(PPT) Aula 1 - fep.up.pt · PPT file · Web viewMatemática Financeira e Informática de Gestão Faculdade de Economia da Universidade do Porto 2010/2011 * * Análise de investimentos

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Matemática Financeira eInformática de Gestão

Faculdade de Economia da Universidade do Porto

2010/2011

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Primeira Aula

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Objectivos da Disciplina

• 1ª Parte (12 aulas)– Taxa de juro, capitalização e desconto– Instrumentos financeiros sem risco: depósitos

e créditos bancários; obrigações – Transformação de stocks financeiros em

fluxos financeiros (rendas / amortizações)– Medidas de desempenho de um investimento – os preços correntes e preços constantes

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Objectivos da Disciplina

• 2ª Parte (6 aulas)– Risco do negócio. Modelos estatísticos.– Instrumentos financeiros com risco: seguros,

acções e obrigações com risco de falha– Carteiras de activos: diversificação e

alavancagem

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Objectivos da Disciplina

• 3ª Parte (6 aulas)– Programação em R– Aplicações retiradas das primeira e segunda

partes do texto.– A linguagem de programação desenvolve a

capacidade de análise e é uma poderosa ferramenta na modelização dos problemas da Matemática Financeira.

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Avaliação

• Avaliação Contínua– Um teste sobre a 1ª parte (50% da nota)– Um teste sobre as 2ª e 3ª partes (50%)– Para fazer avaliação contínua têm que

frequentar 75% das aulas• Avaliação por Exame (2 épocas)

– O segundo teste é parte do exame– Mesmo fazendo o 1º teste, pode deitar fora e

fazer o exame contando a melhor nota

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Material de estudo

• Existem disponíveis em formato digital– Uma página

www.fep.up.pt/docentes/pcosme/MFIG.G106.2010

– um texto que segue as aulas– Um ficheiro excel com os exercícios do texto– As apresentações das aulas em Power Point– Cadernos de exercícios resolvidos

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Os contratos de débito/crédito=

contratos de mútuo

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O contrato de débito/crédito

• Existem três razões principais para a haver contratos de crédito.– O ciclo de vida das pessoas– Poder ocorrer um período de “desemprego”

ou de despesas acrescidas (e.g., doença)– O capital ser produtivo

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O ciclo de vida

• Uma das mais obvias razões para a existência de empréstimos é o ciclo de vida das pessoas.

– As pessoas precisam de consumir sempre– Existem longos períodos em que não têm

rendimento (quando crianças e “velhos”)

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O ciclo de vida

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O ciclo de vida

• As pessoas, quando crianças, não têm rendimento suficiente para sobreviver, pedindo recursos emprestados– Em média, é-se “criança” durante 20 anos

• Quando trabalham, pagam as dívidas (de criança) e poupam alguns recursos (para a velhice)– Em média, é-se activo durante 45 anos

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O ciclo de vida

• Quando reformados, não geram rendimento suficiente para sobreviver, mas têm os recursos que emprestaram– Em média, a reforma dura 15 anos

• Esses recursos vão-se esgotando

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O desemprego

• O trabalho é a fonte mais importante de rendimento das famílias

• E, de repente, qualquer pessoa pode ficar desempregada.– A probabilidade será de 10%/ano

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O desemprego

• E, depois, demora alguns meses a encontrar novo emprego– Em média, 12 meses

• E o salário é menor que o anterior – Inicialmente ganha-se menos 15%

• Será necessário poupar recursos para essa eventualidade. – Deverão ter uma poupança 12 salários.

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Cataclismos• Podem ocorrer imponderáveis

– O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder trabalhar e necessitando de tratamento médico.

– Pode ter um acidente de automóvel, necessitando de pagar a reparação.

– Pode ter um incêndio em casa.• É necessário ter uns activos de lado ou

pedir emprestado na adversidade

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O capital ser produtivo

• O trabalho torna-se mais produtivo se for auxiliado por capital– máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc.

• Se um indivíduo pedir emprestado dinheiro, pode comprar bens de capital e aumentar o seu rendimento– Mais tarde, pode devolver o capital pedido

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O capital ser produtivo

• Também existem bens que custam “muito dinheiro” e duram muito tempo– Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc.

• Estes bens “produzem” utilidade– As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis

para pedir empréstimos e pagar um pouco todos os meses.

