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Análise e Síntese de Algoritmos
Caminhos Mais Curtos para Todos os Pares CLRS, Cap. 25
2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos 2
Contexto
• Algoritmos Elementares em Grafos (CLR, Cap. 22)– BFS & DFS– Ordenação Topológica & SCCs
• Árvores Abrangentes de Menor Custo (CLR, Cap. 23)– Algoritmos de Borůvka, Kruskal e Prim
• Caminhos mais curtos com fonte única (CLR, Cap. 24)– Algoritmos de Dijkstra e Bellman-Ford
• Caminhos mais curtos entre todos os pares (CLR, Cap. 25)– Solução Recursiva e Algoritmo de Floyd-Warshall
2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos 3
Resumo
• Caminhos Mais Curtos entre Todos os Pares (APSPs)– Definições– Soluções recursivas
• Algoritmo de Floyd-Warshall– Fecho Transitivo– Algoritmo de Johnson
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Caminhos Mais Curtos entre Todos os Pares (APSPs) — Observações• Encontrar caminhos mais curtos entre todos os pares
de vértices• Se pesos não negativos
– Utilizar algoritmo de Dijkstra, assumindo cada vértice como fonte: O(V E lg V) (que é O(V3 lg V) se grafo é denso)
• Se pesos negativos – Utilizar algoritmo de Bellman-Ford, assumindo cada vértice
como fonte: O(V2E) (que é O(V4) se grafo é denso)
• Objectivo: Encontrar algoritmos mais eficientes
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APSPs — Definições
• Representação: utilização de matriz de adjacências • Pesos dos arcos: matriz (n x n) W = (wij)
• Representação dos caminhos mais curtos: matriz (n x n) D = (dij)– dij é o peso do caminho mais curto entre os vértices i e j
• dij = (vi,vj)
Ej,i e ji seEj,i e ji sej)(i, arco do peso
ji se0w ij
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APSPs — Definições
• Representação de caminhos mais curtos– Matriz de predecessores = (ij) ij:
• NIL: se i = j ou não existe caminho de i para j• Caso contrário: predecessor de j num caminho mais curto
de i para j – Sub-grafo de predecessores de G para i, G, i = (V, i, E, i)
• Sub-grafo induzido pela linha i de – Exemplo
iNIL:VjV iji,
{i}Vj:j,E i,iji,
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APSPs — Solução Recursiva
• Sub-caminhos de caminhos mais curtos são também caminhos mais curtos
• Peso mínimo em caminho de vértice i para vértice j que contém não mais do que m arcos: – Com m = 0, existe caminho de i para j se e só se i = j
– Para m 1,
)m(ijd
kj1m
iknk1kj1m
iknk1
1mij
mij wdminwdmin,dmind
ji seji se0
d 0ij
wjj = 0
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APSPs — Solução Recursiva
• Calcular sequência de matrizes D(1), …, D(n-1), onde– D(n-1) contém os pesos dos caminhos mais curtos– D(1) = W
• Complexidade: (n3) p/ cada matriz; Total: (n4)
Extend-Shortest-Paths(D,W)n = rows[W]D’: matriz (n x n)for i = 1 to n
for j = 1 to n
for k = 1 to n
return D’ kjik
'ij
'ij wd,dmind
'ijd
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APSPs — Solução Recursiva
• Genericamente: calcular D(i) em função de D(i-1) (e de W)• Complexidade para cálculo de D(n): (n4)
• OBS: é possível melhorar complexidade reduzindo número de matrizes calculadas: (n3lg n)– A cada iteração, calcular D(2i) em função de D(i) e de D(i)
• Exemplo
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APSPs — Algoritmo de Floyd-Warshall
• Caracterização de um caminho mais curto– Vértices intermédios de caminho p = v1,v2,,vk, {v2,,vk-1}
• Considerar todos os caminhos entre i e j com vértices intermédios retirados do conjunto {1,,k} e seja p um caminho mais curto (p é simples)– Se k não é vértice intermédio de p, então todos os vértices
intermédios de p estão em {1,,k-1}– Se k é vértice intermédio de p, então existem caminhos p1 e p2,
respectivamente de i para k e de k para j com vértices intermédios em {1,,k}
• k não é vértice intermédio de p1 e de p2
• p1 e p2 com vértices intermédios em {1,,k-1}
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APSPs — Algoritmo de Floyd-Warshall
• Formulação
1k sedd,dmin0k sew
d 1kkj
1kik
1kij
ijkij
i j
kp1
p2
Vértices entre1 e k-1
Vértices entre1 e k
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APSPs — Algoritmo de Floyd-Warshall
• Complexidade: (n3)• Exemplo
Floyd-Warshall(W)n = rows[W]D(0) = Wfor k = 1 to n
for i = 1 to nfor j = 1 to n
return D(n) 1k
kj1k
ik1k
ijk
ij dd,dmind
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Fecho Transitivo de um Grafo Dirigido
