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8182019 Algebra Carpinteiro
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PRIMERA EDICIOacuteN EBOOKMeacutexico 2014
GRUPO EDITORIAL PATRIA
AacuteLGEBRA
Eduardo Carpinteyro Vigil
Rubeacuten B Saacutenchez Hernaacutendez
8182019 Algebra Carpinteiro
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ii
Grupo Editorial Patriareg
Divisioacuten Bachillerato Universitario y Profesional
Direccioacuten editorial Javier Enrique Callejas
Coordinacioacuten editorial Alma Saacutemano Castillo
Disentildeo de interiores y portada Juan Bernardo Rosado Soliacutes
Supervisioacuten de preprensa Miguel Aacutengel Morales Verdugo
Diagramacioacuten Perla Alejandra Loacutepez Romo
Ilustraciones Jorge Antonio Martiacutenez Jimeacutenez Gustavo Vargas Martiacutenez
Fotografiacuteas Thinkstock
AacuteLGEBRA
Serie Bachiller
Derechos reservados
copy 2014 Eduardo Carpinteyro Vigil Rubeacuten B Saacutenchez Hernaacutendezcopy 2014 GRUPO EDITORIAL PATRIA SA DE CVISBN ebook 978-607-744-055-0
Renacimiento 180 Col San Juan TlihuacaDelegacioacuten Azcapotzalco Coacutedigo Postal 02400 Meacutexico DFMiembro de la Caacutemara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro nuacutem 43
Queda prohibida la reproduccioacuten o transmisioacuten total o parcial del contenido de la presente obraen cualesquiera formas sean electroacutenicas o mecaacutenicas sin el consentimiento previo y por escritodel editor
Impreso en Meacutexico Printed in Mexico
Primera edicioacuten ebook 2014
Correo
Renacimiento 180Col San Juan TlihuacaAzcapotzalco C P 02400Meacutexico D F
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Fax pedidos
(0155) 5354 9109 bull 5354 9102
Sitio web
wwweditorialpatriacommx
Teleacutefono
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Para establecer
comunicacioacuten con
nosotros puede
utilizar estos
medios
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vGrupo Editorial Patria
PRESENTACIOacuteN
La misioacuten de la ciencia consiste en sustituir las aparienciascon los hechos y las impresiones con las demostraciones
J983151983144983150 R983157983155983147983145983150
Entre las razones que hemos tenido para la elaboracioacuten de este libro estaacuten
1 Compartir con otros profesores una didaacutectica personal acerca de la ensentildeanza
de las matemaacuteticas en el nivel medio superior en la que se involucra nuestra
experiencia como docentes en bachillerato
2 Ofrecer a nuestros estudiantes de matemaacuteticas informacioacuten sobre el desarrollo
histoacuterico de esta ciencia tal es el caso de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten
cotidiana de los conceptos que se van estudiando para transformar la falsa
imagen de objeto terminado y perfecto que le ha sido dada a las matemaacuteticas
por parte de algunos docentes y la mayoriacutea de los alumnos de secundaria y
bachillerato que pasan por nuestras aulas
3 Aunque en forma general el estudiante ubica las matemaacuteticas como una de
las herramientas baacutesicas utilizadas por cualquier ciencia y vive en forma
cotidiana los beneficios logrados en nuestra eacutepoca sobre todo en el campo de
las comunicaciones no es poco comuacuten escuchar en los salones de clases lainterrogante natural del estudiante sobre la utilidad praacutectica del estudio que
realiza por lo que deseamos provocar la reflexioacuten personal del mismo joven
acerca de la construccioacuten de su conocimiento matemaacutetico
Estamos convencidos de que los alumnos no son un pizarroacuten en el que el profesor
puede escribir en forma indeleble su experiencia en esta materia Al llegar a este ni-
vel de estudios cuenta mucho la experiencia personal y los conocimientos previos
es por esta razoacuten que la exposicioacuten que hemos hecho a lo largo del texto toma en
cuenta ambos aspectos para reafirmarlos en el caso de que ya se encuentren es-
tructurados y recordarlos si no se ha hecho uso consciente de ellos y por lo tanto
han caiacutedo en el olvidoEstamos seguros que esta obra forma parte de un conjunto de informacioacuten global
que encontraraacute un amplio intereacutes de parte de los estudiantes de bachillerato quie-
nes seraacuten en un futuro muy cercano los ciudadanos que decidan y apoyen los pro-
gramas ambientales y energeacuteticos de nuestro paiacutes y cumplamos asiacute los compromisos
de sustentabilidad en el ambiente y la energiacutea que Meacutexico ha firmado y debe cumplir en
el concierto de las naciones
Los autores
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vi
Aacutelgebra
A LOS ALUMNOS
A manera de reflexioacuten queremos que pienses que ninguna persona inicia una acti-vidad llaacutemese negocio deporte o estudios con la idea de fracasar siempre tiene en
mente que va a lograr las metas propuestas si se aplica con dedicacioacuten y constancia
en su esfuerzo por conseguirlas Tuacute no vas a emprender tus estudios de matemaacuteti-
cas sintieacutendote incapaz si eacuteste es tu caso ya alcanzaste tu objetivo has fracasado
desde el momento de pensarlo iexclVence este temor no te contentes con ir siguiendo
a tu profesor en el curso escolar iexclanticiacutepate a eacutel preparando la leccioacuten antes de re-
cibirla desiste de la actitud pasiva y ve construyendo el conocimiento Tu profesor
es un medio no la causa de que domines la asignatura y en cambio tuacute eres el que
aprende el actor principal para el cual el proceso de ensentildeanza tiene un fin preciso
el que te apropies del conocimiento
Los autores
DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA
La mejor forma que hemos encontrado para empezar la descripcioacuten de este texto
es darte las gracias por permitirnos acompantildearte en tu esfuerzo por alcanzar un
nivel maacutes de preparacioacuten el cual se inicia en este primer antildeo de bachillerato
Hemos elaborado el material de estudio en ocho unidades temaacuteticas correspondientes
a la asignatura de Matemaacuteticas IV del plan de estudios 96 de la Escuela Nacional Pre-
paratoria de la 983157983150983137983149
En cada una de las unidades encontraraacutes una resentildea histoacuterica que tiene como fi-nalidad darte a conocer algunas de las personas y culturas que han destacado en la
evolucioacuten de la ciencia No queremos que consideres esta seccioacuten como la adquisi-
cioacuten de un conocimiento enciclopeacutedico sino que aprendas que las matemaacuteticas no
han sido siempre iguales nuestro conocimiento matemaacutetico se ha enriquecido con
las aportaciones y tambieacuten por queacute no decirlo con las dudas y errores de personas
como tuacute quizaacutes hasta con mayores limitaciones las cuales han sido producto de
sus creencias y de la eacutepoca en que vivieron
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Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje la cual deseamos que inten-
tes resolver con tus propios conocimientos Estas actividades pueden ser resueltas
con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio pero si no te es posible
hacerlo no te desanimes sigue avanzando en tu estudio y encontraraacutes en los temas
de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solucioacuten pedida Comodiriacutea un pintor ldquopinta y borra pinta y borra hasta que al fin iexclzasiexcl tienes la obra
maestra que te deja la satisfaccioacuten de que es creacioacuten tuyardquo
Los maacutergenes han sido disentildeados para que tengas el espacio necesario y puedas
rehacer tus operaciones y cuando lo creas necesario anotar en ellos observaciones
las cuales podraacutes consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes
para lograr la comprensioacuten del tema tratado
Un elemento maacutes con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diaacutelogo
como los siguientes
iquestEn tre queacute nuacutemeros
es di visible 6 636
iquestC oacutemo se int er pr et a el hec ho de que un polinomio t enga un menor nuacutemer o de r aiacute c es que el gr ado
del mismo
en los cuales te proponemos que realices una actividad o alguacuten aspecto a investigar
y que propicia la reflexioacuten sobre el concepto sobre el que se estaacute trabajando o aclara y
proporciona una indicacioacuten especial de alguacuten algoritmo que se desarrolle
La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades par-
te de un enfoque en el que se desarrolla la intuicioacuten y poco a poco se va formalizan-
do por medio del simbolismo matemaacutetico correspondiente y una ejemplificacioacuten
del concepto y su demostracioacuten
En cada unidad encontraraacutes el nuacutemero de ejercicios necesarios para comprender
y reafirmar cada uno de los temas tratados eacutestos los presentamos en forma de
problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero la relacioacuten de co-
lumnas los ejercicios de complementacioacuten los enunciados verbales y por uacuteltimo las
secciones de Comprueba tu aprendizaje una por cada unidad y a las que les hemos
dado el valor de comprobacioacuten y puedes utilizar como una forma de poner a prueba
los conocimientos que has hecho tuyos
Grupo Editorial Patriavi
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RECOMENDACIONES DE ESTUDIO
Una de las preguntas maacutes frecuentes que los padres de los alumnos que no obtie-
nen un buen resultado en esta asignatura nos hacen a los profesores de matemaacute-
ticas es
ldquoiquestQueacute puedo hacer para que mi hijo tenga eacutexito en su curso de matemaacuteticasrdquo
No es poco comuacuten una afirmacioacuten como la siguiente
ldquoNo entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen soy testigo de que se pasa tar-
des y noches completas haciendo ejercicios y aun asiacute repruebardquo
Muchas veces nos ha tocado ver a los padres maacutes preocupados que a los propios
muchachos quienes ven ldquonormalrdquo reprobar matemaacuteticas y hasta llegan a competir
con sus amigos para obtener la calificacioacuten maacutes baja
La intencioacuten de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para
lo que te puede suceder durante este curso sino expresar que esta preocupacioacuten
tambieacuten es nuestra y representa parte de nuestra realidad educativa
Tambieacuten entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte ldquoconse-
josrdquo o ldquofoacutermulas de eacutexitordquo para tus estudios Quizaacute lo que menos quieres escuchar es
lo que siempre te han dicho que debes hacer Asiacute que cambiaremos de estrategia y
te proponemos cuatro reglas de lo que siacute es indispensable que realices para no tener
eacutexito en matemaacuteticas
Aacutelgebra
viii
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ixGrupo Editorial Patria
COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE
EN CUALQUIER CURSO
Sigue estas cuatro reglas
1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor
2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto
3 No realices las tareas
4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten
y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos
asegura la nota reprobatoria
Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas
puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso
Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las
anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso
A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado
Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas
1
2
3
4
Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y
aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso
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Aacutelgebra
x
PRESENTACIOacuteN V
DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII
UNIDAD 1 Conjuntos 2
11 Breve resentildea histoacuterica 4
12 Idea intuitiva de con juntos 6
Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9
Cardinalidad 9
14 Tipos de con juntos 10
Con juntos finitos e infinitos 10
Con juntos iguales 10
Con junto vaciacuteo 11
Con juntos equivalentes 11
Con junto universal 12
Subcon juntos 12
Con junto potencia 13
15 Operaciones con conjuntos 14
Unioacuten de con juntos 14
Interseccioacuten de con juntos 15
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16
Maacuteximo comuacuten divisor 16
Complemento de un con junto 18
Diferencia entre dos con juntos 19
16 Diagramas de Venn-Euler 20
17 Producto cartesiano 31
18 Plano cartesiano 33
Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34
19 Comprueba tu aprendiza je 37
UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40
21 Breve resentildea histoacuterica 42
22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45
Sistema de numeracioacuten babilonio 45
Sistema de numeracioacuten egipcio 49
Sistema de numeracioacuten romano 50
Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54
Notacioacuten desarrollada 58
Proyecto de trabajo grupal 59
24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes
bases 60
Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62
Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63
25 Operaciones con otras bases 65
26 Comprueba tu aprendizaje 73
UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76
31 Breve resentildea histoacuterica 78
32 Propiedades de las operaciones binarias 80
Operacioacuten 80
Operacioacuten binaria 81
Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83
33 Nuacutemeros naturales 83
34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten
del maacuteximo comuacuten divisor 86
Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88
35 Nuacutemeros enteros 91
36 Nuacutemeros racionales 95
Propiedades de las razones geomeacutetricas 96
Decimales perioacutedicos infinitos 99
Orden en los nuacutemeros racionales 100
Operaciones con nuacutemeros racionales 103
Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111
37 Nuacutemeros irracionales 112
Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116
38 Nuacutemeros reales 119
Propiedad de tricotomiacutea 121
39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122
Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123
310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125
311 Intervalos 128
312 Leyes de los exponentes 132
CONTENIDO
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x
Dos aplicaciones usando exponentes 138
313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144
2Leyes fundamentales de los logaritmos 146
Obtencioacuten de logaritmos comunes
mediante el uso de tablas 147
Operaciones con logaritmos 151
315 Comprueba tu aprendizaje 152
UNIDAD 4 Monomios
y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158
42 Monomios 159
Expresiones algebraicas 159
Grado de un teacutermino 161
Clases de teacuterminos 161
43 Polinomios 162
Grado de un polinomio 162
Clases de polinomios 163
Teacuterminos semejantes 166
Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166
Signos de agrupacioacuten 167
44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169
Resta de monomios y polinomios 170
45 Multiplicacioacuten de monomios
y polinomios 172
Multiplicacioacuten de monomios 173
Multiplicacioacuten de monomios
por polinomios 173
46 Factor comuacuten en un polinomio 178
47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180
Monomio entre monomio 180
Polinomio entre monomio 180
Polinomio entre polinomio 181
Algoritmo de la divisioacuten 182
Divisioacuten sinteacutetica 184
48 Valor numeacuterico de un polinomio 185
49 Polinomios como funciones 187
Funciones polinomiales 189
Evaluacioacuten de una funcioacuten 189
Operaciones con funciones 191
410 Comprueba tu aprendizaje 193
UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19
51 Breve resentildea histoacuterica 19
52 Factor comuacuten en un polinomio 20
53 Cuadrado de un binomio 20
Trinomio al cuadrado 20
