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Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática

Sociedade Brasileira de

História da Matemática

Os Fractais: A Esponja de Menger, Uma Curiosidade na História

da Matemática Fractals: The Menger Sponge, A Curiosity in The History of Mathematics

Jacqueline Ferreira Mendonça, IFPA, jacquecpc@yahoo.com.br

Jéssica Raquel Valadares Fernandes, IFPA, jeh.matematica@hotmail.com

Paulo Ricardo de Souza Costa, IFPA, pauloricardo86@live.com.br

Resumo

O termo Fractal foi criado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na

Polônia, que descobriu a geometria fractal na década de 1970. A geometria fractal é o ramo

da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas

situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas

em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. A geometria fractal ocorre quando

inicialmente as curvas são alimentadas pelos mesmos dados, mas em determinado momento,

há um desvio nos valores dos dados. A esponja de Menger é um dos fractais mais

interessantes, devido a um incrível paradoxo que ela possui: o de ser um objeto geométrico

com volume zero e área infinita (BOYER, 2001, p.36). É um objeto geométrico com dimensão

fracionária, inventada pelo austríaco Karl Menger (1902-1985). A parte interessante da

esponja de Menger é: quanto mais vai retirando-se cubos perde-se volume, porém ganha-se

área devido ao fato de aumentarem os números de túneis. A esponja Menger construídos em

três dimensões estende a idéia de gráficos que não são planos e podem ser incorporados em

qualquer número de dimensões. Assim, qualquer geometria da malha gravidade quântica pode

ser embutido em uma esponja de Menger. Para construir uma esponja de Menger, utiliza-se

um cubo, dividindo-o em 27 cubinhos de arestas de 1/3 do tamanho das arestas originais,

retirando a peça central do cubo e cada um dos 6 centrais de cada uma das faces. Em seguida

repete-se este processo para cada um dos cubos restantes infinitamente. Logo, temos:

Considere um cubo de aresta inicial z e com área total de 6z2

e volume total z3. Depois da

primeira retirada de cubos a área da esponja é

. (DANTE, 2004, p.257). Verifica – se que

houve redução do volume e aumento da área. Continuando sucessivamente teremos que a área

tende ao infinito e o volume a zero. Assim a paradoxal esponja de Menger é um objeto

geométrico que tem volume zero e área infinita.

Palavras-chave: Geometria fractal. Esponja de Menger. Dimensão.

Keywords: Fractal Geometry. Menger Sponge. Dimension.

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Referências

BOYER, Carl Benjamim. História da Matemática, Edgard Blucher, São Paulo, 2001.

GLEICK, J. Chaos: Making a New Science. New York, Penguin Books, 1988.

DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações, 2. ed. São Paulo: Ed. Ática,

2004.