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8/18/2019 Algebra Carpinteiro http://slidepdf.com/reader/full/algebra-carpinteiro 1/20 PRIMERA EDICIÓN EBOOK México, 2014 GRUPO EDITORIAL PATRIA ÁLGEBRA Eduardo Carpinteyro Vigil Rubén B. Sánchez Hernández

Algebra Carpinteiro

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Page 1: Algebra Carpinteiro

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PRIMERA EDICIOacuteN EBOOKMeacutexico 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

AacuteLGEBRA

Eduardo Carpinteyro Vigil

Rubeacuten B Saacutenchez Hernaacutendez

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Grupo Editorial Patriareg

Divisioacuten Bachillerato Universitario y Profesional

Direccioacuten editorial Javier Enrique Callejas

Coordinacioacuten editorial Alma Saacutemano Castillo

Disentildeo de interiores y portada Juan Bernardo Rosado Soliacutes

Supervisioacuten de preprensa Miguel Aacutengel Morales Verdugo

Diagramacioacuten Perla Alejandra Loacutepez Romo

Ilustraciones Jorge Antonio Martiacutenez Jimeacutenez Gustavo Vargas Martiacutenez

Fotografiacuteas Thinkstock

AacuteLGEBRA

Serie Bachiller

Derechos reservados

copy 2014 Eduardo Carpinteyro Vigil Rubeacuten B Saacutenchez Hernaacutendezcopy 2014 GRUPO EDITORIAL PATRIA SA DE CVISBN ebook 978-607-744-055-0

Renacimiento 180 Col San Juan TlihuacaDelegacioacuten Azcapotzalco Coacutedigo Postal 02400 Meacutexico DFMiembro de la Caacutemara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro nuacutem 43

Queda prohibida la reproduccioacuten o transmisioacuten total o parcial del contenido de la presente obraen cualesquiera formas sean electroacutenicas o mecaacutenicas sin el consentimiento previo y por escritodel editor

Impreso en Meacutexico Printed in Mexico

Primera edicioacuten ebook 2014

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vGrupo Editorial Patria

PRESENTACIOacuteN

La misioacuten de la ciencia consiste en sustituir las aparienciascon los hechos y las impresiones con las demostraciones

J983151983144983150 R983157983155983147983145983150

Entre las razones que hemos tenido para la elaboracioacuten de este libro estaacuten

1 Compartir con otros profesores una didaacutectica personal acerca de la ensentildeanza

de las matemaacuteticas en el nivel medio superior en la que se involucra nuestra

experiencia como docentes en bachillerato

2 Ofrecer a nuestros estudiantes de matemaacuteticas informacioacuten sobre el desarrollo

histoacuterico de esta ciencia tal es el caso de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten

cotidiana de los conceptos que se van estudiando para transformar la falsa

imagen de objeto terminado y perfecto que le ha sido dada a las matemaacuteticas

por parte de algunos docentes y la mayoriacutea de los alumnos de secundaria y

bachillerato que pasan por nuestras aulas

3 Aunque en forma general el estudiante ubica las matemaacuteticas como una de

las herramientas baacutesicas utilizadas por cualquier ciencia y vive en forma

cotidiana los beneficios logrados en nuestra eacutepoca sobre todo en el campo de

las comunicaciones no es poco comuacuten escuchar en los salones de clases lainterrogante natural del estudiante sobre la utilidad praacutectica del estudio que

realiza por lo que deseamos provocar la reflexioacuten personal del mismo joven

acerca de la construccioacuten de su conocimiento matemaacutetico

Estamos convencidos de que los alumnos no son un pizarroacuten en el que el profesor

puede escribir en forma indeleble su experiencia en esta materia Al llegar a este ni-

vel de estudios cuenta mucho la experiencia personal y los conocimientos previos

es por esta razoacuten que la exposicioacuten que hemos hecho a lo largo del texto toma en

cuenta ambos aspectos para reafirmarlos en el caso de que ya se encuentren es-

tructurados y recordarlos si no se ha hecho uso consciente de ellos y por lo tanto

han caiacutedo en el olvidoEstamos seguros que esta obra forma parte de un conjunto de informacioacuten global

que encontraraacute un amplio intereacutes de parte de los estudiantes de bachillerato quie-

nes seraacuten en un futuro muy cercano los ciudadanos que decidan y apoyen los pro-

gramas ambientales y energeacuteticos de nuestro paiacutes y cumplamos asiacute los compromisos

de sustentabilidad en el ambiente y la energiacutea que Meacutexico ha firmado y debe cumplir en

el concierto de las naciones

Los autores

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vi

Aacutelgebra

A LOS ALUMNOS

A manera de reflexioacuten queremos que pienses que ninguna persona inicia una acti-vidad llaacutemese negocio deporte o estudios con la idea de fracasar siempre tiene en

mente que va a lograr las metas propuestas si se aplica con dedicacioacuten y constancia

en su esfuerzo por conseguirlas Tuacute no vas a emprender tus estudios de matemaacuteti-

cas sintieacutendote incapaz si eacuteste es tu caso ya alcanzaste tu objetivo has fracasado

desde el momento de pensarlo iexclVence este temor no te contentes con ir siguiendo

a tu profesor en el curso escolar iexclanticiacutepate a eacutel preparando la leccioacuten antes de re-

cibirla desiste de la actitud pasiva y ve construyendo el conocimiento Tu profesor

es un medio no la causa de que domines la asignatura y en cambio tuacute eres el que

aprende el actor principal para el cual el proceso de ensentildeanza tiene un fin preciso

el que te apropies del conocimiento

Los autores

DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA

La mejor forma que hemos encontrado para empezar la descripcioacuten de este texto

es darte las gracias por permitirnos acompantildearte en tu esfuerzo por alcanzar un

nivel maacutes de preparacioacuten el cual se inicia en este primer antildeo de bachillerato

Hemos elaborado el material de estudio en ocho unidades temaacuteticas correspondientes

a la asignatura de Matemaacuteticas IV del plan de estudios 96 de la Escuela Nacional Pre-

paratoria de la 983157983150983137983149

En cada una de las unidades encontraraacutes una resentildea histoacuterica que tiene como fi-nalidad darte a conocer algunas de las personas y culturas que han destacado en la

evolucioacuten de la ciencia No queremos que consideres esta seccioacuten como la adquisi-

cioacuten de un conocimiento enciclopeacutedico sino que aprendas que las matemaacuteticas no

han sido siempre iguales nuestro conocimiento matemaacutetico se ha enriquecido con

las aportaciones y tambieacuten por queacute no decirlo con las dudas y errores de personas

como tuacute quizaacutes hasta con mayores limitaciones las cuales han sido producto de

sus creencias y de la eacutepoca en que vivieron

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Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje la cual deseamos que inten-

tes resolver con tus propios conocimientos Estas actividades pueden ser resueltas

con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio pero si no te es posible

hacerlo no te desanimes sigue avanzando en tu estudio y encontraraacutes en los temas

de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solucioacuten pedida Comodiriacutea un pintor ldquopinta y borra pinta y borra hasta que al fin iexclzasiexcl tienes la obra

maestra que te deja la satisfaccioacuten de que es creacioacuten tuyardquo

Los maacutergenes han sido disentildeados para que tengas el espacio necesario y puedas

rehacer tus operaciones y cuando lo creas necesario anotar en ellos observaciones

las cuales podraacutes consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes

para lograr la comprensioacuten del tema tratado

Un elemento maacutes con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diaacutelogo

como los siguientes

iquestEn tre queacute nuacutemeros

es di visible 6 636

iquestC oacutemo se int er pr et a el hec ho de que un polinomio t enga un menor nuacutemer o de r aiacute c es que el gr ado

del mismo

en los cuales te proponemos que realices una actividad o alguacuten aspecto a investigar

y que propicia la reflexioacuten sobre el concepto sobre el que se estaacute trabajando o aclara y

proporciona una indicacioacuten especial de alguacuten algoritmo que se desarrolle

La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades par-

te de un enfoque en el que se desarrolla la intuicioacuten y poco a poco se va formalizan-

do por medio del simbolismo matemaacutetico correspondiente y una ejemplificacioacuten

del concepto y su demostracioacuten

En cada unidad encontraraacutes el nuacutemero de ejercicios necesarios para comprender

y reafirmar cada uno de los temas tratados eacutestos los presentamos en forma de

problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero la relacioacuten de co-

lumnas los ejercicios de complementacioacuten los enunciados verbales y por uacuteltimo las

secciones de Comprueba tu aprendizaje una por cada unidad y a las que les hemos

dado el valor de comprobacioacuten y puedes utilizar como una forma de poner a prueba

los conocimientos que has hecho tuyos

Grupo Editorial Patriavi

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RECOMENDACIONES DE ESTUDIO

Una de las preguntas maacutes frecuentes que los padres de los alumnos que no obtie-

nen un buen resultado en esta asignatura nos hacen a los profesores de matemaacute-

ticas es

ldquoiquestQueacute puedo hacer para que mi hijo tenga eacutexito en su curso de matemaacuteticasrdquo

No es poco comuacuten una afirmacioacuten como la siguiente

ldquoNo entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen soy testigo de que se pasa tar-

des y noches completas haciendo ejercicios y aun asiacute repruebardquo

Muchas veces nos ha tocado ver a los padres maacutes preocupados que a los propios

muchachos quienes ven ldquonormalrdquo reprobar matemaacuteticas y hasta llegan a competir

con sus amigos para obtener la calificacioacuten maacutes baja

La intencioacuten de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para

lo que te puede suceder durante este curso sino expresar que esta preocupacioacuten

tambieacuten es nuestra y representa parte de nuestra realidad educativa

Tambieacuten entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte ldquoconse-

josrdquo o ldquofoacutermulas de eacutexitordquo para tus estudios Quizaacute lo que menos quieres escuchar es

lo que siempre te han dicho que debes hacer Asiacute que cambiaremos de estrategia y

te proponemos cuatro reglas de lo que siacute es indispensable que realices para no tener

eacutexito en matemaacuteticas

Aacutelgebra

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ixGrupo Editorial Patria

COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE

EN CUALQUIER CURSO

Sigue estas cuatro reglas

1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor

2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto

3 No realices las tareas

4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten

y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos

asegura la nota reprobatoria

Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas

puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso

Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las

anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso

A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado

Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas

1

2

3

4

Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y

aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso

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Aacutelgebra

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PRESENTACIOacuteN V

DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII

UNIDAD 1 Conjuntos 2

11 Breve resentildea histoacuterica 4

12 Idea intuitiva de con juntos 6

Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9

Cardinalidad 9

14 Tipos de con juntos 10

Con juntos finitos e infinitos 10

Con juntos iguales 10

Con junto vaciacuteo 11

Con juntos equivalentes 11

Con junto universal 12

Subcon juntos 12

Con junto potencia 13

15 Operaciones con conjuntos 14

Unioacuten de con juntos 14

Interseccioacuten de con juntos 15

Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16

Maacuteximo comuacuten divisor 16

Complemento de un con junto 18

Diferencia entre dos con juntos 19

16 Diagramas de Venn-Euler 20

17 Producto cartesiano 31

18 Plano cartesiano 33

Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34

19 Comprueba tu aprendiza je 37

UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40

21 Breve resentildea histoacuterica 42

22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45

Sistema de numeracioacuten babilonio 45

Sistema de numeracioacuten egipcio 49

Sistema de numeracioacuten romano 50

Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54

Notacioacuten desarrollada 58

Proyecto de trabajo grupal 59

24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes

bases 60

Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62

Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63

25 Operaciones con otras bases 65

26 Comprueba tu aprendizaje 73

UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76

31 Breve resentildea histoacuterica 78

32 Propiedades de las operaciones binarias 80

Operacioacuten 80

Operacioacuten binaria 81

Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83

33 Nuacutemeros naturales 83

34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten

del maacuteximo comuacuten divisor 86

Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88

35 Nuacutemeros enteros 91

36 Nuacutemeros racionales 95

Propiedades de las razones geomeacutetricas 96

Decimales perioacutedicos infinitos 99

Orden en los nuacutemeros racionales 100

Operaciones con nuacutemeros racionales 103

Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111

37 Nuacutemeros irracionales 112

Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116

38 Nuacutemeros reales 119

Propiedad de tricotomiacutea 121

39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122

Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123

310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125

311 Intervalos 128

312 Leyes de los exponentes 132

CONTENIDO

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Dos aplicaciones usando exponentes 138