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O empréstimo em dinheiro

• Numa sociedade “atrasada”, – Armazenam-se bens– Emprestam-se bens e serviços

• Numa sociedade com moeda, empresta-se dinheiro

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O empréstimo em dinheiro

• O armazenamento de recursos tem custos muito elevados– A roupa passa de moda– A comida estraga-se– Os carros enferrujam

• É vantajoso emprestar dinheiro e mais tarde tê-lo de volta para comprar bens e serviços

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O empréstimo em dinheiro

• Poupar dinheiro não é o mesmo que poupar recursos escassos

• Se poupamos dinheiro, nós deixamos de consumir recursos (bens e serviços)

• Mas, a quem emprestamos, vai consumir esses recursos que poupamos.

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O empréstimo em dinheiro

• Como as pessoas são heterogéneas, haverá sempre algumas que precisam de pedir dinheiro emprestado– As crianças, os desempregados e as vítimas

de acidentes– Os empreendedores

• Outras que precisam de guardar dinheiro– Os indivíduos activos e empregados.

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A taxa de juro

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A taxa de juro

• Quando eu empresto uma quantidade de dinheiro, não vou receber a mesma quantidade– A diferença denomina-se por JURO

• O Juro pode ser entendido como a remuneração de eu adiar o consumo, o custo de antecipar o consumo

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A taxa de juro

• Por exemplo, eu empresto 5000€ a um familiar e recebo daqui a 10 anos 7500€.

• Recebo o capital que são 5000€ mais os juros que são 2500€.

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A taxa de juro

• O juro, em tese, tanto poderá ser positivo como negativo.

• Há razões para justificar ser positivos e razões para justificar ser negativo

• Historicamente é positivo

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Taxa de juro

• Hoje faço anos e deram-me 1000€– Hipótese 1: entregam-mos agora.– Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos.

• Qual das hipóteses será preferível?

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Taxa de juro positiva

• Se for preferível a hipótese 1 então aceitamos uma taxa de juro positiva

– Podia depositá-lo a juros– O dinheiro vai desvalorizar– O doador pode morrer (e a oferta falhar)

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A taxa de juro

• É positiva por três razões– Existe uma remuneração real

• As pessoas preferem o presente ao futuro• O capital é produtivo: existem empreendedores• Há concorrência pelo capital escasso

– Há inflação• Os preços aumentam havendo necessidade de

corrigir esta perda de poder de compra– Há risco de incumprimento

• É uma lotaria

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Juro real

• Podia receber um juro real– O capital é produtivo.

• E.g., um agricultor se cavar com uma enxada consegue produzir mais do que se o fizer com apenas um pau.

– O capital é escasso– Quem precisar de capital estará disponível a

pagar uma remuneração positiva pelo empréstimo do capital.

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Juro real

– É preferível consumir hoje. – As pessoas preferem o Presente ao Futuro

• No Futuro estamos mortos• No Futuro estamos velhos pelo que não retiramos

tanta utilidade do consumo– Quem faz o sacrifício de não consumir no

presente precisa ser “remunerado”.– Quem tem o benefício de consumir o que não

tem (ainda) tem que “pagar”.

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Juro real

• Inicialmente tenho V0 euros– Supondo que os preços se mantêm e que

não existe risco, para uma taxa de juro r%– Terei no fim do período

V1 = V0(1+ r)

Ex., para V0 = 10000€ e r = 10%, terei

V1 = 10000(1+ 10%)=11000€

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Inflação

• O dinheiro vai desvalorizando• O valor do dinheiro resulta de podermos

comprar bens e serviços.– Como existe inflação (i.e., o preço dos bens

e serviços aumenta com o tempo), a quantidade de bens que posso comprar com um Euro diminui com o tempo.

– O valor do dinheiro diminui com o tempo

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Inflação

• Inicialmente tenho V0 euros• Os preços, em média, aumentam %.• Para no fim do período poder comprar os

mesmos bens e serviços terei que terV1 = V0(1+ )

Considerando o duplo efeito viráV1 = [V0(1+ r)](1+ )

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Inflação

• Por exemplo, quero uma remuneração real de 7.5% e uma correcção da inflação que é de 5%. Emprestando 5000€ quero receber

V1 = [5000(1+ 7.5%)](1+ 5%)

=5643.75€

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Segunda Aula

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Risco de incumprimento

– O Futuro é incerto. – Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar

receber o dinheiro mais os juros– Mas posso não receber nenhum deles

• Ou receber apenas parte– A obrigação pode não ser cumprida

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Risco de incumprimento

– Vamos supor que eu emprestei V0 euros e vou receber (penso eu) V1 euros.

– Existindo a probabilidade p de eu não receber nada, para, em média, ficar equivalente, terei que contratar uma taxa que corrija este riscoV0 = 0 x p + V1 x (1 - p)

V1 = V0 / (1 - p)

p>0 V1 > V0

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Risco de incumprimento

• O risco acresce à taxa de juro real e à correcção da taxa de inflação

V1 = {[V0(1+ r)](1+ )}/(1- p)

• Então, a taxa de juro contratada será i = (1+ r)(1+ ) / (1- p) - 1

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Risco de incumprimento

• Vamos supor que eu empresto – 1000€– pretendo uma taxa de juro real de 6%– a inflação prevista será de 8% – o risco de incumprimento é de 10%.

