R fixos e nao-nulos. Prove que 〈·, ·〉 e um produto interno.
6. Sejam u = (x1, x2) e v = (y1, y2) ∈ R2. Para quais valores de t ∈ R a funcao dada por
〈u, v〉 := x1y1 + tx2y2 e um produto interno em R2.
7. Sejam f(t) = a0 + a1t + a2t2 + ... + ant
n e g(t) = b0 + b1t + b2t2 + ... + bnt
n polinomios.
Defina 〈f, g〉 = a0b0 + a1b1 + ...+ anbn. 〈·, ·〉. Isto e um produto interno?
8. Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Entao (u, v) := λ〈u, v〉, λ ∈ R e
u, v ∈ V , e um produto interno sobre V ?
1.3 Norma de um Vetor
Agora, estenderemos o conceito de comprimento de um vetor, como visto no curso de Vetores
e Geometria Analıtica para R2 e R3, para um espaco vetorial abstrato.
1.3.1 Definicao de Norma
Definicao 1.2 (Norma). Seja V um espaco vetorial. Uma aplicacao ‖ · ‖ : V → R que
satisfaz
i) ‖v‖ ≥ 0, para todo v ∈ V e ‖v‖ = 0 se, e somente se, v = 0;
ii) ‖λv‖ = |λ|‖v‖, para todo v ∈ V e todo λ ∈ R;
iii) (Desigualdade Triangular) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖, para todos u, v ∈ V ,
e chamada norma sobre V . Quando munimos um espaco vetorial V de uma norma, dizemos
que V e um espaco normado.
8
Proposicao 1.2 (Norma sobre um Espaco Euclidiano). Seja V um espaco vetorial com
produto interno 〈·, ·〉. Entao a aplicacao ‖ · ‖ : V → R, definida por ‖v‖ :=√〈v, v〉, e uma
norma sobre V. Neste caso, dizemos que a norma ‖ · ‖ provem do produto interno 〈·, ·〉.
Demonstracao. Verificaremos as condicoes estabelecidas Definicao 1.2.
i) Seja v 6= 0. Entao, 〈v, v〉 > 0, pela Definicao 1.1. Logo, ‖v‖ =√〈v, v〉 > 0.
ii) Sejam v ∈ V e λ ∈ R. Entao, utilizamos a Definicao 1.1 para concluırmos que
‖λv‖ =√〈λv, λv〉 =
√λ2〈v, v〉 =
√λ2√〈v, v〉 = |λ|
√〈v, v〉 = |λ|‖v‖.
iii) Vamos provar a desigualdade triangular. Note que
‖u+ v‖2 = 〈u+ v, u+ v〉
= 〈u, u〉+ 2〈u, v〉+ 〈v, v〉
= ‖u‖2 + 2〈u, v〉+ ‖v‖2
≤ ‖u‖2 + 2|〈u, v〉|+ ‖v‖2
≤ ‖u‖2 + 2‖u‖‖v‖+ ‖v‖2
= (‖u‖+ ‖v‖)2,
onde na ultima desigualdade usamos o Teorema 1.1. Logo, pelo item i), ‖u+v‖ ≤ ‖u‖+‖v‖,para todo u, v ∈ V.
Em particular, temos os seguintes exemplos de espacos normados.
Exemplo 1.6 (Norma sobre R2). Seja V = R2 conforme o exemplo 1.1. Assim, ‖·‖ : R2 → R,
dada por ‖(x, y)‖ =√〈(x, y), (x, y)〉 =
√x2 + y2 e uma norma.
Exemplo 1.7 (Norma em Rn). Seja V = Rn conforme exemplo 1.2. Assim, ‖ · ‖ : Rn → R,
definida por
‖(x1, x2, ..., xn)‖ =√〈(x1, x2, ..., xn), (x1, x2, ..., xn)〉 =
√x21 + x22 + ...+ x2n.
e uma norma
Exemplo 1.8 (Norma de funcoes contınuas). Seja V = C([a, b]) conforme o exemplo 1.3.