54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados
perfectos 20
Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20
55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21
57 Producto de binomios
con un teacutermino comuacuten 21
58 Factorizacioacuten de trinomios
de segundo grado 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21
59 Producto de binomios conjugados 22
510 Factorizacioacuten de diferencia
de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten
de teacuterminos 22
512 Factorizacioacuten de una suma
o diferencia de dos potencias iguales 22
513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos
o maacutes polinomios 23
514 Otros tipos de factorizaciones 23
515 Binomio de Newton 23
Factorial 23
516 Comprueba tu aprendizaje 24
UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25
61 Breve resentildea histoacuterica 25
62 Teoremas del residuo y del factor 25
Teorema del residuo 25
Teorema del factor 25
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1
Caacutelculo de un determinante 449
Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453
Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454
Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454
85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463
Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471
86 Sistemas de desigualdades lineales 477
Desigualdad lineal con dos variables 477
Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478
Sistemas de desigualdades lineales 480
Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490
ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533
SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539
BIBLIOGRAFIacuteA 547
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Conjuntos1UNIDAD
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Descripcioacuten de la unidad
En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-
tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-
mo un elemento fundamental del lengua je necesario
para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-
prensioacuten de unidades de estudio posteriores
Conocer la nocioacuten de con junto
Comprender las operaciones entre con juntos
Resolver problemas relacionados con estas
operaciones
Adquirir los conocimientos del lengua je
matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores
Idea intuitiva de con junto
Cardinalidad de un conjunto
Tipos de con juntos
Operaciones con conjuntos
Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano
Plano cartesiano
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
5
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
Aacutelgebra
6
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
e ro s
e n te ro s me no re s
q ue
5 ha y
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
7
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
Aacutelgebra
8
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
9
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
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ii
Grupo Editorial Patriareg
Divisioacuten Bachillerato Universitario y Profesional
Direccioacuten editorial Javier Enrique Callejas
Coordinacioacuten editorial Alma Saacutemano Castillo
Disentildeo de interiores y portada Juan Bernardo Rosado Soliacutes
Supervisioacuten de preprensa Miguel Aacutengel Morales Verdugo
Diagramacioacuten Perla Alejandra Loacutepez Romo
Ilustraciones Jorge Antonio Martiacutenez Jimeacutenez Gustavo Vargas Martiacutenez
Fotografiacuteas Thinkstock
AacuteLGEBRA
Serie Bachiller
Derechos reservados
copy 2014 Eduardo Carpinteyro Vigil Rubeacuten B Saacutenchez Hernaacutendezcopy 2014 GRUPO EDITORIAL PATRIA SA DE CVISBN ebook 978-607-744-055-0
Renacimiento 180 Col San Juan TlihuacaDelegacioacuten Azcapotzalco Coacutedigo Postal 02400 Meacutexico DFMiembro de la Caacutemara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro nuacutem 43
Queda prohibida la reproduccioacuten o transmisioacuten total o parcial del contenido de la presente obraen cualesquiera formas sean electroacutenicas o mecaacutenicas sin el consentimiento previo y por escritodel editor
Impreso en Meacutexico Printed in Mexico
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vGrupo Editorial Patria
PRESENTACIOacuteN
La misioacuten de la ciencia consiste en sustituir las aparienciascon los hechos y las impresiones con las demostraciones
J983151983144983150 R983157983155983147983145983150
Entre las razones que hemos tenido para la elaboracioacuten de este libro estaacuten
1 Compartir con otros profesores una didaacutectica personal acerca de la ensentildeanza
de las matemaacuteticas en el nivel medio superior en la que se involucra nuestra
experiencia como docentes en bachillerato
2 Ofrecer a nuestros estudiantes de matemaacuteticas informacioacuten sobre el desarrollo
histoacuterico de esta ciencia tal es el caso de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten
cotidiana de los conceptos que se van estudiando para transformar la falsa
imagen de objeto terminado y perfecto que le ha sido dada a las matemaacuteticas
por parte de algunos docentes y la mayoriacutea de los alumnos de secundaria y
bachillerato que pasan por nuestras aulas
3 Aunque en forma general el estudiante ubica las matemaacuteticas como una de
las herramientas baacutesicas utilizadas por cualquier ciencia y vive en forma
cotidiana los beneficios logrados en nuestra eacutepoca sobre todo en el campo de
las comunicaciones no es poco comuacuten escuchar en los salones de clases lainterrogante natural del estudiante sobre la utilidad praacutectica del estudio que
realiza por lo que deseamos provocar la reflexioacuten personal del mismo joven
acerca de la construccioacuten de su conocimiento matemaacutetico
Estamos convencidos de que los alumnos no son un pizarroacuten en el que el profesor
puede escribir en forma indeleble su experiencia en esta materia Al llegar a este ni-
vel de estudios cuenta mucho la experiencia personal y los conocimientos previos
es por esta razoacuten que la exposicioacuten que hemos hecho a lo largo del texto toma en
cuenta ambos aspectos para reafirmarlos en el caso de que ya se encuentren es-
tructurados y recordarlos si no se ha hecho uso consciente de ellos y por lo tanto
han caiacutedo en el olvidoEstamos seguros que esta obra forma parte de un conjunto de informacioacuten global
que encontraraacute un amplio intereacutes de parte de los estudiantes de bachillerato quie-
nes seraacuten en un futuro muy cercano los ciudadanos que decidan y apoyen los pro-
gramas ambientales y energeacuteticos de nuestro paiacutes y cumplamos asiacute los compromisos
de sustentabilidad en el ambiente y la energiacutea que Meacutexico ha firmado y debe cumplir en
el concierto de las naciones
Los autores
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vi
Aacutelgebra
A LOS ALUMNOS
A manera de reflexioacuten queremos que pienses que ninguna persona inicia una acti-vidad llaacutemese negocio deporte o estudios con la idea de fracasar siempre tiene en
mente que va a lograr las metas propuestas si se aplica con dedicacioacuten y constancia
en su esfuerzo por conseguirlas Tuacute no vas a emprender tus estudios de matemaacuteti-
cas sintieacutendote incapaz si eacuteste es tu caso ya alcanzaste tu objetivo has fracasado
desde el momento de pensarlo iexclVence este temor no te contentes con ir siguiendo
a tu profesor en el curso escolar iexclanticiacutepate a eacutel preparando la leccioacuten antes de re-
cibirla desiste de la actitud pasiva y ve construyendo el conocimiento Tu profesor
es un medio no la causa de que domines la asignatura y en cambio tuacute eres el que
aprende el actor principal para el cual el proceso de ensentildeanza tiene un fin preciso
el que te apropies del conocimiento
Los autores
DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA
La mejor forma que hemos encontrado para empezar la descripcioacuten de este texto
es darte las gracias por permitirnos acompantildearte en tu esfuerzo por alcanzar un
nivel maacutes de preparacioacuten el cual se inicia en este primer antildeo de bachillerato
Hemos elaborado el material de estudio en ocho unidades temaacuteticas correspondientes
a la asignatura de Matemaacuteticas IV del plan de estudios 96 de la Escuela Nacional Pre-
paratoria de la 983157983150983137983149
En cada una de las unidades encontraraacutes una resentildea histoacuterica que tiene como fi-nalidad darte a conocer algunas de las personas y culturas que han destacado en la
evolucioacuten de la ciencia No queremos que consideres esta seccioacuten como la adquisi-
cioacuten de un conocimiento enciclopeacutedico sino que aprendas que las matemaacuteticas no
han sido siempre iguales nuestro conocimiento matemaacutetico se ha enriquecido con
las aportaciones y tambieacuten por queacute no decirlo con las dudas y errores de personas
como tuacute quizaacutes hasta con mayores limitaciones las cuales han sido producto de
sus creencias y de la eacutepoca en que vivieron
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Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje la cual deseamos que inten-
tes resolver con tus propios conocimientos Estas actividades pueden ser resueltas
con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio pero si no te es posible
hacerlo no te desanimes sigue avanzando en tu estudio y encontraraacutes en los temas
de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solucioacuten pedida Comodiriacutea un pintor ldquopinta y borra pinta y borra hasta que al fin iexclzasiexcl tienes la obra
maestra que te deja la satisfaccioacuten de que es creacioacuten tuyardquo
Los maacutergenes han sido disentildeados para que tengas el espacio necesario y puedas
rehacer tus operaciones y cuando lo creas necesario anotar en ellos observaciones
las cuales podraacutes consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes
para lograr la comprensioacuten del tema tratado
Un elemento maacutes con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diaacutelogo
como los siguientes
iquestEn tre queacute nuacutemeros
es di visible 6 636
iquestC oacutemo se int er pr et a el hec ho de que un polinomio t enga un menor nuacutemer o de r aiacute c es que el gr ado
del mismo
en los cuales te proponemos que realices una actividad o alguacuten aspecto a investigar
y que propicia la reflexioacuten sobre el concepto sobre el que se estaacute trabajando o aclara y
proporciona una indicacioacuten especial de alguacuten algoritmo que se desarrolle
La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades par-
te de un enfoque en el que se desarrolla la intuicioacuten y poco a poco se va formalizan-
do por medio del simbolismo matemaacutetico correspondiente y una ejemplificacioacuten
del concepto y su demostracioacuten
En cada unidad encontraraacutes el nuacutemero de ejercicios necesarios para comprender
y reafirmar cada uno de los temas tratados eacutestos los presentamos en forma de
problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero la relacioacuten de co-
lumnas los ejercicios de complementacioacuten los enunciados verbales y por uacuteltimo las
secciones de Comprueba tu aprendizaje una por cada unidad y a las que les hemos
dado el valor de comprobacioacuten y puedes utilizar como una forma de poner a prueba
los conocimientos que has hecho tuyos
Grupo Editorial Patriavi
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RECOMENDACIONES DE ESTUDIO
Una de las preguntas maacutes frecuentes que los padres de los alumnos que no obtie-
nen un buen resultado en esta asignatura nos hacen a los profesores de matemaacute-
ticas es
ldquoiquestQueacute puedo hacer para que mi hijo tenga eacutexito en su curso de matemaacuteticasrdquo
No es poco comuacuten una afirmacioacuten como la siguiente
ldquoNo entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen soy testigo de que se pasa tar-
des y noches completas haciendo ejercicios y aun asiacute repruebardquo
Muchas veces nos ha tocado ver a los padres maacutes preocupados que a los propios
muchachos quienes ven ldquonormalrdquo reprobar matemaacuteticas y hasta llegan a competir
con sus amigos para obtener la calificacioacuten maacutes baja
La intencioacuten de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para
lo que te puede suceder durante este curso sino expresar que esta preocupacioacuten
tambieacuten es nuestra y representa parte de nuestra realidad educativa
Tambieacuten entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte ldquoconse-
josrdquo o ldquofoacutermulas de eacutexitordquo para tus estudios Quizaacute lo que menos quieres escuchar es
lo que siempre te han dicho que debes hacer Asiacute que cambiaremos de estrategia y
te proponemos cuatro reglas de lo que siacute es indispensable que realices para no tener
eacutexito en matemaacuteticas
Aacutelgebra
viii
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ixGrupo Editorial Patria
COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE
EN CUALQUIER CURSO
Sigue estas cuatro reglas
1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor
2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto
3 No realices las tareas
4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten
y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos
asegura la nota reprobatoria
Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas
puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso
Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las
anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso
A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado
Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas
1
2
3
4
Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y
aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso
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Aacutelgebra
x
PRESENTACIOacuteN V
DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII
UNIDAD 1 Conjuntos 2
11 Breve resentildea histoacuterica 4
12 Idea intuitiva de con juntos 6
Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9
Cardinalidad 9
14 Tipos de con juntos 10
Con juntos finitos e infinitos 10
Con juntos iguales 10
Con junto vaciacuteo 11
Con juntos equivalentes 11
Con junto universal 12
Subcon juntos 12
Con junto potencia 13
15 Operaciones con conjuntos 14
Unioacuten de con juntos 14
Interseccioacuten de con juntos 15
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16
Maacuteximo comuacuten divisor 16
Complemento de un con junto 18
Diferencia entre dos con juntos 19
16 Diagramas de Venn-Euler 20
17 Producto cartesiano 31
18 Plano cartesiano 33
Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34
19 Comprueba tu aprendiza je 37
UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40
21 Breve resentildea histoacuterica 42
22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45
Sistema de numeracioacuten babilonio 45
Sistema de numeracioacuten egipcio 49
Sistema de numeracioacuten romano 50
Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54
Notacioacuten desarrollada 58
Proyecto de trabajo grupal 59
24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes
bases 60
Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62
Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63
25 Operaciones con otras bases 65
26 Comprueba tu aprendizaje 73
UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76
31 Breve resentildea histoacuterica 78
32 Propiedades de las operaciones binarias 80
Operacioacuten 80
Operacioacuten binaria 81
Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83
33 Nuacutemeros naturales 83
34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten
del maacuteximo comuacuten divisor 86
Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88
35 Nuacutemeros enteros 91
36 Nuacutemeros racionales 95
Propiedades de las razones geomeacutetricas 96
Decimales perioacutedicos infinitos 99
Orden en los nuacutemeros racionales 100
Operaciones con nuacutemeros racionales 103
Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111
37 Nuacutemeros irracionales 112
Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116
38 Nuacutemeros reales 119
Propiedad de tricotomiacutea 121
39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122
Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123
310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125
311 Intervalos 128
312 Leyes de los exponentes 132
CONTENIDO
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x
Dos aplicaciones usando exponentes 138
313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144
2Leyes fundamentales de los logaritmos 146
Obtencioacuten de logaritmos comunes
mediante el uso de tablas 147
Operaciones con logaritmos 151
315 Comprueba tu aprendizaje 152
UNIDAD 4 Monomios
y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158
42 Monomios 159
Expresiones algebraicas 159
Grado de un teacutermino 161
Clases de teacuterminos 161
43 Polinomios 162
Grado de un polinomio 162
Clases de polinomios 163
Teacuterminos semejantes 166
Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166
Signos de agrupacioacuten 167
44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169
Resta de monomios y polinomios 170
45 Multiplicacioacuten de monomios
y polinomios 172
Multiplicacioacuten de monomios 173
Multiplicacioacuten de monomios
por polinomios 173
46 Factor comuacuten en un polinomio 178
47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180
Monomio entre monomio 180
Polinomio entre monomio 180
Polinomio entre polinomio 181
Algoritmo de la divisioacuten 182
Divisioacuten sinteacutetica 184
48 Valor numeacuterico de un polinomio 185
49 Polinomios como funciones 187
Funciones polinomiales 189
Evaluacioacuten de una funcioacuten 189
Operaciones con funciones 191
410 Comprueba tu aprendizaje 193
UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19
51 Breve resentildea histoacuterica 19
52 Factor comuacuten en un polinomio 20
53 Cuadrado de un binomio 20
Trinomio al cuadrado 20
54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados
perfectos 20
Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20
55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21
57 Producto de binomios
con un teacutermino comuacuten 21
58 Factorizacioacuten de trinomios
de segundo grado 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21
59 Producto de binomios conjugados 22
510 Factorizacioacuten de diferencia
de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten
de teacuterminos 22
512 Factorizacioacuten de una suma
o diferencia de dos potencias iguales 22
513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos
o maacutes polinomios 23
514 Otros tipos de factorizaciones 23
515 Binomio de Newton 23
Factorial 23
516 Comprueba tu aprendizaje 24
UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25
61 Breve resentildea histoacuterica 25
62 Teoremas del residuo y del factor 25
Teorema del residuo 25
Teorema del factor 25
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1
Caacutelculo de un determinante 449
Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453
Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454
Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454
85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463
Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471
86 Sistemas de desigualdades lineales 477
Desigualdad lineal con dos variables 477
Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478
Sistemas de desigualdades lineales 480
Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490
ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533
SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539
BIBLIOGRAFIacuteA 547
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Conjuntos1UNIDAD
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Descripcioacuten de la unidad
En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-
tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-
mo un elemento fundamental del lengua je necesario
para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-
prensioacuten de unidades de estudio posteriores
Conocer la nocioacuten de con junto
Comprender las operaciones entre con juntos
Resolver problemas relacionados con estas
operaciones
Adquirir los conocimientos del lengua je
matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores
Idea intuitiva de con junto
Cardinalidad de un conjunto
Tipos de con juntos
Operaciones con conjuntos
Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano
Plano cartesiano
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
Aacutelgebra
6
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
e ro s
e n te ro s me no re s
q ue
5 ha y
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UNIDAD 1 Conjuntos
7
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
Aacutelgebra
8
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
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UNIDAD 1 Conjuntos
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
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vGrupo Editorial Patria
PRESENTACIOacuteN
La misioacuten de la ciencia consiste en sustituir las aparienciascon los hechos y las impresiones con las demostraciones
J983151983144983150 R983157983155983147983145983150
Entre las razones que hemos tenido para la elaboracioacuten de este libro estaacuten
1 Compartir con otros profesores una didaacutectica personal acerca de la ensentildeanza
de las matemaacuteticas en el nivel medio superior en la que se involucra nuestra
experiencia como docentes en bachillerato
2 Ofrecer a nuestros estudiantes de matemaacuteticas informacioacuten sobre el desarrollo
histoacuterico de esta ciencia tal es el caso de la resolucioacuten de problemas de aplicacioacuten
cotidiana de los conceptos que se van estudiando para transformar la falsa
imagen de objeto terminado y perfecto que le ha sido dada a las matemaacuteticas
por parte de algunos docentes y la mayoriacutea de los alumnos de secundaria y
bachillerato que pasan por nuestras aulas
3 Aunque en forma general el estudiante ubica las matemaacuteticas como una de
las herramientas baacutesicas utilizadas por cualquier ciencia y vive en forma
cotidiana los beneficios logrados en nuestra eacutepoca sobre todo en el campo de
las comunicaciones no es poco comuacuten escuchar en los salones de clases lainterrogante natural del estudiante sobre la utilidad praacutectica del estudio que
realiza por lo que deseamos provocar la reflexioacuten personal del mismo joven
acerca de la construccioacuten de su conocimiento matemaacutetico
Estamos convencidos de que los alumnos no son un pizarroacuten en el que el profesor
puede escribir en forma indeleble su experiencia en esta materia Al llegar a este ni-
vel de estudios cuenta mucho la experiencia personal y los conocimientos previos
es por esta razoacuten que la exposicioacuten que hemos hecho a lo largo del texto toma en
cuenta ambos aspectos para reafirmarlos en el caso de que ya se encuentren es-
tructurados y recordarlos si no se ha hecho uso consciente de ellos y por lo tanto
han caiacutedo en el olvidoEstamos seguros que esta obra forma parte de un conjunto de informacioacuten global
que encontraraacute un amplio intereacutes de parte de los estudiantes de bachillerato quie-
nes seraacuten en un futuro muy cercano los ciudadanos que decidan y apoyen los pro-
gramas ambientales y energeacuteticos de nuestro paiacutes y cumplamos asiacute los compromisos
de sustentabilidad en el ambiente y la energiacutea que Meacutexico ha firmado y debe cumplir en
el concierto de las naciones
Los autores
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vi
Aacutelgebra
A LOS ALUMNOS
A manera de reflexioacuten queremos que pienses que ninguna persona inicia una acti-vidad llaacutemese negocio deporte o estudios con la idea de fracasar siempre tiene en
mente que va a lograr las metas propuestas si se aplica con dedicacioacuten y constancia
en su esfuerzo por conseguirlas Tuacute no vas a emprender tus estudios de matemaacuteti-
cas sintieacutendote incapaz si eacuteste es tu caso ya alcanzaste tu objetivo has fracasado
desde el momento de pensarlo iexclVence este temor no te contentes con ir siguiendo
a tu profesor en el curso escolar iexclanticiacutepate a eacutel preparando la leccioacuten antes de re-
cibirla desiste de la actitud pasiva y ve construyendo el conocimiento Tu profesor
es un medio no la causa de que domines la asignatura y en cambio tuacute eres el que
aprende el actor principal para el cual el proceso de ensentildeanza tiene un fin preciso
el que te apropies del conocimiento
Los autores
DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA
La mejor forma que hemos encontrado para empezar la descripcioacuten de este texto
es darte las gracias por permitirnos acompantildearte en tu esfuerzo por alcanzar un
nivel maacutes de preparacioacuten el cual se inicia en este primer antildeo de bachillerato
Hemos elaborado el material de estudio en ocho unidades temaacuteticas correspondientes
a la asignatura de Matemaacuteticas IV del plan de estudios 96 de la Escuela Nacional Pre-
paratoria de la 983157983150983137983149
En cada una de las unidades encontraraacutes una resentildea histoacuterica que tiene como fi-nalidad darte a conocer algunas de las personas y culturas que han destacado en la
evolucioacuten de la ciencia No queremos que consideres esta seccioacuten como la adquisi-
cioacuten de un conocimiento enciclopeacutedico sino que aprendas que las matemaacuteticas no
han sido siempre iguales nuestro conocimiento matemaacutetico se ha enriquecido con
las aportaciones y tambieacuten por queacute no decirlo con las dudas y errores de personas
como tuacute quizaacutes hasta con mayores limitaciones las cuales han sido producto de
sus creencias y de la eacutepoca en que vivieron
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Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje la cual deseamos que inten-
tes resolver con tus propios conocimientos Estas actividades pueden ser resueltas
con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio pero si no te es posible
hacerlo no te desanimes sigue avanzando en tu estudio y encontraraacutes en los temas
de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solucioacuten pedida Comodiriacutea un pintor ldquopinta y borra pinta y borra hasta que al fin iexclzasiexcl tienes la obra
maestra que te deja la satisfaccioacuten de que es creacioacuten tuyardquo
Los maacutergenes han sido disentildeados para que tengas el espacio necesario y puedas
rehacer tus operaciones y cuando lo creas necesario anotar en ellos observaciones
las cuales podraacutes consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes
para lograr la comprensioacuten del tema tratado
Un elemento maacutes con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diaacutelogo
como los siguientes
iquestEn tre queacute nuacutemeros
es di visible 6 636
iquestC oacutemo se int er pr et a el hec ho de que un polinomio t enga un menor nuacutemer o de r aiacute c es que el gr ado
del mismo
en los cuales te proponemos que realices una actividad o alguacuten aspecto a investigar
y que propicia la reflexioacuten sobre el concepto sobre el que se estaacute trabajando o aclara y
proporciona una indicacioacuten especial de alguacuten algoritmo que se desarrolle
La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades par-
te de un enfoque en el que se desarrolla la intuicioacuten y poco a poco se va formalizan-
do por medio del simbolismo matemaacutetico correspondiente y una ejemplificacioacuten
del concepto y su demostracioacuten
En cada unidad encontraraacutes el nuacutemero de ejercicios necesarios para comprender
y reafirmar cada uno de los temas tratados eacutestos los presentamos en forma de
problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero la relacioacuten de co-
lumnas los ejercicios de complementacioacuten los enunciados verbales y por uacuteltimo las
secciones de Comprueba tu aprendizaje una por cada unidad y a las que les hemos
dado el valor de comprobacioacuten y puedes utilizar como una forma de poner a prueba
los conocimientos que has hecho tuyos
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RECOMENDACIONES DE ESTUDIO
Una de las preguntas maacutes frecuentes que los padres de los alumnos que no obtie-
nen un buen resultado en esta asignatura nos hacen a los profesores de matemaacute-
ticas es
ldquoiquestQueacute puedo hacer para que mi hijo tenga eacutexito en su curso de matemaacuteticasrdquo
No es poco comuacuten una afirmacioacuten como la siguiente
ldquoNo entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen soy testigo de que se pasa tar-
des y noches completas haciendo ejercicios y aun asiacute repruebardquo
Muchas veces nos ha tocado ver a los padres maacutes preocupados que a los propios
muchachos quienes ven ldquonormalrdquo reprobar matemaacuteticas y hasta llegan a competir
con sus amigos para obtener la calificacioacuten maacutes baja
La intencioacuten de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para
lo que te puede suceder durante este curso sino expresar que esta preocupacioacuten
tambieacuten es nuestra y representa parte de nuestra realidad educativa
Tambieacuten entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte ldquoconse-
josrdquo o ldquofoacutermulas de eacutexitordquo para tus estudios Quizaacute lo que menos quieres escuchar es
lo que siempre te han dicho que debes hacer Asiacute que cambiaremos de estrategia y
te proponemos cuatro reglas de lo que siacute es indispensable que realices para no tener
eacutexito en matemaacuteticas
Aacutelgebra
viii
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ixGrupo Editorial Patria
COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE
EN CUALQUIER CURSO
Sigue estas cuatro reglas
1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor
2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto
3 No realices las tareas
4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten
y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos
asegura la nota reprobatoria
Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas
puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso
Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las
anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso
A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado
Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas
1
2
3
4
Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y
aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso
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Aacutelgebra
x
PRESENTACIOacuteN V
DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII
UNIDAD 1 Conjuntos 2
11 Breve resentildea histoacuterica 4
12 Idea intuitiva de con juntos 6
Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9
Cardinalidad 9
14 Tipos de con juntos 10
Con juntos finitos e infinitos 10
Con juntos iguales 10
Con junto vaciacuteo 11
Con juntos equivalentes 11
Con junto universal 12
Subcon juntos 12
Con junto potencia 13
15 Operaciones con conjuntos 14
Unioacuten de con juntos 14
Interseccioacuten de con juntos 15
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16
Maacuteximo comuacuten divisor 16
Complemento de un con junto 18
Diferencia entre dos con juntos 19
16 Diagramas de Venn-Euler 20