• Qual deverá que ser a soma prometida no fim do prazo?

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Risco de incumprimento

V1 = 1000 (1+ 6%)(1+ 8%) / (1- 10%)

= 1272€

A taxa de juro será 27.2%

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A taxa de juro

• Haverá razões para que a taxa de juro seja negativa?– O dinheiro que guardo em casa pode ser

roubado– Se houver poucas criancinhas e poucos

empresários, não há a quem emprestar dinheiro

• i.e., se não houver crescimento económico

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A taxa de juro

• Historicamente, os efeitos “negativos” são menores que os efeitos “positivos”– Há uma tendência secular de crescimento

económico

• Historicamente, a taxa de juro é positiva

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A taxa de juro

• Evolução da taxa de crescimento do PIB português 1910/2010 (fonte: Freitas, Miguel Lebre, 2004, “Acumulação de capital e crescimento económico em

Portugal: 1910-2000”, UA-WP, 20, Quadro 1)

0%1%2%3%4%5%6%7%

11/20 21/30 31/40 41/50 51/60 61/70 71/80 81/90 91/00 00/10

Tx.Cresc.PIB

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A taxa de juro

• As unidades de juro são em termos de unidades de capital por unidades de tempo.

• e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano– Seria uma taxa de juro de 10% por ano

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A taxa de juro

• Como o juro incorpora 3 elementos– A remuneração do capital (o juro real)– A inflação– O risco de não cobrança

• Em termos de taxas temos, num anoVfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)

1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)

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A taxa de juro

• Para valores de r, e p pequenos, é aceitável somas as 3 parcelas:

pripLnLnrLn

prLniLn

)1()1()1()1(

)1)(1()1(

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A taxa de juro

• Supondo que eu empresto 1000€, durante 1 ano.– A inflação (prevista) é de 5% ao ano– O juro real (acordado) é de 2% ao ano– O risco de não cobrança é de 3% ao ano

• Qual deve ser a taxa de juro?• Quanto dinheiro devo acordar receber?

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A taxa de juro

A taxa de juro deve ser de10.41%:1+i = (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)i =10.412%

Devo exigir receber (daqui a um ano)V1 = 1000 x (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)

V1 = 1104.12€

Os juros serão 104.12€.

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A taxa de juro

A soma das parcelas daria 10%0.05 + 0.02 + 0.03

A taxa calculada é 10.412%

Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor é a diferença

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A taxa de juro

• Assumir um juro proporcional à duração do tempo e à quantidade emprestada tem problemas– O risco de grandes somas é mais que

proporcional ao risco das pequenas somas• Por causa da diversificação do risco

– O risco de longos prazos é mais que proporcional ao risco dos curtos prazos

• O futuro distante é menos previsível

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A taxa de juro

• Mesmo assim, usa-se como referência para o juro uma taxa por unidade de tempo, normalmente o ano.– E.g. 4.47%/ano

• Podendo haver ajustamentos ao prazo e ao valor

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A taxa de juro

• Taxa EURIBOR– É a taxa de juro por ano que os bancos sem

risco (first class credit standing) emprestam euros entre si

– É uma referência nos contratos com taxa de juro variável (e.g., crédito à habitação).

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A taxa de juroEURIBOR a 6 meses entre 1-1-2008 e 30-4-2010

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A taxa de juroEURIBOR dependendo do prazo do contrato(Escalas: 30-06-2008 esquerda; 30-04-2010 direita)

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A taxa de juro

• Taxa EURIBOR

– Como é uma taxa sem risco, os particulares acrescem um Spread à sua taxa que é a previsão que o credor tem do risco de não cobrança de cada cliente.

– Os depositantes recebem menos que a EURIBOR – “pagam” os serviços bancários

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A taxa de juro

• Taxa de desconto do Banco Central– O BC controla a quantidade de papel moeda

em circulação,– i.e, controla o nível médio de preços– Não tem qualquer efeito real (monetaristas)

– Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a 4.5%/ano – denomina-se janela de desconto

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A taxa de juro

• Taxa de desconto do Banco Central não é uma boa medida da taxa de mercado sem risco– A cedência de liquidez é de “último recurso”.– Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1

ponto percentual– Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 p.p.(actualmente este aumento está suspenso)

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A taxa de juro

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Terceira Aula

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A taxa de juro

• O Credit Scoring é uma técnica de estimação da probabilidade de incumprimento.