313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144

2Leyes fundamentales de los logaritmos 146

Obtencioacuten de logaritmos comunes

mediante el uso de tablas 147

Operaciones con logaritmos 151

315 Comprueba tu aprendizaje 152

UNIDAD 4 Monomios

y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158

42 Monomios 159

Expresiones algebraicas 159

Grado de un teacutermino 161

Clases de teacuterminos 161

43 Polinomios 162

Grado de un polinomio 162

Clases de polinomios 163

Teacuterminos semejantes 166

Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166

Signos de agrupacioacuten 167

44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169

Resta de monomios y polinomios 170

45 Multiplicacioacuten de monomios

y polinomios 172

Multiplicacioacuten de monomios 173

Multiplicacioacuten de monomios

por polinomios 173

46 Factor comuacuten en un polinomio 178

47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180

Monomio entre monomio 180

Polinomio entre monomio 180

Polinomio entre polinomio 181

Algoritmo de la divisioacuten 182

Divisioacuten sinteacutetica 184

48 Valor numeacuterico de un polinomio 185

49 Polinomios como funciones 187

Funciones polinomiales 189

Evaluacioacuten de una funcioacuten 189

Operaciones con funciones 191

410 Comprueba tu aprendizaje 193

UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19

51 Breve resentildea histoacuterica 19

52 Factor comuacuten en un polinomio 20

53 Cuadrado de un binomio 20

Trinomio al cuadrado 20

54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados

perfectos 20

Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20

55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21

57 Producto de binomios

con un teacutermino comuacuten 21

58 Factorizacioacuten de trinomios

de segundo grado 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21

59 Producto de binomios conjugados 22

510 Factorizacioacuten de diferencia

de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten

de teacuterminos 22

512 Factorizacioacuten de una suma

o diferencia de dos potencias iguales 22

513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos

o maacutes polinomios 23

514 Otros tipos de factorizaciones 23

515 Binomio de Newton 23

Factorial 23

516 Comprueba tu aprendizaje 24

UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25

61 Breve resentildea histoacuterica 25

62 Teoremas del residuo y del factor 25

Teorema del residuo 25

Teorema del factor 25

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1

Caacutelculo de un determinante 449

Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453

Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454

Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454

85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463

Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471

86 Sistemas de desigualdades lineales 477

Desigualdad lineal con dos variables 477

Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478

Sistemas de desigualdades lineales 480

Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490

ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533

SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539

BIBLIOGRAFIacuteA 547

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Conjuntos1UNIDAD

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Descripcioacuten de la unidad

En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-

tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-

mo un elemento fundamental del lengua je necesario

para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-

prensioacuten de unidades de estudio posteriores

Conocer la nocioacuten de con junto

Comprender las operaciones entre con juntos

Resolver problemas relacionados con estas

operaciones

Adquirir los conocimientos del lengua je

matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de

contenido en temas posteriores

Idea intuitiva de con junto

Cardinalidad de un conjunto

Tipos de con juntos

Operaciones con conjuntos

Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano

Plano cartesiano

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Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

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UNIDAD 1 Conjuntos

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

e ro s

e n te ro s me no re s

q ue

5 ha y

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UNIDAD 1 Conjuntos

7

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

8

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

9

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

Page 2: Algebra Carpinteiro

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ii

Grupo Editorial Patriareg

Divisioacuten Bachillerato Universitario y Profesional

Direccioacuten editorial Javier Enrique Callejas

Coordinacioacuten editorial Alma Saacutemano Castillo

Disentildeo de interiores y portada Juan Bernardo Rosado Soliacutes

Supervisioacuten de preprensa Miguel Aacutengel Morales Verdugo

Diagramacioacuten Perla Alejandra Loacutepez Romo

Ilustraciones Jorge Antonio Martiacutenez Jimeacutenez Gustavo Vargas Martiacutenez

Fotografiacuteas Thinkstock

AacuteLGEBRA

Serie Bachiller

Derechos reservados

copy 2014 Eduardo Carpinteyro Vigil Rubeacuten B Saacutenchez Hernaacutendezcopy 2014 GRUPO EDITORIAL PATRIA SA DE CVISBN ebook 978-607-744-055-0

Renacimiento 180 Col San Juan TlihuacaDelegacioacuten Azcapotzalco Coacutedigo Postal 02400 Meacutexico DFMiembro de la Caacutemara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro nuacutem 43

Queda prohibida la reproduccioacuten o transmisioacuten total o parcial del contenido de la presente obraen cualesquiera formas sean electroacutenicas o mecaacutenicas sin el consentimiento previo y por escritodel editor

Impreso en Meacutexico Printed in Mexico

Primera edicioacuten ebook 2014

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nosotros puede

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vGrupo Editorial Patria

PRESENTACIOacuteN

La misioacuten de la ciencia consiste en sustituir las aparienciascon los hechos y las impresiones con las demostraciones

J983151983144983150 R983157983155983147983145983150

Entre las razones que hemos tenido para la elaboracioacuten de este libro estaacuten

1 Compartir con otros profesores una didaacutectica personal acerca de la ensentildeanza

de las matemaacuteticas en el nivel medio superior en la que se involucra nuestra

experiencia como docentes en bachillerato

2 Ofrecer a nuestros estudiantes de matemaacuteticas informacioacuten sobre el desarrollo

histoacuterico de esta ciencia tal es el caso de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten

cotidiana de los conceptos que se van estudiando para transformar la falsa

imagen de objeto terminado y perfecto que le ha sido dada a las matemaacuteticas

por parte de algunos docentes y la mayoriacutea de los alumnos de secundaria y

bachillerato que pasan por nuestras aulas

3 Aunque en forma general el estudiante ubica las matemaacuteticas como una de

las herramientas baacutesicas utilizadas por cualquier ciencia y vive en forma

cotidiana los beneficios logrados en nuestra eacutepoca sobre todo en el campo de

las comunicaciones no es poco comuacuten escuchar en los salones de clases lainterrogante natural del estudiante sobre la utilidad praacutectica del estudio que

realiza por lo que deseamos provocar la reflexioacuten personal del mismo joven

acerca de la construccioacuten de su conocimiento matemaacutetico

Estamos convencidos de que los alumnos no son un pizarroacuten en el que el profesor

puede escribir en forma indeleble su experiencia en esta materia Al llegar a este ni-

vel de estudios cuenta mucho la experiencia personal y los conocimientos previos

es por esta razoacuten que la exposicioacuten que hemos hecho a lo largo del texto toma en

cuenta ambos aspectos para reafirmarlos en el caso de que ya se encuentren es-

tructurados y recordarlos si no se ha hecho uso consciente de ellos y por lo tanto

han caiacutedo en el olvidoEstamos seguros que esta obra forma parte de un conjunto de informacioacuten global

que encontraraacute un amplio intereacutes de parte de los estudiantes de bachillerato quie-

nes seraacuten en un futuro muy cercano los ciudadanos que decidan y apoyen los pro-

gramas ambientales y energeacuteticos de nuestro paiacutes y cumplamos asiacute los compromisos

de sustentabilidad en el ambiente y la energiacutea que Meacutexico ha firmado y debe cumplir en

el concierto de las naciones

Los autores

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vi

Aacutelgebra

A LOS ALUMNOS

A manera de reflexioacuten queremos que pienses que ninguna persona inicia una acti-vidad llaacutemese negocio deporte o estudios con la idea de fracasar siempre tiene en

mente que va a lograr las metas propuestas si se aplica con dedicacioacuten y constancia

en su esfuerzo por conseguirlas Tuacute no vas a emprender tus estudios de matemaacuteti-

cas sintieacutendote incapaz si eacuteste es tu caso ya alcanzaste tu objetivo has fracasado

desde el momento de pensarlo iexclVence este temor no te contentes con ir siguiendo

a tu profesor en el curso escolar iexclanticiacutepate a eacutel preparando la leccioacuten antes de re-

cibirla desiste de la actitud pasiva y ve construyendo el conocimiento Tu profesor

es un medio no la causa de que domines la asignatura y en cambio tuacute eres el que

aprende el actor principal para el cual el proceso de ensentildeanza tiene un fin preciso

el que te apropies del conocimiento

Los autores

DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA

La mejor forma que hemos encontrado para empezar la descripcioacuten de este texto

es darte las gracias por permitirnos acompantildearte en tu esfuerzo por alcanzar un

nivel maacutes de preparacioacuten el cual se inicia en este primer antildeo de bachillerato

Hemos elaborado el material de estudio en ocho unidades temaacuteticas correspondientes

a la asignatura de Matemaacuteticas IV del plan de estudios 96 de la Escuela Nacional Pre-

paratoria de la 983157983150983137983149

En cada una de las unidades encontraraacutes una resentildea histoacuterica que tiene como fi-nalidad darte a conocer algunas de las personas y culturas que han destacado en la

evolucioacuten de la ciencia No queremos que consideres esta seccioacuten como la adquisi-

cioacuten de un conocimiento enciclopeacutedico sino que aprendas que las matemaacuteticas no

han sido siempre iguales nuestro conocimiento matemaacutetico se ha enriquecido con

las aportaciones y tambieacuten por queacute no decirlo con las dudas y errores de personas

como tuacute quizaacutes hasta con mayores limitaciones las cuales han sido producto de

sus creencias y de la eacutepoca en que vivieron

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Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje la cual deseamos que inten-

tes resolver con tus propios conocimientos Estas actividades pueden ser resueltas

con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio pero si no te es posible

hacerlo no te desanimes sigue avanzando en tu estudio y encontraraacutes en los temas

de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solucioacuten pedida Comodiriacutea un pintor ldquopinta y borra pinta y borra hasta que al fin iexclzasiexcl tienes la obra

maestra que te deja la satisfaccioacuten de que es creacioacuten tuyardquo

Los maacutergenes han sido disentildeados para que tengas el espacio necesario y puedas

rehacer tus operaciones y cuando lo creas necesario anotar en ellos observaciones

las cuales podraacutes consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes

para lograr la comprensioacuten del tema tratado

Un elemento maacutes con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diaacutelogo

como los siguientes

iquestEn tre queacute nuacutemeros

es di visible 6 636

iquestC oacutemo se int er pr et a el hec ho de que un polinomio t enga un menor nuacutemer o de r aiacute c es que el gr ado

del mismo

en los cuales te proponemos que realices una actividad o alguacuten aspecto a investigar

y que propicia la reflexioacuten sobre el concepto sobre el que se estaacute trabajando o aclara y

proporciona una indicacioacuten especial de alguacuten algoritmo que se desarrolle