Logo, ‖ · ‖ : C([a, b])→ R, dada por ‖f‖ =√〈f, f〉 =
(∫ b
a
[f(t)]2dt
)1/2
, e uma norma.
9
Exemplo 1.9 (Nao-Norma). Seja V = R2. Defina ‖ · ‖ : R2 → R por ‖(x, y)‖ = x2 + y2.
Entao ‖ · ‖ nao e uma norma. Basta observar que ‖2(1, 0)‖ = ‖(2, 0)‖ = 22 + 02 = 4 e, por
outro lado, |2|‖(1, 0)‖ = 2‖(1, 0)‖ = 2(12 + 02) = 2, de forma que ‖2(1, 0)‖ 6= |2|‖(1, 0)‖. Isto
contradiz o item ii) da Definicao 1.2.
Definicao 1.3 (Vetor Unitario). Seja V um espaco vetorial normado. Dizemos que um vetor
v ∈ V e unitario se ‖v‖ = 1.
Podemos transformar qualquer vetor nao-nulo v ∈ V em um vetor unitario. Basta
escolher u =v
‖v‖. Para verificar a veracidade deste fato, basta utilizar o item ii) da Definicao
1.2 e obter ‖u‖ =∥∥∥ v‖v‖
∥∥∥ =∣∣∣ 1‖v‖
∣∣∣ ‖v‖ = 1‖v‖‖v‖ = 1. Em particular, temos os seguintes
exemplos.
Exemplo 1.10. Desde que ‖(1, 0)‖ =√
12 + 02 = 1 e ‖(1, 1)‖ =√
12 + 12 =√
2, temos
que (1, 0) e um vetor unitario e (1, 1) nao. Para transformar (1, 1) em vetor unitario, basta
realizar o seguinte processo (1,1)‖(1,1)‖ = (1,1)√
2=(
1√2, 1√
2
).
Exemplo 1.11. Seja V = C([0, 1]) e sejam f(t) = 1 e g(t) = t. Desde que
‖f‖ =
(∫ 1
0
[f(t)]2dt
)1/2
=
(∫ 1
0
1dt
)1/2
= 1
e
‖g‖ =
(∫ 1
0
[g(t)]2dt
)1/2
=
(∫ 1
0
t2dt
)1/2
=1√3,
segue que f e um vetor unitario e g nao. Usando a observacao acima, obtemos o vetor
unitariog
‖g‖=
t1√3
=√
3t.
Teorema 1.1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz). Seja V um espaco vetorial com produto
interno 〈·, ·〉. Entao |〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖, para todos u, v ∈ V , onde ‖u‖ :=√〈u, u〉.
Demonstracao. Utilizaremos na demonstracao deste Teorema uma ferramenta auxiliar. De-
fina f : R → R por f(x) = ‖u − xv‖2. Observe que f(x) ≥ 0. Por outro lado, usando a
definicao da aplicacao ‖ · ‖, obtemos
f(x) = ‖u−xv‖2 = 〈u−xv, u−xv〉 = 〈u, u〉− 2x〈u, v〉+x2‖v‖2 = ‖u‖2− 2x〈u, v〉+x2‖v‖2.
10
Logo, ‖u‖2 − 2x〈u, v〉 + x2‖v‖2 ≥ 0. Note que o grafico de f e uma parabola, a qual esta
acima do eixo das abscissas (o vertice desta parabola pode tocar tal eixo). Portanto, impomos
que ∆ = 4〈u, v〉2 − 4‖u‖2‖v‖2 ≤ 0 (discriminante). Ou seja, 〈u, v〉2 ≤ ‖u‖2‖v‖2. Por fim,
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖ (aqui usamos√a2 = |a|). O Teorema esta provado.
Obs 1.5. A desigualdade de Cauchy-Schwarz e valida para espacos vetoriais com produto
interno Hermitiano. Voce aluno esta convidado a provar esta afirmacao. Sugestao: Use
y = x〈u, v〉 no lugar de x.