• O Score é um índice que resulta de somar os efeitos de várias variáveis

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A taxa de juro

• Ex.1.3: assuma o seguinte score:– PJA: Proporção dos juros e amortizações no

rendimento mensal– PDP: Proporção das dívidas no património– IM: Idade média do casal

• Score = 100PJA + 25PDP + IM

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A taxa de juro

• score ≤ 80, o spread será de 0.75 pp• 80 < score ≤ 130, o spread será 1.75 pp • score > 130, o banco não concede crédito.

• Qual o spread de um casal, com 2M€/mês, património de 100M€, 26 + 30 anos, e que pedem 175M€ para comprar uma casa avaliada em 250M€?– Assuma uma prestação mensal de 6€/1M€.

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A taxa de juro

• Como o Score • p = 100x6x175/2000

+ 25.[175/(100 + 250)] + 28 = 95.1

está no intervalo ]80, 130], o spread será de 1.75pp.

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Capitalização e Desconto

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Capitalização

• A taxa de juro é referida a uma unidade de tempo, normalmente um ano. – Se a duração do contrato for de vários anos

mas os juros forem pagos no final de cada ano

– Estamos sempre a voltar à situação inicial.

• Esta é a situação dita normal.

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Capitalização

• Se os juros forem pagos apenas no fim do prazo contratado (de vários anos)

• Cada ano, o capital aumentará– Haverá lugar a juros dos juros não pagos.

• Esta é a situação capitalizada.

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Capitalização dita simples

• Neste caso, desprezamos os juros dos juros.• Cada ano, os juros são o capital inicial a

multiplicar pela taxa de juro anualJ = Vinicial i

• No final de n anos, receberemos Jtotal = Vinicial ni Vfinal= Vinicial +Jtotal = Vinicial (1+ ni)

itotal = n i

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Exercício

• Ex.1.4. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são pagos no fim do período, capitalização simples. – Spread de 2 pontos percentuais

• A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente.

• Qual a quantia a pagar?

70

Exercício

• R. Os juros serão J = 10M€(5.754% + 6.217% + 6.765%)

= 1873.60€

O capital final seráV = 10000€ + 1873.60€ =11873.60€.

71

Exercício

C3: =B3*B$1C6: =SUM(C3:C5)C7: =C6 + B1

72

Exercício

O saldo corrente de uma conta é remunerado à taxa de 2%/ano, capitalização simples, a creditar em 1Jan do ano seguinte.

Calcule o total dos juros para uma situação concreta.

73

Exercício

74

Exercício

E5: =A6-A5 F5:=D5*E5/B$2*B$1D6:=C6+D5C15: =SOMA(F5:F14)

75

Capitalização Composta

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Capitalização Composta• Neste caso, vamos considerar os juros dos

juros.• Cada ano, os juros acrescem ao capital

Jt+1 = Vt i

Vt+1 = Vt + Vt i = Vt (1+ i)

• No final de n anos, receberemos Vfinal=Vinicial (1 + itotal) = Vinicial (1 + i)n,

Vinicial (1 + itotal) = Vinicial (1 + i)n,

itotal = (1 + i)n - 1

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Exercício

• Ex.1.6. Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim do período com capitalização composta.

i) Qual o capital final a receberii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples.

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Exercício

• i) O capital final a receber será de 25000 (1 + 5%)5 = 31907.04€

• ii) A taxa de juro do contrato será (1+5%)5 –1 = 27.628% com capitalização simples seria menor

= 5x5% = 25%

79

Exercício

• Ex.1.7. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são postecipados, capitalização composta.

• A taxa de juro foi 5.754%/ano; 6.217%/ano e 6.765%/ano, respectivamente.

• Qual a quantia a pagar?

80

Exercício

• O valor a receber seráV(1+ 0.05754)(1+ 0.06217)(1+0.06765)=11992.78€

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Quarta Aula

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Exercício

• Ex.1.8. Durante o ano, um indivíduo no início de cada mês fez os seguintes movimento bancário: +250; +100; –50; +125;– 150; +250; –350; –25; –10; +50; 0; 200. Para uma taxa de juro constante de 0.165%/mês, determine o saldo da conta no fim do ano com capitalização mensal composta.

83

Exercício

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Exercício

• B1: =(1+B2)^12-1• C4: =B4; D4: =C2*B$2; E4: =C4+D4 e copiava• C5: = B5+E4 e copiava• F4: = =B4*(1+B$2)^(13-A4) e copiava• F16: =sum(F4:F15).