17 Producto cartesiano 31
18 Plano cartesiano 33
Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34
19 Comprueba tu aprendiza je 37
UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40
21 Breve resentildea histoacuterica 42
22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45
Sistema de numeracioacuten babilonio 45
Sistema de numeracioacuten egipcio 49
Sistema de numeracioacuten romano 50
Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54
Notacioacuten desarrollada 58
Proyecto de trabajo grupal 59
24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes
bases 60
Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62
Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63
25 Operaciones con otras bases 65
26 Comprueba tu aprendizaje 73
UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76
31 Breve resentildea histoacuterica 78
32 Propiedades de las operaciones binarias 80
Operacioacuten 80
Operacioacuten binaria 81
Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83
33 Nuacutemeros naturales 83
34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten
del maacuteximo comuacuten divisor 86
Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88
35 Nuacutemeros enteros 91
36 Nuacutemeros racionales 95
Propiedades de las razones geomeacutetricas 96
Decimales perioacutedicos infinitos 99
Orden en los nuacutemeros racionales 100
Operaciones con nuacutemeros racionales 103
Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111
37 Nuacutemeros irracionales 112
Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116
38 Nuacutemeros reales 119
Propiedad de tricotomiacutea 121
39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122
Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123
310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125
311 Intervalos 128
312 Leyes de los exponentes 132
CONTENIDO
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x
Dos aplicaciones usando exponentes 138
313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144
2Leyes fundamentales de los logaritmos 146
Obtencioacuten de logaritmos comunes
mediante el uso de tablas 147
Operaciones con logaritmos 151
315 Comprueba tu aprendizaje 152
UNIDAD 4 Monomios
y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158
42 Monomios 159
Expresiones algebraicas 159
Grado de un teacutermino 161
Clases de teacuterminos 161
43 Polinomios 162
Grado de un polinomio 162
Clases de polinomios 163
Teacuterminos semejantes 166
Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166
Signos de agrupacioacuten 167
44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169
Resta de monomios y polinomios 170
45 Multiplicacioacuten de monomios
y polinomios 172
Multiplicacioacuten de monomios 173
Multiplicacioacuten de monomios
por polinomios 173
46 Factor comuacuten en un polinomio 178
47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180
Monomio entre monomio 180
Polinomio entre monomio 180
Polinomio entre polinomio 181
Algoritmo de la divisioacuten 182
Divisioacuten sinteacutetica 184
48 Valor numeacuterico de un polinomio 185
49 Polinomios como funciones 187
Funciones polinomiales 189
Evaluacioacuten de una funcioacuten 189
Operaciones con funciones 191
410 Comprueba tu aprendizaje 193
UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19
51 Breve resentildea histoacuterica 19
52 Factor comuacuten en un polinomio 20
53 Cuadrado de un binomio 20
Trinomio al cuadrado 20
54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados
perfectos 20
Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20
55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21
57 Producto de binomios
con un teacutermino comuacuten 21
58 Factorizacioacuten de trinomios
de segundo grado 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21
59 Producto de binomios conjugados 22
510 Factorizacioacuten de diferencia
de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten
de teacuterminos 22
512 Factorizacioacuten de una suma
o diferencia de dos potencias iguales 22
513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos
o maacutes polinomios 23
514 Otros tipos de factorizaciones 23
515 Binomio de Newton 23
Factorial 23
516 Comprueba tu aprendizaje 24
UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25
61 Breve resentildea histoacuterica 25
62 Teoremas del residuo y del factor 25
Teorema del residuo 25
Teorema del factor 25
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1
Caacutelculo de un determinante 449
Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453
Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454
Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454
85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463
Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471
86 Sistemas de desigualdades lineales 477
Desigualdad lineal con dos variables 477
Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478
Sistemas de desigualdades lineales 480
Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490
ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533
SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539
BIBLIOGRAFIacuteA 547
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Conjuntos1UNIDAD
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Descripcioacuten de la unidad
En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-
tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-
mo un elemento fundamental del lengua je necesario
para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-
prensioacuten de unidades de estudio posteriores
Conocer la nocioacuten de con junto
Comprender las operaciones entre con juntos
Resolver problemas relacionados con estas
operaciones
Adquirir los conocimientos del lengua je
matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores
Idea intuitiva de con junto
Cardinalidad de un conjunto
Tipos de con juntos
Operaciones con conjuntos
Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano
Plano cartesiano
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
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UNIDAD 1 Conjuntos
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
Aacutelgebra
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
e ro s
e n te ro s me no re s
q ue
5 ha y
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UNIDAD 1 Conjuntos
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
Aacutelgebra
8
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
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UNIDAD 1 Conjuntos
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
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vi
Aacutelgebra
A LOS ALUMNOS
A manera de reflexioacuten queremos que pienses que ninguna persona inicia una acti-vidad llaacutemese negocio deporte o estudios con la idea de fracasar siempre tiene en
mente que va a lograr las metas propuestas si se aplica con dedicacioacuten y constancia
en su esfuerzo por conseguirlas Tuacute no vas a emprender tus estudios de matemaacuteti-
cas sintieacutendote incapaz si eacuteste es tu caso ya alcanzaste tu objetivo has fracasado
desde el momento de pensarlo iexclVence este temor no te contentes con ir siguiendo
a tu profesor en el curso escolar iexclanticiacutepate a eacutel preparando la leccioacuten antes de re-
cibirla desiste de la actitud pasiva y ve construyendo el conocimiento Tu profesor
es un medio no la causa de que domines la asignatura y en cambio tuacute eres el que
aprende el actor principal para el cual el proceso de ensentildeanza tiene un fin preciso
el que te apropies del conocimiento
Los autores
DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA
La mejor forma que hemos encontrado para empezar la descripcioacuten de este texto
es darte las gracias por permitirnos acompantildearte en tu esfuerzo por alcanzar un
nivel maacutes de preparacioacuten el cual se inicia en este primer antildeo de bachillerato
Hemos elaborado el material de estudio en ocho unidades temaacuteticas correspondientes
a la asignatura de Matemaacuteticas IV del plan de estudios 96 de la Escuela Nacional Pre-
paratoria de la 983157983150983137983149
En cada una de las unidades encontraraacutes una resentildea histoacuterica que tiene como fi-nalidad darte a conocer algunas de las personas y culturas que han destacado en la
evolucioacuten de la ciencia No queremos que consideres esta seccioacuten como la adquisi-
cioacuten de un conocimiento enciclopeacutedico sino que aprendas que las matemaacuteticas no
han sido siempre iguales nuestro conocimiento matemaacutetico se ha enriquecido con
las aportaciones y tambieacuten por queacute no decirlo con las dudas y errores de personas
como tuacute quizaacutes hasta con mayores limitaciones las cuales han sido producto de
sus creencias y de la eacutepoca en que vivieron
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Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje la cual deseamos que inten-
tes resolver con tus propios conocimientos Estas actividades pueden ser resueltas
con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio pero si no te es posible
hacerlo no te desanimes sigue avanzando en tu estudio y encontraraacutes en los temas
de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solucioacuten pedida Comodiriacutea un pintor ldquopinta y borra pinta y borra hasta que al fin iexclzasiexcl tienes la obra
maestra que te deja la satisfaccioacuten de que es creacioacuten tuyardquo
Los maacutergenes han sido disentildeados para que tengas el espacio necesario y puedas
rehacer tus operaciones y cuando lo creas necesario anotar en ellos observaciones
las cuales podraacutes consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes
para lograr la comprensioacuten del tema tratado
Un elemento maacutes con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diaacutelogo
como los siguientes
iquestEn tre queacute nuacutemeros
es di visible 6 636
iquestC oacutemo se int er pr et a el hec ho de que un polinomio t enga un menor nuacutemer o de r aiacute c es que el gr ado
del mismo
en los cuales te proponemos que realices una actividad o alguacuten aspecto a investigar
y que propicia la reflexioacuten sobre el concepto sobre el que se estaacute trabajando o aclara y
proporciona una indicacioacuten especial de alguacuten algoritmo que se desarrolle
La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades par-
te de un enfoque en el que se desarrolla la intuicioacuten y poco a poco se va formalizan-
do por medio del simbolismo matemaacutetico correspondiente y una ejemplificacioacuten
del concepto y su demostracioacuten
En cada unidad encontraraacutes el nuacutemero de ejercicios necesarios para comprender
y reafirmar cada uno de los temas tratados eacutestos los presentamos en forma de
problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero la relacioacuten de co-
lumnas los ejercicios de complementacioacuten los enunciados verbales y por uacuteltimo las
secciones de Comprueba tu aprendizaje una por cada unidad y a las que les hemos
dado el valor de comprobacioacuten y puedes utilizar como una forma de poner a prueba
los conocimientos que has hecho tuyos
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RECOMENDACIONES DE ESTUDIO
Una de las preguntas maacutes frecuentes que los padres de los alumnos que no obtie-
nen un buen resultado en esta asignatura nos hacen a los profesores de matemaacute-
ticas es
ldquoiquestQueacute puedo hacer para que mi hijo tenga eacutexito en su curso de matemaacuteticasrdquo
No es poco comuacuten una afirmacioacuten como la siguiente
ldquoNo entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen soy testigo de que se pasa tar-
des y noches completas haciendo ejercicios y aun asiacute repruebardquo
Muchas veces nos ha tocado ver a los padres maacutes preocupados que a los propios
muchachos quienes ven ldquonormalrdquo reprobar matemaacuteticas y hasta llegan a competir
con sus amigos para obtener la calificacioacuten maacutes baja
La intencioacuten de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para
lo que te puede suceder durante este curso sino expresar que esta preocupacioacuten
tambieacuten es nuestra y representa parte de nuestra realidad educativa
Tambieacuten entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte ldquoconse-
josrdquo o ldquofoacutermulas de eacutexitordquo para tus estudios Quizaacute lo que menos quieres escuchar es
lo que siempre te han dicho que debes hacer Asiacute que cambiaremos de estrategia y
te proponemos cuatro reglas de lo que siacute es indispensable que realices para no tener
eacutexito en matemaacuteticas
Aacutelgebra
viii
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ixGrupo Editorial Patria
COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE
EN CUALQUIER CURSO
Sigue estas cuatro reglas
1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor
2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto
3 No realices las tareas
4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten
y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos
asegura la nota reprobatoria
Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas
puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso
Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las
anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso
A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado
Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas
1
2
3
4
Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y
aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso
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Aacutelgebra
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PRESENTACIOacuteN V
DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII
UNIDAD 1 Conjuntos 2
11 Breve resentildea histoacuterica 4
12 Idea intuitiva de con juntos 6
Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9
Cardinalidad 9
14 Tipos de con juntos 10
Con juntos finitos e infinitos 10
Con juntos iguales 10
Con junto vaciacuteo 11
Con juntos equivalentes 11
Con junto universal 12
Subcon juntos 12
Con junto potencia 13
15 Operaciones con conjuntos 14
Unioacuten de con juntos 14
Interseccioacuten de con juntos 15
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16
Maacuteximo comuacuten divisor 16
Complemento de un con junto 18
Diferencia entre dos con juntos 19
16 Diagramas de Venn-Euler 20
17 Producto cartesiano 31
18 Plano cartesiano 33
Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34
19 Comprueba tu aprendiza je 37
UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40
21 Breve resentildea histoacuterica 42
22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45
Sistema de numeracioacuten babilonio 45
Sistema de numeracioacuten egipcio 49
Sistema de numeracioacuten romano 50
Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54
Notacioacuten desarrollada 58
Proyecto de trabajo grupal 59
24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes
bases 60
Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62
Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63
25 Operaciones con otras bases 65
26 Comprueba tu aprendizaje 73
UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76
31 Breve resentildea histoacuterica 78
32 Propiedades de las operaciones binarias 80
Operacioacuten 80
Operacioacuten binaria 81
Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83
33 Nuacutemeros naturales 83
34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten
del maacuteximo comuacuten divisor 86
Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88
35 Nuacutemeros enteros 91
36 Nuacutemeros racionales 95
Propiedades de las razones geomeacutetricas 96
Decimales perioacutedicos infinitos 99