La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades par-

te de un enfoque en el que se desarrolla la intuicioacuten y poco a poco se va formalizan-

do por medio del simbolismo matemaacutetico correspondiente y una ejemplificacioacuten

del concepto y su demostracioacuten

En cada unidad encontraraacutes el nuacutemero de ejercicios necesarios para comprender

y reafirmar cada uno de los temas tratados eacutestos los presentamos en forma de

problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero la relacioacuten de co-

lumnas los ejercicios de complementacioacuten los enunciados verbales y por uacuteltimo las

secciones de Comprueba tu aprendizaje una por cada unidad y a las que les hemos

dado el valor de comprobacioacuten y puedes utilizar como una forma de poner a prueba

los conocimientos que has hecho tuyos

Grupo Editorial Patriavi

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RECOMENDACIONES DE ESTUDIO

Una de las preguntas maacutes frecuentes que los padres de los alumnos que no obtie-

nen un buen resultado en esta asignatura nos hacen a los profesores de matemaacute-

ticas es

ldquoiquestQueacute puedo hacer para que mi hijo tenga eacutexito en su curso de matemaacuteticasrdquo

No es poco comuacuten una afirmacioacuten como la siguiente

ldquoNo entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen soy testigo de que se pasa tar-

des y noches completas haciendo ejercicios y aun asiacute repruebardquo

Muchas veces nos ha tocado ver a los padres maacutes preocupados que a los propios

muchachos quienes ven ldquonormalrdquo reprobar matemaacuteticas y hasta llegan a competir

con sus amigos para obtener la calificacioacuten maacutes baja

La intencioacuten de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para

lo que te puede suceder durante este curso sino expresar que esta preocupacioacuten

tambieacuten es nuestra y representa parte de nuestra realidad educativa

Tambieacuten entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte ldquoconse-

josrdquo o ldquofoacutermulas de eacutexitordquo para tus estudios Quizaacute lo que menos quieres escuchar es

lo que siempre te han dicho que debes hacer Asiacute que cambiaremos de estrategia y

te proponemos cuatro reglas de lo que siacute es indispensable que realices para no tener

eacutexito en matemaacuteticas

Aacutelgebra

viii

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ixGrupo Editorial Patria

COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE

EN CUALQUIER CURSO

Sigue estas cuatro reglas

1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor

2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto

3 No realices las tareas

4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten

y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos

asegura la nota reprobatoria

Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas

puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso

Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las

anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso

A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado

Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas

1

2

3

4

Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y

aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso

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Aacutelgebra

x

PRESENTACIOacuteN V

DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII

UNIDAD 1 Conjuntos 2

11 Breve resentildea histoacuterica 4

12 Idea intuitiva de con juntos 6

Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9

Cardinalidad 9

14 Tipos de con juntos 10

Con juntos finitos e infinitos 10

Con juntos iguales 10

Con junto vaciacuteo 11

Con juntos equivalentes 11

Con junto universal 12

Subcon juntos 12

Con junto potencia 13

15 Operaciones con conjuntos 14

Unioacuten de con juntos 14

Interseccioacuten de con juntos 15

Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16

Maacuteximo comuacuten divisor 16

Complemento de un con junto 18

Diferencia entre dos con juntos 19

16 Diagramas de Venn-Euler 20

17 Producto cartesiano 31

18 Plano cartesiano 33

Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34

19 Comprueba tu aprendiza je 37

UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40

21 Breve resentildea histoacuterica 42

22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45

Sistema de numeracioacuten babilonio 45

Sistema de numeracioacuten egipcio 49

Sistema de numeracioacuten romano 50

Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54

Notacioacuten desarrollada 58

Proyecto de trabajo grupal 59

24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes

bases 60

Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62

Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63

25 Operaciones con otras bases 65

26 Comprueba tu aprendizaje 73

UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76

31 Breve resentildea histoacuterica 78

32 Propiedades de las operaciones binarias 80

Operacioacuten 80

Operacioacuten binaria 81

Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83

33 Nuacutemeros naturales 83

34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten

del maacuteximo comuacuten divisor 86

Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88

35 Nuacutemeros enteros 91

36 Nuacutemeros racionales 95

Propiedades de las razones geomeacutetricas 96

Decimales perioacutedicos infinitos 99

Orden en los nuacutemeros racionales 100

Operaciones con nuacutemeros racionales 103

Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111

37 Nuacutemeros irracionales 112

Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116

38 Nuacutemeros reales 119

Propiedad de tricotomiacutea 121

39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122

Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123

310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125

311 Intervalos 128

312 Leyes de los exponentes 132

CONTENIDO

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x

Dos aplicaciones usando exponentes 138

313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144

2Leyes fundamentales de los logaritmos 146

Obtencioacuten de logaritmos comunes

mediante el uso de tablas 147

Operaciones con logaritmos 151

315 Comprueba tu aprendizaje 152

UNIDAD 4 Monomios

y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158

42 Monomios 159

Expresiones algebraicas 159

Grado de un teacutermino 161

Clases de teacuterminos 161

43 Polinomios 162

Grado de un polinomio 162

Clases de polinomios 163

Teacuterminos semejantes 166

Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166

Signos de agrupacioacuten 167

44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169

Resta de monomios y polinomios 170

45 Multiplicacioacuten de monomios

y polinomios 172

Multiplicacioacuten de monomios 173

Multiplicacioacuten de monomios

por polinomios 173

46 Factor comuacuten en un polinomio 178

47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180

Monomio entre monomio 180

Polinomio entre monomio 180

Polinomio entre polinomio 181

Algoritmo de la divisioacuten 182

Divisioacuten sinteacutetica 184

48 Valor numeacuterico de un polinomio 185

49 Polinomios como funciones 187

Funciones polinomiales 189

Evaluacioacuten de una funcioacuten 189

Operaciones con funciones 191

410 Comprueba tu aprendizaje 193

UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19

51 Breve resentildea histoacuterica 19

52 Factor comuacuten en un polinomio 20

53 Cuadrado de un binomio 20

Trinomio al cuadrado 20

54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados

perfectos 20

Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20

55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21

57 Producto de binomios

con un teacutermino comuacuten 21

58 Factorizacioacuten de trinomios

de segundo grado 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21

59 Producto de binomios conjugados 22

510 Factorizacioacuten de diferencia

de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten

de teacuterminos 22

512 Factorizacioacuten de una suma

o diferencia de dos potencias iguales 22

513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos

o maacutes polinomios 23

514 Otros tipos de factorizaciones 23

515 Binomio de Newton 23

Factorial 23

516 Comprueba tu aprendizaje 24

UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25

61 Breve resentildea histoacuterica 25

62 Teoremas del residuo y del factor 25

Teorema del residuo 25

Teorema del factor 25

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httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1120Grupo Editorial Patria

1

Caacutelculo de un determinante 449

Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453

Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454

Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454

85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463

Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471

86 Sistemas de desigualdades lineales 477

Desigualdad lineal con dos variables 477

Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478

Sistemas de desigualdades lineales 480

Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490

ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533

SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539

BIBLIOGRAFIacuteA 547

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Conjuntos1UNIDAD

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Descripcioacuten de la unidad

En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-

tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-

mo un elemento fundamental del lengua je necesario

para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-

prensioacuten de unidades de estudio posteriores

Conocer la nocioacuten de con junto

Comprender las operaciones entre con juntos

Resolver problemas relacionados con estas

operaciones

Adquirir los conocimientos del lengua je

matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de

contenido en temas posteriores

Idea intuitiva de con junto

Cardinalidad de un conjunto

Tipos de con juntos

Operaciones con conjuntos

Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano

Plano cartesiano

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Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

5

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

Aacutelgebra

6

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

e ro s

e n te ro s me no re s

q ue

5 ha y

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

7

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

8

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httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1920

i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

9

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

Page 3: Algebra Carpinteiro

8182019 Algebra Carpinteiro

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vGrupo Editorial Patria

PRESENTACIOacuteN

La misioacuten de la ciencia consiste en sustituir las aparienciascon los hechos y las impresiones con las demostraciones

J983151983144983150 R983157983155983147983145983150

Entre las razones que hemos tenido para la elaboracioacuten de este libro estaacuten

1 Compartir con otros profesores una didaacutectica personal acerca de la ensentildeanza

de las matemaacuteticas en el nivel medio superior en la que se involucra nuestra

experiencia como docentes en bachillerato

2 Ofrecer a nuestros estudiantes de matemaacuteticas informacioacuten sobre el desarrollo

histoacuterico de esta ciencia tal es el caso de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten

cotidiana de los conceptos que se van estudiando para transformar la falsa

imagen de objeto terminado y perfecto que le ha sido dada a las matemaacuteticas

por parte de algunos docentes y la mayoriacutea de los alumnos de secundaria y

bachillerato que pasan por nuestras aulas

3 Aunque en forma general el estudiante ubica las matemaacuteticas como una de

las herramientas baacutesicas utilizadas por cualquier ciencia y vive en forma

cotidiana los beneficios logrados en nuestra eacutepoca sobre todo en el campo de

las comunicaciones no es poco comuacuten escuchar en los salones de clases lainterrogante natural del estudiante sobre la utilidad praacutectica del estudio que

realiza por lo que deseamos provocar la reflexioacuten personal del mismo joven

acerca de la construccioacuten de su conocimiento matemaacutetico

Estamos convencidos de que los alumnos no son un pizarroacuten en el que el profesor

puede escribir en forma indeleble su experiencia en esta materia Al llegar a este ni-

vel de estudios cuenta mucho la experiencia personal y los conocimientos previos

es por esta razoacuten que la exposicioacuten que hemos hecho a lo largo del texto toma en

cuenta ambos aspectos para reafirmarlos en el caso de que ya se encuentren es-

tructurados y recordarlos si no se ha hecho uso consciente de ellos y por lo tanto

han caiacutedo en el olvidoEstamos seguros que esta obra forma parte de un conjunto de informacioacuten global

que encontraraacute un amplio intereacutes de parte de los estudiantes de bachillerato quie-

nes seraacuten en un futuro muy cercano los ciudadanos que decidan y apoyen los pro-

gramas ambientales y energeacuteticos de nuestro paiacutes y cumplamos asiacute los compromisos

de sustentabilidad en el ambiente y la energiacutea que Meacutexico ha firmado y debe cumplir en

el concierto de las naciones

Los autores

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vi

Aacutelgebra

A LOS ALUMNOS

A manera de reflexioacuten queremos que pienses que ninguna persona inicia una acti-vidad llaacutemese negocio deporte o estudios con la idea de fracasar siempre tiene en

mente que va a lograr las metas propuestas si se aplica con dedicacioacuten y constancia

en su esfuerzo por conseguirlas Tuacute no vas a emprender tus estudios de matemaacuteti-

cas sintieacutendote incapaz si eacuteste es tu caso ya alcanzaste tu objetivo has fracasado

desde el momento de pensarlo iexclVence este temor no te contentes con ir siguiendo

a tu profesor en el curso escolar iexclanticiacutepate a eacutel preparando la leccioacuten antes de re-

cibirla desiste de la actitud pasiva y ve construyendo el conocimiento Tu profesor

es un medio no la causa de que domines la asignatura y en cambio tuacute eres el que

aprende el actor principal para el cual el proceso de ensentildeanza tiene un fin preciso

el que te apropies del conocimiento

Los autores

DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA

La mejor forma que hemos encontrado para empezar la descripcioacuten de este texto

es darte las gracias por permitirnos acompantildearte en tu esfuerzo por alcanzar un

nivel maacutes de preparacioacuten el cual se inicia en este primer antildeo de bachillerato

