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Álgebra Linear III
Prof. Christina Waga Prof. Regina Freitas
Versão 08
i
ÍNDICE MATRIZES
Definição 1Igualdade 2Matrizes Especiais 2Operações com Matrizes 3Classificação de Matrizes Quadradas 9Operações Elementares 11Matriz Equivalente por Linha 11Matriz na Forma Escalonada 11Aplicações de Operações Elementares 12Exercícios 15Respostas 18Apêndice A – Determinante 19
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Definição 24Matrizes Associadas a um Sistema Linear 24Classificação de Sistemas 25Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana 25Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2 26Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 28Sistema Homogêneo 37Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes 38Exercícios 39Respostas 40
ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA
Definição 41Subespaço Vetorial 42Combinação Linear 43Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador 44Vetores Linearmente Independentes e Dependentes 45Base e Dimensão de um Espaço Vetorial 46Operações com Subespaços Vetoriais 47Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada 49Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base 50Exercícios 51Respostas 54Apêndice B – Teoremas 55
ii
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Transformação Linear 58Operadores Lineares no Espaço Vetorial R2 59Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear 62Transformação Linear Injetora 64Transformação Linear Sobrejetora 64Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo 65Matriz Associada a uma Transformação Linear 66Operações com Transformações Lineares 68Exercícios 69Respostas 73Apêndice C – Teoremas 74
PRODUTO INTERNO
Definição 76Norma de um Vetor 76Distância entre dois Vetores 77Ângulo entre dois Vetores 77Ortogonalidade 77Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt. Projeção de um Vetor sobre um Subespaço. 77Complemento Ortogonal 80Exercícios 81Respostas 83Apêndice D – Teoremas 84 AUTOVALORES E AUTOVETORES
Definição 86Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços 87Multiplicidade de Autovalores 89Diagonalização de Operadores Lineares 90Exercícios 91Respostas 91Apêndice E – Teoremas 92
ESPAÇOS VETORIAS COM PRODUTO INTERNO E OPERADORES LINEARES
Operador Adjunto 93Operador Auto-Adjunto 93Operador Ortogonal 93Operador Normal 93Exercícios 94Apêndice F – Teoremas 95
BIBLIOGRAFIA 96GLOSSÁRIO 97
1
MATRIZES
Definição Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos.
=
mnmm
n
n
a...aa............
a...aaa...aa
A
21
22221
11211
Notação: nmijaA ×= )( com njmi ,...,2,1 e ,...,2,1 ==
ija - elemento genérico da matriz A i - índice que representa a linha do elemento ija j - índice que representa a coluna do elemento ija
nm × - ordem da matriz. Lê-se “m por n”.
Representações: ( )=A [ ]=A =A Exemplos: 1) A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz 88× .
2) A matriz 32)( ×= ijaA onde jiaij += 2 é 2 3 45 6 7
.
3) A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as cidades indicadas:
cidade A cidade B cidade C cidade D
010362704957103603572124427043572063895712446380
Dcidade
C cidade
Bcidade
A cidade
Esta é uma matriz 44 × (quatro por quatro). 4) A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção de roupa feminina
distribuída nas três lojas encarregadas da venda. shorts blusas saias jeans
2570120306001007040258050
IIIloja IIloja Iloja
Esta é uma matriz 43× (três por quatro) pois seus elementos estão dispostos em 3 linhas e 4 colunas.
2
Igualdade Duas matrizes de mesma ordem nmijaA ×= )( e nmijbB ×= )( são iguais quando ijij ba = para todo
mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . Matrizes Especiais 1. Matriz Linha
Uma matriz A é denominada matriz linha quando possuir uma única linha. Notação: nijaA ×= 1)(
Exemplo: ( ) 31438 ×−
2. Matriz Coluna Uma matriz A é denominada matriz coluna quando possuir uma só coluna. Notação: 1)( ×= mijaA
Exemplo:
13193
×
3. Matriz Nula
Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é, 0=ija para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= .
Notação: nm×0
Exemplo: 32000
000
×
4. Matriz Quadrada
Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto é, nm = .
Notação:
== ×
nnnn
n
n
nnij
aaa
aaaaaa
aA
...............
...
...
)(
21
22221
11211
Diagonal Principal: são os elementos da matriz A onde ji = para todo nji ,...,2,1, = . Diagonal Secundária: são os elementos da matriz A onde 1+=+ nji para todo nji ,...,2,1, = . Traço: é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz A, denotado por trA.
nn
n
kkk aaaatrA +++==∑
=
...22111
Exemplo:
−
=
×9110075432
33
A
Elementos da diagonal principal: 2, 7 e 9. Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10.
18972 =++=trA
3
5. Matriz Diagonal
Uma matriz quadrada A é chamada de matriz diagonal quando todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, isto é, 0=ija quando ji ≠ para todo nji ,...,2,1, = .
Exemplo:
33300010002
×
6. Matriz Identidade
Uma matriz diagonal A é chamada de matriz identidade quando os elementos da diagonal principal forem todos iguais a um. Notação: nI
Exemplo: 22
2 1001
×
=I
7. Matriz Triangular Superior
Uma matriz quadrada A é uma matriz triangular superior quando os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, 0=ija quando ji > para todo nji ,...,2,1, = .
Exemplo:
−−
×2000010076504321
44
8. Matriz Triangular Inferior
Uma matriz quadrada A é chamada de matriz triangular inferior quando os elementos acima da diagonal principal são nulos, isto é, 0=ija quando ji < para todo nji ,...,2,1, = .
Exemplo:
−×
037084001
33
Operações com Matrizes 1. Adição
Sejam nmijaA ×= )( e nmijbB ×= )( matrizes de mesma ordem, define-se a matriz soma BAC += tal que nmijcC ×= )( e ijijij bac += para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= .
Exemplos:
1) Sejam
−=
435121
A e
−
−=
55,045,270
B .
Então
−=
++−+−−+
=+95,315,151
545,03455,217201
BA .
4
2) Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos relativos à compra e
transporte de quantidades específicas da substância necessárias para a sua elaboração, adquiridas em dois fornecedores distintos são dados (em reais) respectivamente pelas seguintes matrizes.
preço custo preço custo compra transporte compra transporte
25812
153
C substância Bsubstância
A substância
539986
C substância Bsubstância
A substância
Fornecedor 1 Fornecedor 2 A matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das substâncias A, B e C é dada por:
781721239
Propriedades da Operação de Adição A1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de mesma ordem, )()( CBACBA ++=++ .
A2. Comutativa: para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, ABBA +=+ .
Dem.: Considere matrizes de ordem nm × , CBA =+ e DAB =+ . ijijijijijij dabbac =+=+= para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= .
Assim, DC = . Logo, a operação de adição é comutativa.
A3. Elemento Neutro: para toda matriz A, AAA nmnm =+=+ ×× 00 .
A4. Elemento Simétrico:para toda matriz A de ordem nm × existe uma matriz S de mesma ordem tal que nmASSA ×=+=+ 0 . Sendo nmijaA ×= )( tem-se nmijnmij asS ×× −== )()( . Notação: AS −=
Assim, nmAAAA ×=+−=−+ 0)()( . Além disso, BABA −=−+ )( .
A5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, trBtrABAtr +=+ )( .
Dem: Considere as matrizes de ordem n. )()()...()...()(...)()( 11111111 BtrAtrbbaababaBAtr nnnnnnnn +=+++++=++++=+
5
2. Multiplicação por Escalar Sejam nmijaA ×= )( uma matriz e R∈k um escalar, define-se a matriz produto por escalar AkB ⋅= tal que nmijbB ×= )( e ijij akb ⋅= para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . Exemplos:
1) Sejam 3 e 715301
−=
−−= kA .
Então
−−−
=
−−−−−−
−−=⋅−
21315903
7).3()1).(3()5).(3(3).3(
0).3(1).3()3( A
2) O quadro abaixo mostra a produção de trigo, cevada, milho e arroz em três regiões, em uma determinada época do ano.
TRIGO CEVADA MILHO ARROZ
REGIÃO I 1200 800 500 700 REGIÃO II 600 300 700 900 REGIÃO III 1000 1100 200 450
Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo período do próximo ano seja duplicada. A matriz que representa a estimativa de produção para o próximo ano é:
900400220020001800140060012001400100016002400
Propriedades da Operação de Multiplicação por Escalar E1. Para toda matriz A e para quaisquer escalares R∈21 , kk , AkAkAkk ⋅+⋅=⋅+ 2121 )( . E2. Para toda matriz A e para quaisquer escalares R∈21 , kk , )()( 2121 AkkAkk ⋅⋅=⋅⋅ . E3. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar R∈k ,
BkAkBAk ⋅+⋅=+⋅ )( . Dem.: Considere matrizes de ordem nm × , DCkBAk =⋅=+⋅ )( e GFEBkAk =+=⋅+⋅ .
ijijijijijijijijij gfebkakbakckd =+=⋅+⋅=+⋅=⋅= )( , para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= . Assim, GD = . Logo, vale a propriedade.
E4. Para toda matriz A de ordem nm × , nmA ×=⋅ 00 . E5. Para toda matriz A de ordem nm × , AA =⋅1 . E6. Para toda matriz quadrada A e para todo trAkAktrk ⋅=⋅∈ )(,R .
6
3. Multiplicação Sejam as matrizes pmijaA ×= )( e npijbB ×= )( , define-se a matriz produto BAC ⋅= tal que
nmijcC ×= )( e ∑=
⋅=p
kkjikij bac
1
, isto é, pjipjijiij bababac ⋅++⋅+⋅= ...2211 para todo mi ,...,2,1= e
para todo nj ,...,2,1= . Exemplos:
1) Sejam
−=
411201
A e
−
=101132
B .
Então
−+−+−+−−+++−+++
=⋅)1.(41).1(0.43).1(1.42).1(
)1.(11.20.13.21.12.2)1.(01.10.03.11.02.1
BA
−−=
532165132
Observe que 333223 )( e )( , )( ××× === ijijij cCbBaA .
2) A matriz abaixo nos fornece as quantidades de vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II.
A B C
105034
II alimentoI alimento
Ao serem ingeridas 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II a quantidade consumida de cada tipo de vitamina é dada por:
( ) ( ) ( )21530120502355245105034
25 =⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=
⋅
Serão consumidas 30 unidades de vitamina A, 15 unidades de vitamina B e 2 unidades de vitamina C.
Propriedades da Operação de Multiplicação M1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de ordens nllppm ××× e , , respectivamente,
)()( CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ . Dem.: Considere ECDCBA =⋅=⋅⋅ )( e GFACBA =⋅=⋅⋅ )( .
=⋅⋅=⋅= ∑ ∑∑= ==
l
kkj
p
ttkit
l
kkjikij cbacde
1 11
)(
ljpliplijpipijpipi cbabacbabacbaba )...(...)...()...( 112212111111 +++++++++=
ljplipljlijpipjijpipji cbacbacbacbacbacba +++++++++= ............ 11222121111111 )...(...)...( 221112121111 ljpljpjpipljljji cbcbcbacbcbcba ++++++++=
ij
p
ttjit
p
t
l
kkjtkit gfacba =⋅=⋅⋅= ∑∑ ∑
== = 11 1
)( para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= .
Assim, GE = . Logo, vale a propriedade associativa para multiplicação de matrizes.
7
M2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: para quaisquer matrizes A e B de ordem
pm × , para toda matriz C de ordem np × e para toda matriz D de ordem ml × , CBCACBA ⋅+⋅=⋅+ )( e BDADBAD ⋅+⋅=+⋅ )( .
M3. Elemento Neutro: para toda matriz quadrada A de ordem n, AAIIA nn =⋅=⋅ M4. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, )()( ABtrBAtr ⋅=⋅ . M5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem e para todo R∈k ,
)()()( BkABAkBAk ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ M6. Para toda matriz quadrada A de ordem n, nnnnnn AA ××× =⋅= 000.
Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de multiplicação. Assim, ABBA ⋅≠⋅ . Quando ABBA ⋅=⋅ , diz-se que A e B são matrizes comutáveis, ou ainda que A e B são matrizes que comutam entre si. Por M6, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz quadrada nula de mesma ordem. Exemplos: 1) Sejam as matrizes 32)( ×= ijaA e 23)( ×= ijbB .
ABDdcCBA ijij ⋅==≠==⋅ ×× 3322 )()( .
2) Sejam as matrizes 32)( ×= ijaA e 13)( ×= ijbB .
12)( ×==⋅ ijcCBA e a matriz produto AB ⋅ não é definida.
3) Sejam
=
4321
A e
−=
2101
B .
ABBA ⋅=
−−≠
=⋅
10721
8141
4) Sejam
−
=1221
A e
−=
1111
B .
Assim, ABBA ⋅=
−
=⋅3113
.
Logo, as matrizes A e B comutam entre si.
Potência de uma Matriz Quadrada de Ordem n. nIA =0
AA =1 AAA ⋅=2
..................................... AAAAA kkk ⋅=⋅= −− 11
Toda matriz quadrada A comuta com qualquer potência natural de A.
8
Exemplos:
1) Seja
=
1031
A .
Então
=
⋅
=⋅=
1061
1031
10312 AAA .
2) Sejam o polinômio 112)( 2 −+= xxxf e a matriz
−
=3421
A .
Determinando o valor )(Af : 0122 112112)( xxxxxxf −+=−+=
212012 112112)( IAAAAAAf ⋅−⋅+=⋅−⋅+=
⋅−
−
⋅+
−
−=
1001
113421
217849
)(Af
=
−
−+
−
+
−
−=
0000
110011
6842
17849
A matriz A é uma raiz do polinômio, já que 22)( ×= 0Af .
Matriz Idempotente Uma matriz quadrada A é idempotente quando AA =2 .
Exemplo: A matriz
−−−−
−
455343112
é idempotente. (Verifique!)
4. Transposição Seja a matriz nmijaA ×= )( , define-se a matriz transposta B tal que mnijbB ×= )( e jiij ab = , isto é, é a matriz obtida a partir da matriz A pela troca de suas linhas pelas colunas correspondentes. Notação: tAB = Propriedades da Operação de Transposição T1. Involução: para toda matriz A, AA tt =)( . T2. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, ttt BABA +=+ )( .
Dem.: Considere matrizes de ordem nm × , DCBA tt ==+ )( e GFEBA tt =+=+ .
ijijijjijijiij gfebacd =+=+== para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= . Assim, GD = .
T3. Para toda matriz A e para todo escalar R∈k , tt AkAk ⋅=⋅ )( . T4. Para toda matriz A de ordem pm × e para toda matriz B de ordem np × , ttt ABBA ⋅=⋅ )( . T5. Para toda matriz quadrada A, trAAtr t =)( .
9
Classificação de Matrizes Quadradas 1. Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada A é denominada simétrica quando AAt = .
Exemplo:
−
−
501023134
Os elementos da matriz dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais.
2. Matriz Anti-simétrica
Uma matriz quadrada A é denominada anti-simétrica quando AAt −= .
Exemplo:
−−
−
071703130
Todos os elementos da diagonal principal são iguais a zero e os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal têm sinais contrários.
3. Matriz Invertível ou Não-singular
Uma matriz quadrada A de ordem n é dita invertível se existir uma matriz quadrada B de mesma ordem tal que nIABBA =⋅=⋅ . A matriz B é dita matriz inversa da matriz A. Notação: 1−= AB
nIAAAA =⋅=⋅ −− 11 Exemplos:
1) A matriz
3152
é invertível e sua inversa é
−
−2153
pois:
=
⋅
−
−=
−
−⋅
1001
3152
2153
2153
3152
2) Obtendo a matriz inversa da matriz
−=
0112
A
Considere
=
tyzx
B
Se nIBA =⋅ então
=
−−=
⋅
−100122
0112
zxtzyx
tyzx
Assim,
==−
==−
102
012
ztz
xyx
Desta forma,
−
=2110
B
10
Verifica-se também que nIAB =⋅ .
Então a matriz inversa da matriz A é
−
=−
21101A .
3) A matriz
987654321
não possui inversa.
Propriedades das Matrizes Invertíveis I1. Involução: AA =−− 11 )( . I2. 111)( −−− ⋅=⋅ ABBA .
dem.: nn IAAAIAABBAABBA =⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ −−−−−− 111111 )())(()()( . Analogamente, nn IBBBIBBAABBAAB =⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ −−−−−− 111111 )())(()()( . Logo, o produto é invertível.
I3. tt AA )()( 11 −− = .
Semelhança de Matrizes Duas matrizes )(, RnMatBA ∈ são semelhantes quando existe uma matriz invertível )(RnMatP∈ tal que APPB 1−= .
Exemplo: As matrizes
0110
e
−11
01 são semelhantes.
Considere
−=
1112
P e
−
=−
32
31
31
31
1P . Assim,
−⋅
⋅
−
=
− 11
120110
1101
32
31
31
31
.
4. Matriz Ortogonal
Uma matriz quadrada A de ordem n invertível é denominada ortogonal quando tAA =−1 .
Exemplo:
−θθθθ
coscossen
sen
5. Matriz Normal Uma matriz quadrada A de ordem n é dita normal quando comuta com sua matriz transposta, isto é,
AAAA tt ⋅=⋅ .
Exemplo:
−6336
11
Operações Elementares São operações realizadas nas linhas de uma matriz. São consideradas operações elementares: OE1. A troca da linha i pela linha j.
ji LL ↔
OE2. A multiplicação da linha i por um escalar R∈k não nulo. ii k LL ⋅←
OE3. A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j, com R∈k não nulo. jii k LLL ⋅+←
Exemplo:
514200
L1↔L3 1 52 40 0
L2←12
L2 1 51 20 0
L2←L2+(-1)L1
−
003051
Matriz Equivalente por Linha Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é denominada equivalente por linha a matriz A, quando for possível transformar a matriz A na matriz B através de um número finito de operações elementares sobre as linhas da matriz A.
Exemplo: A matriz 0 02 41 5
é equivalente a matriz
−
003051
, pois usando somente operações
elementares nas linhas da primeira matriz foi possível transformá-la na segunda. Matriz na Forma Escalonada Uma matriz está na forma escalonada quando o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de uma linha, aumenta linha a linha. As linhas nulas, se existirem, aparecem abaixo das não nulas.
Exemplos:
−1000620050103017
2 0 0 50 0 3 10 0 0 50 0 0 0
1 2 30 0 0
−
0000000004105021
1 0 00 1 00 0 1
12
Escalonamento por Linha de uma Matriz Dada uma matriz qualquer, é possível obter uma matriz equivalente por linhas a esta matriz na forma escalonada:
Exemplos:
1)
987654321
122 )4( LLL −+←
−−
987630321
133 )7( LLL −+← 1260
630321
−−−−
233 )2( LLL −+←
−−
000630321
2)
− 310210030200
31 LL ↔
− 310200030210
122 )3( LLL −+←
−
−
310200600210
144 LLL +←
−
500200600210
261
2 )( LL −←
0 1 20 0 10 0 20 0 5
233 )2( LLL −+←
0 1 20 0 10 0 00 0 5
244 )5( LLL −+←
0 1 20 0 10 0 00 0 0
A escolha de operações em um escalonamento não é única. O importante é observar que o objetivo é aumentar o número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de cada linha, linha a linha. Posto de uma Matriz O posto de uma matriz A pode ser obtido escalonando-se a matriz A. O número de linhas não nulas após o escalonamento é o posto da matriz A. Notação: AP Exemplo: Nos dois exemplos anteriores o posto das matrizes é igual a dois. Aplicações de Operações Elementares 1. Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada A de ordem n.
Passo 1: Construir a matriz ( )nIA | de ordem nn 2× . Passo 2: Utilizar operações elementares nas linhas da matriz ( )nIA | de forma a transformar o
bloco A na matriz identidade nI . Caso seja possível, o bloco nI terá sido transformado na matriz 1−A . Se não for possível transformar A em nI é porque a matriz A não é invertível.
Exemplo: Seja
=
111013221
A . A matriz inversa é
−−−
−=−
512613201
1A .