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Exercício

• B1: =(1+B2)^12-1• A taxa anual é a capitalização 12 meses

da taxa mensal

• Se fizesse =12* B2 tinha a taxa nominal– Capitalização simples

• Assim é a taxa efectiva

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Período de tempo fraccionário

• Na expressão da taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1

• O número de anos é inteiro.• No entanto, podemos extrapolar o conceito

de capitalização a fracções do ano.

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Período de tempo fraccionário

• Sendo que empresto 1000€ durante 3 meses a uma taxa anual de 5%/ ano, quanto vou receber de juros (c. composta):

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Período de tempo fraccionário

i = (1 + 5%)0.25 – 1 = 1,227% – 3 meses correspondem a 0.25 anos.

• Vou receber 12,27€ de juros

• Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha os 5%

(1 + 1.227%)4 – 1 = 5%

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Período de tempo fraccionário

• Ex.1.11. Num empréstimo de 100M€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital no fim do prazo acordado.

• Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?

90

Período de tempo fraccionário

• R. A taxa mensal será (1 + 5.735%)1/12 – 1 = 0.465796%

– Um mês corresponde a 1/12 anos

465.80€ de juros referentes ao mês

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Período de tempo fraccionário

• Ex.1.12. Num empréstimo a 5 anos, foi acordada uma taxa de juro total de 25%. Supondo que os juros são pagos trimestralmente, qual será a taxa de juro trimestral?

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Período de tempo fraccionário

• R. Um trimestre será 1/20 do período total do contrato pelo que a taxa de juro trimestral será dada por

(1 + 25%)^(1/20) – 1 = 1.122%/trimestre.

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Valor Futuro = Valor capitalizado

• O valor que uma soma de dinheiro do presente terá no futuro

• Traduz o total a pagar pelo devedor no final do prazo acordado: – valor futuro do capital emprestado.

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Valor Futuro

• Ex.1.13. Umas tias propõem-se a dar-vos agora 1000€ ou 1200€ quando acabarem a licenciatura. Supondo uma taxa de juro de 10%/ano, qual a soma de dinheiro mais apetecível?

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Valor Futuro

• R. O valor futuro dos actuais 1000€ daqui a 3 anos será 1000(1+10%)^3 = 1331€ que é maior que os 1200€ que então receberão

• Então, será melhor receber os 1000€ já.

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Valor Futuro

• Ex.1.14. Foram colocadas à venda obrigação do SCP de valor nominal de 5.00€ por 4.05€. Sabendo que o SCP resgata a obrigação ao par (i.e., paga os 5€) daqui a 3 anos com cupão zero, qual a taxa de juro desta aplicação?

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Valor Futuro

• R. O valor futuro dos 4.05€ do presente serão 5.00€ pelo que a taxa de juro resolve:

• será 7.277%/ano:

1)05.4/5(5)1(05.4 3/13 ii

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Quinta Aula7 Outubro

99

Valor Futuro

Ex.1.15. Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses.– As prestações são antecipadas

Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano, determine o valor futuro total das parcelas poupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses)?

100

Valor Futuro

O valor futuro de 1000€ depositados no início do mês i é

O valor futuro total valerá

que, resolvido no Excel, resulta em 66395.68 €.

12/)160(%)41.(1000 iiVF

60

1

12/)160(%)41(1000i

iVF

101

Valor Futuro

C2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copiava em coluna

C62: =Soma(B2:B61)]

102

Desconto

• Sendo que capitalizar é andar para a frente no tempo

• Descontar é andar no tempo para trás

• É, na taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1, assumir um número negativo de anos

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Desconto = Valor passado

• Em termos económicos, pode traduzir o valor passado de uma quantidade de dinheiro presente

– Eu recebi hoje 1000€ de um valor que emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o capital que eu emprestei?

104

Desconto = Valor actual

• Também pode traduzir o valor actual (no presente) de uma quantidade de dinheiro que vou ter disponível no futuro

€56.675%)41.(1000%)41.(1000 1010

VVV

105

Desconto = Valor actual

• No meu emprego, vão-me dar de prémio 100€, pagos daqui a 10 anos.

• Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses 100€ de daqui a 10 anos valem no presente

100€ x 1.06–10 = 55.84€.

106

Desconto = Valor actual

• Ex.1.16. Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio de 10000€. Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa de desconto é de 5% ao ano, qual será o seu valor actual?

107

Desconto = Valor actual

• Posso “vender” este activo e receber no presente 2313.77€ (a outra pessoa que tenha uma taxa de desconto <=5%).

€77.2313%)51.(10000 30

VV

108

Desconto = Valor actual

• Ex.1.19. Um indivíduo depositou num banco em 1940 uma soma. Sendo que esse banco devolveu 1milhão€ em 2008, qual terá sido a soma depositada?

