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ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
AULA 4:
SINAIS EXPONENCIAIS;
SINAIS SENOIDAIS;
SINAIS SENOIDAIS AMORTECIDOS;
SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS:
2
SINAIS EXPONECIAIS
São sinais da forma tx t Ae( ) em que A e são
parâmetros reais.
A é a amplitude do sinal exponencial medido em t=0.
Se > 0, o sinal é exponencial crescente;
Se < 0, o sinal é exponencial decrescente;
t
x(t)
< 0 A
t
x(t)
> 0
A
3
SINAIS EXPONECIAIS
Para o tempo discreto o sinal exponencial é da forma
nx[n] =B r ,
t
x(t)
r > 1 t
x(t)
0<r < 1
t
x(t)
-1<r < 0
t
x(t)
r <-1
Neste caso as seguintes
situações podem ocorrer:
B é a amplitude do sinal exponencial medido em n=0
em que r pode ser escrito como r = e .
obtendo-se nx[n] =B e .
4
SINAIS SENOIDAIS
Para o tempo contínuo o sinal senoidal é da forma
x(t)= Acos( t + ) ,
O período é dado por:
A é a amplitude do sinal senoidal;
ω é a frequência angular em rad/s;
ϕ é o ângulo de fase.
em que:
2 2T = = = 2 f
T
5
SINAIS SENOIDAIS
Podemos verificar a periodicidade do sinal senoidal utilizando a
definição de função periódica.
Se a função x(t) é periódica deve-se verificar que
x(t)= x(t +T),
Para a função senoidal tem-se que
x(t +T) = Acos[ t +T)+ ] (
x(t)= Acos( t + ) ,
x(t +T) = Acos[ t + T + ]
x(t +T) = Acos[ t + 2 ]
x(t +T) = Acos[ t + ]
x(t +T) = x(t)
6
SINAIS SENOIDAIS
Para o tempo discreto o sinal senoidal é da forma
x[n] = Acos[ n+ ] ,
Ω é a frequência angular dada por
em que:
sendo N o período medido em amostras por ciclo.
2
N
,
Se o período é N, então pode-se escrever x[n] = x[n+ N]
x[n+ N] = Acos[ n+ N)+ ]
x[n+ N] = Acos[ n+ N + ]
x[n+ N] = Acos[ n+ 2 m]
x[n+ N] = Acos[ n+ ]
N 2 m
com m inteiro
,
7
SINAIS SENOIDAIS
2 2
N N
,
m mou k kDessa forma, pode-se escrever
m
2 N
Assim tem-se que é um número racional.
Se isto não ocorre, a senoide discreta não é periódica.
Exercício – Verificar a periodicidade dos seguintes sinais:
a) x[n]=3cos[0,2πn]
b) x[n]=2cos [5πn]
c) x[n]=5cos[4n]
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SINAIS SENOIDAIS EXPONENCIALMENTE AMORTECIDOS
para o tempo contínuo e
São sinais da forma:
Observe que a senoide exponencialmente amortecida não é
periódica:
- tx(t)= Ae cos( t + ) com > 0, ,
nx(t)=Br cos( n+ ) com 0 < r 1. <,
para o tempo discreto.
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RELAÇÃO ENTRE SINAIS SENOIDAIS E EXPONENCIAIS COMPLEXOS
j tx(t)= Ae Seja o sinal exponencial complexo
Assim, tem-se que:
Da identidade de Euler, tem-se que
je cos + jsen
Logo x(t)= Acos( t) + jAsen( t)
Re x(t) = Acos( t + )
Im x(t) = Asen( t + )
Para j( t+ )x(t)= Ae pode-se escrever
x(t)= Acos( t + ) + jAsen( t + )
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RELAÇÃO ENTRE SINAIS SENOIDAIS E EXPONENCIAIS COMPLEXOS
Analogamente para o tempo discreto pode-se escrever:
j( n+ )x[n] = Ae
Re x[n] = Acos( n+ )
Im x[n] = Asen( n+ )
x[n] = Acos( n+ ) + jAsen( n+ )
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SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
atx(t)= Ce ,É o sinal da forma
em que C e a , em geral, são números complexos.
Seja j
0C = C e e a = r + j , então
0 0(r+ j t j( tj rtx(t)= C e e C e e
) ),
que pode ser escrita como
rt rt
0 0x(t)= C e cos( t + )+ j C e sen( t + ) ,
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SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
Observe que:
para r = 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais;
para r < 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais amortecidas;
para r > 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais crescentes;
Quando C é real e a é puramente imaginário, então
Para que x(t) seja periódica deve-se impor que
Assim tem-se que
Para que a igualdade se verifique é necessário que
rt rt
0 0x(t)= C e cos( t + )+ j C e sen( t + ) ,
j tx(t)= Ce
0 .
x(t)= x(t +T),
j t j (t+T) j t j TCe Ce Ce e
0 0 0 0 .
j Te 1
0 .