13
100111010013001221
122 )3( LLL −+←
−−−
100111013650001221
133 )1( LLL −+←
−−−−−−
101110013650001221
32 LL ↔
−−−−−−
013650101110001221
22 )1( LL −←
−−−−
013650101110001221
233 5LLL +←
−−−
512100101110001221
211 )2( LLL −+←
−−−
−
512100101110201001
133 )1( LL −←
−−−
−
512100101110201001
322 )1( LLL −+←
−−−
−
512100613010201001
Justificativa do Método para o Cálculo da Matriz Inversa Teorema: Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e somente se a matriz A é equivalente
por linha a matriz nI . Desta forma, a seqüência de operações elementares que reduz a matriz A na matriz nI , transforma a matriz nI na matriz 1−A .
Exemplo: Considere a matriz
=
3021
A .
A redução da matriz A à matriz identidade é:
−+←
←
1001
L)2(LL1021
L31L
3021
21122
Aplicando em nI a mesma seqüência de operações:
−−+←
←
310321
L)2(LL31001
L31L
1001
21122
Assim, a matriz
−
310321
é a inversa da matriz A.
14
2. Cálculo do Determinante
A qualquer matriz quadrada A podemos associar um certo número real denominado determinante da matriz. Notação: AA ou det
É importante observar que: a) Quando trocamos duas linhas de uma matriz A, seu determinante troca de sinal.
b) O determinante da matriz fica multiplicado pelo escalar não nulo k quando todos os elementos de
uma certa linha forem multiplicados por k.
c) O determinante não se altera quando utilizamos a operação elementar do tipo jii k LLL ⋅+← . (Teorema de Jacobi).
d) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
O cálculo do determinante de uma matriz quadrada, utilizando-se operações elementares nas linhas da matriz, consiste em encontrar uma matriz triangular equivalente por linha à matriz dada, respeitando-se as propriedades de determinantes acima.
Exemplos:
1) =
−
162963510
det =
−
162321510
det3 =
−−
162510321
det)3( =
−
−−
5100510321
det)3(
165)55(11)3(5500
510321
det)3( =−⋅⋅⋅−=
−
−−
2) =
−−−
−
3210521130021432
det =
−−−−
−
3210143230025211
det)1( =
−
−−
−
32101101074205211
det)1(
=
−
−−
32107420
110105211
det =
−
−−
820029400110105211
det =
−
−−
−
294008200
110105211
det)1(
=
−
−−
−
294004100
110105211
det)2( 9045111)2(
450004100
110105211
det)2( −=⋅⋅⋅⋅−=
−
−−
−
Outras informações sobre este tópico encontram-se no Apêndice A.
15
3. Resolução de Sistemas Outra aplicação de operações elementares é na resolução de sistemas, que será visto com detalhes no próximo capítulo.
Exercícios 1) Resolva a equação matricial ,
6718
423
=
−++−
dacdcbba
indicando os valores para a, b, c e d.
2) Considere
−
−=
412540312
A ,
−
−−=
674210538
B ,
−=
993471320
C e 4=k . Verifique se:
a) )()( CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ b) CkBkCBk ⋅−⋅=−⋅ )( c) trBtrABAtr +=+ )( d) trCtrACAtr ⋅=⋅ )(
3) Seja
=
6321
A . Indique uma matriz quadrada B de ordem 2 não nula tal que 22×=⋅ 0BA .
4) Seja
=
1112
A . Resolva a equação matricial 2IXA =⋅ , onde 22)( ×= ijxX .
5) Mostre que, em geral, )()(22 BABABA +⋅−≠− , sendo A e B matrizes quadradas de mesma
ordem.
6) Seja
=
1021
A . Encontre nA .
7) Verifique que a matriz
−18
03 é uma raiz do polinômio 32)( 2 −−= xxxf .
8) Considere
=
1402
A .
a) Indique a matriz 22 2 IAA +⋅−
b) A matriz A é invertível? Em caso afirmativo, indique 313 )( −− = AA .
9) Mostre que as únicas matrizes quadradas de ordem 2 que comutam tanto com a matriz 1 00 0
quanto com a matriz 0 10 0
são múltiplas de 2I .
10) Determine todas as matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz
− 12
21 .
16
11) Sejam
−
=4321
A e
−
=7605
B . Verifique a igualdade ttt ABBA ⋅=⋅ )( .
12) Mostre que se a matriz quadrada A for invertível e CABA ⋅=⋅ então CB = . (Lei do Corte)
13) Sejam
−=
100201312
A e
=
321
B . É possível calcular X, na equação BXA =⋅ ?
14) Sejam A, B, C e X matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações,
considerando X a variável. a) CXBA =⋅⋅ b) CXAC t =⋅⋅ c) CBXACXA ⋅⋅⋅=⋅⋅ 2 d) ACXBA ⋅=⋅⋅ −1 e) ABAXA t ⋅⋅=⋅2
15) Seja A uma matriz de ordem n tal que a matriz )( AAt ⋅ é invertível. A matriz tt AAAA ⋅⋅⋅ −1)( é
simétrica? E idempotente?
16) Mostre que a matriz
−θθθθ
coscossen
sen é uma matriz ortogonal.
17) Determine a, b e c de modo que a matriz
cba2
12
10001
seja ortogonal.
18) Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica. 19) Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas. 20) Se A e B são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz 2AB ⋅ também é simétrica?
Justifique. 21) Toda matriz ortogonal é também uma matriz normal? Justifique. 22) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal? Justifique. 23) Em uma pesquisa onde foram consideradas 3 marcas de refrigerante, Gelato, Delícia e Suave, o
elemento ija da matriz abaixo indica a possibilidade de uma pessoa que consuma o refrigerante i passar a consumir o refrigerante j. O elemento da diagonal principal representa a possibilidade de uma pessoa que consuma um determinado refrigerante permaneça consumindo o mesmo refrigerante.
17
Gelato Delícia Suave
2,02,06,01,05,04,01,01,08,0
SuaveDelíciaGelato
a) Qual a possibilidade de uma pessoa que consumia o refrigerante Gelato passar a consumir o
refrigerante Suave? E a de quem consumia Suave passar a consumir Gelato? b) Escreva a matriz que indica a possibilidade de se mudar de marca após duas pesquisas.
24) Verifique se a matriz
−−−
−
372511421
é invertível. Em caso afirmativo, indique a matriz inversa.
25) Para que valores de a a matriz
−
a11110121
admite inversa?
26) Dada a matriz
−=
210152031
A . Indique a matriz ( )3| IA e determine 1−A .
27) Dada a matriz
−−
−=−
121210331
1A . Indique a matriz A.
28) Determinar o valor de a a fim de que a matriz
a21212111
seja invertível.
29) Calcule o determinante das matrizes 1 2 42 3 53 4 6
−−−
e
− 214642103
.
30) Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem n e que 5det =A , determine:
a) )3det( A⋅ b) tAdet c) )det( A− d) 2det A
31) Encontre todos os valores de a para os quais 030
51det =
+
−a
a.
18
Respostas 1) 1,4,3,5 ==−== dcba 23) a) 0,1 e 0,6 b)
12,020,068,011,031,058,011,015,074,0
3)
∈
−−= *22
R,t,ztztz
B 24)
−−−
−−=−
21
23
25
21
25
271
31116A
4)
−
−=
2111
X 25) 2−≠a
6)
=
1021 n
An 26)
−−−
−=−
1121243611
1A
8) a)1 04 0
b)
− 1
0
2781
27)
−−=
61
65
61
31
32
31
21
21
21
A
10)
∈
−
R,x,yxyyx
28) 1≠a
13) Sim,
−=
304
X 29) 0 e 24, respectivamente.
14) a) CABX ⋅⋅= −− 11 b) tAX )( 1−= c) BX = d) ACABX ⋅⋅⋅= −1 e) tABAX )( 1 ⋅⋅= −
30) a) 53 ⋅n b) 5
c) − contrário caso 5
par for se 5 n
d) 25 15) Sim. Sim. 31) 3 ou 1 −== aa 17) e 2
222 −== cb ou e 2
222 =−= cb
19
Apêndice A - Determinante Permutações Seja um conjunto finito A qualquer, uma permutação em A é qualquer função bijetora AAf →: . Sendo n a cardinalidade do conjunto, existem !n permutações possíveis. Exemplos: 1) Seja },{ baA = e as bijeções abaixo:
a a a a
b b b b
A notação usual é:
baba
abba
Nesta notação matricial, a primeira linha indica os elementos originais e a segunda os elementos reorganizados.
2) Seja }3,2,1{=A .
1 2 32 1 3
,
1 2 31 3 2
e
1 2 33 1 2
são três das seis permutações possíveis em A.
3) Seja },,,{ dcbaA = .
adcbdcba
é uma das 24 permutações possíveis.
Se A for um conjunto munido de uma relação de ordem, as permutações podem ser classificadas como permutações pares e permutações ímpares. Uma permutação é par quando o número de elementos - dentre os elementos reorganizados - “fora de ordem” for par e é ímpar quando este número for ímpar. Exemplos: 1) Seja }3,2,1{=A com a ordem numérica usual, isto é, 1 2 3≤ ≤ .
1 2 32 1 3
e
1 2 31 3 2
são permutações ímpares e
1 2 33 1 2
é par.
2) Seja },,,{ dcbaA = com a ordem lexicográfica (alfabética) usual.
adcbdcba
é uma permutação ímpar.
Além disto, às permutações pares é associado o sinal positivo e às ímpares o sinal negativo.
20
O Determinante Dada uma matriz quadrada A de ordem n é possível fazer corresponder um certo número denominado determinante da matriz A. Notação: nnijaAA ×)det( det
Considere, por exemplo, uma matriz quadrada de ordem 3,
=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A , e as permutações
possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3}.
A partir da permutação ímpar 1 2 31 3 2
associa-se o produto “ 322311 aaa− ” , tal que os índices linha
correspondem a primeira linha da representação da permutação, os índices coluna são obtidos da segunda linha e o sinal negativo da classificação da permutação. O determinante de uma matriz de ordem 3 é obtido a partir de todas as seis permutações possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3} classificadas e sinalizadas. Assim, o determinante é dado por:
312313322113312312332112322311332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −++−−= Genericamente, para uma matriz de ordem n, o determinante é o número obtido do somatório dos produtos sinalizados de elementos ija da matriz, combinados de acordo com as permutações do conjunto de índices {1, 2,..., n}. Exemplos: 1) 6)6det( =
2) 72.07).1(7201
det 21122211 −=−−=−=
− aaaa
3) 312213322113312312332112322311332211
21 00
401252
det aaaaaaaaaaaaaaaaaa −++−−=
−
−
0.0).2(21).1).(2(0.4.50).1.(5
21.4.20.0.2 −−−−++−−−=
3−=
21
Desenvolvimento de Laplace Seja uma matriz quadrada de ordem n,
=
nnnn
n
n
a....aa................a....aaa....aa
A
21
22221
11211
Considere um elemento ija qualquer, com nji ,...,1, = e a submatriz ijA de ordem )1( −n obtida a partir da matriz A retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O determinante da submatriz ijA
sinalizado por ji+− )1( é denominado o cofator do elemento ija .
Exemplo: Seja a matriz
−
−
00401252
21
.
O cofator do elemento 23a , isto é, de 4 é : 11).1(21052
det.)1( 32 −=−=
− +
O cofator do elemento 031 =a a31 é: 2020.14025
det.)1( 13 ==
−− +
Considere uma certa linha i fixada. O determinante da matriz A fica definido por:
∑=
+ ⋅−⋅=n
jij
jiij AaA
1
det)1(det
A expressão é uma fórmula de recorrência (faz uso de determinantes de matrizes de ordem menores) conhecida como desenvolvimento de Laplace. Este desenvolvimento pode ser feito fixando-se uma certa coluna j e a expressão passa a ser:
∑=
+ ⋅−⋅=n
iij
jiij AaA
1
det)1(det
Exemplos:
1)
−=
7201
A fixada a linha 2.
2222
222112
21 det)1(det)1(det AaAaA ++ −+−= 1.)1.(70.)1.(2 43 −−+−= )1.(1.70).1.(2 −+−= 7−=
2)
−
−=
00401252
21
A fixada a linha 1.
1331
131221
121111
11 det)1(det)1(det)1(det AaAaAaA +++ −+−+−=
21001
.1).2(0041
).1.(5021
40.1.2
−−+
−−+=
22
Fixando ainda a linha 1 para as submatrizes: +−+−= ++ ]det.)1.(4det.)1.(0.[1.2det 12
2111
11 AAA +−+−−− ++ ]det.)1.(4det.)1).(1).[(1.(5 12
2111
11 AA ]det.)1.(0det.)1).(1.[(1).2( 12
2111
11 AA ++ −+−−−
]0).1.(021.1).1.[(1).2(]0).1.(40.1).1).[(1.(5]
21).1.(40.1.0.[1.2 −+−−+−+−−+−+=
31421.1).2(0).1.(5)2.(1.2 −=+−=−+−+−=
Propriedades Considere A e B matrizes quadradas de ordem n e R∈k não nulo. D1. Se A é uma matriz triangular superior (inferior) então nnaaaA ...det 2211= .
dem: Considere a matriz
=
nn
n
n
a.................a....aa....aa
A
00..0 222
11211
.
Fixando a coluna 1 para o cálculo dos determinantes,
11
12112
211111
111
11
1 det)1(...det)1(det)1(det)1(det nn
n
n
ii
ii AaAaAaAaA +++
=
+ −++−+−=−= ∑
∑−
=
+−=
=1
11
1111
333
22322
11 det)1(
... 0 0......................
... 0 ...
detn
ii
ii
nn
n
n
Aaa
a
aaaaa
a
]det)1(...det)1([ 1)1(11
1111
2211 −+−+ −++−= n
nnn AaAaa
∑−
=
+−=
=2
11
112211
444
33433
2211 det)1(
... 0 0......................
... 0 ...
detn
ii
ii
nn
n
n
Aaaa
a
aaaaa
aa
]det)1(...det)1([ 1)2(12
1111
332211 −+−+ −++−= n
nnn AaAaaa
nnaaa ...2211= Corolários:
i) 0det =n0 ii) 1det =nI iii) Se A é uma matriz diagonal então nnaaaA ...det 2211= .
D2. 0det =A , quando A possuir uma linha (ou coluna) nula. D3. 0det =A , quando A possuir duas linhas (ou colunas) iguais. D4. AkAk n det)det( ⋅=⋅ D5. BABA detdet)det( ⋅=⋅ D6. tAA detdet =
23
D7.Considere a matriz A e B a matriz obtida a partir de A por aplicação de operações elementares: a) Li ↔Lj : AB detdet −= b) Li ←k.Li : AkB detdet ⋅=
dem: Considere a matriz
=
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
A
... ........................
... .........................
...
21
21
11211
.
Fixando a linha i para o cálculo dos determinantes,
∑=
+−=n
jij
jiij AaA
1
det)1(det
Seja a matriz
=
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
B
... ........................
... .........................
...
21
21
11211
obtida pela operação elementar Li ←k.Li.
AkAakAkaBn
jij
jiij
n
jij
jiij detdet)1(det)1)((det
11⋅=−⋅=−= ∑∑
=
+
=
+
c) Li ←Li + k.Lj : AB detdet =
D8. A é uma matriz invertível se e somente se 0det ≠A .
D9. Se A é uma matriz invertível então A
Adet
1det 1 =− .
D10. Se A e B são matrizes semelhantes então BA detdet = . D11. Se A é uma matriz ortogonal então 1det ±=A . Exercícios 1) Calcule o determinante usando permutações.
a) 1 23 4
b)
1 4 72 5 83 6 9
2) Calcule o determinante usando desenvolvimento de Laplace.
a) 1 4 72 5 83 6 9
b)
−1021141311521101
3) Indique o valor de x para que as matrizes sejam invertíveis.
a)
x87654321
b)
−−
1111
11
xx
x
24
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Definição Dados os números reais baaa n ,,...,, 21 , com 1≥n , a equação bxaxaxa nn =⋅++⋅+⋅ ...2211 onde
nxxx ,...,, 21 são variáveis ou incógnitas, é denominada equação linear nas variáveis nxxx ,...,, 21 . Os números reais naaa ,...,, 21 são denominados coeficientes das variáveis nxxx ,...,, 21 , respectivamente, e b é denominado de termo independente. Um Sistema Linear sobre R com m equações e n incógnitas é um conjunto de 1≥m equações lineares com 1≥n variáveis, e é representado por:
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅
mnmnmm
nn
nn
bxa...xaxa............................................bxa...xaxabxa...xaxa
2211
22222121
11212111
.......
Com R∈iij ba , , njmi ,...,1 e ,...,1 == . Matrizes Associadas a um Sistema Linear Sistemas podem ser representados na forma matricial:
=
⋅
mnmnmm
n
n
b
bb
x
xx
a...aa............
a...aaa...aa
......2
1
2
1
21
22221
11211
444 3444 21 { {
C X B Denominadas, matriz C de Coeficientes, matriz X de Variáveis e matriz B de Termos Independentes. Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial
BXC =⋅ . Outra matriz que se pode associar a um sistema linear é a Matriz Ampliada ou Completa do sistema.
=
mmnmm
n
n
b...bb
a...aa............
a...aaa...aa
A 2
1
21
22221
11211
25
Classificação de Sistemas Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. Uma solução para um sistema de equações lineares é uma n-upla de números reais ),...,,( 21 nsss que satisfaz todas as equações, simultaneamente, isto é, substituindo-se a variável 1x pelo valor 1s , 2x por 2s , ... e nx por ns em cada uma das equações, todas as igualdades são verdadeiras. O conjunto solução S do sistema é o conjunto de todas as soluções.
Exemplo: Dado o sistema
=+=−
242
yxyx
, o par ordenado )0,2( é solução deste sistema. Assim, o
conjunto solução )}0,2{(=S . De forma geral, temos que um dado sistema de equações lineares sobre R pode ser classificado como:
• Sistema Possível (ou Compatível ou Consistente) • Determinado (SPD): há uma única solução • Indeterminado (SPI): há infinitas soluções
• Sistema Impossível (ou Incompatível ou Inconsistente) (SI): não há solução. Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana Dado um sistema de equações lineares, espera-se encontrar sua solução, isto é resolvê-lo. O método de resolução utilizado será o Método de Eliminação Gaussiana. A idéia do método é obter um sistema mais “simples” equivalente ao sistema dado. Dois sistemas de equações lineares são denominados sistemas equivalentes quando possuem a mesma solução.
Exemplo: Os sistemas
=−=+
422
yxyx
e
=−=+
82222
yxyx
são equivalentes pois ambos possuem o mesmo
conjunto solução )}2,2{( −=S . O Método de Eliminação Gaussiana Dado um sistema linear com m equações e n variáveis: 1. Obter a matriz ampliada. 2. Escalonar a matriz ampliada utilizando operações elementares. 3. Fazer a análise, de acordo com o teorema abaixo:
Teorema: Um sistema linear de m equações e n variáveis admite solução se e somente se o posto da matriz ampliada escalonada )( AP for igual ao posto da matriz de coeficientes )( CP .
Assim: a) Se nPP CA == , o sistema é Possível Determinado (SPD). b) Se nPP CA <= , o sistema é Possível Indeterminado (SPI). c) Se CA PP ≠ , o sistema é Impossível (SI).
4. Reescrever o sistema, associado a matriz escalonada, equivalente ao sistema dado, e: a) Se o sistema for SPD, encontrar o valor de uma variável e, por substituição, determinar as
demais variáveis. Indicar o conjunto solução S, que neste caso, conterá apenas uma n-upla.
26
b) Se o sistema for SPI, escolher APn − variáveis livres ou independentes. O número, APn − também é denominado o grau de liberdade ou grau de indeterminação do sistema. As variáveis que dependem das variáveis livres são denominadas variáveis amarradas ou ligadas. Indicar o conjunto solução S, apresentando todas as ordenadas da n-upla em função das variáveis livres.
c) Se o sistema for SI, indicar ∅=S .
Exemplo: Seja o sistema
=−+−=+−
=++
25032
1
zyxzyx
zyx com 3 equações e 3 incógnitas.
A matriz ampliada é
−−−
251103121111
.
Após o escalonamento, a matriz escalonada é
−−
2132
31
10010
1111.
E a matriz de coeficientes é:
−
10010
111
31 .
Análise: 3=== nPP CA . Logo, o sistema é possível determinado (SPD).
O sistema equivalente é
−==−=++
21
32
31
1
zzy
zyx
Após as substituições, 21
=y e 1=x .