109

Desconto – Valor actual

• R. Descontando 1milhão€ para 1940, temos = 96395.38€.

€38.96395%)5.31.(1000000 68

VV

110

Desconto = Valor actual

• Ex.1.18. Um sortudo ganhou numa lotaria um prémio e deram-lhe a escolher receber 350k€ agora ou 1000€ no fim de cada mês dos próximos 50 anos.

• Determine a taxa de juro implícita nesta opção

111

Desconto = Valor actual

R. Vou descontar cada um dos 1000€ ao presente, somá-las todas e aplicar a ferramenta atingir objectivo.

112

Desconto = Valor actual

B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3;C6: =B6*(1+B$2)^-A6; C4: =SOMA(C6:C605)

113

Desconto = Valor actual

Goal Seek = Atingir ObjectivoMenu Data+ Data Tools + what if analysis

114

Sexta Aula12 Outubro 2010

115

Pagamento da dívida Rendas / amortizações

116

Rendas

• Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida.

• 1) Os juros são pagos periodicamente e o capital é pago no fim do prazo contrato.

• 2) O capital mais os juros são pagos no fim do prazo contrato.

117

Rendas

• Vamos explorar uma outra possibilidade• É paga uma prestação em cada período• No final do prazo não há mais nada a

pagar– Cada prestação contêm juros e amortização do

capital

• Denominamos este plano como uma Renda

118

Rendas

• Uma renda transforma uma determinada soma de dinheiro num rendimento.

• Um stock num fluxo

119

Rendas

• As prestações podem ser– regulares ou irregulares no tempo – constantes ou variáveis no valor– haver ou não diferimento de alguns

períodos– terem duração limitada ou serem

perpétua

120

Rendas• Emprestamos um capital que recuperamos na forma

de uma renda – e.g., saiu-nos a lotaria e queremos um rendimento mensal

• Pedimos um capital que pagamos na forma de uma renda – e.g., um crédito à habitação que amortizamos mensalmente

• Pagamos uma renda que recebemos no final na forma de um capital – e.g., depositamos uma quantia mensal para comprar um barco

a pronto no futuro

121

Rendas

• Recebemos uma renda que pagamos no fim na forma de um capital – e.g., termos um rendimento mensal à custa de uma

herança que vamos receber no futuro

• Receber uma renda que pagamos na forma de renda – e.g., pagamos os estudos com um financiamento

mensal que amortizamos no futuro com uma prestação mensal.

122

Rendas

• Obtemos o valor actual da renda descontando todos os recebimentos ao instante de tempo presente.

• Para efeito de comparação, podemos usar outro instante de tempo qualquer mas tem que ser o mesmo para todas as prestações

123

Rendas

• Temos que clarificar o que é – um instante de tempo e – um período de tempo

• O tempo é uma linha contínua

124

Rendas

• Cada ponto é um instante de tempo– e.g., às 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010.

• Um intervalo de tempo é o segmento que medeia dois instantes de tempo, – e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia

15 de Janeiro de 2010 e as 12h00 do dia 15 de Julho de 2010.

• O instante final de um período é sempre o instante inicial do período seguinte. – e.g. o fim de 2010 é igual ao início de 2011.

125

Rendas• Ex.1.21.No sentido de se licenciar, um

estudante necessita uma renda antecipada cuja prestação mensal é de 300€/mês e a duração de 36 meses. Supondo uma taxa de juro de 5%/ano, utilize o Excel para calcular o valor actual dessa renda

126

RendasB4: =B$2 C4: =B4*(1+B$1)^-((A4-1)/12) e copiava

C40: =SUM(C2:C37).

Em vez de calcular a taxa de juro mensal, utilizei partes fraccionadas nos anos, (A4-1)/12.

127

Rendas

• Ex.1.22. O Jardel, aos 26 anos de idade, ganhava 300mil€ por mês.

• Poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e

• Receber, a partir dos 35 anos, 600 prestações mensais de 10000€ cada.

• Determine a taxa de juro implícita.

128

Rendas

• F2: =(1+F1)^(1/12)-1• C2: =B2*(1+$F$2)^-(A2-A$2) e copiava até C602; • F3: =Soma(C2:C602). • Definir F3 para atingir o valor 0 por alteração da

célula F1.

129

Rendas

• Ex.1.23. Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de 150mil€ à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar?

720.29€ / mês

130

Rendas

131

Rendas

• Na coluna A estão os meses, na B as quantias recebidas, na C as quantias descontadas ao presente

• B2: =E$3; C2: =B2/(1+$E$1)^A2 e depois copiamos ambas em coluna.