Hemos elaborado el material de estudio en ocho unidades temaacuteticas correspondientes

a la asignatura de Matemaacuteticas IV del plan de estudios 96 de la Escuela Nacional Pre-

paratoria de la 983157983150983137983149

En cada una de las unidades encontraraacutes una resentildea histoacuterica que tiene como fi-nalidad darte a conocer algunas de las personas y culturas que han destacado en la

evolucioacuten de la ciencia No queremos que consideres esta seccioacuten como la adquisi-

cioacuten de un conocimiento enciclopeacutedico sino que aprendas que las matemaacuteticas no

han sido siempre iguales nuestro conocimiento matemaacutetico se ha enriquecido con

las aportaciones y tambieacuten por queacute no decirlo con las dudas y errores de personas

como tuacute quizaacutes hasta con mayores limitaciones las cuales han sido producto de

sus creencias y de la eacutepoca en que vivieron

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Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje la cual deseamos que inten-

tes resolver con tus propios conocimientos Estas actividades pueden ser resueltas

con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio pero si no te es posible

hacerlo no te desanimes sigue avanzando en tu estudio y encontraraacutes en los temas

de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solucioacuten pedida Comodiriacutea un pintor ldquopinta y borra pinta y borra hasta que al fin iexclzasiexcl tienes la obra

maestra que te deja la satisfaccioacuten de que es creacioacuten tuyardquo

Los maacutergenes han sido disentildeados para que tengas el espacio necesario y puedas

rehacer tus operaciones y cuando lo creas necesario anotar en ellos observaciones

las cuales podraacutes consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes

para lograr la comprensioacuten del tema tratado

Un elemento maacutes con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diaacutelogo

como los siguientes

iquestEn tre queacute nuacutemeros

es di visible 6 636

iquestC oacutemo se int er pr et a el hec ho de que un polinomio t enga un menor nuacutemer o de r aiacute c es que el gr ado

del mismo

en los cuales te proponemos que realices una actividad o alguacuten aspecto a investigar

y que propicia la reflexioacuten sobre el concepto sobre el que se estaacute trabajando o aclara y

proporciona una indicacioacuten especial de alguacuten algoritmo que se desarrolle

La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades par-

te de un enfoque en el que se desarrolla la intuicioacuten y poco a poco se va formalizan-

do por medio del simbolismo matemaacutetico correspondiente y una ejemplificacioacuten

del concepto y su demostracioacuten

En cada unidad encontraraacutes el nuacutemero de ejercicios necesarios para comprender

y reafirmar cada uno de los temas tratados eacutestos los presentamos en forma de

problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero la relacioacuten de co-

lumnas los ejercicios de complementacioacuten los enunciados verbales y por uacuteltimo las

secciones de Comprueba tu aprendizaje una por cada unidad y a las que les hemos

dado el valor de comprobacioacuten y puedes utilizar como una forma de poner a prueba

los conocimientos que has hecho tuyos

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RECOMENDACIONES DE ESTUDIO

Una de las preguntas maacutes frecuentes que los padres de los alumnos que no obtie-

nen un buen resultado en esta asignatura nos hacen a los profesores de matemaacute-

ticas es

ldquoiquestQueacute puedo hacer para que mi hijo tenga eacutexito en su curso de matemaacuteticasrdquo

No es poco comuacuten una afirmacioacuten como la siguiente

ldquoNo entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen soy testigo de que se pasa tar-

des y noches completas haciendo ejercicios y aun asiacute repruebardquo

Muchas veces nos ha tocado ver a los padres maacutes preocupados que a los propios

muchachos quienes ven ldquonormalrdquo reprobar matemaacuteticas y hasta llegan a competir

con sus amigos para obtener la calificacioacuten maacutes baja

La intencioacuten de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para

lo que te puede suceder durante este curso sino expresar que esta preocupacioacuten

tambieacuten es nuestra y representa parte de nuestra realidad educativa

Tambieacuten entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte ldquoconse-

josrdquo o ldquofoacutermulas de eacutexitordquo para tus estudios Quizaacute lo que menos quieres escuchar es

lo que siempre te han dicho que debes hacer Asiacute que cambiaremos de estrategia y

te proponemos cuatro reglas de lo que siacute es indispensable que realices para no tener

eacutexito en matemaacuteticas

Aacutelgebra

viii

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ixGrupo Editorial Patria

COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE

EN CUALQUIER CURSO

Sigue estas cuatro reglas

1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor

2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto

3 No realices las tareas

4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten

y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos

asegura la nota reprobatoria

Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas

puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso

Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las

anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso

A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado

Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas

1

2

3

4

Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y

aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso

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Aacutelgebra

x

PRESENTACIOacuteN V

DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII

UNIDAD 1 Conjuntos 2

11 Breve resentildea histoacuterica 4

12 Idea intuitiva de con juntos 6

Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9

Cardinalidad 9

14 Tipos de con juntos 10

Con juntos finitos e infinitos 10

Con juntos iguales 10

Con junto vaciacuteo 11

Con juntos equivalentes 11

Con junto universal 12

Subcon juntos 12

Con junto potencia 13

15 Operaciones con conjuntos 14

Unioacuten de con juntos 14

Interseccioacuten de con juntos 15

Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16

Maacuteximo comuacuten divisor 16

Complemento de un con junto 18

Diferencia entre dos con juntos 19

16 Diagramas de Venn-Euler 20

17 Producto cartesiano 31

18 Plano cartesiano 33

Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34

19 Comprueba tu aprendiza je 37

UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40

21 Breve resentildea histoacuterica 42

22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45

Sistema de numeracioacuten babilonio 45

Sistema de numeracioacuten egipcio 49

Sistema de numeracioacuten romano 50

Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54

Notacioacuten desarrollada 58

Proyecto de trabajo grupal 59

24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes

bases 60

Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62

Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63

25 Operaciones con otras bases 65

26 Comprueba tu aprendizaje 73

UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76

31 Breve resentildea histoacuterica 78

32 Propiedades de las operaciones binarias 80

Operacioacuten 80

Operacioacuten binaria 81

Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83

33 Nuacutemeros naturales 83

34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten

del maacuteximo comuacuten divisor 86

Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88

35 Nuacutemeros enteros 91

36 Nuacutemeros racionales 95

Propiedades de las razones geomeacutetricas 96

Decimales perioacutedicos infinitos 99

Orden en los nuacutemeros racionales 100

Operaciones con nuacutemeros racionales 103

Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111

37 Nuacutemeros irracionales 112

Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116

38 Nuacutemeros reales 119

Propiedad de tricotomiacutea 121

39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122

Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123

310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125

311 Intervalos 128

312 Leyes de los exponentes 132

CONTENIDO

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httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 920Grupo Editorial Patria

x

Dos aplicaciones usando exponentes 138

313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144

2Leyes fundamentales de los logaritmos 146

Obtencioacuten de logaritmos comunes

mediante el uso de tablas 147

Operaciones con logaritmos 151

315 Comprueba tu aprendizaje 152

UNIDAD 4 Monomios

y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158

42 Monomios 159

Expresiones algebraicas 159

Grado de un teacutermino 161

Clases de teacuterminos 161

43 Polinomios 162

Grado de un polinomio 162

Clases de polinomios 163

Teacuterminos semejantes 166

Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166

Signos de agrupacioacuten 167

44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169

Resta de monomios y polinomios 170

45 Multiplicacioacuten de monomios

y polinomios 172

Multiplicacioacuten de monomios 173

Multiplicacioacuten de monomios

por polinomios 173

46 Factor comuacuten en un polinomio 178

47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180

Monomio entre monomio 180

Polinomio entre monomio 180

Polinomio entre polinomio 181

Algoritmo de la divisioacuten 182

Divisioacuten sinteacutetica 184

48 Valor numeacuterico de un polinomio 185

49 Polinomios como funciones 187

Funciones polinomiales 189

Evaluacioacuten de una funcioacuten 189

Operaciones con funciones 191

410 Comprueba tu aprendizaje 193

UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19

51 Breve resentildea histoacuterica 19

52 Factor comuacuten en un polinomio 20

53 Cuadrado de un binomio 20

Trinomio al cuadrado 20

54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados

perfectos 20

Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20

55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21

57 Producto de binomios

con un teacutermino comuacuten 21

58 Factorizacioacuten de trinomios

de segundo grado 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21

59 Producto de binomios conjugados 22

510 Factorizacioacuten de diferencia

de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten

de teacuterminos 22

512 Factorizacioacuten de una suma

o diferencia de dos potencias iguales 22

513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos

o maacutes polinomios 23

514 Otros tipos de factorizaciones 23

515 Binomio de Newton 23

Factorial 23

516 Comprueba tu aprendizaje 24

UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25

61 Breve resentildea histoacuterica 25

62 Teoremas del residuo y del factor 25

Teorema del residuo 25

Teorema del factor 25

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httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1120Grupo Editorial Patria

1

Caacutelculo de un determinante 449

Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453

Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454

Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454

85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463

Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471

86 Sistemas de desigualdades lineales 477

Desigualdad lineal con dos variables 477

Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478

Sistemas de desigualdades lineales 480

Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490

ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533

SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539

BIBLIOGRAFIacuteA 547

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Conjuntos1UNIDAD

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Descripcioacuten de la unidad

En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-

tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-

mo un elemento fundamental del lengua je necesario

para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-

prensioacuten de unidades de estudio posteriores

Conocer la nocioacuten de con junto

Comprender las operaciones entre con juntos

Resolver problemas relacionados con estas

operaciones

Adquirir los conocimientos del lengua je

matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de

contenido en temas posteriores

Idea intuitiva de con junto

Cardinalidad de un conjunto

Tipos de con juntos

Operaciones con conjuntos

Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano

Plano cartesiano

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Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

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UNIDAD 1 Conjuntos

5

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

Aacutelgebra

6

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

e ro s

e n te ro s me no re s

q ue

5 ha y

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UNIDAD 1 Conjuntos

7

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

8

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

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UNIDAD 1 Conjuntos

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

Page 4: Algebra Carpinteiro

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vi

Aacutelgebra

A LOS ALUMNOS

A manera de reflexioacuten queremos que pienses que ninguna persona inicia una acti-vidad llaacutemese negocio deporte o estudios con la idea de fracasar siempre tiene en

mente que va a lograr las metas propuestas si se aplica con dedicacioacuten y constancia

en su esfuerzo por conseguirlas Tuacute no vas a emprender tus estudios de matemaacuteti-

cas sintieacutendote incapaz si eacuteste es tu caso ya alcanzaste tu objetivo has fracasado

desde el momento de pensarlo iexclVence este temor no te contentes con ir siguiendo

a tu profesor en el curso escolar iexclanticiacutepate a eacutel preparando la leccioacuten antes de re-

cibirla desiste de la actitud pasiva y ve construyendo el conocimiento Tu profesor

es un medio no la causa de que domines la asignatura y en cambio tuacute eres el que

aprende el actor principal para el cual el proceso de ensentildeanza tiene un fin preciso

el que te apropies del conocimiento

Los autores

DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA

La mejor forma que hemos encontrado para empezar la descripcioacuten de este texto

es darte las gracias por permitirnos acompantildearte en tu esfuerzo por alcanzar un

nivel maacutes de preparacioacuten el cual se inicia en este primer antildeo de bachillerato