A solução do sistema é ( ){ }21
21 ,,1 −=S .
Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2 O conjunto de pares ordenados de números reais é designado por }e |),{( RRR 2 ∈∈= yxyx . Geometricamente tem-se o plano R2, descrito por dois eixos - eixo X e eixo Y - perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto )0,0( , denominado origem. Exemplos:
1) Seja o sistema com 2 equações e 2 variáveis:
=+=+
7321
yxyx
Aplicando o Método de Eliminação Gaussiana:
Matriz ampliada 1 1 12 3 7
.
Matriz escalonada: 1 1 10 1 5
.
27
Matriz de coeficientes 1 10 1
.
Análise, 2=== nPP CA : Sistema Possível Determinado (SPD).
Sistema equivalente
==+
51
yyx
Substituindo o valor de y na primeira equação, tem-se 4−=x . Logo a solução do sistema é descrita por )}5,4{(−=S . Interpretando geometricamente: cada equação do sistema representa uma reta, estas retas se interceptam em um único ponto )5,4(− .
X
Y
2) Dado o sistema:
−=−−=−
44222
yxyx
Matriz ampliada: 1 2 22 4 4
− −− −
.
Matriz escalonada:
−−000221
Matriz de coeficientes:
−0021
.
Análise, 21 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI).
Sistema equivalente
=−=−
0022
yyx
A variável y está livre, podendo assumir qualquer valor real, e a variável x amarrada em função de y, isto é, 22 −= yx . A solução do sistema é }),,22{(}22|),{( RR 2 ∈−=−=∈= yyyyxyxS . Geometricamente, tem-se duas retas coincidentes, a equação 442 −=− yx é múltipla da equação
22 −=− yx . Assim, as retas se interceptam em infinitos pontos.
X
Y
28
3) Dado o sistema
−=+=+
32
yxyx
Matriz ampliada
− 311
211 .
Matriz escalonada:
− 500
211.
Matriz de coeficientes
0011
.
Análise, CA PP =≠= 12 : Sistema Impossível.
Sistema equivalente
−==+502
yyx
, isto é,
−==+50
2yx
A solução é ∅=S . Assim, se um sistema possui equações que representam retas paralelas, como no exemplo, uma solução é impossível, pois não há ponto de interseção entre retas paralelas.
X
Y
Resumindo, para sistemas de equações de duas incógnitas com duas ou mais equações, tem-se o seguinte quadro:
Retas Classificação do Sistema Concorrentes Possível e Determinado Coincidentes Possível e Indeterminado
Paralelas Impossível Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 O conjunto de todos as triplas de números reais é designado por }e ,|),,{( RR RR 3 ∈∈∈= z yxzyx . Geometricamente tem-se o espaço R3, descrito por três eixos, eixo X, eixo Y e eixo Z, que são perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto )0,0,0( , denominado origem.
29
Exemplos:
1) Considere o sistema
=+=+=++
2222
3
zyzy
zyx
Matriz ampliada 1 1 1 30 2 1 20 1 2 2
, matriz escalonada
−− 230022103111
e matriz de coeficientes
− 300210111
.
Análise, 3=== nPP CA : Sistema Possível Determinado (SPD) .
Sistema equivalente
−=−=+=++
2322
3
zzy
zyx
Sendo 32
=z , fazendo-se as substituições: 32
=y e 35
=x .
A solução do sistema é ( ){ }3
232
35 ,,=S .
Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam no ponto ( )3
232
35 ,, .
30
2) Dado o sistema
=−=+=++
122
3
zxzy
zyx
Matriz ampliada
− 110122103111
, matriz escalonada 1 1 1 30 1 2 20 0 0 0
e matriz de coeficientes
1 1 10 1 20 0 0
.
Análise, 32 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI).
Sistema equivalente
==+=++
0022
3
zzy
zyx
Pela terceira equação, a variável z está livre, assim a variável y fica em função de z, isto é,
zy 22 −= . A variável x também fica amarrada a variável z, após as substituições, tem-se que zx +=1 . Esta sistema possui grau de liberdade 1.
A solução do sistema é }),,22,1{( R∈−+= zzzzS . Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam em uma reta.
31
3) Seja o sistema
=++−=−−−
=++
624232
32
zyxzyx
zyx
Matriz ampliada
−−−−
624231213121
, matriz escalonada 1 2 1 30 0 0 00 0 0 0
e matriz de coeficientes
1 2 10 0 00 0 0
.
Análise, 31 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI).
Sistema equivalente
==
=++
0000
32
zy
zyx
As variáveis y e z estão livres, o grau de liberdade do sistema é igual a 2, e a variável x está amarrada pela relação zyx −−= 23 . A solução do sistema é },),,,23{( R∈−−= zyzyzyS . Geometricamente, os três planos são coincidentes e, consequentemente, qualquer ponto deste plano é solução para o sistema.
32
4) Seja o sistema
=++=−−
=−−
169123
234
zyxzyx
zyx
Matriz ampliada
−−−−
1111691232341
, matriz escalonada
−
−−
000010
2341
51
54 e matriz de
coeficientes
−−
00010
341
54 .
Análise, 32 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI).
Sistema equivalente
=
−=+
=−−
0051
54
234
z
zy
zyx
A variável z está livre, o grau de liberdade é 1. As variáveis x e y estão ligadas à variável z, e irão
assumir valores de acordo as relações 5
4z1−−=y e
5z6 −
=x .
A solução é ( ){ }R∈= −−− zzS zz ,,, 5
415
6 . Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes que interceptam um terceiro. A interseção é uma reta.
33
5) Seja o sistema
−=+−=++−=++
40202
10
zyzyx
zyx
Matriz ampliada 1 1 1 102 1 1 200 1 1 40
−−−
, matriz escalonada 1 1 1 100 1 1 400 0 0 40
−−−
e matriz de coeficientes
1 1 10 1 10 0 0
.
Análise, 23 =≠= CA PP : Sistema Impossível (SI).
Sistema equivalente
−=−=+
−=++
40040
10
zzy
zyx
A terceira equação é equivalente a 400 −= , o que é impossível. A solução é ∅=S . Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam dois a dois, isto é, sem solução comum.
34
6) Dado o sistema
=++=++=++
302010
zyxzyxzyx
Matriz ampliada 1 1 1 101 1 1 201 1 1 30
, matriz escalonada 1 1 1 100 0 0 100 0 0 20
e matriz de coeficientes
1 1 10 0 00 0 0
.
Análise, 13 =≠= CA PP : Sistema Impossível (SI).
Sistema equivalente
==
=++
200100
10
zy
zyx
As duas últimas equações são impossíveis. A solução é ∅=S . Geometricamente, o sistema representa três planos paralelos.
35
7) Dado o sistema:
=−+=+−−=−+
50106223272053
zyxzyx
zyx
Matriz ampliada
−−
−−
5010622327
20531, matriz escalonada
−
−−
9000014238230
20531e matriz de
coeficientes
−
−
00038230
531.
Análise, 23 =≠= CA PP : Sistema Impossível (SI).
Sistema equivalente
==+−−=−+
90014238232053
zzy
zyx
A última equação não possui solução. Assim, a solução do sistema é ∅=S . Geometricamente, o sistema representa dois planos paralelos interceptados por um terceiro.
36
8) Seja o sistema
=+−−=−+
=−+
4593210218
1659
zyxzyx
zyx
Matriz ampliada
−−−−
4519321021816519
, matriz escalonada
−
00002000016519
e matriz de
coeficientes
−
000000519
.
Análise, 12 =≠= CA PP : Sistema Impossível (SI).
Sistema equivalente
==
=−+
00200
1659
zy
yx
A segunda equação não possui solução. A solução é ∅=S . Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes paralelos a um terceiro.
37
Sistema Homogêneo É um sistema de equações lineares onde todos os termos independentes são iguais a zero.
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅
0.......
00
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xa...xaxa............................................
xa...xaxaxa...xaxa
A matriz de Termos Independentes B é a matriz nula, assim um sistema homogêneo é sempre possível, já que admite a solução trivial, isto é, )}0,...,0,0{(=S . No entanto, um sistema possível pode ainda ser classificado como determinado ou indeterminado. Se o sistema é possível e determinado, a única solução é a trivial. Se o sistema é possível e indeterminado, outras soluções, além da trivial, existem. Exemplos:
1) Seja o sistema
=−+=+−=−+
0202
0
zyxzyx
zyx
Matriz ampliada
−−
−
012101120111
, matriz escalonada
−
030000100111
e matriz de coeficientes
−
300010111
.
Análise, 3=== nPP CA : Sistema Possível Determinado (SPD).
Sistema equivalente
==
=−+
030
0
zy
zyx
Este sistema só admite solução trivial. Assim, )}0,0,0{(=S .
2) Seja o sistema
=−−=−−=−−
=++
0636032022
0
zyxzyxzyx
zyx
Matriz ampliada
−−−−−−
0636032102120111
, matriz escalonada
000000000100111
34
e matriz de coeficientes
000000
10111
34
.
38
Análise, 32 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI).
Sistema equivalente
=
=+
=++
00
034
0
z
zy
zyx
A variável z está livre e as variáveis x e y estão amarradas. A solução do sistema é ( ){ }R∈−= zzzzS ,,, 3
431 .
Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes O sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, com nm = , pode ser representado pela equação matricial BXC =⋅ , sendo C uma matriz quadrada de ordem n. Se a matriz C for invertível, isto é, existir a matriz inversa 1−C , significa que o sistema é possível e determinado.
BXC =⋅ BCXCC ⋅=⋅⋅ −− 11 )( BCXCC ⋅=⋅⋅ −− 11 )(
BCXI n ⋅=⋅ −1 BCX ⋅= −1
Como X é uma matriz de ordem 1×n , BC
x
xx
X
n
⋅=
= −12
1
...
Exemplo: Seja o sistema
=−+−=+−
=++
25032
1
zyxzyx
zyx
A equação matricial BXC =⋅ é:
−−−
511312111
.
zyx
= 102
.
A matriz inversa da matriz C é
−−−−=−
103
51
101
101
52
107
52
53
51
1C .
Assim,
−=
⋅
−−−−=
2121
103
51
101
101
52
107
52
53
51 1
201
zyx
.
A solução do sistema é )},,1{( 21
21 −=S .
39
Exercícios Utilizando o Método de Eliminação Gaussiana:
1) Resolva o sistema
=+−=+−=+−
76433532
242
zyxzyx
zyx.
2) Indique a solução do sistema
=−+=−−=−−
5232144232
zyxzyxzyx
, o posto da matriz ampliada e o posto da matriz de
coeficientes.
3) Um fabricante de objetos de cerâmica produz jarras e pratos decorativos. Cada jarra exige 16 minutos de modelagem, 8 minutos de polimento e 30 minutos de pintura. Cada prato decorativo necessita de 12 minutos de modelagem, 6 de polimento e 15 de pintura. Sabendo-se que são reservadas por semana 8 horas para modelagem, 4 horas para polimento e 13 horas para pintura, encontre a quantidade de cada tipo de objeto que deverá ser fabricada por semana, considerando-se a melhor utilização do tempo disponível para cada etapa.
Jarras Pratos Decorativos Minutos Por Semana
Modelagem 16 12 8.60 Polimento 8 6 4.60
Pintura 30 15 13.60
Considerando-se x como sendo a quantidade de jarras a serem produzidas por semana e y a quantidade de pratos decorativos, escreva o sistema de equações lineares que representa o problema e resolva-o.
4) Determine os valores de a de modo que o sistema
=++=++
=−+
23332
1
zayxazyx
zyx seja:
a) SPD b) SPI c) SI
5) Calcule os valores para a e b de modo que o sistema
=−+=−+=++
164463
22
zbyxzyx
azyx seja SPI e resolva-o para
estes valores. 6) Estabeleça a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que o sistema
=−−−=++=++
czyxbzyxazyx
43363242
seja possível.
40
7) Escreva a condição para que o sistema
=+−=−+=−+
czyxbzyx
azyx
2167245
28 tenha solução.
8) Indique o conjunto solução do sistema homogêneo
=−+−=++
=++
03032
0
zyxzyx
zyx.
9) Determine o conjunto solução S do sistema
=+−−=−−+−
=+−+=++−
0320
00
tzyxtzyx
tzyxtzyx
10) Escreva um sistema homogêneo com quatro incógnitas, x, y, z e t, quatro equações e grau de
liberdade igual a dois. Resolva-o.
11) Considere o sistema
=−+=−+=−+
35732452
122
zyxzyx
zyx. Escreva na forma matricial e calcule a matriz X utilizando
a inversão de matrizes.
Respostas 1) Sistema Impossível 6) qualquer e 032 cab =− 2) )}2,,{( 7
97
10 −−=S 7) 023 =+− cba 3) 16,18 == yx 8) )}0,0,0{(=S 4) a) 3 e 2 −≠≠ aa
b) 2=a c) 3−=a
9) }),2,,,2{( R∈−= zzzzzS ou ( ){ }R∈−= tttS tt ,,,, 22
5) 2 e 7
11 == ba 11)
−−−
−=−
111012243
1C e
=
001
X
41
ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA Definição Sejam um conjunto não vazio V, o conjunto dos números reais R e duas operações binárias, adição e multiplicação por escalar.
uvuvVVV+
→×+a),(
:
vkvkVV⋅
→×⋅a),(
: R
V é um Espaço Vetorial sobre R, ou Espaço Vetorial Real ou um R-espaço vetorial, com estas operações se as propriedades abaixo, chamadas axiomas do espaço vetorial, forem satisfeitas:
EV1. (Associativa) Para quaisquer Vwuv ∈,, , )()( wuvwuv ++=++ . EV2. (Comutativa) Para todo Vuv ∈, , vuuv +=+ . EV3. (Elemento Neutro) Existe Ve∈ tal que para todo Vv∈ , vevve =+=+ .
Notação: Ve 0= EV4. (Elemento Simétrico) Para todo Vv∈ , existe Vv ∈' tal que Vvvvv 0=+=+ '' .
Notação: vv −=' Assim, uvuv −=−+ )(
EV5. Para quaisquer R∈21 , kk e para todo Vv∈ , vkkvkk ⋅=⋅⋅ )()( 2121 . EV6. Para quaisquer R∈21 , kk e para todo Vv∈ , )()()( 2121 vkvkvkk ⋅+⋅=⋅+ . EV7. Para todo R∈k e para quaisquer Vuv ∈, , )()()( ukvkuvk ⋅+⋅=+⋅ . EV8. Para todo Vv∈ , vv =⋅1 .
Os elementos de um espaço vetorial são denominados vetores e os números reais de escalares.
Exemplos : 1) R2 com as operações:
),(),(),( tyzxtzyx ++=+ ),(),( kykxyxk =⋅
É um espaço vetorial pois os oito axiomas acima são verificados, cabe lembrar que o elemento neutro da adição V0 é o par ordenado )0,0( .
2) Rn com as operações:
),...,,(),...,,(),...,,( 22112121 nnnn yxyxyxyyyxxx +++=+ ),...,,(),...,,( 2121 nn kxkxkxxxxk =⋅
3) O conjunto das matrizes reais de ordem nm × , com as operações usuais é um espaço vetorial, tal
que o elemento neutro da adição é a matriz nula. 4) O conjunto dos polinômios, com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n, com as operações
abaixo: )()(...)()()( 0011 baxbaxbaxqxp n
nn ++++++=+
01...)( kaxkaxkaxpk nn +++=⋅
onde 01...)( axaxaxp nn +++= e 01...)( bxbxbxq n
n +++= . É um espaço vetorial, onde o elemento neutro da adição V0 é o polinômio 00...0 +++ xx n .
42
5) R2 com as operações abaixo não é um espaço vetorial. )0,(),(),( zxtzyx +=+
),(),( kykxyxk =⋅ Não possui elemento neutro, pois: Seja ),( 21 eeV =0 tal que ),(),(),( 21 yxeeyx =+ . Mas, )0,(),(),( 121 exeeyx +=+ . Assim, )0,(),( 1exyx += . Portanto, para todo 0, =∈ yy R . Logo, não existe elemento neutro.
Subespaço Vetorial Um subespaço vetorial de V é um subconjunto não vazio VS ⊆ com as seguintes propriedades:
Sub1. SV ∈0 . Sub2. Fechamento de S em relação à operação de Adição. Se SvSu ∈∈ e então Svu ∈+ . Sub3. Fechamento de S em relação à operação de Multiplicação por Escalar Se R∈∈ k e Su então Suk ∈⋅ .
Notação: VS ≤ .
Exemplos: 1) }),0,0,{( R∈= xxS é um subespaço vetorial do R3 com as operações de adição e multiplicação por
escalar usuais. Um vetor u pertence ao subespaço S quando possui a 2ª e 3ª coordenadas iguais a zero. Verificando as propriedades de subespaço. 1. SV ∈0 ? Sim, S∈)0,0,0( . 2. Se SvSu ∈∈ e então Svu ∈+ ?
Sejam SxvSxu ∈=∈= )0,0,( e )0,0,( 21 . Então Sxxvu ∈+=+ )0,0,( 21 . Logo, S é fechado sob a operação de adição de vetores.
3. Se R∈∈ k e Su então Suk ∈⋅ ? Seja Sxu ∈= )0,0,( 1 . Então Skxuk ∈=⋅ )0,0,( 1 . Logo, S é fechado sob a operação de multiplicação por escalar.
O subespaço S poderia ser descrito ainda por }0 e 0|),,{( ==∈ zyzyx 3R .
2) O conjunto } e 0|),,{( zyxzyxS ≥=∈= 3R não é um subespaço vetorial do R3 com as operações usuais. 1. SV ∈0 ? Sim, )0,0,0( satisfaz as condições zyx ≥= e 0 . 2. Se SvSu ∈∈ e então Svu ∈+ ?
Sejam SrtvSzyu ∈=∈= ),,0( e ),,0( , com rtzy ≥≥ e . Então rztySrztyvu +≥+∈++=+ com ,),,0( .
3. Se R∈∈ k e Su então Suk ∈⋅ ?
43
Não. (Contra-exemplo) Sejam R∈−∈− 2 e )1,4,0( S .
S∉−=−⋅− )2,8,0()1,4,0()2( , pois 28 ≤− .
3) }1|),,{( +=∈= yxzyxS 3R não é um subespaço do R3, pois S∉)0,0,0( . O fato do vetor V0 pertencer ao conjunto S não implica que este seja um subespaço. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o próprio espaço V e o conjunto }{ V0 , chamado subespaço nulo. Estes dois subespaços são denominados subespaços triviais de V e os demais subespaços próprios de V. Combinação Linear Sejam os vetores Vvvv n ∈,...,, 21 . Um vetor Vw∈ está escrito como combinação linear dos vetores
nvvv ,...,, 21 quando nn vkvkvkw ⋅++⋅+⋅= ...2211 onde R∈nkkk ,...,, 21 .
Exemplos: 1) O vetor )1,1( −− é uma combinação linear dos vetores )2,1( e (3,5) , pois:
)5,3()1()2,1(2)1,1( ⋅−+⋅=−−
2) O vetor )3,2,1( não pode ser escrito como combinação linear dos vetores )1,0,0( e )0,0,1( , pois: (*) )3,2,1()1,0,0()0,0,1( 21 =⋅+⋅ kk
)3,2,1(),0,0()0,0,( 21 =+ kk )3,2,1(),0,( 21 =kk
Assim,
===
3201
2
1
k
k
O sistema é impossível. Logo não existem valores reais para 21 e kk que satisfaçam a igualdade (*).
3) Determinando a “lei” que define (todos) os vetores que podem ser escritos como combinação linear de )1,0,0( e )0,0,1( .
),,()1,0,0()0,0,1( 21 zyxkk =⋅+⋅ ),,(),0,0()0,0,( 21 zyxkk =+
),,(),0,( 21 zyxkk =
Assim,
===
zkyxk
2
1
0
O sistema é possível quando 0=y e para quaisquer R∈zx, . Assim, }0|),,{( =∈ yzyx 3R é o conjunto de todos os vetores escritos como combinação linear de
)1,0,0( e )0,0,1( . Geometricamente, trata-se do plano XZ.