13
SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
j t j (t+T) j t j T j Tx(t)= Ce Ce Ce e e 1
0 0 0 0 0 .
Se ω0 = 0 então x(t) = C, que é periódico para qualquer
valor de T.
Se ω0 é diferente de zero, então, lembrando que
0 0T =2 (k = 1) ,o período fundamental T0 é tal que
j T
0 0e cos( T)+ jsen( T)
0
o que resulta em 0
0
2T =
.
Escrevendo os últimos resultados:
j Te para que e 1, devemos ter T = 2k (sendo k inteiro),
0
0
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SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
Um sinal senoidal pode ser escrito na forma de exponenciais
complexas. Seja x(t)= Acos( t + ) ,
Pela identidade de Euler tem-se que j
-j
e cos + jsen
e cos jsen
-Somando-se esta duas
expressões obtém-se j -j1 1cos e + e
2 2
Assim, x(t) pode ser escrito na seguinte forma:
j( t+ ) -j( t+ )A Ax(t) = e e
2 2
0 0
Ou ainda,
j t -j tj -jA Ax(t) = e e e e
2 2
0 0
15
SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
j t -j tj -jA Ax(t) = e e e e
2 2
0 0
Fazendo: j -j
1 2
A AB = e e B e
2 2
, obtém-se:
j t -j t
1 2x(t) = B e B e
0 0
Observe que B1 e B2 são números complexos conjugados.
Obtenha a forma exponencial complexa do sinal
- tx(t)= Ae cos( t + )
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SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
Para o tempo discreto tem-se: nx[n] = C ,
sendo que, em geral, C e α são números complexos.
Fazendo j jC C e e = e , tem-se que
n nj j j(x[n] = C e e C e )n n ou ainda
n nx[n] = C cos[ n+ ] + j C sen[ n+ ].
para |α|=1 a parte real e imaginária são sequências senoidais;
para |α|<1 a parte real e imaginária são senoides amortecidas;
para |α|>1 a parte real e imaginária são senoides decrescentes;
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SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
Analogamente ao caso contínuo, um sinal senoidal de tempo
discreto pode ser escrito na forma de exponenciais complexas.
x[n] = Acos( n+ )
j j n -j -j nA Ax[n] = e e e e
2 2
Seja
Com o mesmo desenvolvimento utilizado para o caso contínuo,
pode-se obter a forma exponencial complexa para a senoide
discreta
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PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS
EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO
Seja j j( 2
1 2x [n] = Ae e x [n] = Ae ) ,n n
Desenvolvendo a expressão de x2[n] obtemos:
j( 2 j j2
2x [n] = Ae Ae e )n n n n
Observe que: j2
j2
e cos(2 n)+ j sen(2 n) = 1 + j0
e 1
n
n
Portanto: j
2 1x [n] = Ae = x [n]n
Isto significa que quando a frequência passou de Ω para Ω + 2π
o sinal não se modificou.
Sua frequência é a mesma!
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No tempo discreto, sinais com frequência Ω e Ω +2kπ (k inteiro),
são idênticos.
A frequência varia apenas num intervalo de 2π .
Especificamente, se Ω =0 ou Ω = 2π tem-se
j0
1
j2
x [n] = Ae A constante
ou Ae
A partir de zero, a taxa de oscilação aumenta atingindo a seu
valor máximo em π. A partir de π, a taxa de oscilação diminui
e volta a zero em 2π .
n
j n j
1Em = x [n] = e = e = -1 , , .
nque oscila a cada amostra
PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS
EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO
20
PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS
EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO
21
PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS
EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO
Sinais harmonicamente relacionados são aqueles que
possuem frequência múltipla da fundamental.
Em tempo contínuo, todas as exponenciais complexas
harmonicamente relacionadas são distintas.
0jk t jk(2 /T )t
k(t)= Ae = Ae com k = 0, 1, 2 3 ...
0
22
Em tempo discreto, os sinais harmonicamente relacionados
são aqueles que possuem frequência múltipla de Ω=2π/N.
jk( n jk(2 N n
k
j(k+N)(2 N n jk(2 N n j(2 n
k+N k
Seja [n] =e = e com k = 0, 1, 2 3 ...
Observe que [n] = e = e e = [n]
) / )
/ ) / ) )
,
0 1 2 N-1[n] , [n], [n] ... [n]
Isto implica que há somente N exponenciais periódicas
distintas harmonicamente relacionadas com , isto é j n[n] =e
PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS
EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO
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Livro do Haykin:
1.10; 1.11; 1.12 ; 1.16- a, c; 1.18- b, d, g, k;
1.19; 1.20; 1.21- a, b, c, g, i; 1.22; 1.25.
EXERCÍCIOS
Verifique quantas exponenciais complexas harmonicamente
relacionadas existem em j(3 /4x[n] = e ) .n
Resposta: 8.
Determine o período fundamental do sinal
x(t)=2cos(10t +1) - sen(4t -1), Resposta: π.
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