Exemplo 1.12. Seja V = C([0, 1]) com o produto interno canonico, definido no exemplo
1.3. Podemos mostrar que
(∫ 1
0
f(t)g(t)dt
)2
≤(∫ 1
0
[f(t)]2dt
)(∫ 1
0
[g(t)]2dt
). Com efeito,
pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos que |〈f, g〉| ≤ ‖f‖‖g‖, para todos f, g ∈ V .
Com isso, 〈f, g〉2 ≤ ‖f‖2‖g‖2. Usando as definicoes de 〈·, ·〉 e ‖ · ‖, encontramos o resultado
desejado.
Exercıcios de Fixacao
1. Sejam u, v ∈ V , onde V e um espaco vetorial com produto interno. Se ‖v‖, ‖u‖ = 1, e
‖u− v‖ = 2, determine 〈u, v〉, onde ‖‖ e a norma que provem do produto interno.
2. Seja V um espaco vetorial formado pelos polinomios de grau menor que ou igual a 2
com o produto interno interno canonico para C([0, 1]). Calcular ‖f(t)‖ (‖ · ‖ e a norma que
provem do produto interno) nos seguintes casos:
i) f(t) = t;
ii) f(t) = −t2 + 1.
3. Num espaco vetorial com produto interno provar que
i) ‖u‖ = ‖v‖ ⇔ 〈u+ v, u− v〉 = 0;
ii) ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 se, e somente se, 〈u, v〉 = 0.
4. Sejam u = (x1, x2) e v = (y1, y2) ∈ R2.
i) Mostrar que 〈u, v〉 := x1y1 − 2x1y2 − 2x2y1 + 5x2y2 define um produto interno sobre R2;
ii) Determinar a norma de u = (1, 2) em relacao ao produto interno usual e tambem em
relacao ao produto definido em i).
11
5. Considere o espaco R3. Determinar a ∈ R de maneira que ‖u‖ =√
41, onde u = (6, a,−1)
e ‖ · ‖ e a norma que provem do produto interno canonico.
6. Prove que a igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz e valida se, e somente se, os
vetores linearmente dependentes.
7. Sejam u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 2) ∈ R3. Determinar os vetores w ∈ R3 tais que ‖w‖ = 1 e
〈u,w〉 = 〈v, w〉 = 0.
8. Sejam u = (1, 2, 0, 1) e v = (3, 1, 4, 2) ∈ R4. Determinar 〈u, v〉, ‖u‖ e ‖v‖, onde ‖ · ‖provem do produto interno canonico de R4.
9. Sabendo que ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 5, com u e v elementos de um espaco vetorial com produto
interno, determine t ∈ R de maneira que 〈u+ tv, u− tv〉 = 0.
1.4 Conclusao
Concluımos que num espaco vetorial com produto interno ha modos eficientes de manipular
seus elementos e possibilitando definir comprimentos e distancias.
1.5 Exercıcios Propostos
1. Encontre um produto interno sobre R2 tal que 〈(1, 0), (0, 1)〉 = 2.
2. Defina 〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = 2x1x2 − x1y2 − x2y1 + 2y1y2. Mostre que este e um produto
interno sobre R2.
3. Seja V um espaco vetorial sobre R. Sejam 〈·, ·〉1, 〈·, ·〉2 dois produtos internos sobre V.
Defina 〈·, ·〉3 = 〈·, ·〉1 + 〈·, ·〉2 e 〈·, ·〉4 = λ〈·, ·〉1, onde λ > 0. Prove que 〈·, ·〉3 e 〈·, ·〉4 sao
produtos internos sobre V. Agora, 〈·, ·〉5 = 〈·, ·〉1−〈·, ·〉2 define um produto interno sobre V ?
4. Seja 〈·, ·〉 o produto interno canonico de R2.
i) Sejam u = (1, 2) e v = (−1, 1). Se w e um vetor tal que 〈u,w〉 = −1 e 〈v, w〉 = 3, encontre
w;
ii) Mostre que para qualquer vetor v ∈ R2, temos v = 〈v, (1, 0)〉(1, 0) + 〈v, (0, 1)〉(0, 1).