44
Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador Sejam os vetores Vvvv n ∈,...,, 21 e ],...,,[ 21 nvvv o conjunto de todas as combinações lineares destes vetores. O conjunto ],...,,[ 21 nvvv é um subespaço vetorial de V, denominado subespaço vetorial gerado pelos vetores nvvv ,...,, 21 . O conjunto },...,,{ 21 nvvv é o conjunto gerador do subespaço ],...,,[ 21 nvvv .
Exemplos: 1) O vetor 2R∈)2,1( gera o conjunto }),2,{()]2,1[( R∈= xxx .
),()2,1( yxk =⋅ ),()2,( yxkk =
Assim,
=∴==
xyykxk
22
O conjunto de todas as combinações lineares do vetor )2,1( é o conjunto de todos os seus múltiplos escalares. Geometricamente, )]2,1[( é uma reta definida pela equação 02 =− xy .
2) }0|),,{()]1,2,1(),0,1,1[( =+−∈= zyxzyx 3R .
),,()1,2,1()0,1,1( 21 zyxkk =⋅+⋅ ),,(),2,()0,,( 22211 zyxkkkkk =+
),,(),2,( 22121 zyxkkkkk =++
Assim,
==+=+
zkykk
xkk
2
21
21
2
Matriz ampliada
zyx
102111
e matriz escalonada
+−−
xyzxy
x
001011
.
Para se determinar os vetores que são combinações lineares de )1,2,1( e )0,1,1( é necessário que o sistema seja possível, isto é, 0=+− zyx . Logo, },),,,{(}0|),,{()]1,2,1(),0,1,1[( RR 3 ∈−==+−∈= zyzyzyzyxzyx . Geometricamente, )]1,2,1(),0,1,1[( é um plano no 3R com equação 0=+− zyx .
3) 2R=)]2,4(),3,1[( . ),()2,4()3,1( 21 yxkk =⋅+⋅
),()23,4( 2121 yxkkkk =++
Assim,
=+=+
ykkxkk
21
21
234
Matriz ampliada
yx
2341
e matriz escalonada
−
10310
41yx
x.
Como o sistema é possível e determinado, nenhuma condição deve ser satisfeita. Logo, 2R=)]2,4(),3,1[( .
45
4) Encontre a equação do espaço gerado pelos vetores )3,1,1( e )1,0,2(),2,1,1( −− . O espaço gerado é o conjunto de vetores 3R∈= ),,( zyxv que possam ser escritos como combinação linear dos vetores dados, isto é, ),,()3,1,1()1,0,2()2,1,1( 321 zyxkkk =−⋅+−⋅+⋅ .
Assim, 322
02
321
321
321
=++=++=−−
zkkkykkkxkkk
Matriz ampliada
−−
zyx
312101121
e matriz escalonada
+−
−−−
225000
2110121
zyx
xyx
.
Para que o sistema seja possível é necessário que 025 =+− zyx . Assim, com esta condição satisfeita, obtém-se vetores 3R∈),,( zyx que são combinação linear dos vetores dados. Portanto, o espaço gerado é }025|),,{( =+−∈ zyxzyx 3R , que geometricamente representa um plano em R3.
Vetores Linearmente Independentes e Linearmente Dependentes Um conjunto de vetores Vvvv n ⊆},...,,{ 21 é linearmente independente (LI) quando
Vnn vkvkvk 0=⋅++⋅+⋅ ...2211 se e somente se 0...21 ==== nkkk . Se existir pelo menos um ,,...,1 com ,0 niki =≠ então o conjunto é linearmente dependente (LD). Exemplos: 1) )}2,4(),3,1{( é LI, pois:
)0,0()2,4()3,1( 21 =⋅+⋅ kk )0,0()23,4( 2121 =++ kkkk
Assim,
=+=+
02304
21
21
kkkk
Matriz ampliada
023041
e matriz escalonada 1 4 00 1 0
.
O sistema é possível e determinado com 021 == kk . Assim, o conjunto é LI. Um dos vetores não é múltiplo escalar do outro. Foi visto que o espaço gerado por {(1,3), (4,2)} é R2, ou seja [(1,3), (4,2)] = R2.
2) )}6,2(),3,1{( é LD, pois:
)0,0()6,2()3,1( 21 =⋅+⋅ kk )0,0()63,2( 2121 =++ kkkk
Assim, 06302
21
21
=+=+
kkkk
Matriz ampliada 1 2 03 6 0
e matriz escalonada
1 2 00 0 0
.
46
O sistema é possível e indeterminado, com 21 2kk −= . Então, o conjunto é LD, pois ).3,1(2)6,2( ⋅= Os vetores (1,3) e (2,6) pertencem a uma mesma reta. O espaço gerado pelo conjunto {(1,3), (2,6)} é },3|),{( xyyx =∈ 2R isto é, }.3|),{()]6,2(),3,1[( xyyx =∈= 2R
3) {(2,0,5),(1,2,3),(3,2,8)} é LD, pois: )0,0,0()8,2,3()3,2,1()5,0,2( 321 =⋅+⋅+⋅ kkk
Assim,
=++=+
=++
0835022
032
321
32
321
kkkkk
kkk
Matriz ampliada 2 1 3 00 2 2 05 3 8 0
e matriz escalonada 1
12
32
00 1 1 00 0 0 0
.
Como o sistema é possível e indeterminado, o conjunto é LD. Base e Dimensão de um Espaço Vetorial Seja um conjunto finito .VB ⊆ Diz-se que B é uma base do espaço vetorial V quando B é um conjunto linearmente independente e gera V, isto é, .][ VB = O número de elementos (cardinalidade) de uma base B do espaço vetorial V é denominado dimensão do espaço vetorial V. Se a dimensão de V é igual a n, diz-se que V é um espaço vetorial finito n-dimensional. Em particular, a dimensão do espaço nulo {0V} é zero. Não há base para o espaço nulo. Notação: Vdim Exemplos: 1) Os conjuntos {(1,0), (0,1)} e {(1,3), (4,2)} são bases do R2.
O conjunto {(1,2), (3,5), (2,1)} não é base do R2 , pois apesar de gerar R2 , não é LI. O conjunto {(1,2)} é LI mas não gera o R2 , portanto também não é uma base do R2. Toda base de R2 tem dois vetores de R2 que geram R2 e que são LI. Logo, 2dim =2R .
2) {(-1,0,1),(2,3,0),(1,2,3)} é uma base do R3. O conjunto {(-1,0,1),(2,3,0)} é LI, mas não gera o R3. Logo, não é base do R3. O conjunto {(-1,0,1),(2,3,0),(1,2,3),(0,2,4)} gera o R3, mas não é LI. Também não é uma base do R3. Toda base de R3 é formada por três vetores LI de R3 . Logo, 3dim =3R .
Um vetor qualquer 3R∈),,( zyx pode ser escrito como )1,0,0()0,1,0()0,0,1(),,( ⋅+⋅+⋅= zyxzyx Assim, {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} gera o R3, isto é, .)]1,0,0(),0,1,0(),0,0,1[( 3R= Além disso, este conjunto é LI. Logo, {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} é uma base do R3, denominada a base canônica do R3.
47
Espaço Vetorial Base Canônica Dimensão
R {1} 1 R2 {(1,0),(0,1)} 2 R4 {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} 4
)(22 R×Mat
1000
,0010
,0100
,0001
4
Polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2
},,1{ 2xx 3
Operações com Subespaços Vetoriais 1. Interseção
Sejam 21 e SS subespaços do espaço vetorial real V. O conjunto interseção de } e |{ , e 212121 SvSvVvSSSS ∈∈∈=∩ , é também um subespaço vetorial de V. (Sub1) 21 SSV ∩∈0 ?
VSSV ≤∈ 11 pois ,0 . VSSV ≤∈ 22 pois ,0 .
Assim, 21 SSV ∩∈0 . (Sub2) Se 2121 e SSuSSv ∩∈∩∈ então 21 SSuv ∩∈+ ?
2121 e SvSvSSv ∈∈∴∩∈
2121 e SuSuSSu ∈∈∴∩∈ Então, 21 e SuvSuv ∈+∈+ . Logo, 21 SSuv ∩∈+ .
(Sub3) Se R∈∩∈ kSSv e 21 então 21 SSvk ∩∈⋅ ? e 2121 SvSvSSv ∈∈∴∩∈
Então, 21 e SvkSvk ∈⋅∈⋅ . Logo, 21 SSvk ∩∈⋅ .
Exemplos: 1) Sejam } com ),0,0,{(1 R∈= xxS e }|),,{(2 zxyzyxS +=∈= 3R .
}),,( e ),,(|),,{( 2121 SzyxSzyxzyxSS ∈∈∈=∩ 3R .
Assim,
+===
zxyzy
00
Logo, )}0,0,0{(21 =∩ SS . Geometricamente, tem-se uma reta e um plano no R3 que se interceptam na origem.
2) Sejam }3|),,{(1 xyzyxS =∈= 3R e }032|),,{(2 =+−∈= zyxzyxS 3R .
}032 e 3|),,{(21 =+−=∈=∩ zyxxyzyxSS 3R .
48
Assim,
=+−=+−
03203zyx
yx
−
−03120013
→
−
−0910001 3
1
Logo, }),,9,3{(21 R∈=∩ zzzzSS , ou seja, }),1,9,3({21 R∈⋅=∩ zzSS . Geometricamente, a interseção é representada por uma reta que passa pelos pontos (0,0,0) e (3,9,1).
2. Soma Sejam 21 e SS subespaços do espaço vetorial real V. O conjunto soma de } e com ,|{ , e 2211212121 SsSsssvVvSSSS ∈∈+=∈=+ , é também um subespaço vetorial de V. Exemplos: 1) Sejam } ),0,0,{(1 R∈= xxS e }|),,{(2 zxyzyxS +=∈= 3R .
} e com ,),,(|),,{( 22112121 SsSssszyxzyxSS ∈∈+=∈=+ 3R . Tem-se que, 21 ),,( e )0,0,( SzzxxSx ∈+∈ , para quaisquer R∈zx, . Mas, 21 )1,1,0()0,1,1( e )0,0,1( SzxSx ∈⋅+⋅∈⋅ , para quaisquer R∈zx, . Assim, {(1,0,0)} é base do subespaço 1S e {(1,1,0),(0,1,1)} é uma base do subespaço 2S . Então, (0,1,1)(1,1,0)(1,0,0)),,( quando ),,( 32121 ⋅+⋅+⋅=+∈ kkkzyxSSzyx .
Assim,
==+=+
zkykkxkk
3
32
21
Sistema possível, logo 3R=+ 21 SS .
2) Sejam }),0,,0,0{( e }0|),,,{( 21 RR 4 ∈==−−∈= zzStyxtzyxS . } e com ,),,,(|),,,{( 22112121 SsSssstzyxtzyxSS ∈∈+=∈=+ 4R .
Tem-se que, 21 )0,,0,0( e ),,,( SzStzyty ∈∈+ , para quaisquer R∈tzy ,, . Mas, 21 )0,1,0,0( e )1,0,0,1()0,1,0,0()0,0,1,1( SzStzy ∈⋅∈⋅+⋅+⋅ , para quaisquer R∈tzy ,, .
(0,0,1,0)(1,0,0,1)(0,0,1,0)(1,1,0,0)),,,( quando ),,,( 432121 ⋅+⋅+⋅+⋅=+∈ kkkktzyxSStzyx
Assim,
==+
==+
tkzkk
ykxkk
3
42
1
31
tzyx
0100101000010101
→
−+−−
xytxy
zx
0000010010100101
Para que o sistema seja possível é necessário que 0=−+ xyt . Então, }0|),,,{(21 =−+∈=+ xyttzyxSS 4R .
49
Seja V um espaço vetorial n-dimensional. Se 21 e SS são subespaços de V então: )dim(dimdim)dim( 212121 SSSSSS ∩−+=+ .
Este resultado é conhecido como Teorema da Dimensão. 3. Soma Direta
Sejam 21 e SS subespaços do espaço vetorial real V. A soma de 21 e SS é denominada soma direta quando }{21 VSS 0=∩ . Notação: 21 SS ⊕
Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada Seja V é um espaço vetorial n-dimensional, qualquer conjunto LI com n vetores é uma base de V. Ao se escolher uma base para o espaço vetorial V, está-se adotando um sistema referencial no qual pode-se expressar qualquer vetor de V. Considere VvvvA n ⊆= },...,,{ 21 uma base, qualquer vetor Vv∈ pode ser expresso de maneira única como combinação linear dos vetores da base A,
nn vkvkvkv ⋅++⋅+⋅= ...2211
onde R∈nkkk ,...,, 21 são as coordenadas do vetor v em relação a base ordenada A.
Notação: ),...,,( 21 nA kkkv = e na forma matricial
=
n
A
k
kk
v...
][ 2
1
.
Toda vez que a expressão “coordenadas em relação a uma base” é utilizada, uma base ordenada está sendo considerada.
Exemplos: O vetor )2,1(=v pode ser escrito: 1) Considerando a base canônica do R2.
)1,0(2)0,1(1)2,1( ⋅+⋅= ou seja
=
21
][v .
2) Considerando a base )}0,1(),1,1{( −=A .
)0,1()1,1()2,1( 21 −⋅+⋅= kk
Assim,
=+=−
201
21
21
kkkk
Logo, 1 e 2 21 == kk .
Portanto,
=−⋅+⋅=
12
][ e )0,1(1)1,1(2)2,1( Av .
50
Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base Que relação existe entre as coordenadas de um vetor no antigo referencial e em um novo referencial? Uma matriz permitirá a relação entre estes referenciais, as bases do espaço vetorial. Esta matriz é denominada matriz de transição ou matriz mudança de base. O desenvolvimento a seguir considera duas bases do R2, no entanto o mesmo raciocínio pode ser utilizado para qualquer espaço vetorial V n-dimensional. Sejam },{ e },{ 2121 wwBuuA == bases do R2. Para qualquer 2R∈v , tem-se:
21 ubuav ⋅+⋅= (1)
isto é,
=
ba
v A][ .
Como 21 e uu são vetores do R2, podem ser escritos como combinação linear dos vetores da base B.
⋅+⋅=⋅+⋅=
2221122
2211111
wawauwawau
(2)
Substituindo (2) em (1): )()( 222112221111 wawabwawaav ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=
2222111211 )()( wabaawabaav ⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=
Portanto, e 22211211 abaaabaa ⋅+⋅⋅+⋅ são as coordenadas de v em relação à base B.
Assim,
⋅+⋅⋅+⋅
=2221
1211][abaaabaa
v B .
Podendo ser rescrito como, .][ 2221
1211
⋅
=
ba
aaaa
v B
A matriz
2221
1211
aaaa
acima é denotada por ABI ][ sendo denominada a matriz de transição da base A
para a base B. As colunas da matriz A
BI ][ são as coordenadas dos vetores da base A em relação à base B. Obtém-se a equação matricial, .][][][ A
ABB vIv ⋅=
Analogamente, ][][][ BBAA vIv ⋅= para mudança da base B para a base A.
Observe que, .][][][ AABB vIv ⋅=
Como, BBAA vIv ][][][ ⋅= .
Tem-se que, .][][][][ BBA
ABB vIIv ⋅⋅=
Como, .][][ BnB vIv ⋅= Então, .][][ B
AABn III ⋅=
Logo, .)]([][ 1−= BA
AB II
51
Exercícios 1) Verifique se R2 é um espaço vetorial, para as operações definidas abaixo.
a) ),(),(
),(),(),(kykxyxk
tyzxtzyx−−=⋅
−−=+
b) )0,(),(
),(),(),(kxyxk
tyzxtzyx=⋅
++=+
c) )2,2(),(
),(),(),(kykxyxk
tyzxtzyx=⋅
++=+
d) ),(),(
)0,0(),(),(kykxyxk
tzyx=⋅
=+
e) ),(),(
),(),(),(kykxyxk
ytxztzyx=⋅
=+
f) ),(),(
)1,1(),(),(kykxyxk
tyzxtzyx=⋅
++++=+
g) ),(),(
),(),(),(ykxyxk
tyzxtzyx=⋅
++=+
2) Considere o conjunto )(RFun de todas as funções : RR →f . Definem-se duas operações
binárias )()()(: RRR FunFunFun →×+ tal que )()())(( xgxfxgf +=+ e )()(: RRR FunFun →×⋅ tal que )())(( xfkxfk ⋅=⋅ .
Estas operações definem um espaço vetorial? 3) Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços de R3.
a) }3|),,{( =∈= zzyxS 3R b) }|),,{( 2 yxzyxS =∈= 3R c) }2|),,{( yxzyxS =∈= 3R d) }0|),,{( >∈= xzyxS 3R e) }|),,{( zxyzyxS +=∈= 3R f) }),,,0{( R∈= yyyS
4) Verifique se o conjunto solução do sistema
=−−=−+
=+−
12042
2
zyxzyx
zyx é um subespaço vetorial de R3.
5) Escreva )2,1( −=u como combinação linear de )3,0( e )2,1( .
6) O vetor )0,1,2(−=v pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2,0) e (0,1,0)?
7) Escreva 1)( 2 −+= xxxp como combinação linear de 342)( e 2)( 22 −=−= xxrxxxq .
52
8) O conjunto )}1,3(),1,0(),2,1{(− gera o R2? 9) Determine a equação do plano gerado pelos vetores )2,5,2( e )2,1,0(),0,2,1( −− . 10) Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD.
a) )}5,2,3(),5,3,1(),0,0,1{( b) )}1,0,3(),3,2,1(),1,0,0(),1,2,1{( −− c) )}1,2(),5,3(),2,1{( d) )}2,0,0(),3,1,0(),2,0,1{( − e) )}1,1,1,1(),0,1,1,1(),0,0,1,1(),0,0,0,1{(
11) Mostre que se Vwvu ⊆},,{ é LI então },,{ wvwuvu +++ também é um conjunto LI. 12) Complete com V(erdadeiro) ou F(also).
( ) [(1,2,0),(2,4,0) ] é um plano no R3 que passa pela origem. ( ) [(1,2,0),(2,3,0) ] é um plano no R3 que passa pela origem. ( ) Vvvv n ⊆},...,,{ 21 é LD quando pelo menos um destes vetores é combinação linear dos demais. ( ) )}1,1,1(),2,1,0(),3,2,1{( −− gera o R3. ( ) O conjunto {(1,2,3),(0,0,0),(2,3,5)} é LI. ( ) Se Vvvv n ⊆},...,,{ 21 é LI então qualquer um dos seus subconjuntos também é LI. ( ) Se todo subconjunto próprio de Vvvv n ⊆},...,,{ 21 é LI então },...,,{ 21 nvvv é LI. ( ) [(1,2)] possui somente duas bases {(1,2)} e {(2,4)}. ( ) {(1,0,4),(7,8,0)} é base de [(1,0,4),(7,8,0)]. ( ) Todo conjunto LI de vetores é uma base de seu subespaço gerado. ( ) {(3,5),(0,0)} é base do R2. ( ){(2,3),(4,5),(7,9)} gera o R2 então {(2,3),(4,5)}, {(2,3),(7,9)} e {(4,5),(7,9)} são bases do R2. ( ) Se 3R=],,,[ 4321 vvvv então quaisquer três vetores deste conjunto formam uma base do R3. ( ) Um conjunto com três vetores do R3 é base do R3. ( ) Um conjunto com mais do que três vetores do R3 não será uma base do R3. ( ) )}3,1,2(),3,2,1{( − é base do R2. ( ) Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. ( ) )},(),3,2{( yx é base do R2 quando )]3,2[(),( ∉yx . ( ) Sejam V um espaço vetorial n-dimensional e o conjunto Vvvv n ⊆− },...,,{ 121 LI. Então },,...,,{ 121 vvvv n− é base de V qualquer que seja o vetor Vv∈ . ( ) Se nV =dim então qualquer conjunto LI com n vetores é uma base de V. ( ) {(0,1,2),(1,0,1)} gera R2 . ( ) Todo conjunto gerador de um espaço vetorial V é uma base para V. ( ) Se )]4,1,1(),3,1,2(),1,0,1[( −=S então .3dim =S
13) Para que valores de k os vetores )3,2,0,1( e )0,1,2,0(),1,,1,0(),,0,2,1( kkk − geram um espaço
tridimensional ? 14) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços de R3.
a) } e 2|),,{( yzyxzyx ==∈ 3R b) }02|),,{( =−+∈ zyxzyx 3R c) }0 e 0|),,{( =+=∈ zxyzyx 3R
53
15) Encontre uma base e a dimensão para o conjunto solução do sistema
=+++=+++=−−+
0232042022
tzyxtzyxtzyx
.