Hemos elaborado el material de estudio en ocho unidades temaacuteticas correspondientes

a la asignatura de Matemaacuteticas IV del plan de estudios 96 de la Escuela Nacional Pre-

paratoria de la 983157983150983137983149

En cada una de las unidades encontraraacutes una resentildea histoacuterica que tiene como fi-nalidad darte a conocer algunas de las personas y culturas que han destacado en la

evolucioacuten de la ciencia No queremos que consideres esta seccioacuten como la adquisi-

cioacuten de un conocimiento enciclopeacutedico sino que aprendas que las matemaacuteticas no

han sido siempre iguales nuestro conocimiento matemaacutetico se ha enriquecido con

las aportaciones y tambieacuten por queacute no decirlo con las dudas y errores de personas

como tuacute quizaacutes hasta con mayores limitaciones las cuales han sido producto de

sus creencias y de la eacutepoca en que vivieron

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Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje la cual deseamos que inten-

tes resolver con tus propios conocimientos Estas actividades pueden ser resueltas

con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio pero si no te es posible

hacerlo no te desanimes sigue avanzando en tu estudio y encontraraacutes en los temas

de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solucioacuten pedida Comodiriacutea un pintor ldquopinta y borra pinta y borra hasta que al fin iexclzasiexcl tienes la obra

maestra que te deja la satisfaccioacuten de que es creacioacuten tuyardquo

Los maacutergenes han sido disentildeados para que tengas el espacio necesario y puedas

rehacer tus operaciones y cuando lo creas necesario anotar en ellos observaciones

las cuales podraacutes consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes

para lograr la comprensioacuten del tema tratado

Un elemento maacutes con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diaacutelogo

como los siguientes

iquestEn tre queacute nuacutemeros

es di visible 6 636

iquestC oacutemo se int er pr et a el hec ho de que un polinomio t enga un menor nuacutemer o de r aiacute c es que el gr ado

del mismo

en los cuales te proponemos que realices una actividad o alguacuten aspecto a investigar

y que propicia la reflexioacuten sobre el concepto sobre el que se estaacute trabajando o aclara y

proporciona una indicacioacuten especial de alguacuten algoritmo que se desarrolle

La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades par-

te de un enfoque en el que se desarrolla la intuicioacuten y poco a poco se va formalizan-

do por medio del simbolismo matemaacutetico correspondiente y una ejemplificacioacuten

del concepto y su demostracioacuten

En cada unidad encontraraacutes el nuacutemero de ejercicios necesarios para comprender

y reafirmar cada uno de los temas tratados eacutestos los presentamos en forma de

problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero la relacioacuten de co-

lumnas los ejercicios de complementacioacuten los enunciados verbales y por uacuteltimo las

secciones de Comprueba tu aprendizaje una por cada unidad y a las que les hemos

dado el valor de comprobacioacuten y puedes utilizar como una forma de poner a prueba

los conocimientos que has hecho tuyos

Grupo Editorial Patriavi

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RECOMENDACIONES DE ESTUDIO

Una de las preguntas maacutes frecuentes que los padres de los alumnos que no obtie-

nen un buen resultado en esta asignatura nos hacen a los profesores de matemaacute-

ticas es

ldquoiquestQueacute puedo hacer para que mi hijo tenga eacutexito en su curso de matemaacuteticasrdquo

No es poco comuacuten una afirmacioacuten como la siguiente

ldquoNo entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen soy testigo de que se pasa tar-

des y noches completas haciendo ejercicios y aun asiacute repruebardquo

Muchas veces nos ha tocado ver a los padres maacutes preocupados que a los propios

muchachos quienes ven ldquonormalrdquo reprobar matemaacuteticas y hasta llegan a competir

con sus amigos para obtener la calificacioacuten maacutes baja

La intencioacuten de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para

lo que te puede suceder durante este curso sino expresar que esta preocupacioacuten

tambieacuten es nuestra y representa parte de nuestra realidad educativa

Tambieacuten entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte ldquoconse-

josrdquo o ldquofoacutermulas de eacutexitordquo para tus estudios Quizaacute lo que menos quieres escuchar es

lo que siempre te han dicho que debes hacer Asiacute que cambiaremos de estrategia y

te proponemos cuatro reglas de lo que siacute es indispensable que realices para no tener

eacutexito en matemaacuteticas

Aacutelgebra

viii

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ixGrupo Editorial Patria

COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE

EN CUALQUIER CURSO

Sigue estas cuatro reglas

1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor

2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto

3 No realices las tareas

4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten

y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos

asegura la nota reprobatoria

Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas

puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso

Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las

anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso

A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado

Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas

1

2

3

4

Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y

aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso

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Aacutelgebra

x

PRESENTACIOacuteN V

DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII

UNIDAD 1 Conjuntos 2

11 Breve resentildea histoacuterica 4

12 Idea intuitiva de con juntos 6

Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9

Cardinalidad 9

14 Tipos de con juntos 10

Con juntos finitos e infinitos 10

Con juntos iguales 10

Con junto vaciacuteo 11

Con juntos equivalentes 11

Con junto universal 12

Subcon juntos 12

Con junto potencia 13

15 Operaciones con conjuntos 14

Unioacuten de con juntos 14

Interseccioacuten de con juntos 15

Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16

Maacuteximo comuacuten divisor 16

Complemento de un con junto 18

Diferencia entre dos con juntos 19

16 Diagramas de Venn-Euler 20

17 Producto cartesiano 31

18 Plano cartesiano 33

Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34

19 Comprueba tu aprendiza je 37

UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40

21 Breve resentildea histoacuterica 42

22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45

Sistema de numeracioacuten babilonio 45

Sistema de numeracioacuten egipcio 49

Sistema de numeracioacuten romano 50

Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54

Notacioacuten desarrollada 58

Proyecto de trabajo grupal 59

24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes

bases 60

Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62

Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63

25 Operaciones con otras bases 65

26 Comprueba tu aprendizaje 73

UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76

31 Breve resentildea histoacuterica 78

32 Propiedades de las operaciones binarias 80

Operacioacuten 80

Operacioacuten binaria 81

Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83

33 Nuacutemeros naturales 83

34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten

del maacuteximo comuacuten divisor 86

Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88

35 Nuacutemeros enteros 91

36 Nuacutemeros racionales 95

Propiedades de las razones geomeacutetricas 96

Decimales perioacutedicos infinitos 99

Orden en los nuacutemeros racionales 100

Operaciones con nuacutemeros racionales 103

Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111

37 Nuacutemeros irracionales 112

Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116

38 Nuacutemeros reales 119

Propiedad de tricotomiacutea 121

39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122

Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123

310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125

311 Intervalos 128

312 Leyes de los exponentes 132

CONTENIDO

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httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 920Grupo Editorial Patria

x

Dos aplicaciones usando exponentes 138

313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144

2Leyes fundamentales de los logaritmos 146

Obtencioacuten de logaritmos comunes

mediante el uso de tablas 147

Operaciones con logaritmos 151

315 Comprueba tu aprendizaje 152

UNIDAD 4 Monomios

y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158

42 Monomios 159

Expresiones algebraicas 159

Grado de un teacutermino 161

Clases de teacuterminos 161

43 Polinomios 162

Grado de un polinomio 162

Clases de polinomios 163

Teacuterminos semejantes 166

Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166

Signos de agrupacioacuten 167

44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169

Resta de monomios y polinomios 170

45 Multiplicacioacuten de monomios

y polinomios 172

Multiplicacioacuten de monomios 173

Multiplicacioacuten de monomios

por polinomios 173

46 Factor comuacuten en un polinomio 178

47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180

Monomio entre monomio 180

Polinomio entre monomio 180

Polinomio entre polinomio 181

Algoritmo de la divisioacuten 182

Divisioacuten sinteacutetica 184

48 Valor numeacuterico de un polinomio 185

49 Polinomios como funciones 187

Funciones polinomiales 189

Evaluacioacuten de una funcioacuten 189

Operaciones con funciones 191

410 Comprueba tu aprendizaje 193

UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19

51 Breve resentildea histoacuterica 19

52 Factor comuacuten en un polinomio 20

53 Cuadrado de un binomio 20

Trinomio al cuadrado 20

54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados

perfectos 20

Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20

55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21

57 Producto de binomios

con un teacutermino comuacuten 21

58 Factorizacioacuten de trinomios

de segundo grado 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21

59 Producto de binomios conjugados 22

510 Factorizacioacuten de diferencia

de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten

de teacuterminos 22

512 Factorizacioacuten de una suma

o diferencia de dos potencias iguales 22

513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos

o maacutes polinomios 23

514 Otros tipos de factorizaciones 23

515 Binomio de Newton 23

Factorial 23

516 Comprueba tu aprendizaje 24

UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25

61 Breve resentildea histoacuterica 25

62 Teoremas del residuo y del factor 25

Teorema del residuo 25

Teorema del factor 25

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httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1120Grupo Editorial Patria

1

Caacutelculo de un determinante 449

Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453

Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454

Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454

85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463

Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471

86 Sistemas de desigualdades lineales 477

Desigualdad lineal con dos variables 477

Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478

Sistemas de desigualdades lineales 480

Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490

ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533

SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539

BIBLIOGRAFIacuteA 547

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Conjuntos1UNIDAD

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Descripcioacuten de la unidad

En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-

tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-

mo un elemento fundamental del lengua je necesario

para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-

prensioacuten de unidades de estudio posteriores

Conocer la nocioacuten de con junto

Comprender las operaciones entre con juntos

Resolver problemas relacionados con estas

operaciones

Adquirir los conocimientos del lengua je

matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de

contenido en temas posteriores

Idea intuitiva de con junto

Cardinalidad de un conjunto

Tipos de con juntos

Operaciones con conjuntos

Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano

Plano cartesiano

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Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

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UNIDAD 1 Conjuntos

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

e ro s

e n te ro s me no re s

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

8

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

9

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

Page 5: Algebra Carpinteiro

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Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje la cual deseamos que inten-

tes resolver con tus propios conocimientos Estas actividades pueden ser resueltas

con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio pero si no te es posible

hacerlo no te desanimes sigue avanzando en tu estudio y encontraraacutes en los temas

de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solucioacuten pedida Comodiriacutea un pintor ldquopinta y borra pinta y borra hasta que al fin iexclzasiexcl tienes la obra

maestra que te deja la satisfaccioacuten de que es creacioacuten tuyardquo

Los maacutergenes han sido disentildeados para que tengas el espacio necesario y puedas

rehacer tus operaciones y cuando lo creas necesario anotar en ellos observaciones

las cuales podraacutes consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes

para lograr la comprensioacuten del tema tratado

Un elemento maacutes con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diaacutelogo

como los siguientes

iquestEn tre queacute nuacutemeros

es di visible 6 636

iquestC oacutemo se int er pr et a el hec ho de que un polinomio t enga un menor nuacutemer o de r aiacute c es que el gr ado

del mismo

en los cuales te proponemos que realices una actividad o alguacuten aspecto a investigar

y que propicia la reflexioacuten sobre el concepto sobre el que se estaacute trabajando o aclara y

proporciona una indicacioacuten especial de alguacuten algoritmo que se desarrolle

La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades par-

te de un enfoque en el que se desarrolla la intuicioacuten y poco a poco se va formalizan-

do por medio del simbolismo matemaacutetico correspondiente y una ejemplificacioacuten

del concepto y su demostracioacuten

En cada unidad encontraraacutes el nuacutemero de ejercicios necesarios para comprender

y reafirmar cada uno de los temas tratados eacutestos los presentamos en forma de

problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero la relacioacuten de co-

lumnas los ejercicios de complementacioacuten los enunciados verbales y por uacuteltimo las

secciones de Comprueba tu aprendizaje una por cada unidad y a las que les hemos

dado el valor de comprobacioacuten y puedes utilizar como una forma de poner a prueba

los conocimientos que has hecho tuyos

Grupo Editorial Patriavi

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RECOMENDACIONES DE ESTUDIO

Una de las preguntas maacutes frecuentes que los padres de los alumnos que no obtie-

nen un buen resultado en esta asignatura nos hacen a los profesores de matemaacute-

ticas es

ldquoiquestQueacute puedo hacer para que mi hijo tenga eacutexito en su curso de matemaacuteticasrdquo