Orden en los nuacutemeros racionales 100
Operaciones con nuacutemeros racionales 103
Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111
37 Nuacutemeros irracionales 112
Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116
38 Nuacutemeros reales 119
Propiedad de tricotomiacutea 121
39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122
Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123
310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125
311 Intervalos 128
312 Leyes de los exponentes 132
CONTENIDO
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x
Dos aplicaciones usando exponentes 138
313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144
2Leyes fundamentales de los logaritmos 146
Obtencioacuten de logaritmos comunes
mediante el uso de tablas 147
Operaciones con logaritmos 151
315 Comprueba tu aprendizaje 152
UNIDAD 4 Monomios
y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158
42 Monomios 159
Expresiones algebraicas 159
Grado de un teacutermino 161
Clases de teacuterminos 161
43 Polinomios 162
Grado de un polinomio 162
Clases de polinomios 163
Teacuterminos semejantes 166
Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166
Signos de agrupacioacuten 167
44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169
Resta de monomios y polinomios 170
45 Multiplicacioacuten de monomios
y polinomios 172
Multiplicacioacuten de monomios 173
Multiplicacioacuten de monomios
por polinomios 173
46 Factor comuacuten en un polinomio 178
47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180
Monomio entre monomio 180
Polinomio entre monomio 180
Polinomio entre polinomio 181
Algoritmo de la divisioacuten 182
Divisioacuten sinteacutetica 184
48 Valor numeacuterico de un polinomio 185
49 Polinomios como funciones 187
Funciones polinomiales 189
Evaluacioacuten de una funcioacuten 189
Operaciones con funciones 191
410 Comprueba tu aprendizaje 193
UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19
51 Breve resentildea histoacuterica 19
52 Factor comuacuten en un polinomio 20
53 Cuadrado de un binomio 20
Trinomio al cuadrado 20
54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados
perfectos 20
Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20
55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21
57 Producto de binomios
con un teacutermino comuacuten 21
58 Factorizacioacuten de trinomios
de segundo grado 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21
59 Producto de binomios conjugados 22
510 Factorizacioacuten de diferencia
de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten
de teacuterminos 22
512 Factorizacioacuten de una suma
o diferencia de dos potencias iguales 22
513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos
o maacutes polinomios 23
514 Otros tipos de factorizaciones 23
515 Binomio de Newton 23
Factorial 23
516 Comprueba tu aprendizaje 24
UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25
61 Breve resentildea histoacuterica 25
62 Teoremas del residuo y del factor 25
Teorema del residuo 25
Teorema del factor 25
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8182019 Algebra Carpinteiro
httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1120Grupo Editorial Patria
1
Caacutelculo de un determinante 449
Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453
Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454
Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454
85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463
Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471
86 Sistemas de desigualdades lineales 477
Desigualdad lineal con dos variables 477
Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478
Sistemas de desigualdades lineales 480
Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490
ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533
SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539
BIBLIOGRAFIacuteA 547
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Conjuntos1UNIDAD
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Descripcioacuten de la unidad
En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-
tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-
mo un elemento fundamental del lengua je necesario
para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-
prensioacuten de unidades de estudio posteriores
Conocer la nocioacuten de con junto
Comprender las operaciones entre con juntos
Resolver problemas relacionados con estas
operaciones
Adquirir los conocimientos del lengua je
matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores
Idea intuitiva de con junto
Cardinalidad de un conjunto
Tipos de con juntos
Operaciones con conjuntos
Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano
Plano cartesiano
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
e ro s
e n te ro s me no re s
q ue
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
Aacutelgebra
8
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
9
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
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Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje la cual deseamos que inten-
tes resolver con tus propios conocimientos Estas actividades pueden ser resueltas
con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio pero si no te es posible
hacerlo no te desanimes sigue avanzando en tu estudio y encontraraacutes en los temas
de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solucioacuten pedida Comodiriacutea un pintor ldquopinta y borra pinta y borra hasta que al fin iexclzasiexcl tienes la obra
maestra que te deja la satisfaccioacuten de que es creacioacuten tuyardquo
Los maacutergenes han sido disentildeados para que tengas el espacio necesario y puedas
rehacer tus operaciones y cuando lo creas necesario anotar en ellos observaciones
las cuales podraacutes consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes
para lograr la comprensioacuten del tema tratado
Un elemento maacutes con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diaacutelogo
como los siguientes
iquestEn tre queacute nuacutemeros
es di visible 6 636
iquestC oacutemo se int er pr et a el hec ho de que un polinomio t enga un menor nuacutemer o de r aiacute c es que el gr ado
del mismo
en los cuales te proponemos que realices una actividad o alguacuten aspecto a investigar
y que propicia la reflexioacuten sobre el concepto sobre el que se estaacute trabajando o aclara y
proporciona una indicacioacuten especial de alguacuten algoritmo que se desarrolle
La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades par-
te de un enfoque en el que se desarrolla la intuicioacuten y poco a poco se va formalizan-
do por medio del simbolismo matemaacutetico correspondiente y una ejemplificacioacuten
del concepto y su demostracioacuten
En cada unidad encontraraacutes el nuacutemero de ejercicios necesarios para comprender
y reafirmar cada uno de los temas tratados eacutestos los presentamos en forma de
problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero la relacioacuten de co-
lumnas los ejercicios de complementacioacuten los enunciados verbales y por uacuteltimo las
secciones de Comprueba tu aprendizaje una por cada unidad y a las que les hemos
dado el valor de comprobacioacuten y puedes utilizar como una forma de poner a prueba
los conocimientos que has hecho tuyos
Grupo Editorial Patriavi
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RECOMENDACIONES DE ESTUDIO
Una de las preguntas maacutes frecuentes que los padres de los alumnos que no obtie-
nen un buen resultado en esta asignatura nos hacen a los profesores de matemaacute-
ticas es
ldquoiquestQueacute puedo hacer para que mi hijo tenga eacutexito en su curso de matemaacuteticasrdquo
No es poco comuacuten una afirmacioacuten como la siguiente
ldquoNo entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen soy testigo de que se pasa tar-
des y noches completas haciendo ejercicios y aun asiacute repruebardquo
Muchas veces nos ha tocado ver a los padres maacutes preocupados que a los propios
muchachos quienes ven ldquonormalrdquo reprobar matemaacuteticas y hasta llegan a competir
con sus amigos para obtener la calificacioacuten maacutes baja
La intencioacuten de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para
lo que te puede suceder durante este curso sino expresar que esta preocupacioacuten
tambieacuten es nuestra y representa parte de nuestra realidad educativa
Tambieacuten entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte ldquoconse-
josrdquo o ldquofoacutermulas de eacutexitordquo para tus estudios Quizaacute lo que menos quieres escuchar es
lo que siempre te han dicho que debes hacer Asiacute que cambiaremos de estrategia y
te proponemos cuatro reglas de lo que siacute es indispensable que realices para no tener
eacutexito en matemaacuteticas
Aacutelgebra
viii
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ixGrupo Editorial Patria
COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE
EN CUALQUIER CURSO
Sigue estas cuatro reglas
1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor
2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto
3 No realices las tareas
4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten
y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos
asegura la nota reprobatoria
Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas
puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso
Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las
anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso
A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado
Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas
1
2
3
4
Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y
aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso
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Aacutelgebra
x
PRESENTACIOacuteN V
DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII
UNIDAD 1 Conjuntos 2
11 Breve resentildea histoacuterica 4
12 Idea intuitiva de con juntos 6
Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9
Cardinalidad 9
14 Tipos de con juntos 10
Con juntos finitos e infinitos 10
Con juntos iguales 10
Con junto vaciacuteo 11
Con juntos equivalentes 11
Con junto universal 12
Subcon juntos 12
Con junto potencia 13
15 Operaciones con conjuntos 14
Unioacuten de con juntos 14
Interseccioacuten de con juntos 15
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16
Maacuteximo comuacuten divisor 16
Complemento de un con junto 18
Diferencia entre dos con juntos 19
16 Diagramas de Venn-Euler 20
17 Producto cartesiano 31
18 Plano cartesiano 33
Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34
19 Comprueba tu aprendiza je 37
UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40
21 Breve resentildea histoacuterica 42
22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45
Sistema de numeracioacuten babilonio 45
Sistema de numeracioacuten egipcio 49
Sistema de numeracioacuten romano 50
Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54
Notacioacuten desarrollada 58
Proyecto de trabajo grupal 59
24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes
bases 60
Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62
Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63
25 Operaciones con otras bases 65
26 Comprueba tu aprendizaje 73
UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76
31 Breve resentildea histoacuterica 78
32 Propiedades de las operaciones binarias 80
Operacioacuten 80
Operacioacuten binaria 81
Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83
33 Nuacutemeros naturales 83
34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten
del maacuteximo comuacuten divisor 86
Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88
35 Nuacutemeros enteros 91
36 Nuacutemeros racionales 95
Propiedades de las razones geomeacutetricas 96
Decimales perioacutedicos infinitos 99
Orden en los nuacutemeros racionales 100
Operaciones con nuacutemeros racionales 103
Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111
37 Nuacutemeros irracionales 112
Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116
38 Nuacutemeros reales 119
Propiedad de tricotomiacutea 121
39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122
Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123
310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125
311 Intervalos 128
312 Leyes de los exponentes 132
CONTENIDO
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x
Dos aplicaciones usando exponentes 138
313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144
2Leyes fundamentales de los logaritmos 146
Obtencioacuten de logaritmos comunes
mediante el uso de tablas 147
Operaciones con logaritmos 151
315 Comprueba tu aprendizaje 152
UNIDAD 4 Monomios
y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158
42 Monomios 159
Expresiones algebraicas 159
Grado de un teacutermino 161
Clases de teacuterminos 161
43 Polinomios 162
Grado de un polinomio 162
Clases de polinomios 163
Teacuterminos semejantes 166
Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166
Signos de agrupacioacuten 167
44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169
Resta de monomios y polinomios 170
45 Multiplicacioacuten de monomios
y polinomios 172
Multiplicacioacuten de monomios 173
Multiplicacioacuten de monomios
por polinomios 173
46 Factor comuacuten en un polinomio 178
47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180
Monomio entre monomio 180
Polinomio entre monomio 180
Polinomio entre polinomio 181
Algoritmo de la divisioacuten 182
Divisioacuten sinteacutetica 184
48 Valor numeacuterico de un polinomio 185
49 Polinomios como funciones 187
Funciones polinomiales 189
Evaluacioacuten de una funcioacuten 189
Operaciones con funciones 191
410 Comprueba tu aprendizaje 193
UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19
51 Breve resentildea histoacuterica 19
52 Factor comuacuten en un polinomio 20
53 Cuadrado de un binomio 20
Trinomio al cuadrado 20
54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados
perfectos 20
Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20
55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21
57 Producto de binomios
con un teacutermino comuacuten 21
58 Factorizacioacuten de trinomios
de segundo grado 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21
59 Producto de binomios conjugados 22
510 Factorizacioacuten de diferencia
de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten
de teacuterminos 22
512 Factorizacioacuten de una suma
o diferencia de dos potencias iguales 22
513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos
o maacutes polinomios 23
514 Otros tipos de factorizaciones 23
515 Binomio de Newton 23
Factorial 23
516 Comprueba tu aprendizaje 24
UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25
61 Breve resentildea histoacuterica 25
62 Teoremas del residuo y del factor 25
Teorema del residuo 25
Teorema del factor 25
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8182019 Algebra Carpinteiro
httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1120Grupo Editorial Patria
1
Caacutelculo de un determinante 449
Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453
Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454
Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454
85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463
Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471
86 Sistemas de desigualdades lineales 477
Desigualdad lineal con dos variables 477
Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478
Sistemas de desigualdades lineales 480
Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490
ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533
SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539
BIBLIOGRAFIacuteA 547
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Conjuntos1UNIDAD
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Descripcioacuten de la unidad
En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-
tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-
mo un elemento fundamental del lengua je necesario
para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-
prensioacuten de unidades de estudio posteriores
Conocer la nocioacuten de con junto
Comprender las operaciones entre con juntos
Resolver problemas relacionados con estas
operaciones
Adquirir los conocimientos del lengua je
matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores
Idea intuitiva de con junto
Cardinalidad de un conjunto
Tipos de con juntos
Operaciones con conjuntos
Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano
Plano cartesiano
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
Aacutelgebra
6
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
e ro s
e n te ro s me no re s
q ue
5 ha y
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
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RECOMENDACIONES DE ESTUDIO
Una de las preguntas maacutes frecuentes que los padres de los alumnos que no obtie-
nen un buen resultado en esta asignatura nos hacen a los profesores de matemaacute-
ticas es
ldquoiquestQueacute puedo hacer para que mi hijo tenga eacutexito en su curso de matemaacuteticasrdquo
No es poco comuacuten una afirmacioacuten como la siguiente
ldquoNo entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen soy testigo de que se pasa tar-
des y noches completas haciendo ejercicios y aun asiacute repruebardquo
Muchas veces nos ha tocado ver a los padres maacutes preocupados que a los propios
muchachos quienes ven ldquonormalrdquo reprobar matemaacuteticas y hasta llegan a competir
con sus amigos para obtener la calificacioacuten maacutes baja
La intencioacuten de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para
lo que te puede suceder durante este curso sino expresar que esta preocupacioacuten
tambieacuten es nuestra y representa parte de nuestra realidad educativa
Tambieacuten entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte ldquoconse-
josrdquo o ldquofoacutermulas de eacutexitordquo para tus estudios Quizaacute lo que menos quieres escuchar es
lo que siempre te han dicho que debes hacer Asiacute que cambiaremos de estrategia y
te proponemos cuatro reglas de lo que siacute es indispensable que realices para no tener
eacutexito en matemaacuteticas
Aacutelgebra
viii
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ixGrupo Editorial Patria
COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE
EN CUALQUIER CURSO
Sigue estas cuatro reglas
1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor
2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto
3 No realices las tareas
4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten
y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos
asegura la nota reprobatoria
Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas
puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso
Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las
anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso
A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado
Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas
1
2
3
4
Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y
aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso
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Aacutelgebra
x
PRESENTACIOacuteN V
DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII
UNIDAD 1 Conjuntos 2
11 Breve resentildea histoacuterica 4
12 Idea intuitiva de con juntos 6
Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9
Cardinalidad 9
14 Tipos de con juntos 10
Con juntos finitos e infinitos 10
Con juntos iguales 10
Con junto vaciacuteo 11
Con juntos equivalentes 11
Con junto universal 12
Subcon juntos 12
Con junto potencia 13
15 Operaciones con conjuntos 14
Unioacuten de con juntos 14
Interseccioacuten de con juntos 15
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16
Maacuteximo comuacuten divisor 16
Complemento de un con junto 18
Diferencia entre dos con juntos 19
16 Diagramas de Venn-Euler 20
17 Producto cartesiano 31
18 Plano cartesiano 33
Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34
19 Comprueba tu aprendiza je 37
UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40
21 Breve resentildea histoacuterica 42
22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45
Sistema de numeracioacuten babilonio 45
Sistema de numeracioacuten egipcio 49
Sistema de numeracioacuten romano 50
Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54
Notacioacuten desarrollada 58
Proyecto de trabajo grupal 59
24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes
bases 60
Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62
Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63
25 Operaciones con otras bases 65
26 Comprueba tu aprendizaje 73
UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76
31 Breve resentildea histoacuterica 78
32 Propiedades de las operaciones binarias 80
Operacioacuten 80
Operacioacuten binaria 81
Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83
33 Nuacutemeros naturales 83
34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten
del maacuteximo comuacuten divisor 86
Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88
35 Nuacutemeros enteros 91
36 Nuacutemeros racionales 95
Propiedades de las razones geomeacutetricas 96
Decimales perioacutedicos infinitos 99
Orden en los nuacutemeros racionales 100
Operaciones con nuacutemeros racionales 103
Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111
37 Nuacutemeros irracionales 112
Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116
38 Nuacutemeros reales 119
Propiedad de tricotomiacutea 121
39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122
Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123
310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125
311 Intervalos 128
312 Leyes de los exponentes 132
CONTENIDO
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x
Dos aplicaciones usando exponentes 138
313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144
2Leyes fundamentales de los logaritmos 146
Obtencioacuten de logaritmos comunes
mediante el uso de tablas 147
Operaciones con logaritmos 151
315 Comprueba tu aprendizaje 152
UNIDAD 4 Monomios
y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158
42 Monomios 159
Expresiones algebraicas 159
Grado de un teacutermino 161
Clases de teacuterminos 161
43 Polinomios 162
Grado de un polinomio 162
Clases de polinomios 163
Teacuterminos semejantes 166
Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166
Signos de agrupacioacuten 167
44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169
Resta de monomios y polinomios 170
45 Multiplicacioacuten de monomios
y polinomios 172
Multiplicacioacuten de monomios 173
Multiplicacioacuten de monomios
por polinomios 173
46 Factor comuacuten en un polinomio 178
47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180
Monomio entre monomio 180
Polinomio entre monomio 180
Polinomio entre polinomio 181
Algoritmo de la divisioacuten 182
Divisioacuten sinteacutetica 184
48 Valor numeacuterico de un polinomio 185
49 Polinomios como funciones 187
Funciones polinomiales 189
Evaluacioacuten de una funcioacuten 189
Operaciones con funciones 191
410 Comprueba tu aprendizaje 193
UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19
51 Breve resentildea histoacuterica 19
52 Factor comuacuten en un polinomio 20
53 Cuadrado de un binomio 20
Trinomio al cuadrado 20
54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados
perfectos 20
Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20
55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21
57 Producto de binomios
con un teacutermino comuacuten 21
58 Factorizacioacuten de trinomios
de segundo grado 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21
59 Producto de binomios conjugados 22
510 Factorizacioacuten de diferencia
de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten
de teacuterminos 22
512 Factorizacioacuten de una suma
o diferencia de dos potencias iguales 22
513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos
o maacutes polinomios 23
514 Otros tipos de factorizaciones 23
515 Binomio de Newton 23
Factorial 23
516 Comprueba tu aprendizaje 24
UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25
61 Breve resentildea histoacuterica 25
62 Teoremas del residuo y del factor 25
Teorema del residuo 25
Teorema del factor 25
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8182019 Algebra Carpinteiro
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1
Caacutelculo de un determinante 449
Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453
Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454
Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454
85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463
Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471
86 Sistemas de desigualdades lineales 477
Desigualdad lineal con dos variables 477
Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478
Sistemas de desigualdades lineales 480
Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490
ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533
SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539
BIBLIOGRAFIacuteA 547
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Conjuntos1UNIDAD
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Descripcioacuten de la unidad
En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-
tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-
mo un elemento fundamental del lengua je necesario
para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-
prensioacuten de unidades de estudio posteriores
Conocer la nocioacuten de con junto
Comprender las operaciones entre con juntos
Resolver problemas relacionados con estas
operaciones
Adquirir los conocimientos del lengua je
matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores
Idea intuitiva de con junto
Cardinalidad de un conjunto
Tipos de con juntos
Operaciones con conjuntos
Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano
Plano cartesiano
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
5
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
Aacutelgebra
6
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
e ro s
e n te ro s me no re s
q ue
5 ha y
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UNIDAD 1 Conjuntos
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
Aacutelgebra
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
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UNIDAD 1 Conjuntos
9
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
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COacuteMO SER UN ALUMNO DEFICIENTE
EN CUALQUIER CURSO
Sigue estas cuatro reglas
1 Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor
2 No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto
3 No realices las tareas
4 Estudia un diacutea antes del examen la noche es larga el estudio sin organizacioacuten
y sin planes es una de las mejores teacutecnicas hacer ejercicios sin entenderlos nos
asegura la nota reprobatoria
Si tu meacutetodo de estudio responde en forma afirmativa a dos o maacutes de estas reglas
puedes estar seguro de que reprobaraacutes el curso
Pero si estaacutes dispuesto a romper con esto realiza lo contrario de lo que indican las
anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso
A continuacioacuten escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado
Mi plan para ser un excelente estudiante de matemaacuteticas
1
2
3
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Eacuteste es tu nuevo compromiso al cumplirlo estaraacutes trabajando para aprender y
aprobar matemaacuteticas De manera que seacute constante en tu esfuerzo y no olvides tucompromiso
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PRESENTACIOacuteN V
DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII
UNIDAD 1 Conjuntos 2
11 Breve resentildea histoacuterica 4
12 Idea intuitiva de con juntos 6
Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9
Cardinalidad 9
14 Tipos de con juntos 10
Con juntos finitos e infinitos 10
Con juntos iguales 10
Con junto vaciacuteo 11
Con juntos equivalentes 11
Con junto universal 12
Subcon juntos 12
Con junto potencia 13
15 Operaciones con conjuntos 14
Unioacuten de con juntos 14
Interseccioacuten de con juntos 15
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16
Maacuteximo comuacuten divisor 16
Complemento de un con junto 18
Diferencia entre dos con juntos 19
16 Diagramas de Venn-Euler 20
17 Producto cartesiano 31
18 Plano cartesiano 33
Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34
19 Comprueba tu aprendiza je 37
UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40
21 Breve resentildea histoacuterica 42
22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45
Sistema de numeracioacuten babilonio 45
Sistema de numeracioacuten egipcio 49
Sistema de numeracioacuten romano 50
Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54
Notacioacuten desarrollada 58
Proyecto de trabajo grupal 59
24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes
bases 60
Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62
Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63
25 Operaciones con otras bases 65
26 Comprueba tu aprendizaje 73
UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76
31 Breve resentildea histoacuterica 78
32 Propiedades de las operaciones binarias 80
Operacioacuten 80
Operacioacuten binaria 81
Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83
33 Nuacutemeros naturales 83
34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten
del maacuteximo comuacuten divisor 86
Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88
35 Nuacutemeros enteros 91
36 Nuacutemeros racionales 95
Propiedades de las razones geomeacutetricas 96
Decimales perioacutedicos infinitos 99
Orden en los nuacutemeros racionales 100
Operaciones con nuacutemeros racionales 103
Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111
37 Nuacutemeros irracionales 112
Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116
38 Nuacutemeros reales 119
Propiedad de tricotomiacutea 121
39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122
Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123
310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125
311 Intervalos 128
312 Leyes de los exponentes 132
CONTENIDO
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x
Dos aplicaciones usando exponentes 138
313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144
2Leyes fundamentales de los logaritmos 146
Obtencioacuten de logaritmos comunes
mediante el uso de tablas 147
Operaciones con logaritmos 151
315 Comprueba tu aprendizaje 152
UNIDAD 4 Monomios
y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158
42 Monomios 159
Expresiones algebraicas 159
Grado de un teacutermino 161
Clases de teacuterminos 161
43 Polinomios 162
Grado de un polinomio 162
Clases de polinomios 163
Teacuterminos semejantes 166
Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166
Signos de agrupacioacuten 167
44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169
Resta de monomios y polinomios 170
45 Multiplicacioacuten de monomios
y polinomios 172
Multiplicacioacuten de monomios 173
Multiplicacioacuten de monomios
por polinomios 173
46 Factor comuacuten en un polinomio 178