16) Mostre que a soma de subespaços é também um subespaço. 17) Determine o subespaço interseção e o subespaço soma para os casos abaixo, indicando quando a
soma é direta. a) }03|),,{( e }02|),,{( 21 =+∈==+−∈= yxzyxSzyxzyxS 33 RR b) }0|),,{( e }|),,{( 21 =++∈==∈= zyxzyxSyxzyxS 33 RR
19) Sejam }0|),,{(1 =∈= yzyxS 3R e )].1,1,3(),0,2,1[(2 −=S Determine 21 SS ∩ e 21 SS + , indicando
uma base e a dimensão em cada um dos casos. 20) Seja )3,2,1(=v e a base )}6,1,2(),5,7,1(),3,0,1{( −−=A . Indique Av][ . 21) Considere )}1,2,0(),3,2,0(),1,1,1{( −=A uma base para o R3. Encontre as coordenadas de
)2,5,3( −=v em relação a esta base. 22) Seja )}1,0,0(),3,2,0(),1,1,1{( −−=A e )3,0,2()( −=Av . Determine v.
23) Sendo )}0,2(),1,3{( −−=A uma base para o R2 e
=
51
][ Av . Encontre:
a) As coordenadas de v na base canônica. b) As coordenadas de v na base )}5,1(),1,2{(=B .
24) Encontre as coordenadas do vetor )(3021
22 R×∈
= Matv em relação à base
−
−
=
0030
,21
00,
0110
,1221
B .
25) Dadas as bases do R3, )}.1,0,1(),1,2,0(),1,0,0{( e )}2,0,0(),0,1,0(),2,0,1{( −−=−= BA
a) Determine ABI ][ .
b) Considere
−=
321
][ Av . Calcule Bv][ .
26) Considere as bases )}.7,3,2(),4,6,2(),0,6,6{( e )}1,6,1(),1,2,3(),3,0,3{( −−−−−−=−−−−= BA a) Achar a matriz mudança de base de B para A.
b) Dado )5,8,5( −−=v , calcule Av][ .
27) Seja
−−
=3021
][ ABI e )}.0,2(),2,1{( −=B Determine a base A.
54
28) Seja 1 20 3
a matriz mudança de base de B para A. Determinar a base A, sabendo que
)}.1,0(),1,1{( −=B
29) Sabendo que },{ e },{ 2121 wwBuuA == são bases do R2 tais que:
−=
01
][ Av , 211 uuw −= e
212 32 uuw ⋅−⋅= , determine Bv][ . 30) Considere )}1,0,0(),0,1,1(),0,1,1{( e )}1,2,0(),3,2,0(),1,1,1{( −=−= BA . Determine as matrizes
mudança de base. Respostas 1) Nenhum é espaço vetorial. 3) a)b)d) Não c)e)f) Sim 4) Não 5) )3,0()()2,1(1)2,1( 3
4 ⋅−+⋅=−
20)
−=
205
][ Av
21) )2,1,3()( −=Av 6) Sim, 5 e 2 21 =−= kk 7) )()()()( 4
321 xrxqxp ⋅+⋅−=
9) 024 =−+ zyx 10) a)d)e) LI b)c) LD
22) )5,2,2( −−=v
23) a)
−
=17
][v b)
−
=14
][ Bv
12) F,V,V,F,F,V,F,F,V,V, F,V,F,F,V,F,V,V,F,V, F,F,F
24)
−−
=
31
111
][ Bv
13) 23 ou 1 −== kk
14) a) base : 1dim e )}1,1,2{( = b) base : 2dim e )}1,0,1(),0,1,2{( =− c) base : 1dim e }1,0,1{( =
25) a)
−−=
0010021
][ 2121
ABI b)
−=
116
][ Bv
15) base : )}1,,0,(),0,0,1,2{( 53
51 −−−
2dim = 26) a)
−−−−−=
121
65
23
45
21
23
917
980
][ BAI b)
−=
212532
][ Av
18) a) }),5,,3{(21 R∈−=∩ yyyySS 3R=+ 21 SS b) }),2,,{(21 R∈−=∩ yyyySS 3R=+ 21 SS Nenhum é soma direta.
27) )}4,8(),2,1{( −−=A 28) )}1,(),1,1{( 3
2−−=A
29)
−=
13
][ Bv
19) }),,0,{( 27
21 R∈=∩ zzzSS base : 1dim e )}2,0,7{( = 3R=+ 21 SS base : 3dim e )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{( =
30)
−−−=
131110111
][ ABI e
−−−−=
41
21
41
41
21
41
011][ B
AI
55
Apêndice B – Teoremas 1. O elemento neutro é único.
2. (Lei do Corte ou Lei do Cancelamento) Para quaisquer Vwuv ∈,, , se wvuv +=+ então
wu = .
3. O elemento simétrico é único.
4. Para quaisquer Vuv ∈, , se vuv =+ então Vu 0= . 5. Para quaisquer Vuv ∈, , se Vuv 0=+ então vu −= . 6. Para todo Vv∈ , Vv 0=⋅0 . 7. Para todo R ∈k , VVk 00 =⋅ . 8. Para todo , VvVv 0≠∈ e para todo 0, ≠∈ kk R , Vvk 0≠⋅ .
Corolário8. Para todo Vv∈ e para todo R∈k , se Vvk 0=⋅ então Vvk 0== ou 0 .
9. Para todo Vv∈ , vv −=⋅− )1( . 10. Para todo }0{ para todo e −∈∈ NnVv , vvvvn +++=⋅ ... (soma com n parcelas). 11. Todo subespaço vetorial é um espaço vetorial.
12. Se Vvvv r ⊆},...,,{ 21 então ],...,,[ 21 rvvv é um subespaço vetorial de V. 13. Sejam Vvvv r ⊆},...,,{ 21 e Vv∈ . Se v é uma combinação linear dos vetores rvvv ,...,, 21 então
],...,,[],,...,,[ 2121 rr vvvvvvv = .
14. Sejam Vvvv r ⊆},...,,{ 21 e Vuuu s ⊆},...,,{ 21 . ],...,,[],...,,[ 2121 sr uuuvvv = se e somente se cada um dos vetores do conjunto },...,,{ 21 rvvv é uma combinação linear dos vetores suuu ,...,, 21 e cada um dos vetores do conjunto },...,,{ 21 suuu é uma combinação linear dos vetores rvvv ,...,, 21 .
15. Seja VvVv 0≠∈ , , }{v é linearmente independente. 16. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . Se Viv 0= , para algum ri ,...,1= então },...,,{ 21 rvvv é linearmente
dependente. 17. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . O conjunto },...,,{ 21 rvvv é linearmente dependente se e somente se pelo
menos um destes vetores é combinação linear dos demais.
Corolário17. Sejam Vvvv r ⊆},...,,{ 21 e Vv∈ . Se },...,,{ 21 rvvv é linearmente independente e },,...,,{ 21 vvvv r é linearmente dependente então v é uma combinação linear dos
vetores rvvv ,...,, 21 .
56
18. Seja VvvvS r ⊆⊂ },...,,{ 21 não vazio. Se S é linearmente dependente então },...,,{ 21 rvvv é
linearmente dependente. 19. Sejam Vvvv r ⊆},...,,{ 21 um conjunto linearmente independente e R∈rr llkk ,...,,,..., 11 . Se
rrrr vlvlvkvk ⋅++⋅=⋅++⋅ ...... 1111 então ii lk = , para todo ri ,...,1= .
Corolário19. Seja Vvvv n ⊆},...,,{ 21 . Se },...,,{ 21 nvvv é uma base de V então todo vetor Vv∈ pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores nvvv ,...,, 21 da base.
20. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . O conjunto },...,,{ 21 rvvv é linearmente independente se e somente se
nenhum destes vetores é combinação linear dos demais.
Corolário20a. Seja Vuv ⊆},{ . O conjunto },{ uv é linearmente independente se e somente se um vetor não é múltiplo escalar do outro.
Corolário20b. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 um conjunto linearmente independente e Vv∈ .
Se ],...,,[ 21 rvvvv∉ então },,...,,{ 21 vvvv r é um conjunto linearmente independente.
21. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . Se },...,,{ 21 rvvv é linearmente independente então qualquer um de seus
subconjuntos é linearmente independente.
22. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . Se Vvvv r =],...,,[ 21 então existe uma base A de V tal que },...,,{ 21 rvvvA⊆ .
Corolário22a. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . Se },...,,{ 21 rvvv gera o espaço vetorial V então qualquer
conjunto de vetores de V com mais do que r elementos é linearmente dependente.
Corolário22b. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . Se },...,,{ 21 rvvv gera V então qualquer conjunto de vetores de V linearmente independente tem no máximo r elementos.
23. Seja Vvvv r ⊆},...,,{ 21 . Se },...,,{ 21 rvvv é linearmente independente então pode-se estender o
conjunto },...,,{ 21 rvvv a um conjunto B base de V. 24. Sejam nV =dim e Vvvv n ⊆},...,,{ 21 . O conjunto },...,,{ 21 nvvv é uma base de V se é linearmente
independente ou se gera o espaço vetorial V.
25. Seja },...,,{ 21 nvvv uma base do espaço vetorial V e Vuuu m ⊆},...,,{ 21 . i. Se nm > então o conjunto },...,,{ 21 muuu é linearmente dependente. ii. Se nm < então o conjunto },...,,{ 21 muuu não gera o espaço vetorial V.
26. Todas as bases de um espaço vetorial possuem o mesmo número de vetores. 27. Para quaisquer subespaços vetoriais US e de V, ∅≠∩US e ∅≠+US .
28. Para quaisquer subespaços vetoriais US e de V, US ∩ é um subespaços vetorial de V.
57
29. Para quaisquer subespaços vetoriais US e de V, US + é um subespaço vetorial de V. 30. Seja S é um subespaço vetorial de V tal que }{ VS 0≠ . Então VS dimdim ≤ . 31. Se V é a soma direta dos subespaços vetoriais US e então todo vetor Vv∈ é escrito de maneira
única na forma usv += , com UuSs ∈∈ e . 32. Teorema da Dimensão Se US e são subespaços vetoriais de V então
)dim(dimdim)dim( USUSUS ∩−+=+ .
Corolário32. Seja S é um subespaço vetorial de V. Se VS dimdim = então VS = .
58
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Transformação Linear Sejam V e W espaços vetoriais reais. Dizemos que uma função WVT →: é uma transformação linear se a função T preserva as operações de adição e de multiplicação por escalar, isto é, se os seguintes axiomas são satisfeitos:
TL1. Para quaisquer Vuv ∈, , )()()( uTvTuvT +=+ . TL2. Para todo Vv∈ e para todo R∈k , )()( vTkvkT ⋅=⋅ .
Exemplos: 1) 22 RR →:T ),(),(),( yxyxTyx −−=a
Verificando os axiomas: TL1. ),(),()),(),(( tzTyxTtzyxT +=+ , para quaisquer 2R∈),(),,( tzyx ?
),())(),((),()),(),(( tyzxtyzxtyzxTtzyxT −−−−=+−+−=++=+ ),(),(),(),(),( tyzxtzyxtzTyxT −−−−=−−+−−=+
Assim, a transformação linear T preserva a operação de adição de vetores. TL2. ),()),(( yxTkyxkT ⋅=⋅ , para todo 2R∈),( yx e para todo R∈k ?
),(),())(),(())(),((),()),(( yxTkyxkykxkkykxkykxTyxkT ⋅=−−⋅=−−=−−==⋅ Assim, a transformação linear T preserva a operação de multiplicação por escalar.
Considere )3,1( e )2,1( −== uv .
)2,1()2,1()( −−== TvT )3,1()3,1()( −=−= TuT
)5,0()3,1()2,1()()( −=−+−−=+ uTvT )5,0()5,0())3,1()2,1(()( −==−+=+ TTuvT
)(2)2,1(2)2,1(2)4,2()4,2())2,1(2()2( vTTTTvT ⋅=⋅=−−⋅=−−==⋅=⋅ 2) 33 RR → :T )0,,(),,(),,( yxzyxTzyx =a
T é uma transformação linear (Verifique.) Esta transformação linear associa a cada vetor do R3 sua projeção ortogonal sobre o plano XY.
X
Y
(x, y) y
x X
Y
-x
-y T(x, y)=(-x, -y)
T
59
A transformação linear WVT →:0 tal que WvTv 00 =)( a é denominada Transformação Nula. Seja a transformação linear WVT →: . Se os conjuntos V e W são iguais, WV = , então T é denominada um Operador Linear. O operador linear VVIV →: tal que vvIv V =)( a é denominado Operador Identidade. As transformações lineares R→VT : são denominadas Funcionais Lineares. Operadores Lineares no Espaço Vetorial R2 Reflexão em torno do eixo X: ),(),( yxyxT −= . Reflexão em torno do eixo Y: ),(),( yxyxT −= . Reflexão em torno da origem: ),(),( yxyxT −−= . Reflexão em torno da reta yx = : ),(),( xyyxT = . Reflexão em torno da reta yx −= : ),(),( xyyxT −−= .
X
Z
Y
(x, y, z)
X
Z
Y
T(x, y, z)=(x, y, 0)
T
T(v)
T(u)
T(v+u)
u
v
v+u
Y
X
60
Dilatação ou Contração de fator k na direção do vetor: R∈= kkykxyxT com ),(),( . Se 1>k : dilatação. Se 1<k : contração. Se 0<k : troca de sentido. Se 1=k : operador identidade.
Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo X: 0, com ),(),( >∈= kkykxyxT R .
Se 1>k : dilatação. Se 10 << k : contração.
Dilatação ou Contração de fator k na direção do eixo Y: 0, com ),(),( >∈= kkkyxyxT R .
Se 1>k : dilatação. Se 10 << k : contração.
Cisalhamento na direção do eixo X: R∈+= kykyxyxT com ),(),( . Cisalhamento na direção do eixo Y: R∈+= kykxxyxT com ),(),( .
v
T(v)
v+u
T(v+u)
u
T(u)
X
Y
X
T(u)
T(v)
v+u
u
v
T(v+u)
Y
61
Rotação: πθθθθθ 20 com )cossen,sencos(),( ≤≤+−= yxyxyxT . Propriedades 1. Se WVT →: é uma transformação linear então WVT 00 =)( .
dem.: )()()()( VVVVV TTTT 00000 +=+= . Mas, WVV TT 000 += )()( , pois WT V ∈)(0 e W0 é o elemento neutro em W. Assim, , WVVV TTT 0000 +=+ )()()( . Logo, WVT 00 =)( .
Portanto, se WVT 00 ≠)( então T não é uma transformação linear. No entanto, o fato de WVT 00 =)( não é suficiente para que T seja linear. Por exemplo, 22 RR →:T tal que ),(),( 22 yxyxT = .
)4,1()2,1()2,1( 22 ==T )25,9()5,3()5,3( 22 ==T
)29,10()5,3()2,1( TTT =+ )49,16()7,4()7,4())5,3()2,1(( 22 ===+ TT
Assim, )()()( uTvTuvT +≠+ Embora, )0,0()0,0( =T , T não é uma transformação linear.
2. Seja WVT →: uma transformação linear.
Então )(...)()()...( 22112211 nnnn vTkvTkvTkvkvkvkT ⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅ para quaisquer Vvvv n ∈,...,, 21 e para quaisquer R∈nkkk ,...,, 21 .
Corolário: Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V é possível
determinar a transformação linear WVT →: .
X
T(u)
T(v)
v+u
uv
T(v+u)
Y
62
Obtendo a Lei de uma Transformação Linear Seja 22 RR →:T um operador linear tal que )5,1()3,2( −=T e )1,2()1,0( =T . Como encontrar a lei que define este operador? Solução:
)}1,0(),3,2{( é base para R2 .(Verifique!) Portanto, qualquer vetor 2R∈v pode ser escrito como combinação linear destes vetores.
)1,0()3,2(),( 21 ⋅+⋅== kkyxv com R∈21 , kk . ),0()3,2( 211 kkk +=
)3,2( 211 kkk += Assim, 211 3 e 2 kkykx +== .
Então, 2
32 e 2 21
xykxk −== .
Logo, )1,0(2
32)3,2(2
),( xyxyx −+= .
Aplicando o operador linear,
−
+= )1,0(2
32)3,2(2
),( xyxTyxT
)1,0(2
32)3,2(2
TxyTx⋅
−+⋅=
)1,2(2
32)5,1(2
⋅−
+−⋅=xyx
−
−+
−=
232,32
25,
2xyxyxx
+
+−= yxyx ,
247
Logo,
+
+−= yxyxyxT ,
247),( .
Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Núcleo de uma transformação linear WVT →: é o conjunto de vetores do espaço vetorial V cuja imagem é o vetor W0 . Notação: })(|{)()( WvTVvTKerTN 0=∈== Imagem de uma transformação linear WVT →: é o conjunto de vetores de W que são imagem dos vetores do conjunto V. Notação: } algum para ,)(|{)()Im( VvwvTWwVTT ∈=∈==
N(T) Im(T)
0W
V W T
63
Propriedades 1. )(TN é um subespaço vetorial de V. 2. )Im(T é um subespaço vetorial de W. 3. Teorema do Núcleo e da Imagem : )Im(dim)(dimdim TTNV += Exemplo: Seja 32 RR →:T tal que )0,,0(),( yxyxT += .
)}0,0,0(),(|),{()( =∈= yxTyxTN 2R . Então, )0,0,0()0,,0(),( =+= yxyxT . Assim, yxyx −=∴=+ 0 . Portanto, }),,{(}|),{()( RR 2 ∈−=−=∈= yyyyxyxTN . Uma base é )}1,1{(− e 1)(dim =TN .
Representação gráfica,
}),( para todo ),0,,0(),({)Im( 2R∈+== yxyxyxTT Uma base para o conjunto imagem é 1)Im(dim e )}0,1,0{( =T . Observe que, )Im(dim)(dimdim TTN +=2R , )112( += .
(0,0,0)Y
Y
X
X
Z
N(T) : x+y=0
Y : Im(T)
Z
X
X
Y
T
R2
64
Transformação Linear Injetora Uma transformação linear WVT →: é injetora, se para quaisquer Vuv ∈, , se uv ≠ então
)()( uTvT ≠ . O que é equivalente a, se )()( uTvT = então uv = . Exemplo: 1) A transformação linear 32 RR →:T tal que ),,(),( yxyxyxT += é injetora.
Sejam 2R∈),(),,( tzyx . Se ),,(),,(),(),( tztzyxyxtzTyxT +=+∴= .
Então
+=+==
tzyxtyzx
Logo, ),(),( tzyx = .
2) Seja o operador linear no R3 tal que )0,0,(),,( xzyxT = , que associa a cada vetor sua projeção ortogonal no eixo X. Considere os vetores )3,1,2( e )4,0,2( − . Assim, )0,0,2()4,0,2()3,1,2( =−= TT . Então, T não é injetora, pois uvuTvT ≠= com )()( .
Teorema: Uma transformação WVT →: é injetora se e somente se }{)( VTN 0= . Assim, basta verificar se }{)( VTN 0= para garantir que uma transformação linear T é injetora. Exemplo: Seja o operador linear em no 2R tal que ),2(),( yxxyxT += é injetora, pois:
)}0,0(),2(|),{()}0,0(),(|),{()( =+∈==∈= yxxyxyxTyxTN 22 RR .
Assim,
=+=
002
yxx
Então, )}0,0{()( =TN . Transformação Linear Sobrejetora Uma transformação linear WVT →: é sobrejetora se o conjunto imagem de T é o conjunto W, isto é,
WT =)Im( . Exemplo: O operador linear em R2 do exemplo anterior é injetor. Então, 0)(dim =TN . Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, )Im(dim)(dimdim TTN +=2R . Assim, 2)Im(dim)Im(dim02 =∴+= TT . Logo, 2R=)Im(T .
65
Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo Uma transformação linear WVT →: é bijetora quando for injetora e sobrejetora. Transformações lineares bijetoras são também denominadas isomorfismos e, conseqüentemente, V e W são denominados espaços vetoriais isomorfos. Exemplos: 1) 22 RR →:T tal que ),(),( xyyxT −= . 2) VVIV →: tal que vvIV =)( .