No es poco comuacuten una afirmacioacuten como la siguiente

ldquoNo entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen soy testigo de que se pasa tar-

des y noches completas haciendo ejercicios y aun asiacute repruebardquo

Muchas veces nos ha tocado ver a los padres maacutes preocupados que a los propios

muchachos quienes ven ldquonormalrdquo reprobar matemaacuteticas y hasta llegan a competir

con sus amigos para obtener la calificacioacuten maacutes baja

La intencioacuten de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para

lo que te puede suceder durante este curso sino expresar que esta preocupacioacuten

tambieacuten es nuestra y representa parte de nuestra realidad educativa

Tambieacuten entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte ldquoconse-

josrdquo o ldquofoacutermulas de eacutexitordquo para tus estudios Quizaacute lo que menos quieres escuchar es

lo que siempre te han dicho que debes hacer Asiacute que cambiaremos de estrategia y

te proponemos cuatro reglas de lo que siacute es indispensable que realices para no tener

eacutexito en matemaacuteticas

Aacutelgebra

viii

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ixGrupo Editorial Patria

COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE

EN CUALQUIER CURSO

Sigue estas cuatro reglas

1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor

2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto

3 No realices las tareas

4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten

y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos

asegura la nota reprobatoria

Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas

puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso

Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las

anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso

A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado

Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas

1

2

3

4

Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y

aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso

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Aacutelgebra

x

PRESENTACIOacuteN V

DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII

UNIDAD 1 Conjuntos 2

11 Breve resentildea histoacuterica 4

12 Idea intuitiva de con juntos 6

Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9

Cardinalidad 9

14 Tipos de con juntos 10

Con juntos finitos e infinitos 10

Con juntos iguales 10

Con junto vaciacuteo 11

Con juntos equivalentes 11

Con junto universal 12

Subcon juntos 12

Con junto potencia 13

15 Operaciones con conjuntos 14

Unioacuten de con juntos 14

Interseccioacuten de con juntos 15

Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16

Maacuteximo comuacuten divisor 16

Complemento de un con junto 18

Diferencia entre dos con juntos 19

16 Diagramas de Venn-Euler 20

17 Producto cartesiano 31

18 Plano cartesiano 33

Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34

19 Comprueba tu aprendiza je 37

UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40

21 Breve resentildea histoacuterica 42

22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45

Sistema de numeracioacuten babilonio 45

Sistema de numeracioacuten egipcio 49

Sistema de numeracioacuten romano 50

Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54

Notacioacuten desarrollada 58

Proyecto de trabajo grupal 59

24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes

bases 60

Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62

Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63

25 Operaciones con otras bases 65

26 Comprueba tu aprendizaje 73

UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76

31 Breve resentildea histoacuterica 78

32 Propiedades de las operaciones binarias 80

Operacioacuten 80

Operacioacuten binaria 81

Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83

33 Nuacutemeros naturales 83

34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten

del maacuteximo comuacuten divisor 86

Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88

35 Nuacutemeros enteros 91

36 Nuacutemeros racionales 95

Propiedades de las razones geomeacutetricas 96

Decimales perioacutedicos infinitos 99

Orden en los nuacutemeros racionales 100

Operaciones con nuacutemeros racionales 103

Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111

37 Nuacutemeros irracionales 112

Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116

38 Nuacutemeros reales 119

Propiedad de tricotomiacutea 121

39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122

Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123

310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125

311 Intervalos 128

312 Leyes de los exponentes 132

CONTENIDO

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x

Dos aplicaciones usando exponentes 138

313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144

2Leyes fundamentales de los logaritmos 146

Obtencioacuten de logaritmos comunes

mediante el uso de tablas 147

Operaciones con logaritmos 151

315 Comprueba tu aprendizaje 152

UNIDAD 4 Monomios

y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158

42 Monomios 159

Expresiones algebraicas 159

Grado de un teacutermino 161

Clases de teacuterminos 161

43 Polinomios 162

Grado de un polinomio 162

Clases de polinomios 163

Teacuterminos semejantes 166

Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166

Signos de agrupacioacuten 167

44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169

Resta de monomios y polinomios 170

45 Multiplicacioacuten de monomios

y polinomios 172

Multiplicacioacuten de monomios 173

Multiplicacioacuten de monomios

por polinomios 173

46 Factor comuacuten en un polinomio 178

47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180

Monomio entre monomio 180

Polinomio entre monomio 180

Polinomio entre polinomio 181

Algoritmo de la divisioacuten 182

Divisioacuten sinteacutetica 184

48 Valor numeacuterico de un polinomio 185

49 Polinomios como funciones 187

Funciones polinomiales 189

Evaluacioacuten de una funcioacuten 189

Operaciones con funciones 191

410 Comprueba tu aprendizaje 193

UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19

51 Breve resentildea histoacuterica 19

52 Factor comuacuten en un polinomio 20

53 Cuadrado de un binomio 20

Trinomio al cuadrado 20

54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados

perfectos 20

Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20

55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21

57 Producto de binomios

con un teacutermino comuacuten 21

58 Factorizacioacuten de trinomios

de segundo grado 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21

59 Producto de binomios conjugados 22

510 Factorizacioacuten de diferencia

de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten

de teacuterminos 22

512 Factorizacioacuten de una suma

o diferencia de dos potencias iguales 22

513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos

o maacutes polinomios 23

514 Otros tipos de factorizaciones 23

515 Binomio de Newton 23

Factorial 23

516 Comprueba tu aprendizaje 24

UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25

61 Breve resentildea histoacuterica 25

62 Teoremas del residuo y del factor 25

Teorema del residuo 25

Teorema del factor 25

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httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1120Grupo Editorial Patria

1

Caacutelculo de un determinante 449

Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453

Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454

Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454

85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463

Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471

86 Sistemas de desigualdades lineales 477

Desigualdad lineal con dos variables 477

Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478

Sistemas de desigualdades lineales 480

Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490

ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533

SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539

BIBLIOGRAFIacuteA 547

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Conjuntos1UNIDAD

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Descripcioacuten de la unidad

En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-

tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-

mo un elemento fundamental del lengua je necesario

para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-

prensioacuten de unidades de estudio posteriores

Conocer la nocioacuten de con junto

Comprender las operaciones entre con juntos

Resolver problemas relacionados con estas

operaciones

Adquirir los conocimientos del lengua je

matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de

contenido en temas posteriores

Idea intuitiva de con junto

Cardinalidad de un conjunto

Tipos de con juntos

Operaciones con conjuntos

Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano

Plano cartesiano

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Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

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UNIDAD 1 Conjuntos

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

Aacutelgebra

6

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

e ro s

e n te ro s me no re s

q ue

5 ha y

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

Page 6: Algebra Carpinteiro

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RECOMENDACIONES DE ESTUDIO

Una de las preguntas maacutes frecuentes que los padres de los alumnos que no obtie-

nen un buen resultado en esta asignatura nos hacen a los profesores de matemaacute-

ticas es

ldquoiquestQueacute puedo hacer para que mi hijo tenga eacutexito en su curso de matemaacuteticasrdquo

No es poco comuacuten una afirmacioacuten como la siguiente

ldquoNo entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen soy testigo de que se pasa tar-

des y noches completas haciendo ejercicios y aun asiacute repruebardquo

Muchas veces nos ha tocado ver a los padres maacutes preocupados que a los propios

muchachos quienes ven ldquonormalrdquo reprobar matemaacuteticas y hasta llegan a competir

con sus amigos para obtener la calificacioacuten maacutes baja

La intencioacuten de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para

lo que te puede suceder durante este curso sino expresar que esta preocupacioacuten

tambieacuten es nuestra y representa parte de nuestra realidad educativa

Tambieacuten entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte ldquoconse-

josrdquo o ldquofoacutermulas de eacutexitordquo para tus estudios Quizaacute lo que menos quieres escuchar es

lo que siempre te han dicho que debes hacer Asiacute que cambiaremos de estrategia y

te proponemos cuatro reglas de lo que siacute es indispensable que realices para no tener

eacutexito en matemaacuteticas

Aacutelgebra

viii

8182019 Algebra Carpinteiro

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ixGrupo Editorial Patria

COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE

EN CUALQUIER CURSO

Sigue estas cuatro reglas

1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor

2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto

3 No realices las tareas

4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten

y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos

asegura la nota reprobatoria

Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas

puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso

Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las

anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso

A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado

Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas

1

2

3

4

Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y

aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso

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Aacutelgebra

x

PRESENTACIOacuteN V

DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII

UNIDAD 1 Conjuntos 2

11 Breve resentildea histoacuterica 4

12 Idea intuitiva de con juntos 6

Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9

Cardinalidad 9

14 Tipos de con juntos 10

Con juntos finitos e infinitos 10

Con juntos iguales 10

Con junto vaciacuteo 11

Con juntos equivalentes 11

Con junto universal 12

Subcon juntos 12

Con junto potencia 13

15 Operaciones con conjuntos 14

Unioacuten de con juntos 14

Interseccioacuten de con juntos 15

Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16

Maacuteximo comuacuten divisor 16

Complemento de un con junto 18

Diferencia entre dos con juntos 19

16 Diagramas de Venn-Euler 20

17 Producto cartesiano 31

18 Plano cartesiano 33

Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34

19 Comprueba tu aprendiza je 37

UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40

21 Breve resentildea histoacuterica 42

22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45

Sistema de numeracioacuten babilonio 45

Sistema de numeracioacuten egipcio 49

Sistema de numeracioacuten romano 50

Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54

Notacioacuten desarrollada 58

Proyecto de trabajo grupal 59

24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes

bases 60

Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62

Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63

25 Operaciones con otras bases 65

26 Comprueba tu aprendizaje 73

UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76

31 Breve resentildea histoacuterica 78

32 Propiedades de las operaciones binarias 80

Operacioacuten 80

Operacioacuten binaria 81

Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83

33 Nuacutemeros naturales 83

34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten

del maacuteximo comuacuten divisor 86

Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88

35 Nuacutemeros enteros 91

36 Nuacutemeros racionales 95

Propiedades de las razones geomeacutetricas 96

Decimales perioacutedicos infinitos 99

Orden en los nuacutemeros racionales 100

Operaciones con nuacutemeros racionales 103

Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111

37 Nuacutemeros irracionales 112

Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116

38 Nuacutemeros reales 119

Propiedad de tricotomiacutea 121

39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122

Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123

310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125

311 Intervalos 128

312 Leyes de los exponentes 132

CONTENIDO

8182019 Algebra Carpinteiro

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 920Grupo Editorial Patria

x

Dos aplicaciones usando exponentes 138

313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144

2Leyes fundamentales de los logaritmos 146

Obtencioacuten de logaritmos comunes

mediante el uso de tablas 147

Operaciones con logaritmos 151

315 Comprueba tu aprendizaje 152

UNIDAD 4 Monomios

y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158

42 Monomios 159

Expresiones algebraicas 159

Grado de un teacutermino 161

Clases de teacuterminos 161

43 Polinomios 162

Grado de un polinomio 162

Clases de polinomios 163

Teacuterminos semejantes 166

Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166

Signos de agrupacioacuten 167

44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169

Resta de monomios y polinomios 170

45 Multiplicacioacuten de monomios

y polinomios 172

Multiplicacioacuten de monomios 173

Multiplicacioacuten de monomios

por polinomios 173

46 Factor comuacuten en un polinomio 178

47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180

Monomio entre monomio 180

Polinomio entre monomio 180

Polinomio entre polinomio 181

Algoritmo de la divisioacuten 182

Divisioacuten sinteacutetica 184

48 Valor numeacuterico de un polinomio 185

49 Polinomios como funciones 187

Funciones polinomiales 189

Evaluacioacuten de una funcioacuten 189

Operaciones con funciones 191

410 Comprueba tu aprendizaje 193

UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19

51 Breve resentildea histoacuterica 19

52 Factor comuacuten en un polinomio 20

53 Cuadrado de un binomio 20

Trinomio al cuadrado 20

54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados

perfectos 20

Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20

55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21

57 Producto de binomios

con un teacutermino comuacuten 21

58 Factorizacioacuten de trinomios

de segundo grado 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21

59 Producto de binomios conjugados 22

510 Factorizacioacuten de diferencia

de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten

de teacuterminos 22

512 Factorizacioacuten de una suma

o diferencia de dos potencias iguales 22

513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos

o maacutes polinomios 23

514 Otros tipos de factorizaciones 23

515 Binomio de Newton 23

Factorial 23

516 Comprueba tu aprendizaje 24

UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25

61 Breve resentildea histoacuterica 25

62 Teoremas del residuo y del factor 25

Teorema del residuo 25

Teorema del factor 25

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8182019 Algebra Carpinteiro

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1120Grupo Editorial Patria

1

Caacutelculo de un determinante 449

Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453

Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454

Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454

85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463

Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471

86 Sistemas de desigualdades lineales 477

Desigualdad lineal con dos variables 477

Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478

Sistemas de desigualdades lineales 480

Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490

ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533

SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539

BIBLIOGRAFIacuteA 547

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Conjuntos1UNIDAD

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Descripcioacuten de la unidad