• C603: =Soma(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.• Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo

C603 para 0 por alteração de E3.

132

Conta corrente

• Ex.1.25. Vou referir cada prestação a um instante de tempo.

• Uns poupam, em média, 325€/mês para dar 750€/mês ao filho quando for para a universidade. Numa folha de Excel lancei a data e os movimentos (colunas A e B).

• A taxa de juro quando o saldo é negativo (taxa de juro activa) é de 5%/ano e quando os saldo é positivo (taxa de juro passiva) é de 2%/ano.

133

Conta corrente

C2: =B2 D2: =(A3-A2)/365 E2: =C2*((1+SE(C2>0;J$3;J$2))^D2-1)F2: =C2+E2 C3: =B3+F2 e copiava em coluna B84=-F2

134

Sétima Aula14 de Outubro 2010

135

Renda perpétua

• Numa renda perpétua, recebe-se uma prestação para sempre.

• Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim de cada período (i.e., postecipada), é uma situação idêntica a um depósito em que no fim de cada período, são pagos apenas os juros

136

Renda perpétua

• Como os juros de cada período valeriamJ = Vi

Com P e i podemos determinar o valor da renda (ou da taxa de juro implícita com P e V)

P = prestação, i = tx.juro, V = valor actual da renda

VPi

iPViVP

137

Renda perpétua

• Ex.1.26. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano, qual será o valor presente do terreno?

138

Renda perpétua

• R.mensal = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%• V = 50 / 0.407% = 12278.58€

139

Renda perpétua

• Ex.1.27. Um eucaliptal produz, a cada 10 anos, 12kg/m2 de madeira. Supondo um preço de 0.03€/kg de madeira e uma taxa de juro de 3%/ano, qual será o valor actual do eucaliptal?

140

Renda perpétua

• R. Calculo a taxa de juro por 10 anos, (1+3%)^10–1= 34.392%, e aplico essa taxa na expressão da renda perpétua postecipada:

• V = (120.03)/34.392% = 1.05€/m2.

141

Renda perpétua

• Se a renda for antecipada (a prestação é paga no princípio do período), teremos que somar a prestação inicial

)1( iiPV

iPPV

142

Renda perpétua

• Se houver deferimento de n períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada

• Só se começa a receber daqui a n+1 períodos pois a expressão p/i é para a renda postecipada

niiPV )1(

143

Renda perpétua

• Ex.1.29. Uma obrigação com o valor nominal de 100€ paga trimestralmente 1€ de cupão e o par (i.e., os 100€) mais o cupão do trimestre final ao fim de 10 anos. Determine a taxa de juro desta obrigação.

144

Renda perpétua

R. Como no fim do prazo recebemos o par, aplicamos simplesmente

V = P/i i = P/V = 1/100 = 1%/trimestre i = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano

Podemos confirmar no Excel que receber o Par no fim do prazo permite utilizar a expressão da Renda Perpétua

145

Renda de duração limitada

• Com o conhecimento da expressão da renda perpétua– Há quem lhe chame perpetualidade

• Podemos calcular o valor de uma renda de duração limitada

• Compondo duas rendas perpétuas: uma a somar e outra a subtrair

146

Renda de duração limitada

• Recebemos a prestação R entre o presente e o período N (postecipada).

• É equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e

• pagar uma renda perpétua a começar no período N,

• Descontado tudo ao presente.

147

Renda de duração limitada

])1(1[)1( NN iiPi

iP

iPV

Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada)?

Teremos que somar uma parcela.

Descontar menos um período

148

Renda de duração limitada

)1()1(1

)1()1(

)1(1

)1(

iiiP

iiPPV

N

149

Renda de duração limitada

• Ex.1.30. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno?

150

Renda de duração limitada

• Já não preciso do Excel

r = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300) = 12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€

• Mas podemos usá-lo para verificar

151

Renda de duração limitada

C2: =B2*(1+$D$2)^-A2 C302=sum(C2:C301)

152

Oitava Aula19 Outubro 2010

153

Renda de duração limitada

• Ex.1.31. o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações).

• Com essa poupança vai receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações).

• Para uma taxa de juro anual de 3%, quanto vai receber por mês?

154

Renda de duração limitada

• Vamos usar como instante de referência os 25 anos (acabados de fazer)

• Vamos somar – Duas rendas de duração limitada– Ou quadro rendas perpétuas

Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e meses para a renda

155

Renda de duração limitadaO resultado estava errado

mês

milx

x

mil

/€555,44600%)^247.01(1

120%)^247.01(120%)^247.01(1100

600%)^247.01(1%247.0

120%)^247.01(120%)^247.01(1%247.0

100

156

Obrigações a taxa fixa• Uma obrigação de taxa fixa consiste num

activo que condensa uma entrega inicial e recebimentos futuro.