3) 4RR →× )(: 22MatT tal que ),,,()( xyzttzyx
T =
.
Uma transformação WVT →: é denominada de transformação invertível quando existir uma transformação VWT →− :1 tal que WITT =−1o e VITT =− o1 . A transformação 1−T é denominada a transformação inversa de T. As transformações lineares bijetoras são transformações lineares invertíveis. Teorema: Seja WVT →: uma transformação. A transformação T é bijetora se e somente se T é
invertível. Teorema: Seja WVT →: uma transformação linear invertível. Então a transformação VWT →− :1 é
linear. Obtendo a Lei da Transformação Linear Inversa 1−T Seja o operador linear 22 RR →:T tal que ),2(),( yxyxT −= . O operador linear inverso 1−T será obtido da maneira a seguir:
)}1,0(),0,1{( é uma base para R2. )0,2()0,1( =T e )1,0()1,0( −=T .
Portanto, )0,1()0,2(1 =−T e )1,0()1,0(1 =−−T . Obtendo a lei de 1−T : ),2(),0()0,2()1,0()0,2(),( 212121 kkkkkkyx −=−+=−⋅+⋅= .
Assim,
−==
2
12kykx
Tem-se que, ykxk −== 21 e 2
.
Então, )1,0()()0,2(),( 2 −⋅−+⋅= yyx x . ( ))1,0()()0,2(),( 2
11 −⋅−+⋅= −− yTyxT x )1,0()()0,2( 11
2 −⋅−+⋅= −− TyTx )1,0()()0,1(2 −⋅−+⋅= yx
( )yx −= ,2 Logo, a lei é ( )yyxT x −=− ,),( 2
1 .
v=T-1(w)
T(v)=w V
W
T
T-1
66
Matriz Associada a uma Transformação Linear Sejam V um espaço vetorial n-dimensional, W um espaço vetorial m-dimensional e WVT →: uma transformação linear. Considerando as bases },...,,{ 21 nvvvA = de V e },...,,{ 21 mwwwB = de W e um vetor qualquer Vv∈ , tem-se:
nn vkvkvkv ⋅++⋅+⋅= ...2211 com niki ,...,1 para todo , =∈R . Aplicando a transformação linear T,
)...()( 2211 nn vkvkvkTvT ⋅++⋅+⋅= )(...)()()( 2211 nn vTkvTkvTkvT ⋅++⋅+⋅= (1)
Além disso, WvT ∈)( , portanto:
mm wlwlwlvT ⋅++⋅+⋅= ...)( 2211 (2) com mjl j ,...,1 para todo , =∈R . Como niWvT i ,...,1 para todo ,)( =∈ .
⋅++⋅+⋅=
⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅=
mmnnnn
mm
mm
wa...wawavT...
wa...wawavTwa...wawavT
2211
22221122
12211111
)(
)()(
(3)
Substituindo (3) em (1), tem-se:
)...(...)..()...()( 112112211111 mmnnnmmmm wawakwawakwawakvT ⋅++⋅⋅++⋅++⋅⋅+⋅++⋅⋅=
mmnnmmnn wakakakwakakakvT ⋅+++++⋅+++= )...(...)...()( 221111122111 (4) Comparando (2) e (4), tem-se:
nn akakakl 11221111 ... +++=
nn akakakl 22222112 ... +++= ................................................
mnnmmm akakakl +++= ...2211 Na forma matricial:
2
1
21
22221
11211
2
1
=
nmnnn
n
n
m k...kk
.
a...aa............
a...aaa...aa
l...ll
ou seja, A
ABB vTvT ].[][)]([ =
A matriz A
BT ][ é a matriz associada a transformação T em relação as bases A e B. Exemplo: Seja a transformação linear : 32 RR →T tal que ),,(),( yxyxyxT += . Sendo A a base canônica do R2 e B a base canônica do R3, tem-se:
)1,0,0(1)0,1,0(0)0,0,1(1)1,0,1()0,1( ⋅+⋅+⋅==T e )1,0,0(1)0,1,0(1)0,0,1(0)1,1,0()1,0( ⋅+⋅+⋅==T .
67
Então,
=
111001
][ ABT .
Por exemplo,
=
32
)]3,2[( A .
Obtém-se, .32
111001
532
)]5,3,2[()]3,2([
⋅
=
== BBT
Sejam as bases não canônicas .)}1,1,0(),1,3,2(),0,2,1{( e )}5,3(),2,1{( −−== BA
Assim, )1,1,0(27)1,3,2()
21()0,2,1(2)3,2,1()2,1( −⋅+−⋅−+⋅==T e
)1,1,0(655)1,3,2()
67()0,2,1(
316)8,5,3()5,3( −⋅+−⋅−+⋅==T .
Então,
−−=
655
27
67
21
3162
][ ABT .
Por exemplo, .11
)]3,2[(
−=A
Obtém-se,
−=
−⋅
−−==
317
323
10
655
27
67
21
316
11
2)]5,3,2[()]3,2([ BBT
As matrizes associadas a alguns dos operadores lineares no espaço vetorial R2 em relação à base canônica.
AAB vT ].[][ = BvT )]([
Reflexão em torno do eixo X
⋅
− y
x1001
− y
x
Dilatação ou Contração de fator k na direção do vetor
⋅
yx
kk0
0
kykx
Cisalhamento na direção do eixo Y
⋅
yx
k 101
+ ykxx
Rotação
⋅
−yx
sensenθθθθ
coscos
+−
θθθθ
coscos
yxsenysenx
68
Operações com Transformações Lineares 1. Adição
Sejam WVTWVT →→ : e : 21 transformações lineares. Define-se a adição de 21 com TT como sendo a transformação linear:
:)( 21 WVTT →+ )()())(( 2121 vTvTvTTv +=+a
Matricialmente, A
B2121 ][][][ TTTT AB
AB +=+ , onde A é uma base de V e B uma base de W.
Exemplo: Sejam : 1
33 RR →T tal que ),2,(),,(1 zyxzyxT = e : 233 RR →T tal que
),0,0(),,(2 zzyxT = . A transformação soma é :)( 21
33 RR →+ TT tal que .)2,2,(),,)(( 21 zyxzyxTT =+
Ainda,
=
100020001
][ 1T ,
=
100000000
][ 2T e
=+
200020001
][ 21 TT em relação a base canônica
do R3. 2. Multiplicação por Escalar
Sejam WVT →: uma transformação linear e R∈k um escalar. Define-se a transformação linear produto de T pelo escalar k como sendo:
:)( WVTk →⋅ )())(( vTkvTkv ⋅=⋅a
Matricialmente, A
BAB TkTk ][][ ⋅=⋅ , onde A é uma base de V e B é uma base de W.
Exemplo: Seja 2k e 031021
][ =
=T .
Então, )3,,2(),( xyyxyxT += e )6,2,42(),)(2( xyyxyxT +=⋅ .
Ainda, ][2062042
]2[ TT ⋅=
=⋅
3. Composição
Sejam WUTUVT →→ : e : 21 transformações lineares. Define-se a composta de 21 com TT como sendo a transformação linear:
:)( 12 WVTT →o ))(())(( 1212 vTTvTTv =oa
Matricialmente, A
BBC
AC TTTT ][][][ 1212 ⋅=o , onde A é uma base de V , B é uma base de U e C é uma
base de W. Exemplo: Sejam os operadores lineares no R2, ),2(),(1 yyxyxT −+= e )3,2(),(2 yxyyxT +−= .
69
)3,7())3(),3()2(2()3,2()),((),)(( 12121 yxyxyxyxyyxyTyxTTyxTT −+−=+−−+−+=+−==o
)42,2())(3)2(),(2(),2()),((),)(( 21212 yxyyyxyyyxTyxTTyxTT −−−=−++−−=−+==o
Com relação a base canônica:
−
=1012
][ 1T e
−
=3120
][ 2T .
Assim,
−
−=
−
⋅
−
=3171
3120
1012
][ 21 TT o e
−−−
=
−
⋅
−
=4220
1012
3120
][ 12 TT o .
Propriedades de Transformações Invertíveis Sejam UWTWVTWVT →→→ : e : ,: 21 transformações lineares invertíveis e 0, ≠∈ kk R . 1. TT =−− 11 )( 2. 111)( −−− ⋅=⋅ TkTk 3. 1
21
11
12 )( −−− = TTTT oo Exercícios 1) Verificar se as transformações são lineares:
a) ),(),,(),,(
: 2 zyxzyxTzyx
T+=
→
a
23 RR
b) )2,(),,(),,(
: yxzyxTzyx
T=
→a
23 RR
c) }0{, ),,(),(),(
: −∈++=
→R
RR 22
babyaxyxTyxT
a
d) 13),,(),,(
: +−=
→yxzyxTzyx
Ta
RR 3
e) xyxTyx
T=
→
),(),( : a
RR 2
2) Para que valores de R∈k a transformação no R3 tal que )3,,32(),,( zykxzyxT += é linear? 3) Seja )(RnnMat × o espaço vetorial das matrizes quadradas nn × sobre R e )(RnnMatM ×∈ uma
matriz arbitrária qualquer. A transformação )()(: RR nnnn MatMatT ×× → tal que AMMAAT ⋅+⋅=)( é linear?
4) Sejam )2,1( e )1,2( ),0,1( ),1,0( ==== wtuv e 22 RR →:T tal que )2,2(),( yxyxT = , que define
a dilatação de fator 2 na direção do vetor. Represente )( e )( ),( ),( , , , , wTtTuTvTwtuv em um sistema de eixos cartesianos.
70
5) Considere a transformação linear )(: 12 RR 2×→ MatT tal que
⋅
=
yx
yxT3021
),( .
Determine ),( e )4,3( ),1,1( yxTTT − . 6) Encontre a lei que define a transformação linear 22 RR →:T que faz associar
cada vetor ),( yxv = à sua reflexão em torno do eixo Y. Determine )3,2( −−T . Represente no sistema de eixos cartesianos.
7) Seja 23 RR →:T uma transformação linear tal que )5,3()0,1,0( ),4,2()0,0,1( == TT e
)1,1()1,1,1( =T . Indique a lei de T. 8) Seja 23 RR →:T uma transformação linear definida por )3,2()0,1,1( ),2,1()1,1,1( == TT e
)4,3()0,0,1( =T . a) Determine ),,( zyxT . b) Determine 3R∈),,( zyx tal que )2,3(),,( −−=zyxT . c) Determine 3R∈),,( zyx tal que )0,0(),,( =zyxT .
9) Calcule o núcleo e o conjunto imagem das transformações abaixo:
a) )23,32(),,(),,(
: zyxzyxzyxTzyx
T++++=
→a
23 RR
b) )3,2,(),(),(
: yxyxyxyxTyx
T+−−+=
→a
32 RR
10) Ache uma transformação linear 23 RR →:T cujo núcleo seja gerado pelo vetor )0,1,1( . 11) Determinar um operador linear no R3 cujo conjunto imagem seja gerado por )}2,1,1(),1,1,2{( − . 12) Indique a lei de 1−T para cada uma das transformações lineares:
a) ),(),(),(
: xyyxTyx
T−=
→a
22 RR
b) vvIv
VVI
V
V
=→
)( :a
c) ),,,()(
)( : 22
xyzttzyx
Ttzyx
MatT
=
→×
a
4RR
13) Seja o operador linear T no R3 tal que ),,2(),,( zxyyxzyxT ++= . Mostre que T é um
isomorfismo e indique sua inversa.
71
14) Considere },,{ wuvB = uma base do R3, onde )3,2,1(=v , )3,5,2(=u e )1,0,1(=w .
a) Ache uma fórmula para a transformação linear 23 RR →:T tal que )0,1()( =vT , )0,1()( =uT e )1,0()( =wT .
b) Encontre uma base e a dimensão do )(TN . c) Encontre uma base e a dimensão da )Im(T . d) T é invertível? Justifique sua resposta.
15) Seja 23 RR →:T tal que ),(),,( zxyxzyxT ++= . Indique:
a) ABT ][ considerando A e B bases canônicas.
b) CDT ][ onde )}2,0,0(),0,1,0(),0,0,1{( −=C e )}5,3(),2,1{(=D .
c) DvT ])([ onde )0,1,1(=v .
16) Sejam S e T operadores lineares no R2 definidas por ),2(),( yyxyxS += e )3,(),( yxyxT = . Determine:
a) TS + b) )4()2( TS ⋅+⋅ c) TS o d) SS o
17) Escolha alguns vetores de R2, represente-os no plano cartesiano. Em seguida encontre a imagem de cada um deles em relação ao operador S anterior. Represente essas imagens no plano cartesiano. Observe o que acontece.
18) Repita os mesmos passos do exercício anterior, para o operador T.
19) Seja T a transformação linear determinada pela matriz
− 400402
.
a) Indique a lei da transformação. b) Calcule )1,2(−T .
20) Seja T o operador linear no R3 definido por )3,4,2(),,( xyxzyzyxT −+= .
a) Encontre a matriz de T na base )}0,0,1(),1,0,1(),0,1,1{(=B . b) Encontre BT )]1,0,1([ − utilizando B
BT ][ .
21)Seja T a transformação linear associada a matriz
−
002103201
.
a) Ache uma base para )(TN . b) Ache uma base para )Im(T . c) T é sobrejetora ? E injetora? d) Determine a matriz associada a T em relação a base )}2,1,0(),1,1,0(),0,2,1{( − .
72
22) Seja 32 RR →:T a transformação linear definida por )0,,2(),( xyxyxT −+= .
a) Ache a matriz associada a T relativa as bases )}4,2(),3,1{( −=A e )}0,0,3(),0,2,2(),1,1,1{(=B .
b) Use a matriz para calcular BvT )]([ onde
−=
21
][ Av .
23) Seja T a transformação linear associada a matriz
−
120321
.
a) Qual a lei que define T? b) Determine o núcleo de T e uma base para )(TN . c) Determine a imagem de T e uma base para )Im(T .
24) Seja a transformação linear 23 RR →:T tal que )324,32(),,( zyxzyxzyxT +++−= . a) Considerando A e B as bases canônicas do R3 e do R2 , encontre [ ]A
BT . b) Considerando )}1,0,1(),1,1,0(),0,1,1{(=A uma base do R3 e )}1,1(),1,1{( −=B uma base do R2,
encontre [ ]ABT .
25) Seja a transformação linear 32 RR →:T tal que ),,2(),( yxyyxyxT ++= . Encontre:
a) A matriz de T em relação a base canônica b) A matriz de T em relação as bases )}1,0(),2,1{( −=A e )}3,0,0(),1,2,0(),0,0,1{(=B .
26) Considere
−=
200112
][ ABT onde )}1,1(),0,1{( −=A e )}2,0,0(),1,1,0(),3,2,1{( −=B . Encontre as
coordenadas de BvT )]([ sabendo que as coordenadas de v em relação à base canônica do R2 são
−21
.
27) Sabendo que a transformação linear 22 RR →:θT , cuja matriz em relação à base canônica é
−θθθθ
cossensencos
, aplicada a um vetor
=
yx
v][ indica a rotação do vetor v de um ângulo θ .
Assim, ][cossensencos
][ vT ⋅
−=
θθθθ
θ .
Utilizando a matriz de rotação, determine o vértice ),( yxC = de um triângulo retângulo e isósceles em A, onde )3,5( e )1,2( == BA .
28) Seja
−
200010002
a matriz associada a um operador T em relação à base )}1,0,0(),1,1,0(),1,0,1{( − .
Determine a lei de T.
73
Respostas 1) b) Sim 2) 0=k 3) Sim
5)
=
33
)1,1(T e
=−
125
)4,3(T
+=
yyx
yxT3
2),(
16) a) )4,22(),)(( yyxyxTS +=+ b) )14,46(),)(42( yyxyxTS +=⋅+⋅ c) )3,6(),)(( yyxyxTS +=o d) ),4(),)(( yyxyxSS +=o
19) a) )4,4,2(),( yxxyxT −= b) )4,8,4()1,2( −−−=−T
6) ),(),( yxyxT −= e )3,2()3,2( −=−−T 7) )854,432(),,( zyxzyxzyxT −+−+= 8) a) )4,3(),,( zyxzyxzyxT −−−−=
b) }),,6,1{( R∈− zzz }),,,0{( R∈− yyy
20) a)
−−
−=
432333113
][ BT
b)
−=−
531
)]1,0,1([ BT
9) a) }),,2,{()( R∈−= zzzzTN 2R=)Im(T
b) )}0,0{()( =TN }0345|),,{()Im( =++−∈= zyxzyxT 3R
21) a) base )}0,1,0{(:)(TN b) base )}0,1,2(),2,3,1{(:)Im( −T c) Nem injetora nem sobrejetora.
d)
−−=
310
35
320
310
10
421][ AT
12) a) ),(),(1 xyyxT −=− b) VV II =−1
c)
=−
xyzt
tzyxT ),,,(1
22) a)
−=
34
3821 1
00][ A
BT b)
=
0
0)]([ 2
5BvT
14) a) ),zyxT zyxzyx839
217(),,( −−−+=
b) }),0,,{()( 3 R∈= yyTN y base )}0,3,1{(:)(TN 1)(dim =TN c) 2R=)Im(T
base )}1,0(),0,1{(:)Im(T 2)Im(dim =T d) Não, pois T não é injetora.
23) a) )2,3,2(),( yxxyxyxT ++−= b) )}0,0{()( =TN
}0653|),,{()Im( =−+∈= zyxzyxT 3R base )}1,0,2(),2,3,1{(:)Im( −T
24) a)
−=
324312
][ ABT
b) 16
][23
25
27
27
−−−
=ABT
15) a)
=
101011
][ ABT
b)
−−
−=
221652
][ CDT
c)
−=
37
])([ DvT
25) a) 111012
][
=A
BT b)
−=
6121
01
10][ A
BT
26)
=
410
)]([ BvT
27) )4,0(=C ou )2,4( −=C 28) )24,,2(),,( zyxyxzyxT ++−−=
74
Apêndice C – Teoremas Considere WVT →: uma transformação linear. 33. WVT 00 =)( . 34. Para quaisquer Vvvv n ∈,...,, 21 e para quaisquer R∈nkkk ,...,, 21 ,
)(...)()()...( 22112211 nnnn vTkvTkvTkvkvkvkT ⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅ .
Corolário34. Sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V é possível determinar a transformação linear WVT →: .
35. Para quaisquer Vuv ∈, , )()( vTvT −=− e )()()( uTvTuvT −=− .
36. Seja S um subespaço vetorial do espaço vetorial V.
Então })( que tal existe |{)( wsTSsWwST =∈∈= é um subespaço vetorial do espaço W. 37. )(TN é um subespaço vetorial de V. 38. )Im(T é um subespaço vetorial de W. 39. Teorema do Núcleo e da Imagem. )Im(dim)(dimdim TTNV += .
40. T é uma transformação linear injetora se e somente se }{)( VTN 0= . 41. Seja T uma transformação linear injetora e Vvvv n ⊆},...,,{ 21 um conjunto de vetores linearmente
independente. Então o conjunto WvTvTvT n ⊆)}(),...,(),({ 21 também é linearmente independente.
42. Se T é uma transformação linear injetora e WV dimdim = então T é sobrejetora. 43. T é bijetora se e somente se for invertível. 44. Considere Vvvv n ⊆},...,,{ 21 . Se Vvvv n =],...,,[ 21 então )Im()](),...,(),([ 21 TvTvTvT n = . Considere WVTT →′ :, e UWRR →′ :, transformações lineares. 45. A transformação composta UVTR →:)( o tal que ))(())(( vTRvTR =o é linear. 46. Sejam T e R bijetoras.