En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-

tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-

mo un elemento fundamental del lengua je necesario

para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-

prensioacuten de unidades de estudio posteriores

Conocer la nocioacuten de con junto

Comprender las operaciones entre con juntos

Resolver problemas relacionados con estas

operaciones

Adquirir los conocimientos del lengua je

matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de

contenido en temas posteriores

Idea intuitiva de con junto

Cardinalidad de un conjunto

Tipos de con juntos

Operaciones con conjuntos

Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano

Plano cartesiano

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8182019 Algebra Carpinteiro

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1520

Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

5

8182019 Algebra Carpinteiro

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

Aacutelgebra

6

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

e ro s

e n te ro s me no re s

q ue

5 ha y

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UNIDAD 1 Conjuntos

7

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

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UNIDAD 1 Conjuntos

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

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COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE

EN CUALQUIER CURSO

Sigue estas cuatro reglas

1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor

2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto

3 No realices las tareas

4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten

y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos

asegura la nota reprobatoria

Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas

puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso

Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las

anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso

A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado

Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas

1

2

3

4

Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y

aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso

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x

PRESENTACIOacuteN V

DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII

UNIDAD 1 Conjuntos 2

11 Breve resentildea histoacuterica 4

12 Idea intuitiva de con juntos 6

Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9

Cardinalidad 9

14 Tipos de con juntos 10

Con juntos finitos e infinitos 10

Con juntos iguales 10

Con junto vaciacuteo 11

Con juntos equivalentes 11

Con junto universal 12

Subcon juntos 12

Con junto potencia 13

15 Operaciones con conjuntos 14

Unioacuten de con juntos 14

Interseccioacuten de con juntos 15

Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16

Maacuteximo comuacuten divisor 16

Complemento de un con junto 18

Diferencia entre dos con juntos 19

16 Diagramas de Venn-Euler 20

17 Producto cartesiano 31

18 Plano cartesiano 33

Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34

19 Comprueba tu aprendiza je 37

UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40

21 Breve resentildea histoacuterica 42

22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45

Sistema de numeracioacuten babilonio 45

Sistema de numeracioacuten egipcio 49

Sistema de numeracioacuten romano 50

Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54

Notacioacuten desarrollada 58

Proyecto de trabajo grupal 59

24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes

bases 60

Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62

Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63

25 Operaciones con otras bases 65

26 Comprueba tu aprendizaje 73

UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76

31 Breve resentildea histoacuterica 78

32 Propiedades de las operaciones binarias 80

Operacioacuten 80

Operacioacuten binaria 81

Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83

33 Nuacutemeros naturales 83

34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten

del maacuteximo comuacuten divisor 86

Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88

35 Nuacutemeros enteros 91

36 Nuacutemeros racionales 95

Propiedades de las razones geomeacutetricas 96

Decimales perioacutedicos infinitos 99

Orden en los nuacutemeros racionales 100

Operaciones con nuacutemeros racionales 103

Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111

37 Nuacutemeros irracionales 112

Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116

38 Nuacutemeros reales 119

Propiedad de tricotomiacutea 121

39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122

Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123

310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125

311 Intervalos 128

312 Leyes de los exponentes 132

CONTENIDO

8182019 Algebra Carpinteiro

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 920Grupo Editorial Patria

x

Dos aplicaciones usando exponentes 138

313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144

2Leyes fundamentales de los logaritmos 146

Obtencioacuten de logaritmos comunes

mediante el uso de tablas 147

Operaciones con logaritmos 151

315 Comprueba tu aprendizaje 152

UNIDAD 4 Monomios

y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158

42 Monomios 159

Expresiones algebraicas 159

Grado de un teacutermino 161

Clases de teacuterminos 161

43 Polinomios 162

Grado de un polinomio 162

Clases de polinomios 163

Teacuterminos semejantes 166

Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166

Signos de agrupacioacuten 167

44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169

Resta de monomios y polinomios 170

45 Multiplicacioacuten de monomios

y polinomios 172

Multiplicacioacuten de monomios 173

Multiplicacioacuten de monomios

por polinomios 173

46 Factor comuacuten en un polinomio 178

47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180

Monomio entre monomio 180

Polinomio entre monomio 180

Polinomio entre polinomio 181

Algoritmo de la divisioacuten 182

Divisioacuten sinteacutetica 184

48 Valor numeacuterico de un polinomio 185

49 Polinomios como funciones 187

Funciones polinomiales 189

Evaluacioacuten de una funcioacuten 189

Operaciones con funciones 191

410 Comprueba tu aprendizaje 193

UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19

51 Breve resentildea histoacuterica 19

52 Factor comuacuten en un polinomio 20

53 Cuadrado de un binomio 20

Trinomio al cuadrado 20

54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados

perfectos 20

Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20

55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21

57 Producto de binomios

con un teacutermino comuacuten 21

58 Factorizacioacuten de trinomios

de segundo grado 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21

59 Producto de binomios conjugados 22

510 Factorizacioacuten de diferencia

de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten

de teacuterminos 22

512 Factorizacioacuten de una suma

o diferencia de dos potencias iguales 22

513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos

o maacutes polinomios 23

514 Otros tipos de factorizaciones 23

515 Binomio de Newton 23

Factorial 23

516 Comprueba tu aprendizaje 24

UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25

61 Breve resentildea histoacuterica 25

62 Teoremas del residuo y del factor 25

Teorema del residuo 25

Teorema del factor 25

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1

Caacutelculo de un determinante 449

Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453

Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454

Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454

85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463

Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471

86 Sistemas de desigualdades lineales 477

Desigualdad lineal con dos variables 477

Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478

Sistemas de desigualdades lineales 480

Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490

ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533

SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539

BIBLIOGRAFIacuteA 547

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Conjuntos1UNIDAD

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Descripcioacuten de la unidad

En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-

tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-

mo un elemento fundamental del lengua je necesario

para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-

prensioacuten de unidades de estudio posteriores

Conocer la nocioacuten de con junto

Comprender las operaciones entre con juntos

Resolver problemas relacionados con estas

operaciones

Adquirir los conocimientos del lengua je

matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de

contenido en temas posteriores

Idea intuitiva de con junto

Cardinalidad de un conjunto

Tipos de con juntos

Operaciones con conjuntos

Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano

Plano cartesiano

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Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

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UNIDAD 1 Conjuntos

5

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

Aacutelgebra

6

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

e ro s

e n te ro s me no re s

q ue

5 ha y

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UNIDAD 1 Conjuntos

7

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

8

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

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UNIDAD 1 Conjuntos

9

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

Page 8: Algebra Carpinteiro

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Aacutelgebra

x

PRESENTACIOacuteN V

DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII

UNIDAD 1 Conjuntos 2

11 Breve resentildea histoacuterica 4

12 Idea intuitiva de con juntos 6

Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9

Cardinalidad 9

14 Tipos de con juntos 10

Con juntos finitos e infinitos 10

Con juntos iguales 10

Con junto vaciacuteo 11

Con juntos equivalentes 11

Con junto universal 12

Subcon juntos 12

Con junto potencia 13

15 Operaciones con conjuntos 14

Unioacuten de con juntos 14

Interseccioacuten de con juntos 15

Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16

Maacuteximo comuacuten divisor 16

Complemento de un con junto 18

Diferencia entre dos con juntos 19

16 Diagramas de Venn-Euler 20

17 Producto cartesiano 31

18 Plano cartesiano 33

Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34

19 Comprueba tu aprendiza je 37

UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40

21 Breve resentildea histoacuterica 42

22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45

Sistema de numeracioacuten babilonio 45

Sistema de numeracioacuten egipcio 49

Sistema de numeracioacuten romano 50

Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54

Notacioacuten desarrollada 58

Proyecto de trabajo grupal 59

24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes

bases 60

Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62

Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63

25 Operaciones con otras bases 65

26 Comprueba tu aprendizaje 73

UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76

31 Breve resentildea histoacuterica 78

32 Propiedades de las operaciones binarias 80

Operacioacuten 80

Operacioacuten binaria 81

Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83

33 Nuacutemeros naturales 83

34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten

del maacuteximo comuacuten divisor 86

Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88

35 Nuacutemeros enteros 91

36 Nuacutemeros racionales 95

Propiedades de las razones geomeacutetricas 96

Decimales perioacutedicos infinitos 99

Orden en los nuacutemeros racionales 100

Operaciones con nuacutemeros racionales 103

Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111

37 Nuacutemeros irracionales 112

Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116

38 Nuacutemeros reales 119

Propiedad de tricotomiacutea 121

39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122

Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123

310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125

311 Intervalos 128

312 Leyes de los exponentes 132

CONTENIDO

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x

Dos aplicaciones usando exponentes 138

313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144

2Leyes fundamentales de los logaritmos 146

Obtencioacuten de logaritmos comunes

mediante el uso de tablas 147

Operaciones con logaritmos 151

315 Comprueba tu aprendizaje 152

UNIDAD 4 Monomios

y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158

42 Monomios 159

Expresiones algebraicas 159

Grado de un teacutermino 161

Clases de teacuterminos 161

43 Polinomios 162

Grado de un polinomio 162

Clases de polinomios 163

Teacuterminos semejantes 166

Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166

Signos de agrupacioacuten 167

44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169

Resta de monomios y polinomios 170

45 Multiplicacioacuten de monomios

y polinomios 172

Multiplicacioacuten de monomios 173

Multiplicacioacuten de monomios

por polinomios 173

46 Factor comuacuten en un polinomio 178

47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180

Monomio entre monomio 180

Polinomio entre monomio 180

Polinomio entre polinomio 181

Algoritmo de la divisioacuten 182

Divisioacuten sinteacutetica 184

48 Valor numeacuterico de un polinomio 185

49 Polinomios como funciones 187

Funciones polinomiales 189

Evaluacioacuten de una funcioacuten 189

Operaciones con funciones 191

410 Comprueba tu aprendizaje 193

UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19

51 Breve resentildea histoacuterica 19

52 Factor comuacuten en un polinomio 20

53 Cuadrado de un binomio 20

Trinomio al cuadrado 20

54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados

perfectos 20

Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20

55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21

57 Producto de binomios

con un teacutermino comuacuten 21

58 Factorizacioacuten de trinomios

de segundo grado 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21

59 Producto de binomios conjugados 22

510 Factorizacioacuten de diferencia

de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten

de teacuterminos 22

512 Factorizacioacuten de una suma

o diferencia de dos potencias iguales 22

513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos

o maacutes polinomios 23

514 Otros tipos de factorizaciones 23

515 Binomio de Newton 23

Factorial 23

516 Comprueba tu aprendizaje 24

UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25

61 Breve resentildea histoacuterica 25

62 Teoremas del residuo y del factor 25

Teorema del residuo 25

Teorema del factor 25

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1

Caacutelculo de un determinante 449

Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453

Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454

Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454

85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463

Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471

86 Sistemas de desigualdades lineales 477

Desigualdad lineal con dos variables 477

Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478

Sistemas de desigualdades lineales 480

Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490

ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533

SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539

BIBLIOGRAFIacuteA 547

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Conjuntos1UNIDAD

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Descripcioacuten de la unidad