47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180
Monomio entre monomio 180
Polinomio entre monomio 180
Polinomio entre polinomio 181
Algoritmo de la divisioacuten 182
Divisioacuten sinteacutetica 184
48 Valor numeacuterico de un polinomio 185
49 Polinomios como funciones 187
Funciones polinomiales 189
Evaluacioacuten de una funcioacuten 189
Operaciones con funciones 191
410 Comprueba tu aprendizaje 193
UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19
51 Breve resentildea histoacuterica 19
52 Factor comuacuten en un polinomio 20
53 Cuadrado de un binomio 20
Trinomio al cuadrado 20
54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados
perfectos 20
Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20
55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21
57 Producto de binomios
con un teacutermino comuacuten 21
58 Factorizacioacuten de trinomios
de segundo grado 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21
59 Producto de binomios conjugados 22
510 Factorizacioacuten de diferencia
de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten
de teacuterminos 22
512 Factorizacioacuten de una suma
o diferencia de dos potencias iguales 22
513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos
o maacutes polinomios 23
514 Otros tipos de factorizaciones 23
515 Binomio de Newton 23
Factorial 23
516 Comprueba tu aprendizaje 24
UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25
61 Breve resentildea histoacuterica 25
62 Teoremas del residuo y del factor 25
Teorema del residuo 25
Teorema del factor 25
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8182019 Algebra Carpinteiro
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1
Caacutelculo de un determinante 449
Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453
Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454
Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454
85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463
Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471
86 Sistemas de desigualdades lineales 477
Desigualdad lineal con dos variables 477
Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478
Sistemas de desigualdades lineales 480
Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490
ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533
SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539
BIBLIOGRAFIacuteA 547
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Conjuntos1UNIDAD
8182019 Algebra Carpinteiro
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Descripcioacuten de la unidad
En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-
tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-
mo un elemento fundamental del lengua je necesario
para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-
prensioacuten de unidades de estudio posteriores
Conocer la nocioacuten de con junto
Comprender las operaciones entre con juntos
Resolver problemas relacionados con estas
operaciones
Adquirir los conocimientos del lengua je
matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores
Idea intuitiva de con junto
Cardinalidad de un conjunto
Tipos de con juntos
Operaciones con conjuntos
Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano
Plano cartesiano
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
5
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
Aacutelgebra
6
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
e ro s
e n te ro s me no re s
q ue
5 ha y
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
7
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
Aacutelgebra
8
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
9
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
8182019 Algebra Carpinteiro
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Aacutelgebra
x
PRESENTACIOacuteN V
DESCRIPCIOacuteN DE LA OBRA VIRECOMENDACIONES DE ESTUDIO VIII
UNIDAD 1 Conjuntos 2
11 Breve resentildea histoacuterica 4
12 Idea intuitiva de con juntos 6
Con junto 6 13 Cardinalidad de un con junto 9
Cardinalidad 9
14 Tipos de con juntos 10
Con juntos finitos e infinitos 10
Con juntos iguales 10
Con junto vaciacuteo 11
Con juntos equivalentes 11
Con junto universal 12
Subcon juntos 12
Con junto potencia 13
15 Operaciones con conjuntos 14
Unioacuten de con juntos 14
Interseccioacuten de con juntos 15
Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo 16
Maacuteximo comuacuten divisor 16
Complemento de un con junto 18
Diferencia entre dos con juntos 19
16 Diagramas de Venn-Euler 20
17 Producto cartesiano 31
18 Plano cartesiano 33
Localizacioacuten de puntosen el plano cartesiano 34
19 Comprueba tu aprendiza je 37
UNIDAD 2 Sistemasde numeracioacuten 40
21 Breve resentildea histoacuterica 42
22 Sistemas de numeracioacuten de la Antiguumledad 45
Sistema de numeracioacuten babilonio 45
Sistema de numeracioacuten egipcio 49
Sistema de numeracioacuten romano 50
Sistema de numeracioacuten maya 52 23 Sistema decimal 54
Notacioacuten desarrollada 58
Proyecto de trabajo grupal 59
24 Sistemas de numeracioacuten con diferentes
bases 60
Conversioacuten de un nuacutemero decimala otra base 62
Conversioacuten a decimal de un nuacutemerocon otra base 63
25 Operaciones con otras bases 65
26 Comprueba tu aprendizaje 73
UNIDAD 3 Nuacutemerosreales 76
31 Breve resentildea histoacuterica 78
32 Propiedades de las operaciones binarias 80
Operacioacuten 80
Operacioacuten binaria 81
Nombres especiales de algunasestructuras numeacutericas 83
33 Nuacutemeros naturales 83
34 Algoritmo de Euclides para la obtencioacuten
del maacuteximo comuacuten divisor 86
Reglas praacutecticas para la obtencioacuten del mcmy del MCD de dos o maacutes nuacutemeros 88
35 Nuacutemeros enteros 91
36 Nuacutemeros racionales 95
Propiedades de las razones geomeacutetricas 96
Decimales perioacutedicos infinitos 99
Orden en los nuacutemeros racionales 100
Operaciones con nuacutemeros racionales 103
Densidad de los nuacutemeros racionales 108Las proporciones y sus propiedades 111
37 Nuacutemeros irracionales 112
Clasificacioacuten de nuacutemeros irracionales 116
38 Nuacutemeros reales 119
Propiedad de tricotomiacutea 121
39 Nuacutemeros imaginarios y complejos 122
Representacioacuten de nuacutemeros complejos 123
310 Valor absoluto de nuacutemeros reales 125
311 Intervalos 128
312 Leyes de los exponentes 132
CONTENIDO
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x
Dos aplicaciones usando exponentes 138
313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144
2Leyes fundamentales de los logaritmos 146
Obtencioacuten de logaritmos comunes
mediante el uso de tablas 147
Operaciones con logaritmos 151
315 Comprueba tu aprendizaje 152
UNIDAD 4 Monomios
y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158
42 Monomios 159
Expresiones algebraicas 159
Grado de un teacutermino 161
Clases de teacuterminos 161
43 Polinomios 162
Grado de un polinomio 162
Clases de polinomios 163
Teacuterminos semejantes 166
Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166
Signos de agrupacioacuten 167
44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169
Resta de monomios y polinomios 170
45 Multiplicacioacuten de monomios
y polinomios 172
Multiplicacioacuten de monomios 173
Multiplicacioacuten de monomios
por polinomios 173
46 Factor comuacuten en un polinomio 178
47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180
Monomio entre monomio 180
Polinomio entre monomio 180
Polinomio entre polinomio 181
Algoritmo de la divisioacuten 182
Divisioacuten sinteacutetica 184
48 Valor numeacuterico de un polinomio 185
49 Polinomios como funciones 187
Funciones polinomiales 189
Evaluacioacuten de una funcioacuten 189
Operaciones con funciones 191
410 Comprueba tu aprendizaje 193
UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19
51 Breve resentildea histoacuterica 19
52 Factor comuacuten en un polinomio 20
53 Cuadrado de un binomio 20
Trinomio al cuadrado 20
54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados
perfectos 20
Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20
55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21
57 Producto de binomios
con un teacutermino comuacuten 21
58 Factorizacioacuten de trinomios
de segundo grado 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21
59 Producto de binomios conjugados 22
510 Factorizacioacuten de diferencia
de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten
de teacuterminos 22
512 Factorizacioacuten de una suma
o diferencia de dos potencias iguales 22
513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos
o maacutes polinomios 23
514 Otros tipos de factorizaciones 23
515 Binomio de Newton 23
Factorial 23
516 Comprueba tu aprendizaje 24
UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25
61 Breve resentildea histoacuterica 25
62 Teoremas del residuo y del factor 25
Teorema del residuo 25
Teorema del factor 25
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1
Caacutelculo de un determinante 449
Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453
Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454
Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454
85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463
Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471
86 Sistemas de desigualdades lineales 477
Desigualdad lineal con dos variables 477
Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478
Sistemas de desigualdades lineales 480
Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490
ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533
SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539
BIBLIOGRAFIacuteA 547
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Conjuntos1UNIDAD
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Descripcioacuten de la unidad
En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-
tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-
mo un elemento fundamental del lengua je necesario
para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-
prensioacuten de unidades de estudio posteriores
Conocer la nocioacuten de con junto
Comprender las operaciones entre con juntos
Resolver problemas relacionados con estas
operaciones
Adquirir los conocimientos del lengua je
matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores
Idea intuitiva de con junto
Cardinalidad de un conjunto
Tipos de con juntos
Operaciones con conjuntos
Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano
Plano cartesiano
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
5
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
Aacutelgebra
6
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
e ro s
e n te ro s me no re s
q ue
5 ha y
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
7
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
Aacutelgebra
8
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
9
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
8182019 Algebra Carpinteiro
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x
Dos aplicaciones usando exponentes 138
313 Notacioacuten cientiacutefica 141 314 Logaritmos 144
2Leyes fundamentales de los logaritmos 146
Obtencioacuten de logaritmos comunes
mediante el uso de tablas 147
Operaciones con logaritmos 151
315 Comprueba tu aprendizaje 152
UNIDAD 4 Monomios
y polinomios 156 41 Breve resentildea histoacuterica 158
42 Monomios 159
Expresiones algebraicas 159
Grado de un teacutermino 161
Clases de teacuterminos 161
43 Polinomios 162
Grado de un polinomio 162
Clases de polinomios 163
Teacuterminos semejantes 166
Reduccioacuten de teacuterminos semejantes 166
Signos de agrupacioacuten 167
44 Adicioacuten de monomios y polinomios 169
Resta de monomios y polinomios 170
45 Multiplicacioacuten de monomios
y polinomios 172
Multiplicacioacuten de monomios 173
Multiplicacioacuten de monomios
por polinomios 173
46 Factor comuacuten en un polinomio 178
47 Divisioacuten de monomios y polinomios 180
Monomio entre monomio 180
Polinomio entre monomio 180
Polinomio entre polinomio 181
Algoritmo de la divisioacuten 182
Divisioacuten sinteacutetica 184
48 Valor numeacuterico de un polinomio 185
49 Polinomios como funciones 187
Funciones polinomiales 189
Evaluacioacuten de una funcioacuten 189
Operaciones con funciones 191
410 Comprueba tu aprendizaje 193
UNIDAD 5 Productosnotables y factorizacioacuten 19
51 Breve resentildea histoacuterica 19
52 Factor comuacuten en un polinomio 20
53 Cuadrado de un binomio 20
Trinomio al cuadrado 20
54 Factorizacioacuten de trinomios cuadrados
perfectos 20
Factorizacioacuten parcial de trinomiosde segundo grado 20
55 Cubo de un binomio 20 56 Factorizacioacuten de un cubo perfecto 21
57 Producto de binomios
con un teacutermino comuacuten 21
58 Factorizacioacuten de trinomios
de segundo grado 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es 1 21
Caso en que el coeficiente del teacuterminocuadraacutetico es distinto de 1 21
59 Producto de binomios conjugados 22
510 Factorizacioacuten de diferencia
de cuadrados 22 511 Factorizacioacuten por agrupacioacuten
de teacuterminos 22
512 Factorizacioacuten de una suma
o diferencia de dos potencias iguales 22
513 Miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de dos
o maacutes polinomios 23
514 Otros tipos de factorizaciones 23
515 Binomio de Newton 23
Factorial 23
516 Comprueba tu aprendizaje 24
UNIDAD 6 Operacionescon fracciones y radicales 25
61 Breve resentildea histoacuterica 25
62 Teoremas del residuo y del factor 25
Teorema del residuo 25
Teorema del factor 25
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8182019 Algebra Carpinteiro
httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 1120Grupo Editorial Patria
1
Caacutelculo de un determinante 449
Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453
Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454
Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454
85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463
Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471
86 Sistemas de desigualdades lineales 477
Desigualdad lineal con dos variables 477
Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478
Sistemas de desigualdades lineales 480
Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490
ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533
SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539
BIBLIOGRAFIacuteA 547
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Conjuntos1UNIDAD
8182019 Algebra Carpinteiro
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Descripcioacuten de la unidad
En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-
tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-
mo un elemento fundamental del lengua je necesario
para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-
prensioacuten de unidades de estudio posteriores
Conocer la nocioacuten de con junto
Comprender las operaciones entre con juntos
Resolver problemas relacionados con estas
operaciones
Adquirir los conocimientos del lengua je
matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores
Idea intuitiva de con junto
Cardinalidad de un conjunto
Tipos de con juntos
Operaciones con conjuntos
Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano
Plano cartesiano
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
5
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
e ro s
e n te ro s me no re s
q ue
5 ha y
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
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1
Caacutelculo de un determinante 449
Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453
Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454
Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454
85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463
Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471
86 Sistemas de desigualdades lineales 477
Desigualdad lineal con dos variables 477
Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478
Sistemas de desigualdades lineales 480
Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490
ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533
SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539
BIBLIOGRAFIacuteA 547
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Conjuntos1UNIDAD
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Descripcioacuten de la unidad
En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-
tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-
mo un elemento fundamental del lengua je necesario
para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-
prensioacuten de unidades de estudio posteriores
Conocer la nocioacuten de con junto
Comprender las operaciones entre con juntos
Resolver problemas relacionados con estas
operaciones
Adquirir los conocimientos del lengua je
matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores
Idea intuitiva de con junto
Cardinalidad de un conjunto
Tipos de con juntos
Operaciones con conjuntos
Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano
Plano cartesiano
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
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UNIDAD 1 Conjuntos
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
Aacutelgebra
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
e ro s
e n te ro s me no re s
q ue
5 ha y
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
Aacutelgebra
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
Grupo Editorial Patria
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
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1
Caacutelculo de un determinante 449
Regla de Cramer para la resolucioacutende sistemas de ecuaciones lineales 453
Sistemas de ecuaciones linealescon dos variables 454
Sistemas de ecuaciones linealescon tres variables 454
85 Sistemas de ecuaciones no lineales 463
Sistema de una ecuacioacuten cuadraacuteticay una ecuacioacuten lineal 463
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales ni teacutermino mixto en xy 467
Sistema de dos ecuaciones cuadraacuteticassin teacuterminos lineales 471
86 Sistemas de desigualdades lineales 477
Desigualdad lineal con dos variables 477
Graacutefica de una desigualdad linealcon dos variables 478
Sistemas de desigualdades lineales 480
Programacioacuten lineal 484 87 Comprueba tu aprendizaje 490
ANEXOS 495GUIacuteA DE ESTUDIO 496SECCIOacuteN DE PROBLEMAS 503SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS 505RESPUESTAS A LA GUIacuteA DE ESTUDIO 533
SOLUCIONES A COMPRUEBA TU APRENDIZAJE 539
BIBLIOGRAFIacuteA 547
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Conjuntos1UNIDAD
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Descripcioacuten de la unidad
En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-
tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-
mo un elemento fundamental del lengua je necesario
para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-
prensioacuten de unidades de estudio posteriores
Conocer la nocioacuten de con junto
Comprender las operaciones entre con juntos
Resolver problemas relacionados con estas
operaciones
Adquirir los conocimientos del lengua je
matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores
Idea intuitiva de con junto
Cardinalidad de un conjunto
Tipos de con juntos
Operaciones con conjuntos
Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano
Plano cartesiano
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
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q ue
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
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Conjuntos1UNIDAD
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Descripcioacuten de la unidad
En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-
tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-
mo un elemento fundamental del lengua je necesario
para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-
prensioacuten de unidades de estudio posteriores
Conocer la nocioacuten de con junto
Comprender las operaciones entre con juntos
Resolver problemas relacionados con estas
operaciones
Adquirir los conocimientos del lengua je
matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores
Idea intuitiva de con junto
Cardinalidad de un conjunto
Tipos de con juntos
Operaciones con conjuntos
Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
e ro s
e n te ro s me no re s
q ue
5 ha y
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UNIDAD 1 Conjuntos
7
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
Aacutelgebra
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
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Descripcioacuten de la unidad
En esta unidad estudiaraacutes los conceptos fundamen-
tales de la teoriacutea de con juntos que seraacute utilizada co-
mo un elemento fundamental del lengua je necesario
para el mane jo de conceptos matemaacuteticos en la com-
prensioacuten de unidades de estudio posteriores
Conocer la nocioacuten de con junto
Comprender las operaciones entre con juntos
Resolver problemas relacionados con estas
operaciones
Adquirir los conocimientos del lengua je
matemaacutetico baacutesicos para el desarrollo de
contenido en temas posteriores
Idea intuitiva de con junto
Cardinalidad de un conjunto
Tipos de con juntos
Operaciones con conjuntos
Diagramas de Venn-Euler Multiplicacioacuten de con juntos o producto cartesiano
Plano cartesiano
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
Aacutelgebra
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
e ro s
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
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Baacutesquetbol
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
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Problema eje
En el grupo de Miguel hicieron una encuesta
sobre los deportes que maacutes se practicaban en
la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su
deporte favorito Al recolectar la informacioacuten
que obtuvieron encontraron lo siguiente
1 Completa la tabla
siguiente para ellodistribuye la informacioacuten
anterior
2 Contesta las preguntas y copia la informacioacuten en el diagrama
a) iquestCuaacutentos alumnos practican futbol americano o soccer
b) iquestCuaacutentos alumnos practican los tres deportesc) iquestCuaacutentos alumnos practican baacutesquetbol pero no practican ni futbol soccer ni americano
d) iquestCuaacutentos alumnos no practican ninguno de los tres deportes
e) iquestCuaacutentos alumnos no practican futbol americano
Nuacutemero depersonas
Deporte que practican
35 Futbol americano
34 Futbol soccer
33 Baacutesquetbol
13 Futbol americano y futbol soccer
18 Futbol soccer y baacutesquetbol
15 Futbol americano y baacutesquetbol
10 Practican los tres deportes
Futbol
americano
Futbol soccer Baacutesquetbol
Futbol americano 13
Futbol soccer 18
Soccer 15
Americano Soccer
Baacutesquetbol
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
5
8182019 Algebra Carpinteiro
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
Aacutelgebra
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
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q ue
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
Aacutelgebra
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
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12 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTOSInicia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas
1 iquestCuaacutel es el nombre de tus tres me jores amigos
2 iquestCuaacutel es el nuacutemero de alumnos presentes en la clase de matemaacuteticas
3 Menciona el nombre de cinco alumnos que hayan obtenido una calificacioacuten
mayor que en su curso anterior
4 iquestCuaacutentos de tus compantildeeros estaacuten dispuestos a traba jar para acreditar este
curso
Cada una de las preguntas anteriores se basa en la idea de agrupacioacuten o de con jun-to Es un concepto intuitivo no tiene una definicioacuten formal asiacute que se acepta como
un concepto primiti vo de esta rama de las matemaacuteticas En geometriacutea puedes citar
otro ejemplo de concepto primitivo que no se define y es el punto no obstante es un
elemento fundamental de esta rama
Con junto
Una descripcioacuten informal de la idea de agrupacioacuten o con junto puede ser la siguiente
Por lo general se denota a los con juntos con letras mayuacutesculas y a sus elementos
con minuacutesculas b 983131
B se interpreta como ldquoel elemento b pertenece al con junto Brdquo
y b B se lee como ldquoel elemento b no pertenece al con junto Brdquo
Un con junto puede ser presentado en forma analiacutetica listando todos sus elemen-
tos cuando es posible separados cada uno por medio de una coma y encerraacutendolos
entre llaves a esta forma se le llama enumeracioacuten o extensioacuten tambieacuten puede
ser representado por medio de una frase o regla que describe las propiedades que
tienen sus elementos descripcioacuten por comprensioacuten por medio de una forma graacutefi-
ca mediante un dibu jo diagrama de Venn-Euler una tabla o un diagrama de aacuterbolpara representar ciertas relaciones entre dos o maacutes con juntos
En ocasiones para listar todos los elementos de algunos con juntos se requiere de
mucho espacio y tiempo o simplemente no es posible hacerlo por ejemplo
ldquoEl con junto A formado por los nuacutemeros enteros
pares mayores que 20 y menores que un milloacutenrdquo
Cita otros ejemplos de conceptosprimitivos en otras ramas
matemaacuteticas
Escribe y nombra dos conjuntosluego enumera sus elementos
utilizando el siacutembolo de pertenencia
Escribe dos ejemplos de conjuntosen cada una de las formas descritas
iquestC uaacutent o s e l e me nt o s t i e ne e l c o n j unt o A
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
iquest C uaacute n to s n uacute m
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
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ldquoEl con junto B formado por los enteros menores que 5rdquo
En estos casos se citan algunos de los elementos del con junto ya sean los primeros
o los uacuteltimos seguidos (o antecedidos) del siacutembolo ldquordquo Estos tres puntos indican
que conoces la sucesioacuten de esos nuacutemeros
Asiacute en estos ejemplos los con juntos descritos por enumeracioacuten o extensioacuten pueden
tomar la siguiente forma
A = 22 24 26 28hellip 999 998
B = hellip 0 1 2 3 4
Escribe por extensioacuten los siguientes con juntos
C = Nuacutemeros enteros positivos im pares ma yores que 10
C =
D = Nuacutemeros enteros muacutelti plos de tres menores que ndash4
D =
T = Nuacutemeros enteros positivos muacutelti plos de 12 menores que 31 401
T =
Cuando se puede describir un con junto por comprensioacuten se sigue un camino en
forma de embudo empezando por la condicioacuten general del con junto hasta la pro-
piedad maacutes especiacutefica de los elementos del mismo
Ejemplos
1 A = x x 983131 N x es impar 7 x 14 hellip descripcioacuten por comprensioacuten
La lectura de la expresioacuten anterior es ldquoA es el con junto de todas las x tales que
pertenezcan a los nuacutemeros enteros positivos impares mayores que 7 y menores
que 14rdquo
Condicioacuten maacutes general del conjunto
Tipo de elementos del conjuntoPropiedades
especiacuteficas de loselementos
Liacutemitessi esque
existen
Pregunta a tu profesor el significadde los siacutembolos que desconozcas e
esta expresioacuten
Liacutemites inferior ysuperior
Con x se representacualquier elemento
Tipo de nuacutemero Caracteriacutesticaespeciacutefica
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
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2 B = 12 15 18 21 24 27hellip descripcioacuten por enumeracioacuten o extensioacuten
Observa atentamente los elementos del con junto B y contesta las preguntas
1 iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto B
2 iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
3 iquestCuaacuteles son sus liacutemites
Una forma de describir por comprensioacuten el con junto B es
B = x x 983131 N x es muacuteltiplo de 3 11 x 28
EJERCICIO 1
1 Dados los siguientes con juntos por enumeracioacuten expreacutesalos por comprensioacuten
a) C = 7 8 9 10hellip
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto C
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
b) E = 26 28 30 32
bull iquestQueacute tipo de nuacutemeros hay en el con junto E
bull iquestCuaacutel es la caracteriacutestica de sus elementos
bull iquestCuaacuteles son sus liacutemites
c) M = 90 99 108 117 126 135
d) B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
e) 1 1
3 1
9 1
27 1
81T =
2 Dados los siguientes con juntos por comprensioacuten expreacutesalos por enumeracioacuten
f ) D = xx es un diacutegito del nuacutemero 2011
D =
g) G = xx 983131 N x es impar 12 lt x
G =
h) S = xx 983131 N x es muacuteltiplo de 5 x le 13
S =
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
9
8182019 Algebra Carpinteiro
httpslidepdfcomreaderfullalgebra-carpinteiro 2020
14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
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i) N = xx 983131 N x ge 11
N =
j) P = xx 983131 N x es una solucioacuten de la ecuacioacuten x2 ndash 5x + 6 = 0
P =
Las descripciones por comprensioacuten de con juntos con una gran cantidad de elemen-
tos se in dican en for ma general con el fin de obtener cualquier elemento del con-
junto dado y su sucesor
Ejemplos
1 N = x x 983131 N x ge 11
2 N = 11 12 13 14hellip n (n + 1) hellip
3 B = hellip ndash5 ndash3 ndash1
4 B = x x = ndash2n + 1 n 983131 geN
13 CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO
Cardinalidad
EJERCICIO 2
Indica la cardinalidad de cada con junto del ejercicio 1
a) n(C ) = e) n(D ) =
b) n(E ) = f ) n(G ) =
c) n(M) = g) n(S) =
d) n(T) = h) n(P ) =
Como habraacutes notado en los con juntos C y G no es posible determinar el nuacutemero de
elementos que conforman a cada uno de ellos lo que nos lleva a nuestro siguiente
tema
Grupo Editorial Patria
UNIDAD 1 Conjuntos
9
8182019 Algebra Carpinteiro
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
Aacutelgebra
8182019 Algebra Carpinteiro
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14 TIPOS DE CONJUNTOS
Con juntos finitos e infinitos
Ejemplos
1 A = xx es un paiacutes del continente americano
2 B = xx es un nuacutemero racional menor o igual que 100
En estos ejemplos como puedes observar el con junto A es finito ya que se puede
concebir un nuacutemero entero positivo que nos indique su cardinalidad mientras queel con junto B es infinito ya que no puedes determinar el nuacutemero de elementos
que lo conforman
Expresado de otra forma en un con junto finito el proceso de numerar sus elemen-
tos siempre tiene un fin es decir es numerable y siempre tiene un uacuteltimo elemento
mientras que en un con junto infinito el proceso de numerar sus elementos nunca se
detiene o en otros casos no es posible realizar este proceso por lo que a estos con jun-
tos se les nombra como con junto infinito numerable o infinito no numerable
Ejemplos
1 B = 3 6 9 12hellip 3n 3(n + 1)hellip
2 C = Las rectas que pasan por un punto dado
Tanto el con junto B como el C son infinitos la diferencia entre ellos es que los ele-
mentos del con junto B se pueden ir numerando aunque este proceso nunca termi-
ne y los elementos del con junto C no puedes numerarlos
D = x x es un ser humano
E = 1 3 5hellip 2n + 1 2(n + 1) + 1hellip
Con juntos iguales
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