Então i) a transformação inversa VWT →− :1 é linear. ii) TT =−− 11)( iii) 111)( −−− ⋅=⋅ TkTk iv) 111)( −−− = RTTR oo
75
47. Seja R∈k . Então i) )()()( TRTRTRR ooo ′+=′+
ii) )()()( TRTRTTR ′+=′+ ooo iii) )()()( TkRTRkTRk ⋅=⋅=⋅ ooo
48. Seja },...,,{ 21 nvvv uma base V. Se o vetor iv pode ser associado a um vetor Wwi ∈ , para todo
ni ,...,1= então existe uma única transformação linear WVT →: tal que ii wvT =)( . 49. Seja ),( WVL (ou ),( WVHom ) o conjunto de todas as transformações lineares de V em W e as
seguintes operações:
)()())(( que tal ),( ),(),(),(:
21212121 vTvTvTTTTTTWVLWVLWVL
+=++→×+a
)())(( que tal ),(
),(),(:vTkvTkTkTk
WVLWVL⋅=⋅⋅
→×⋅a
R
Então ],,),,([ ⋅+RWVL é um espaço vetorial.
50. Se nV =dim e mW =dim então nmWVL =),(dim . O conjunto ),( RVL ou ),( RVHom ou *V de todos os funcionais de V em R é denominado espaço vetorial dual de V.
76
PRODUTO INTERNO Definição Considere V um espaço vetorial real. O produto interno sobre V é uma função
⟩⟨→×⟨⟩
v,uuvVV
),( :
a
R
que satisfaz as seguintes propriedades: PI1. (Positiva Definida) Para todo, 0,, ≥⟩⟨∈ vvVv e Vvvv 0==⟩⟨ se somente e se 0, PI2. (Simétrica) Para quaisquer ⟩⟨=⟩⟨∈ vuuvVuv ,,,, . PI3. (Aditividade) Para quaisquer ⟩⟨+⟩⟨=⟩+⟨∈ wuwvwuvVwuv ,,,,,, . PI4. (Homogeneidade) Para quaisquer Vuv ∈, e para todo ⟩⟨=⟩⟨∈ uvkukvk ,,,R . Exemplos: 1) Produto usual, canônico ou Euclidiano no Rn.
∑=
=⟩⟨n
iiinn yxyyyxxx
12121 ),...,,(),,...,,(
2) 2R:V
ytxztzyx 3),(),,( 21 +=⟩⟨
3) 3R:V
212121222111 52,,,,,( zzyyxxzyxzyx ++=⟩⟨ Norma de um Vetor Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Define-se a função norma como sendo
R→V: tal que ⟩⟨= vvv , . Assim, ⟩⟨= vvv ,2 . Com esta definição, a norma de vetores depende do produto interno considerado. Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Um vetor Vv∈ é denominado vetor unitário quando 1=v .
Seja um vetor Vv∈ , Vv 0≠ . O vetor Vvvv
v∈=⋅
1 é denominado vetor normalizado, e sempre
um vetor unitário, isto é, 1=vv .
77
Distância entre dois Vetores Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Define-se a função distância
R→×VVd : tal que uvuvd −=),( . Assim, ⟩−−⟨=−= uvuvuvuvd ,),( , e
⟩−−⟨= uvuvuvd ,),( 2 . Ângulo entre dois Vetores Seja V um espaço vetorial munido com um produto interno. O ângulo θ entre dois vetores
Vuv ∈, é tal que uvuv
,cos ⟩⟨
=θ com πθ ≤≤0 .
Ortogonalidade Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Dois vetores Vuv ∈, são denominados vetores ortogonais quando 0, =⟩⟨ uv . Notação: uv⊥ Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno e o conjunto VvvA n ⊆= },...,{ 1 . O conjunto A é dito conjunto ortogonal quando 0, =⟩⟨ ji vv , para todo nji ,...,1, = , ji ≠ . Se em um conjunto ortogonal todos os vetores são unitários o conjunto é denomindado conjunto ortonormal. Desta forma, se uma base do espaço vetorial for um conjunto ortogonal, será denominada base ortogonal. Uma base ortogonal formada por vetores unitários é chamada base ortonormal. Exemplo: O conjunto )}5,3,6(),3,1,2(),0,2,1{( −− é ortogonal em relação ao produto interno usual. Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt. Projeção de um Vetor sobre um Subespaço. O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt resolve o problema de a partir de uma base qualquer de um espaço vetorial, obter uma base ortogonal. O processo será apresentado para os espaços vetoriais do R2 e R3, e, finalmente, generalizado. • Processo para o espaço R2 Considere },{ 21 vvA = uma base de R2. Sejam 11 vu = e 122 kuvu −= . Assim, 0, 12 =⟩⟨ uu isto é, o vetor 2u , obtido em função de 1v e 2v , é ortogonal ao vetor 1u . Interpretação geométrica:
2v
11 vu =
1ku2u
78
O escalar R∈k é tal que: 0, 12 =⟩⟨ uu 0, 112 =⟩−⟨ ukuv
0,, 1112 =⟩⟨−⟩⟨ ukuuv 0,, 1112 =⟩⟨−⟩⟨ ukuuv
∴=⟩⟨−⟩⟨ 0,, 1112 uukuv⟩⟨⟩⟨
=11
12
,,uuuv
k
Logo, },{ 21 uuB = é uma base ortogonal com 11 vu = e 111
122122 ,
, uuuuvvkuvu⟩⟨⟩⟨
−=−= .
O vetor 1ku é a projeção ortogonal do vetor 2v no subespaço vetorial gerado pelo vetor 1u .
111
1212][ ,
,1
uuuuvkuvproj u ⟩⟨⟩⟨
==
Exemplo: Ortogonalizando a base )}5,3(),2,1{( pelo processo de Gram-Schmidt.
)2,1(11 == vu
−=−=
⟩⟨⟩⟨
−=⟩⟨⟩⟨
−=51,
52)2,1(
513)5,3()2,1(
)2,1(),2,1()2,1(),5,3()5,3(
,,
111
1222 u
uuuvvu
Assim o conjunto ( ){ }51
52 ,),2,1( é uma base ortogonal do R2.
O vetor ( )5
265
135
131 ,)2,1( ==ku é a projeção ortogonal do vetor )5,3( no subespaço vetorial [ ])2,1( .
• Processo para o espaço R3 Seja },,{ 321 vvvA = uma base do R3.
Sejam os vetores 11 vu = e 111
1222 ,
, uuuuvvu⟩⟨⟩⟨
−= .
O vetor 3u é obtido em função dos vetores 321 e , vvv e ortogonal tanto ao vetor 1u quanto ao vetor
2u . Assim, )( 221133 ukukvu ⋅+⋅−= com 0, 13 =⟩⟨ uu e 0, 23 =⟩⟨ uu . Interpretação geométrica para esta situação:
2u
1u
22uk
11uk
3u
3v
79
O escalar R∈1k é tal que: 0, 13 =⟩⟨ uu 0),( 122113 =⟩+−⟨ uukukv
0, 122113 =⟩−−⟨ uukukv 0,,, 12211113 =⟩⟨−⟩⟨−⟩⟨ uukuukuv
Mas, 0, 1221 =⟩⟨∴⊥ uuuu
∴=⟩⟨−⟩⟨ 0,, 11113 uukuv⟩⟨⟩⟨
=11
131 ,
,uuuv
k
O escalar R∈2k é tal que: 0, 23 =⟩⟨ uu 0),( 222113 =⟩+−⟨ uukukv
0, 222113 =⟩−−⟨ uukukv 0,,, 22221123 =⟩⟨−⟩⟨−⟩⟨ uukuukuv
Mas, 0, 2121 =⟩⟨∴⊥ uuuu
∴=⟩⟨−⟩⟨ 0,, 22223 uukuv⟩⟨⟩⟨
=22
232 ,
,uuuv
k
Então, 11 vu =
111
1222 ,
, uuuuvvu⟩⟨⟩⟨
−=
222
231
11
133221133 ,
,,,
uuuuv
uuuuv
vukukvu⟩⟨⟩⟨
−⟩⟨⟩⟨
−=−−=
Logo, },,{ 321 uuuB = é uma base ortogonal do R3, com 11 vu = , 111
1222 ,
, uuuuvvu⟩⟨⟩⟨
−= e
222
231
11
133221133 ,
,,,
uuuuv
uuuuv
vukukvu⟩⟨⟩⟨
−⟩⟨⟩⟨
−=−−= .
O vetor 2211 ukuk + é a projeção ortogonal do vetor 3v no subespaço vetorial gerado pelos vetores
21 e uu .
222
231
11
1322113],[ ,
,,,
21u
uuuu
uuuuu
ukukvproj uu ⟩⟨⟩⟨
+⟩⟨⟩⟨
=+=
• Generalização Seja },...,,{ 21 nvvvA = uma base de um espaço vetorial V n-dimensional munido de um produto interno. Considere os vetores:
11 vu =
111
1222 ,
, uuuuvvu⟩⟨⟩⟨
−=
222
231
11
1333 ,
,,,
uuuuv
uuuuv
vu⟩⟨⟩⟨
−⟩⟨⟩⟨
−=
.......................................................................................
111
12
22
21
11
1
,,
...,,
,,
−−−
−
⟩⟨⟩⟨
−−⟩⟨⟩⟨
−⟩⟨⟩⟨
−= nnn
nnnnnn u
uuuv
uuuuv
uuuuv
vu
Então },...,,{ 21 nuuuB = é uma base ortogonal de V.
80
Como Vvvv
v∈=⋅
1 é um unitário, o conjunto
=n
n
uu
uu
uu
C ,...,,2
2
1
1 , obtido da normalização
dos vetores da base ortogonal B, é denominado base ortonormal. Complemento Ortogonal Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno e S um subespaço vetorial de V. O complemento ortogonal de S é o conjunto } para todo ,0,|{ SssvVvS ∈=⟩⟨∈=⊥ . Exemplos: 1) }0|),,{( =∈= xzyxS 3R .
Encontrar um vetor ortogonal ao subespaço vetorial S significa encontrar um vetor ortogonal aos vetores de uma base de S. Seja )}1,0,0(),0,1,0{( uma base de S. Assim, )}1,0,0(),,( e )0,1,0(),,(|),,{( ⊥⊥∈=⊥ zyxzyxzyxS 3R .
∴=⟩⟨=⟩⟨ 0)1,0,0(),,,( e 0)0,1,0(),,,( zyxzyx 0 e 0 == zy .
Então, }0 e 0|),,{( ==∈=⊥ zyzyxS 3R . 2) },),,,3{( R∈−= zyzyzyS .
Uma base para S é )}1,0,1(),0,1,3{( − . }0)1,0,1(),,,( e 0)0,1,3(),,,(|),,{( =⟩−⟨=⟩⟨∈=⊥ zyxzyxzyxS 3R .
Assim,
=+−=+
003
zxyx
.
}),,3,{( R∈−=⊥ zzzzS .
Observe que, se S é um subespaço vetorial de V, seu complemento ortogonal ⊥S também é subespaço vetorial de V. É importante ainda ressaltar que o único vetor comum a a e ⊥SS é o vetor nulo V0 , Assim,
}{ VSS 0=∩ ⊥ . O subespaço vetorial ⊥+ SS é na verdade o próprio espaço vetorial V. Portanto, VSS =⊕ ⊥ . Pelo Teorema da Dimensão, ⊥⊥ +=⊕= SSSSV dimdim)dim(dim .
81
Exercícios 1) Verifique que funções RRR 22 →×⟨⟩ : definidas abaixo são produtos internos.
a) ytxztzyx 32),(),,( +=⟩⟨ b) ytxztzyx −=⟩⟨ ),(),,( c) xztzyx 4),(),,( =⟩⟨ d) 1),(),,( ++=⟩⟨ ytxztzyx e) tyzxtzyx 222),(),,( +=⟩⟨ f) tyzxtzyx 22),(),,( +=⟩⟨ g) 2222),(),,( tyzxtzyx +=⟩⟨ h) 2211),(),,( lklktzyx −=⟩⟨ onde },{ 21 vvA = é uma base qualquer do espaço vetorial R2,
2211),( vkvkyx ⋅+⋅= e 2211),( vlvltz ⋅+⋅= . i) ytyzxtxztzyx 522),(),,( +−−=⟩⟨
2) Calcule a norma de )2,5,1( − considerando:
a) o produto interno usual no R3.
b) ztyrxwtrwzyx 321),,(),,,( ++=⟩⟨ .
3) Calcule )1,2( em relação ao:
a) produto interno usual. b) ytxztzyx 43),(),,( +=⟩⟨ .
4) Considere o espaço vetorial R3 munido do produto interno usual. Determine R∈k tal que 41)1,,6( =−k .
5) Mostre que 1=vv para todo Vv∈ .
6) Sejam Vvu ∈, um espaço vetorial euclidiano tais que 3=v e 5=u . Determine R∈k de
modo que 0, =⟩⋅−⋅+⟨ ukvukv . 7) Seja R2 munido do produto interno usual e )5,3( e )2,1( == uv .
a) interprete geometricamente vuuvuv −−+ e , . b) calcule ),( e ),( vuduvd .
8) Seja o espaço vetorial R2 com produto interno usual. Seja que 3=v , 4=u e 52=+ uv . Indique o ângulo entre v e u.
9) Verifique se os vetores )3,2( − e )2,3( são ortogonais em relação aos seguintes produtos internos
no R2: a) ytxztzyx +=⟩⟨ ),(),,( b) ytxztzyx 34),(),,( +=⟩⟨
82
10) Se v e u são vetores ortogonais então 222 uvuv +=+ ? Justifique. (Generalização do Teorema de Pitágoras)
11) Normalize o conjunto )}5,3,6(),3,1,2(),0,2,1{( −− . 12) Verifique se as bases abaixo são ortogonais no R² e no R³, respectivamente, para o produto
interno usual. a) )}5,3(),2,1{(
b)
−
−
32,
32,
31,
32,
31,
32,
31,
32,
32
13) Encontre um vetor unitário no R3 que seja ortogonal aos vetores )0,1,1( − e )1,1,2( − . 14) Seja V um espaço vetorial euclidiano. Mostre que se Vuv ∈, são ortogonais e tais que
1== uv então 2=− uv . 15) Ortogonalize a base )}1,1,0(),0,2,1(),2,1,1{( − do R3. 16) O conjunto )}1,1,0(),2,0,1{(=A é uma base de um subespaço vetorial do R3. Obtenha uma base
ortogonal B a partir de A. 17) Encontre a projeção ortogonal do vetor )1,1,1( − no subespaço vetorial ][B do exercício
anterior. 18) Seja },),,,3{( R∈−= zyzyzyS um subespaço vetorial do R3. Indique ⊥S , ⊥∩ SS e ⊥+ SS .
19) A partir da base )}5,2(),3,1{( indique duas bases ortonormais do R2. 20) Ortogonalize pelo processo de Gram-Schmidt as seguintes bases do R3.
a) )}1,2,1(),0,1,1(),1,1,1{( − b) )}1,4,0(),2,7,3(),0,0,1{( −
21) Seja o espaço vetorial R3 munido do produto interno usual e seja S o subespaço vetorial gerado
pela base ortogonal )}3,0,4(),0,1,0{( −=B . Determine a projeção do vetor )1,1,1( no subespaço S.
22) Seja o espaço vetorial R3 com o produto interno zrytxwrtwzyx 32),,(),,,( ++=⟩⟨ .
Utilize o processo de Gram-Schmidt para transformar a base )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{( numa base ortogonal.
23) Seja o espaço vetorial R3 munido do produto interno usual e )}2,4,2(),,3,2,1{( −−=A .
Determine: a) o subespaço vetorial S gerado pelo conjunto A . b) o subespaço vetorial ⊥S .
24) Considere o subespaço vetorial }0|),,{( =−∈= zxzyxS 3R com o produto interno zrytxwrtwzyx 432),,(),,,( ++=⟩⟨ . Determine ⊥S , uma base e sua dimensão.
83
Respostas 2) a) 30 b)
752
3) a) 5 b) 4 4) 2±=a 6) 5
3±=a
7) 13),(),( == vuduvd 8) )arccos( 24
5−=θ 11) { ( , , ), ( , , ), ( , , )1
525
214
114
314
670
370
5700 − −
13)
−
33,
33,
33
15) { ( , , ), ( , , ), ( , , )11 2 112
32
421
221
121− − − }
16) { ( , , ), ( , , )1 0 2 125
15− }
17)
−−=′ 3
1,31,
31
][ vproj B
18) a) Sim b) {0V} c) R3 19) { })0,,(),,,(),1,1,1( 3
132
21
21
21 −−
20) a) {(1,1,1),(-1,1,0),( 16
16
26, ,− )}
b) {(1,0,0),(0,7,-2),( 0 3053
10553, , )}
21)
−=
253,1,
254
][ vproj B
22) { )0,,(),,,(),1,1,1( 31
32
21
21
21 −− }
23) a) }0|),,{( 3 =++∈= zyxzyxS R b) }),,,{( R∈=⊥ zzzzS 24) }),,0,2{( R∈−=⊥ zzzS base : {(-2, 0, 1)} 1dim =⊥S
84
Apêndice D – Teoremas Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Para quaisquer Vwuv ∈,, e R∈21,, kkk .
Teo51. ⟩⟨=⟩⋅⟨ uvkukv ,, Teo52. ⟩⟨+⟩⟨=⟩+⟨ wvuvwuv ,,, Teo53. ⟩⟨=⟩⟨ uvkkukvk ,, 2121 Teo54. 0, =⟩⟨ Vv 0 Teo55. Se para todo VuVu 0≠∈ , , 0, =⟩⟨ uv então Vv 0= .
Teo56. Se para todo VuVu 0≠∈ , , ⟩⟨=⟩⟨ uwuv ,, então wv = . Teo57. ⟩⟨−⟩⟨=⟩−⟨ wuwvwuv ,,, . Teo58. 0≥v e Vvv 0== se somente e se 0 . Teo59. vkvk ⋅=⋅ . Teo60. Desigualdade de Cauchy-Schwarz: uvuv , ≤⟩⟨ . Corolário60: ⟩⟩⟨⟨≤⟩⟨ uuvvuv ,,, 2 , isto é, 222, vuuv ≤⟩⟨ . Teo61. Desigualdade Triangular: uvuv +≤+ . Teo62. i) 0),( ≥uvd e 0),( =uvd se e somente se uv =
ii) ),(),( vuduvd = iii) ),(),(),( uwdwvduvd +≤
Teo63. vV ⊥0 . Teo64. Se uv ⊥ então vu ⊥ . Teo65. Se uv ⊥ , para todo VuVu 0≠∈ , então Vv 0= . Teo66. Se wv ⊥ e wu ⊥ então wuv ⊥+ . Teo67. Se uv ⊥ então uvk ⊥⋅ . Teo68. (Generalização do Teorema de Pitágoras) Se uv ⊥ então 222 uvuv +=+ . Teo69. Se },...,{ 1 rvv é um conjunto ortogonal de vetores não nulos então },...,{ 1 rvv é um conjunto
linearmente independente.
85
Teo70. Sejam VS ≤ , },...,{ 1 rvv uma base de S e Vv∈ tal que para todo ri ,...,1= , ivv ⊥ então para todo Ss ∈ , sv ⊥ .
Teo71. Sejam },...,{ 1 nvv uma base ortonormal de V e Vv∈ . Então nn vvvvvvv ⋅++⋅= ,..., 11 . Teo72. (Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt)
Sejam Vvv r ⊆},...,{ 1 um conjunto de vetores linearmente independente. Existe um conjunto ortogonal (ortonormal) Vuu r ⊆},...,{ 1 que é uma base do subespaço gerado pelo conjunto
},...,{ 1 rvv . Teo73. ∅≠⊥S . Teo74. VS ≤⊥ . Teo75. SS =⊥⊥ )( Teo76. }{ VSS 0=∩ ⊥ .
Teo77. ⊥⊕= SSV Corolário77: VSS dimdimdim =+ ⊥ Teo78. Seja V um R-espaço vetorial munido de um produto interno e um dado vetor Vu∈ . A
função R→Vfu : tal que >=< vuvf ,)( é um funcional. Teo79. Seja V um R-espaço vetorial munido de um produto interno. A função *: VVT → tal que
vfvT =)( é uma transformação linear. Teo80. Sejam V um R-espaço vetorial munido de um produto interno e R→Vf : um funcional.
Então existe um único vetor Vv∈ tal que >=< uvuf ,)( , para todo Vu∈ , isto é, a função *: VVT → tal que vfvT =)( é um isomorfismo.
Corolário80. Se nV =dim então nV =*dim .
86
AUTOVALORES E AUTOVETORES Definição Seja VVT →: um operador linear. Um vetor VvVv 0≠∈ , , é dito autovetor, vetor próprio ou
vetor característico do operador T, se existir R∈λ tal que vvT ⋅= λ)( .