En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-

tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-

mo un elemento fundamental del lengua je necesario

para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-

prensioacuten de unidades de estudio posteriores

Conocer la nocioacuten de con junto

Comprender las operaciones entre con juntos

Resolver problemas relacionados con estas

operaciones

Adquirir los conocimientos del lengua je

matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de

contenido en temas posteriores

Idea intuitiva de con junto

Cardinalidad de un conjunto

Tipos de con juntos

Operaciones con conjuntos

Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano

Plano cartesiano

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Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

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UNIDAD 1 Conjuntos

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

Aacutelgebra

6

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

e ro s

e n te ro s me no re s

q ue

5 ha y

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UNIDAD 1 Conjuntos

7

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

8

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httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1920

i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

9

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

Page 9: Algebra Carpinteiro

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x

Dos aplicaciones usando exponentes 138

313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144

2Leyes fundamentales de los logaritmos 146

Obtencioacuten de logaritmos comunes

mediante el uso de tablas 147

Operaciones con logaritmos 151

315 Comprueba tu aprendizaje 152

UNIDAD 4 Monomios

y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158

42 Monomios 159

Expresiones algebraicas 159

Grado de un teacutermino 161

Clases de teacuterminos 161

43 Polinomios 162

Grado de un polinomio 162

Clases de polinomios 163

Teacuterminos semejantes 166

Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166

Signos de agrupacioacuten 167

44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169

Resta de monomios y polinomios 170

45 Multiplicacioacuten de monomios

y polinomios 172

Multiplicacioacuten de monomios 173

Multiplicacioacuten de monomios

por polinomios 173

46 Factor comuacuten en un polinomio 178

47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180

Monomio entre monomio 180

Polinomio entre monomio 180

Polinomio entre polinomio 181

Algoritmo de la divisioacuten 182

Divisioacuten sinteacutetica 184

48 Valor numeacuterico de un polinomio 185

49 Polinomios como funciones 187

Funciones polinomiales 189

Evaluacioacuten de una funcioacuten 189

Operaciones con funciones 191

410 Comprueba tu aprendizaje 193

UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19

51 Breve resentildea histoacuterica 19

52 Factor comuacuten en un polinomio 20

53 Cuadrado de un binomio 20

Trinomio al cuadrado 20

54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados

perfectos 20

Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20

55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21

57 Producto de binomios

con un teacutermino comuacuten 21

58 Factorizacioacuten de trinomios

de segundo grado 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21

Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21

59 Producto de binomios conjugados 22

510 Factorizacioacuten de diferencia

de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten

de teacuterminos 22

512 Factorizacioacuten de una suma

o diferencia de dos potencias iguales 22

513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos

o maacutes polinomios 23

514 Otros tipos de factorizaciones 23

515 Binomio de Newton 23

Factorial 23

516 Comprueba tu aprendizaje 24

UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25

61 Breve resentildea histoacuterica 25

62 Teoremas del residuo y del factor 25

Teorema del residuo 25

Teorema del factor 25

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8182019 Algebra Carpinteiro

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1120Grupo Editorial Patria

1

Caacutelculo de un determinante 449

Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453

Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454

Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454

85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463

Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471

86 Sistemas de desigualdades lineales 477

Desigualdad lineal con dos variables 477

Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478

Sistemas de desigualdades lineales 480

Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490

ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533

SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539

BIBLIOGRAFIacuteA 547

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Conjuntos1UNIDAD

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Descripcioacuten de la unidad

En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-

tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-

mo un elemento fundamental del lengua je necesario

para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-

prensioacuten de unidades de estudio posteriores

Conocer la nocioacuten de con junto

Comprender las operaciones entre con juntos

Resolver problemas relacionados con estas

operaciones

Adquirir los conocimientos del lengua je

matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de

contenido en temas posteriores

Idea intuitiva de con junto

Cardinalidad de un conjunto

Tipos de con juntos

Operaciones con conjuntos

Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano

Plano cartesiano

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Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

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UNIDAD 1 Conjuntos

5

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

e ro s

e n te ro s me no re s

q ue

5 ha y

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

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1

Caacutelculo de un determinante 449

Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453

Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454

Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454

85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463

Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471

86 Sistemas de desigualdades lineales 477

Desigualdad lineal con dos variables 477

Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478

Sistemas de desigualdades lineales 480

Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490

ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533

SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539

BIBLIOGRAFIacuteA 547

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Conjuntos1UNIDAD

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Descripcioacuten de la unidad

En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-

tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-

mo un elemento fundamental del lengua je necesario

para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-

prensioacuten de unidades de estudio posteriores

Conocer la nocioacuten de con junto

Comprender las operaciones entre con juntos

Resolver problemas relacionados con estas

operaciones

Adquirir los conocimientos del lengua je

matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de

contenido en temas posteriores

Idea intuitiva de con junto

Cardinalidad de un conjunto

Tipos de con juntos

Operaciones con conjuntos

Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano

Plano cartesiano

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Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

5

8182019 Algebra Carpinteiro

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1620

12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

Aacutelgebra

6

8182019 Algebra Carpinteiro

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

e ro s

e n te ro s me no re s

q ue

5 ha y

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UNIDAD 1 Conjuntos

7

8182019 Algebra Carpinteiro

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1820

2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

8

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httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1920

i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

9

8182019 Algebra Carpinteiro

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 2020

14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

Page 11: Algebra Carpinteiro

8182019 Algebra Carpinteiro

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1120Grupo Editorial Patria

1

Caacutelculo de un determinante 449

Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453

Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454

Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454

85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463

Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467

Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471

86 Sistemas de desigualdades lineales 477

Desigualdad lineal con dos variables 477

Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478

Sistemas de desigualdades lineales 480

Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490

ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533

SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539

BIBLIOGRAFIacuteA 547

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Conjuntos1UNIDAD

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Descripcioacuten de la unidad

En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-

tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-

mo un elemento fundamental del lengua je necesario

para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-

prensioacuten de unidades de estudio posteriores

Conocer la nocioacuten de con junto

Comprender las operaciones entre con juntos

Resolver problemas relacionados con estas

operaciones

Adquirir los conocimientos del lengua je

matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de

contenido en temas posteriores

Idea intuitiva de con junto

Cardinalidad de un conjunto

Tipos de con juntos

Operaciones con conjuntos

Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano

Plano cartesiano

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8182019 Algebra Carpinteiro

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1520

Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

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5

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

Aacutelgebra

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

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q ue

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

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Conjuntos1UNIDAD

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Descripcioacuten de la unidad

En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-

tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-

mo un elemento fundamental del lengua je necesario

para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-

prensioacuten de unidades de estudio posteriores

Conocer la nocioacuten de con junto

Comprender las operaciones entre con juntos

Resolver problemas relacionados con estas

operaciones

Adquirir los conocimientos del lengua je

matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de

contenido en temas posteriores

Idea intuitiva de con junto

Cardinalidad de un conjunto

Tipos de con juntos

Operaciones con conjuntos

Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano

Plano cartesiano

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Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

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5

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

Aacutelgebra

6

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

e ro s

e n te ro s me no re s

q ue

5 ha y

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UNIDAD 1 Conjuntos

7

8182019 Algebra Carpinteiro

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1820

2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

8

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

9

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

Page 13: Algebra Carpinteiro

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Descripcioacuten de la unidad

En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-

tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-

mo un elemento fundamental del lengua je necesario

para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-

prensioacuten de unidades de estudio posteriores

Conocer la nocioacuten de con junto

Comprender las operaciones entre con juntos

Resolver problemas relacionados con estas

operaciones

Adquirir los conocimientos del lengua je

matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de

contenido en temas posteriores

Idea intuitiva de con junto

Cardinalidad de un conjunto

Tipos de con juntos

Operaciones con conjuntos

Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano

Plano cartesiano

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Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

Aacutelgebra

6

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

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e n te ro s me no re s

q ue

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

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Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

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Americano Soccer

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

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Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta

sobre los deportes que maacutes se practicaban en

la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su

deporte favorito Al recolectar la informacioacuten

que obtuvieron encontraron lo siguiente

1 Completa la tabla

siguiente para ellodistribuye la informacioacuten

anterior

2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama

a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer

b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano

d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes

e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano

Nuacutemero depersonas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Baacutesquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y baacutesquetbol

15 Futbol americano y baacutesquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol

americano

Futbol soccer Baacutesquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Baacutesquetbol

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UNIDAD 1 Conjuntos

5

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

Aacutelgebra

6

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

e ro s

e n te ro s me no re s

q ue

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

Grupo Editorial Patria

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

Page 16: Algebra Carpinteiro

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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas

1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos

2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas

3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten

mayor que en su curso anterior

4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este

curso

Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como

un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar

otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un

elemento fundamental de esta rama

Con junto

Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente

Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos

con minuacutesculas b 983131

B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo

y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo

Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-

tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos

entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede

ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que

tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-

ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos

En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de

mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo

ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros

pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo

Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas

matemaacuteticas

Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos

utilizando el siacutembolo de pertenencia

Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas

iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

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q ue

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

Page 17: Algebra Carpinteiro

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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo

En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros

o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican

que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros

Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden

tomar la siguiente forma

A = 22 24 26 28hellip 999 998

B = hellip 0 1 2 3 4

Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos

C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10

C =

D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4

D =

T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401

T =

Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en

forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-

piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo

Ejemplos

1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten

La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que

pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores

que 14rdquo

Condicioacuten maacutes general del conjunto

Tipo de elementos del conjuntoPropiedades

especiacuteficas de loselementos

Liacutemitessi esque

existen

Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e

esta expresioacuten

Liacutemites inferior ysuperior

Con x se representacualquier elemento

Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica

iquest C uaacute n to s n uacute m

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q ue

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten

Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas

1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B

2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites

Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es

B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28

EJERCICIO 1

1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten

a) C = 7 8 9 10hellip

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

b) E = 26 28 30 32

bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E

bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos

bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites

c) M = 90 99 108 117 126 135

d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

e) 1 1

3 1

9 1

27 1

81T =

2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten

f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011

D =

g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x

G =

h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13

S =

Aacutelgebra

8

8182019 Algebra Carpinteiro

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1920

i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

tema

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

9

8182019 Algebra Carpinteiro

httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 2020

14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

Aacutelgebra

Page 19: Algebra Carpinteiro

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i) N = xx 983131 N x ge 11

N =

j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0

P =

Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-

tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-

junto dado y su sucesor

Ejemplos

1 N = x x 983131 N x ge 11

2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip

3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1

4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN

13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

Cardinalidad

EJERCICIO 2

Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1

a) n(C ) = e) n(D ) =

b) n(E ) = f ) n(G ) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P ) =

Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de

elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente

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9

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

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14 TIPOS DE CONJUNTOS

Con juntos finitos e infinitos

Ejemplos

1 A = xx es un paiacutes del continente americano

2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100

En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede

concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos

que lo conforman

Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-

tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento

mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se

detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-

tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable

Ejemplos

1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip

2 C = Las rectas que pasan por un punto dado

Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-

mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-

ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos

D = x x es un ser humano

E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip

Con juntos iguales

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