• Dado um grafo G = (V, E) dirigido, o fecho transitivo é definido por G* = (V, E*) tal que,
• Aplicação: autorizações de acesso
• Algoritmo:– Atribuir a cada arco peso 1 e utilizar algoritmo de Floyd-
Warshall• Se dij , então (i, j) E*• Complexidade: (n3)
G em j para i de caminho existe:j,iE*
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Fecho Transitivo de um Grafo Dirigido
• Outro algoritmo:– Substituir operações min e + por e , respectivamente– Se existe caminho de i para j com todos os vértices
intermédios em {1,2,…,k}, – Caso contrário, – Formulação:
– Complexidade: (n3) (mas constantes menores)– Exemplo
1t kij
0t kij
1k setttt 1kkj
1kik
1kij
kij
Ej,i ou ji se1
Ej,i e ji se0t 0
ij
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Fecho Transitivo de um Grafo Dirigido
Transitive-Closure(G)n = |V[G]|for i = 1 to n
for j = 1 to nif i = j or (i, j) E
else
for k = 1 to nfor i = 1 to n
for j = 1 to n
return T(n) 1k
kj1k
ik1k
ijk
ij tttt
1t 0ij
0t 0ij
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APSPs — Algoritmo de Johnson
• Utiliza algoritmos de Dijkstra e de Bellman-Ford• Baseado em re-pesagem dos arcos
– Se arcos com pesos não negativos, utilizar Dijkstra para cada vértice
– Caso contrário, calcular novo conjunto de pesos não negativos w’, tal que
• Um caminho mais curto de u para v com função w é também caminho mais curto com função w’
• Para cada arco (u, v) o peso w’(u, v) é não negativo
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APSPs — Algoritmo de Johnson
• Dado G = (V, E), com função de pesos w e de re-pesagem h: V R, seja w’(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v)
• Seja p = v0,v1,,vk. Então w(p) = (v0, vk) se e só se w’(p) = ’(v0, vk) = (v0, vk) + h(v0) - h(vk) – Existe ciclo negativo com w se e só se existe ciclo negativo
com w’ k0 vhvhpwp'w
k0k0
k
1ii1i
k
1ii1ii1i
k
1ii1i
vhvhpwvhvhv,vw
vhvhv,vw
v,v'wp'w
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APSPs — Algoritmo de Johnson
k0k0 v,v'p'wv,vpw
k0zk0z vhvhpwp'wp'wvhvhpw
Hipótese: existe pz, caminho mais curto de v0 para vk com w’Então: p'wp'w z
pwpw z O que implica
Mas p é caminho mais curto com w; contradição !
OBS: Para quaisquer caminhos p1, p2 entre v0 e vk, verifica-se w(p1) < w(p2) w’(p1) < w’(p2)
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APSPs — Algoritmo de Johnson
k0k0 v,v'p'wv,vpw
Semelhante:Admitir pz como caminho mais curto de v0 para vk com w(ou considerar observação anterior)
Existe ciclo negativo com w se e só se existe com w’
cwvhvhcwc'w k0
0cw;vv;v,,v,vc k0k10
Caminhos mais curtos e ciclos negativos inalteráveis com mudanças na função de pesos w’(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v)
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APSPs — Algoritmo de Johnson
• Dado G = (V, E), criar G’ = (V’,E’):– V’ = V { s }– E’ = E { (s, v) : v V }( v V, atingível a partir de s)– w(s, v) = 0
• Com ciclos negativos:– Detectados com algoritmo de Bellman-Ford aplicado a G’ !
• Sem ciclos negativos:– Definir: h(v) = (s, v)– Dado que: h(v) h(u) + w(u, v)– Verifica-se: w’(u, v) = w(u, v) + h(u) - h(v) 0 ! 24.10
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APSPs — Algoritmo de Johnson
• Executar Dijkstra para todo o u V– Cálculo de ’(u,v), para u V – Mas também,
’(u,v) = (u, v) + h(u) - h(v) (u,v) = ’(u, v) + h(v) - h(u)
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APSPs — Algoritmo de Johnson
Johnson(G)Representar G’if Bellman-Ford(G’,w,s) = FALSE
print “Indicar ciclo negativo”else
atribuir h(v) = (s, v), calculado com Bellman-Fordcalcular w’(u,v) = w(u,v) + h(u) - h(v) para cada arco (u,v)foreach v V[G]
executar Dijkstra(G,w’,u); calcular ’(u, v) duv = ’(u, v) + h(v) - h(u)
return D
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APSPs — Algoritmo de Johnson
• Complexidade:– Bellman-Ford: O(V E)– Executar Dijkstra para cada vértice: O(V (V + E) lg V)
• Assumindo amontoado (heap) binário
– Total: O(V (V + E) lg V)• Útil para grafos esparsos
• Exemplo
2003/2004 Análise e Síntese de Algoritmos 24
Revisão
• Caminhos Mais Curtos entre Todos os Pares (APSPs)– Definições– Solução recursiva– Algoritmo de Floyd-Warshall– Fecho Transitivo– Algoritmo de Johnson
• A seguir:– Fluxos máximos em grafos (CLR, Cap. 26)
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