O escalar λ é denominado autovalor, valor próprio ou valor característico do operador linear T
associado ao autovetor v.
Exemplos:
1) : 22 RR →T
)8,3(),( yxxyx −a
)2,1( é autovetor de T associado ao autovalor 3=λ , pois )2,1(3)6,3()2,1( ⋅==T .
2) : 33 RR →T
)32,2,(),,( zyzyzyxzyx ++++a
)2,1,1( é autovetor de T associado ao autovalor 4=λ , pois )2,1,1(4)8,4,4()2,1,1( ⋅==T e
)1,1,1( − é autovetor de T associado ao autovalor 1=λ , pois )1,1,1(1)1,1,1()1,1,1( −⋅=−=−T .
Seja v é um autovetor do operador linear T associado ao autovalor λ então Vkv∈ também é um
autovetor de T associado ao autovalorλ , para todo 0, ≠∈ kk R .
Exemplo: Seja o operador linear )8,3(),( yxxyxT −= .
O vetor )2,1(=v é autovetor associado ao autovalor 3=λ .
Como )4,2(3)12,6()4,2())2,1(2( ⋅===⋅ TT , o vetor )4,2( é também autovetor de T associado a
3=λ .
Seja λ é um autovalor do operador linear T. O conjunto })(|{ vvTVvV λλ =∈= de todos os
autovetores associados a λ juntamente com o vetor nulo V0 , é denominado autoespaço
correspondente ao autovalor λ .
Exemplo: Considere o operador )8,3(),( yxxyxT −= .
O autoespaço { } { }RR 2 ∈==∈= xxxyxyxTyxV ),2,(),(3),(|),(3 corresponde ao autovalor 3=λ .
87
Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços Seja o operador linear VVT →: tal que nV =dim .
Por definição, vvT ⋅= λ)( , com VvVv 0≠∈ , e R∈λ .
Considere o operador identidade VVIV →: tal que vvIV =)( .
Assim, )()( vIvT Vλ= .
Então, VV vIvT 0=− )()( λ .
Pela definição de multiplicação por escalar em transformações lineares, VV vIvT 0=− ))(()( λ .
Pela definição de adição de transformações, VV vIT 0=− ))(( λ .
Então, o vetor VvVv 0≠∈ , , deve pertencer ao núcleo do operador )( VIT λ− , isto é,
)( VITKerv λ−∈ , com Vv 0≠ .
Portanto, o operador linear )( VIT λ− não é injetivo, consequentemente, não é bijetivo, nem
invertível.
O fato do operador linear não ser invertível é equivalente ao do determinante de sua matriz
associada, dada uma certa base, ser zero.
A equação 0)]det([ =− nA IT λ , onde nI é a matriz identidade de ordem n, é denominada de
equação característica.
O polinômio )]det([ nA IT λ− é denominado polinômio característico de T, e suas raízes em R são
os autovalores do operador linear T.
Exemplo: Seja 22 RR →:T tal que )8,3(),( yxxyxT −= e considere a base canônica do R2.
Assim,
−
=1803
][T e
=
=
λλ
λλ0
01001
2I
Então,
−−
−=
−
−
=−λ
λλ
λλ
1803
00
1803
][ 2IT
)1)(3(1803
det)]det([ 2 λλλ
λλ −−−=
−−
−=− IT
−==
∴=−−−∴=−1
30)1)(3(0)]det([
2
12 λ
λλλλIT
Logo, 1 e 3 21 −== λλ são os autovalores do operador linear T.
88
Tendo encontrado os autovalores iλ , com Vi dim1 ≤≤ .
Os autovetores são os vetores VvVv 0≠∈ , tais que VV vIT 0=− ))(( λ .
Considere uma base A para o espaço vetorial V e a equação matricial 1][)]([ ×=⋅− nAnA vIT 0λ ,
onde 1×n0 é a matriz nula de ordem 1×n .
Substituindo cada autovalor iλ encontrado na equação matricial, obtém-se um sistema de equações
lineares.
Resolvendo-se cada um destes sistemas, os autovetores associados a cada um do autovalores são
obtidos, e, consequentemente, os autoespaços i
Vλ .
Exemplo: Seja 22 RR →:T tal que )8,3(),( yxxyxT −= com autovalores 1 e 3 21 −== λλ e a
base canônica do R2.
Para 31 =λ : 122 ][)3]([ ×=⋅− 0vIT
00
1001
31803
∴
=
⋅
−
− y
x∴
=
⋅
−
− 0
03003
1803
yx
=
⋅
− 0
04800
yx
xyyx 2048 =∴=−
}),2,{(3 R∈= xxxV
Para 12 −=λ : 122 ][))1(]([ ×=⋅−− 0vIT
∴
=
⋅
+
− 0
01001
1803
yx
∴
=
⋅
00
0804
yx
=∴==
00804
xxx
}),,0{(1 R∈=− yyV .
89
Multiplicidade de Autovalores Sejam V um espaço vetorial, T um operador linear em V e R∈iλ , com Vi dim1 ≤≤ , um autovalor
deste operador.
O número de vezes que )( iλλ − aparece como um fator do polinômio característico de T é
denominado de multiplicidade algébrica de iλ , cuja notação é )( iam λ .
A dimensão do autoespaço i
Vλ é denominada a multiplicidade geométrica de iλ , cuja notação é
)( igm λ .
Exemplos: Considerando a base canônica do R3.
1) 33 RR →:T tal que )422,242,224(),,( zyxzyxzyxzyxT ++++++=
=
422242224
][T e
−−
−=−
λλ
λλ
422242224
)(][ 3IT
0)8()2(03236120)]det([ 233 =−−∴=−+−∴=− λλλλλλIT
},),,,{( e 2 21 R∈−−== zyzyzyVλ
}),,,{( e 8 82 R∈== zzzzVλ
O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico, 2)2( =am , e seu
autoespaço possui dimensão igual a 2, 2)2( =gm . Já o autovalor 8 ocorre única vez como raiz,
1)8( =am , e )8(1dim 8 gmV == .
2) 33 RR →:T tal que )2,2,3(),,( zyyxzyxT +=
=
210020003
][T e
−−
−=−
λλ
λλ
210020003
)(][ 3IT
0)3()2(0121670))(]det([ 2233 =−−∴=−+−∴=⋅− λλλλλλ IT
}),,0,0{( e 2 21 R∈== zzVλ
}),0,0,{( e 3 32 R∈== xxVλ
O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico, 2)2( =am , e
)2(1dim 2 gmV == . O autovalor 3 ocorre única vez como raiz, 1)3( =am , e )3(1dim 3 gmV == .
90
Diagonalização de Operadores Lineares Dado um operador linear VVT →: , existem representações matriciais de T relativas as bases de V.
Dentre estas representações, a considerada mais simples é uma matriz diagonal.
Como a cada base corresponde uma matriz, a questão se resume na obtenção de uma certa base,
cuja representação matricial do operador linear T em relação a esta base é uma matriz diagonal.
Assim, esta base diagonaliza o operador linear T.
Seja V um espaço vetorial n-dimensional e VVT →: um operador linear.
O operador linear T é denominado um operador linear diagonalizável se existir um base A de V tal
que AT ][ é uma matriz diagonal. Esta base é composta pelos autovetores do operador linear T.
Seja V um espaço vetorial n-dimensional e VVT →: um operador linear. Se existem n
autovalores distintos n,λ,λ K1 então o operador linear T é diagonalizável.
Exemplo: Seja o operador linear 33 RR →:T tal que )2,2,4(),,( zxyxzxzyxT +−+−+= e a
base canônica do R3, então
−−=
102012104
][T .
11 =λ , }),0,,0{(1 R∈= yyV e )0,1,0(1 =v
22 =λ , }),,,2
{(2 R∈−= zzzzV e )2,2,1(2 −=v
33 =λ , }),,,{(3 R∈−= zzzzV e )1,1,1(3 −=v
Sendo )}1,1,1(),2,2,1(),0,1,0{( −−=A uma base de autovetores,
=
300020001
][ AT
Se existem nr < autovalores distintos rλλ ,,1 K e suas multiplicidades algébricas e geométricas
forem iguais, isto é, para todo ri ,...,1= , )()( igia mm λλ = , então o operador linear T é
diagonalizável.
Exemplo: Seja o operador 33 RR →:T tal que ),,(),,( zyxzyxzyxzyxT ++++++= e a
base canônica do R3, então
=
111111111
][T .
01 =λ , },),,,{(0 R∈−−= zyzyzyV e )}1,0,1(),0,1,1{(1 −−=A 32 =λ , }),,,{(3 R∈= zzzzV e )}1,1,1{(2 =A
Sendo )}1,1,1(),1,0,1(),0,1,1{(21 −−=∪= AAA uma base de autovetores,
=
300000000
][ AT
91
Exercícios 1) Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores:
a)
=−
3122
][para )1,2( T .
b)
−=−
121232011
][para )3,1,2( T .
2) Os vetores )1,2( e )1,1( − são autovetores de um operador linear 22 RR →:T associados aos
autovalores 51 =λ e 12 −=λ , respectivamente. Determinar )1,4(T . 3) Determinar o operador linear 22 RR →:T cujos autovalores são 11 =λ e 32 =λ associados
aos autoespaços }),,{(1 R∈−= yyyV e }),,0{(3 R∈= yyV . 4) Determinar os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no R2.
a) )4,2(),( yxyxyxT +−+= b) ),(),( xyyxT −=
5) Dado o operador linear T no R2 tal que )2,53(),( yyxyxT −−= , encontrar uma base de
autovetores. 6) Verificar se existe uma base de autovetores para:
a) 33 RR →:T tal que )32,2,(),,( zyzyzyxzyxT ++++= b) 33 RR →:T tal que )22,2,(),,( zyxyxxzyxT ++−−= c) 33 RR →:T tal que )34,32,(),,( zyzyxxzyxT +−−+−=
7) Seja 22 RR →:T tal que )2,54(),( yxyxyxT ++= . Encontrar uma base que diagonalize o
operador T. 8) O operador linear 44 RR →:T tal que ),,,(),,,( yxtzyzyxtzyxtzyxT ++++++++=
é diagonalizável? Respostas 1) a) Sim b) Não 2) )32,4(),( yxyxyxT ++= e )11,8()1,4( =T
5) )}0,1(),1,1{( − 6) a) b) Sim c) Não
3) )32,(),( yxxyxT += 4) a) autovalores: 2 e 3 b) não possui autovalores reais
7) )}2,5(),1,1{(−=A e
−=
6001
][ AT
92
Apêndice E – Teoremas Seja V um espaço vetorial n-dimensional e VVT →: um operador linear. Teo81. Se VvVv 0≠∈ , é um autovetor do operador linear T associado ao autovalor R∈λ então
para todo 0, ≠∈ kk R , o vetor kv é também um autovetor de T associado ao autovalorλ .
Teo82. Seja λ um autovalor de T. Então λV é um subespaço vetorial de V. Teo83. Sejam os autovetores v e v′ do operador linear T associados, respectivamente, aos
autovalores λ e λ′ distintos entre si. Então v e v′ são linearmente independentes. Teo84. Sejam rvvv ,...,, 21 autovetores do operador linear T associados a autovalores todos distintos
rλλλ ,...,, 21 . Então os autovetores rvvv ,...,, 21 são linearmente independentes.
Corolário84: Seja um operador linear VVT →: e V um espaço vetorial n-dimensional. Se T possui n autovalores distintos então existe uma base constituída por autovetores.
Teo85. Sejam V um espaço vetorial n-dimensional e VVT →: um operador linear. Se existem n
autovalores distintos n,λ,λ K1 então o operador linear T é diagonalizável. Teo86. Se existem nr < autovalores distintos r,..,λλ1 e para qualquer autovalor a multiplicidade
algébrica for igual a sua multiplicidade geométrica, isto é, para todo ri ,...,1= , )()( igia mm λλ = então o operador linear T é diagonalizável.
93
ESPAÇOS VETORIAS COM PRODUTO INTERNO E OPERADORES LINEARES
Operador Adjunto Considere V um R-espaço vetorial n dimensional munido de um produto interno. Seja VVT →: um operador linear, A uma base ortonormal de V e a matriz AT ][ associada ao operador linear T em relação a base A. A matriz t
AT ][ define um novo operador VVT →:* , denominado operador adjunto do operador T. O operador adjunto é tal que para quaisquer Vwv ∈, , )(,),( * wTvwvT = . Exemplo: Seja 22: RR →T tal que )8,3(),( yxxyxT −= .
O operador 22* : RR →T tal que ),83(),(* yyxyxT −+= é o operador adjunto de T. Operador Auto-Adjunto O operador linear VVT →: é denominado operador auto-adjunto quando para quaisquer Vuv ∈, ,
)(,),( uTvuvT = , isto é, TT =* . Exemplos: 1) 22: RR →T tal que )4,42(),( yxyxyxT −+= 2) 33: RR →T tal que )2,23,(),,( yzyxyxzyxT −−+−−= Operador Ortogonal O operador linear VVT →: é denominado operador ortogonal quando uvuTvT ,)(),( = , isto é,
1* −= TT . Exemplos: 1) 22: RR →T tal que ),(),( xyyxT −= 2) 33: RR →T tal que ),,(),,( 2
222
66
66
36
33
33
33 zyzyxzyxzyxT +−++−++=
Operador Normal O operador linear VVT →: é denominado operador normal quando comuta com seu operador adjunto, isto é, TTTT oo ** = . Exemplo: Seja 22: RR →T tal que )36,63(),( yxyxyxT +−+= .
O operador adjunto é 22* : RR →T tal que )36,63(),(* yxyxyxT +−= . )45,45()36,63()],([),)(( ** yxyxyxTyxTTyxTT =+−==o
)45,45()36,63()],([),)(( *** yxyxyxTyxTTyxTT =+−+==o
94
Exercícios 1) Classifique os operadores.
a) )52,22(),( yxyxyxT +−−= b) ),cossen,sencos(),,( zyxyxzyxT θθθθ +−= c) )3,,2(),,( zyzyxyxzyxT −+++=
2) Ache valores para x e y tais que
− 01
yx seja ortogonal.
3) Dê exemplo de um operador auto-adjunto não ortogonal e vice-versa. 4) Dê exemplo de um operador normal que não é nem auto-adjunto nem ortogonal.
5) Seja [ ]
−−−=
142454241
T . Verifique que T é diagonalizável sem usar os critérios de
diagonalização. 6) Todo operador auto-adjunto é um operador normal. 7) Todo operador ortogonal é um operador normal.
95
Apêndice F – Teoremas Considere V um R-espaço vetorial n dimensional munido de um produto interno e VVTTT →:,, 21 operadores lineares. Teo 87. i) *
2*
1*
21 )( TTTT +=+ ii) **)( TkTk ⋅=⋅ , para todo R∈k . iii) *
1*
2*
21 )( TTTT oo = iv) TT =** )( v) ⊥= )(Im *TKerT
Teo88. Sejam 1T e 2T operadores auto-adjuntos e R∈k . Então )( 21 TT + e )( 1kT também são
operadores auto-adjuntos. Teo89. T é auto-adjunto se e somente AT ][ é uma matriz simétrica, qualquer que seja a base
ortonormal A. Teoo90. Seja T auto-adjunto e rvv ,...,1 autovetores associados a autovalores distintos rλλ ,...,1 de T.
Então .,,...1, , a ortogonal é jirjivv ji ≠= Teo91. Se T é auto-adjunto então T possui um autovalor real, isto é, possui um autovetor não nulo. Teorema Espectral para Operadores Auto-Adjuntos: Seja T um operador auto-adjunto então T é diagonalizável, isto é, existe uma base ortonormal A de autovetores de V tal que AT ][ é uma matriz diagonal. Teo92. São equivalentes:
i) T é um operador ortogonal. ii) T transforma bases ortonormais em bases ortonormais. iii) T preserva produto interno, isto é, uvuTvT ,)(),( = , para quaisquer Vv,u∈ .
iv) T preserva norma, isto é, vvT =)( , para todo Vv∈ . Teo93. Seja T um operador ortogonal. Então:
i) T preserva distância. ii) Os únicos autovalores possíveis para T são 1± . iii) Autovetores de T são sempre ortogonais.
Teo94. Seja T um operador normal. Então:
i) )( Tk ⋅ também é um operador normal. ii) )()( * vTvT = , para todo Vv∈ .
iii) Se λ é um autovalor de T então λ é um autovalor de *T . iv) T e *T possuem os mesmos autovetores. v) *KerTKerT = . vi) TKerT Im)( =⊥ .
96
BIBLIOGRAFIA
• Anton, H. Elementary Linear Algebra. Wiley.
• Boldrini, J.L.; et al. Álgebra Linear. Harbra.
• Domingues; Hygino. Álgebra Linear e Aplicações. Atual Editora.
• Hoffman, K; Kunze, R. Álgebra Linear. Editora Polígono.
• Kolman, B. Álgebra Linear. LTC.
• Lay, C.D. Álgebra Linear e suas Aplicações. LTC
• Lima, E.L. Álgebra Linear. IMPA.
• Lipschutz , S. Álgebra Linear. Mc.Graw-Hill.
• Steinbruch, A. Álgebra Linear. Mc.Graw-Hill.
97
GLOSSÁRIO
Autoespaço correspondente a um certo autovalor é o conjunto de todos os autovetores associados a este autovalor. Autovalor associado ao operador linear T é um escalar λ tal que vvT ⋅= λ)( , para algum vetor não nulo v. Autovetor associado a um operador linear é um vetor não nulo v tal que vvT ⋅= λ)( , para algum escalar λ . Base para espaço vetorial V é um conjunto de vetores de V que são linearmente independentes e que geram V. Combinação linear dos vetores nvv ,...,1 é qualquer vetor da forma nn vkvk ⋅++⋅ ...11 onde nkk ,...,1 são escalares. Complemento ortogonal de um subespaço vetorial é o conjunto de vetores ortogonal a qualquer vetor deste subespaço. Dimensão de um espaço vetorial é o número de elementos que compõem uma base deste espaço. Imagem de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores T(v), sendo v um vetor qualquer do domínio. Isomorfismo entre espaços vetoriais é qualquer transformação linear bijetora. Um conjunto de vetores é denominado linearmente dependente quando algum vetor do conjunto é uma combinação linear dos demais.
Um conjunto de vetores é denominado linearmente independente quando nenhum dos vetores do conjunto é combinação linear dos demais. Matriz anti-simétrica é uma matriz quadrada A tal que AAt −= .
Matriz escalonada é qualquer matriz onde o número de zeros que precede o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta linha a linha e todas as linhas nulas encontram-se na “parte inferior” da matriz. Matriz escalonada reduzida por linha é uma matriz escalonada onde o primeiro elemento não nulo de uma linha é sempre o número 1 e é o único elemento não nulo desta linha. Matriz idempotente é qualquer matriz quadrada A tal que AA =2 .
98
Matriz inversa da matriz quadrada A é a matriz quadrada B tal que IABBA =⋅=⋅ . Uma matriz quadrada é denominada matriz invertível quando possuir inversa. Matriz normal é qualquer matriz quadrada que comuta com sua transposta. Matriz ortogonal é qualquer matriz invertível cuja matriz inversa é igual a sua matriz transposta. Matriz simétrica é qualquer matriz quadrada igual a sua matriz transposta. Multiplicidade algébrica de um autovalor 0λ é o grau do fator )( 0λλ − no polinômio característico. Multiplicidade geométrica de um autovalor λ0 é a dimensão do autoespaço
0λV .
Núcleo de uma transformação linear T é o conjunto de vetores v tais que WvT 0=)( . Um operador linear T é denominado operador diagonalizável se existir uma base tal que sua representação matricial nesta base seja uma matriz diagonal. Polinômio característico de um operador T é o polinômio em λ obtido da fórmula )det( IT ⋅− λ . Posto de uma matriz escalonada é seu número de linhas não nulas. Sistema homogêneo é um sistema onde todos os termos independentes são nulos. Subespaço gerado por um conjunto de vetores é o subespaço vetorial formado por todas as combinações lineares destes vetores. Subespaço vetorial é qualquer subconjunto de um espaço vetorial que também é um espaço vetorial.