5. Seja 〈·, ·〉 o produto interno canonico de R2 e seja T : R2 → R2 dado por T (x, y) = (−y, x).
Mostre que 〈(x, y), T (x, y)〉 = 0, para todo (x, y) ∈ R2. Encontre todos os produtos internos
sobre R2 que satisfazem esta mesma propriedade.
12
6. Seja A uma matriz 2 × 2 com entradas reais. Para X, Y matrizes 2 × 1 defina a funcao
〈X, Y 〉A := Y tAX, onde Y t e a transposta de Y. Mostre que 〈·, ·〉A e um produto interno
sobre o espaco das matrizes 2 × 1 se, e somente se, A = At, A11, A22, det(A) > 0, onde
A = (Aij).
7. Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Considere sobre V a norma que
provem do produto interno. Prove a seguinte identidade de polarizacao:
〈u, v〉 =1
4‖u+ v‖2 − 1
4‖u− v‖2,
para todo u, v ∈ V.
8. Seja V um espaco com produto interno 〈·, ·〉. A distancia entre os vetores u e v em V e
dada por d(u, v) := ‖u− v‖. Mostre que:
i) d(u, v) ≥ 0;
ii) d(u, v) = 0 se, e somente se, u = v;
iii) d(u, v) = d(v, u);
iv) d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v).
9. Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Sejam u, v ∈ V . Mostre que u = v
se, e somente se, 〈u,w〉 = 〈v, w〉, para todo w ∈ V.
10. Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Seja U um espaco vetorial. Seja
T : U → V uma transformacao linear injetora. Mostre que 〈x, y〉U := 〈T (x), T (y)〉V e um
produto interno sobre U. Conclua que qualquer espaco vetorial com dimensao finita possui
um produto interno. Sugestao: Crie um isomorfismo entre um espaco vetorial de dimensao
n e Rn.
11. Seja V um espaco vetorial com dimensao finita. Seja β = {v1, v2, ..., vn}. Seja 〈·, ·〉 um
produto interno sobre V. Sejam λ1, λ2, ..., λn ∈ R. Mostre que existe exatamente um vetor
v ∈ V tal que 〈v, vi〉 = λi, para todo i = 1, 2, ..., n.
12. Seja V um espaco vetorial com produto interno 〈·, ·〉. Considere sobre V a norma que
provem do produto interno. Prove a seguinte lei do paralelogramo
‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2),
para todo u, v ∈ V.
13
13. Use a Desigualdade de Cauchy-Schwarz em R3 para mostrar que, dados os numeros reais
estritamente positivos x1, x2, x3, vale a desigualdade:
(x1 + x2 + x3) ·(
1
x1+
1
x2+
1
x3
)≥ 9.
Proxima Aula
Na sequencia ampliaremos a nocao de angulo entre vetores e a importancia de se ter conjuntos
nos quais seus elementos sao dois a dois perpendiculares. Utilizaremos um processo para
construir tais conjuntos.
14
Referencias Bibliograficas
[1] BUENO, H. P., Algebra Linear - Um Segundo Curso, Primeira Edicao, Rio de Janeiro,
SBM, 2006.
[2] CALLIOLI, C. A., DOMINGUES, H. H.,COSTA, R. C. F. Algebra Linear e
Aplicacoes, Sexta Edicao, Sao Paulo, Editora Atual, 1995.
[3] COELHO, F. O., LOURENCO, M. L., Um Curso de Algebra Linear, Edicao 2001,
Sao Paulo, EdusP, 2004.
[4] HOFFMAN, K., KUNZE, R., Linear Algebra, Second Edition, New Jersey, Prentice-
Hall, Inc., Englewood Cliffs, 1971.
[5] LANG, S., Algebra Linear, Primeira Edicao, New York, Ed. ciencia Moderna, 2003.
[6] LIPSCHUTZ, S., Algebra Linear, Terceira Edicao, Sao Paulo, Schaum McGraw-Hill
Makron Books, 1994.
[7] SILVA, A., Introducao a Algebra, Primeira Edicao, Editora Universitaria UFPB, Joao
Pessoa, 2007.
Professor Revisor
Professor Paulo de Souza Rabelo.
15
Recommended