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apostila de análise combinatória
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VE
ST
IBU
LA
R –
201
5
ESCOLAOSVALDO CRUZ–A EDUCAÇÃO EM 1º LUGAR
ANÁLISECOMBINATÓR
CONTEÚDO01
RINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Dados dois conjuntos A = {a1, a2, . . .,am} e B = {b1, b2, b3, . . . , bn}, o total de pares distintos (ai, bj) que podemos formar com os elementos dos dois conjuntos é igual a:
........
EXEMPLOS
Questão 1 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Para revestir o piso e a parede de um banheiro um arquiteto pode escolher entre 6 tipos de pisos e 9 tipos de azulejos. Se um tipo de piso pode ser usado com qualquer tipo de azulejo, de quantas maneiras o arquiteto pode combinar o par para revestir o banheiro?
6x9 = 54Questão 2 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Se você vai a um restaurante que oferece 10 pratos diferentes e 6 sucos diferentes, de quantas maneiras você pode fazer uma refeição se você pode tomar ou não suco? Se você optar por não tomar o suco:
no de refeições = 10 Se você optar por tomar o suco:
no de refeições = nPxnS= 10x6 = 60
RESPOSTA:Total = 10 + 60 = 70
Questão 3 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números formados por dois algarismos distintos podem ser formados?OBS:(Distintos) não é possível repetir algarismos:
RESPOSTA:6 x 5 = 30
Questão 4 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números formados por dois algarismos podem ser formados?OBS: Agora é possível repetir algarismos:
RESPOSTA:6 x 6 = 36
Questão 5 ––––––––––––––––––––––––––––––|
A frente de um prédio tem 10 portas de entrada. Se uma pessoa, ao entrar no prédio, nunca usa a mesma porta para sair, de quantas maneiras distintas ela pode entrar e sair do prédio?
RESPOSTA:10 x 9 = 90Questão 6 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Da questão anterior: Se a pessoa entrar e sair por qualquer porta:
RESPOSTA:10 x 10 = 100
Questão 7 ––––––––––––––––––––––––––––––|
De quantas maneiras diferentes uma moça poderá escolher uma saia, uma blusa, um par de meias e um par de sapatos se ela tem 6 saias, 4 blusas, 2 pares de sapatos e 5 pares de meias?
RESPOSTA:6 x 4 x 2 x 5 = 240
Questão 8 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Calcular quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.
RESPOSTA:6 x 5 x 4 x 3 = 360
Questão 9 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Da questão anterior: E se fosse possível repetir algarismos?
RESPOSTA:6 x 6 x 6 x 6 = 1296
Questão 10 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Calcular quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.
RESPOSTA:6 x 5 x 4 x 3 x 2 = 720
Questão 11 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Calcular quantos números de 6 algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6.
RESPOSTA:6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
6 fatorial = 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720
FATORIAL (!)Vamos simplificar frações envolvendo fatorial:
a1,b1,a1,b2,a1,b3,.......a1,bn,
n pares +
a2,b1,a2,b2,a2,b3,.......a2,bn,
n pares
am, b1,am, b2,am, b3,.......am, bn,
+ n paresn + n + n + . . . + n (m vezes) = n.m
!nPn
VEST
IBU
LAR
–
2015
ESCOLA OSVALDO CRUZ – VOCÊ EM 1º LUGAR!!!
12 !8!
=12×11×10×9×8 !8 !
=12×11×10×9=11.880
Desenvolvemos o maior fatorial até chegar no menor e simplificamos.
ALGUMAS DEFINIÇÕES ESPECIAIS:0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120
CONSEQUÊNCIAS:
n!=n.(n – 1)!com n>2
Exercícios PropostosQuestão 12 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Uma pessoa dispõe de 6 calças, 4 paletós e 10 camisas distintos entre si. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir?
Questão 13 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Os números dos telefones residenciais do Município de Capitão poço tem 8 algarismos. Determine a quantidade máxima de telefones a serem instalados, sabendo que os quatros primeiros números começam por 3468.
Questão 14 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Qual o número total de placas diferentes que podemos ter nos carros nacionais? (ver figura). (Supondo que possamos empregar todas as 26 letras do alfabeto e os 10 algarismos, inclusive com repetições).
Questão 15 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Uma pessoa tem 3 pares de sapatos, 4 calças e 5 camisas, todos de características distintas. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir, usando de cada vez um par de sapatos, uma calça e uma camisa?
Questão 16 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Usando os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6, qual o total de números de cinco algarismos distintos que consigo formar?
Questão 17 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Referente a 14ª questão: Quantas placas distintas existem, terminadas com o número 2014?
Questão 18 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Suponhamos que existem 2 vias de locomoção do Município de Garrafão do Norte ao Município de Capitão Poço e 3 vias de locomoção de Capitão Poço ao Município de Ourém. De quantas maneiras se pode ir de Garrafão a Ourém passando por Capitão Poço?
Questão 19 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Quantos anagramas podemos formar com a palavra PERDÃO.
Questão 20 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Referente a questão anterior: quantos anagramas se iniciam com P e terminam com O.?
Questão 21 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Quantos números naturais de algarismos distintos entre 5000 e 10000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 4 e 6?
Questão 22 ––––––––––––––––––––––––––––––|
Quantos números naturais de algarismos distintos entre 3000 e 12000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 4 e 6?
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