• Recebe-se o “cupão” ao longo do tempo e o “par”) na remissão

• O valor da obrigação é o valor actual dos recebimentos futuros– Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr

de mercado

157

Obrigações a taxa fixa• Ex.1.33. Uma obrigação a 10 anos de

valor nominal de 100€ reembolsável ao par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10 anos) cupão sero, vai ser vendida em leilão.

• Para uma remunerado a uma taxa média de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o investidor está disponível a pagar?

158

Obrigações a taxa fixa• Vamos descontar os 100€ ao presente:

€52.48075.1100 10 V

159

Obrigações a taxa fixa• Passados 5 anos, qual será o valor da

obrigação?

• Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a desvalorização da obrigação?

160

Obrigações a taxa fixa• Já só faltam 5 anos para receber os 100€

• O aumento da taxa de juro desvaloriza a obrigação em 4.5%

€66.69075.1100 5 V

€50.66085.1100 5 V

161

Obrigações a taxa fixa• Se o investidor adquiriu a obrigação a

45€, qual a taxa de juro que pensava receber?

• E qual será se vender a obrigação depois da desvalorização?

162

Obrigações a taxa fixa• A taxa de juro prevista era

• E passou a ser

%31.8€45)1(100 10 iiV

%13.81)45/50.66(

)1(45/50.66

€45)1(50.66

5/1

5

i

iV

163

Nona Aula21 Outubro 2010

164

Obrigações a taxa fixa• Ex.1.34. Uma obrigação soberana (i.e.,

emitida por um Estado) a 50 anos emitida em 2010 cujo par é 1000€ paga um cupão anual de 25€ postecipado e o par mais o cupão no fim do prazo.

• Qual a taxa de juro da obrigação se for adquirida ao par?

165

Obrigações a taxa fixa

• Podemos simplificar a expressão obtendo uma renda perpétua:

100011000)1(125 5050 rrr

1000

25)1(11000)1(125 5050 rrrr

166

TAEG implícita no contrato

• TAEG – Taxa anual efectiva global • Actualmente, é obrigatório nos anúncios

(de venda a crédito) que seja afixado o preço a pronto pagamento e a taxa de juro implícita efectiva calculada com todas as despesas a incorrer pelo cliente (global)

167

TAEG implícita no contrato

• Ex.1.34. Um televisor (ppp de 1190€), a crédito “paga na entrega 119€ mais 12 prestações trimestrais de 100€. Tem que pagar no fim do primeiro ano mais 50€”.

• Determine a TAEG deste contrato de crédito.

168

TAEG implícita no contrato

• Podemos indicar algebricamente o resultado

• Mas o mais fácil é determina-lo no Excel

0)1(50))1(1(1001191190 412

iii

169

TAEG implícita no contrato

170

TAEG implícita no contrato

B2: = 1190-119; B3: 100; B6: -150C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copiar em coluna. C15: =Soma(C2:C14)Definimos a célula C15 para o valor 0

alterando E2.

• Se a EURIBOR for 5.5%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita neste contrato de crédito?

171

TAEG implícita no contrato

%879.4%)386.101/(%)5.51()1(

)1/(%)5.51(%386.101

pp

p

172

TAEG implícita no contrato

• Ex.1.36. Um anúncio dizia “Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€ mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%)”.

• Confirme a TAEG.

173

TAEG implícita no contrato

0])1(1[1505000

])1(1[1505000

])1(1[

60

ii

iiRV N

Tem que se determinar no Excel

174

TAEG implícita no contrato

%46.291)1(%175.2 12 iii anual

175

Preços correntes e constantes

176

Preços correntes e constantes

• A inflação (i.e., a subida generalizada dos preços dos bens e serviços) não tem efeito na afectação dos recursos escassos.

• Apenas a alteração dos preços relativos tem efeito.

177

Preços correntes e constantes

• O aumento dos preços é calculado para um cabaz de bens e serviços, sendo um valor médio (pesos de 2005).

B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5

Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preço médio 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €

178

Preços correntes e constantes

• Nesse sentido, calcula-se quanto o cabaz custava então e compara-se com quanto custa agora.

• Esse preço é normalizado a valer 100 no ano base (ou 1 ou 1000). B7: =B6/$B$6*100

• Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preços 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €IPC 100,00 103,79 107,80 106,67 101,22

179

Preços correntes e constantes

• Em teoria, o índice de preços refere-se a um instante de tempo

• Mas não é possível medir todos os preços no mesmo instante

• Então, é um valor médio do período IP20002010 = preço médio em 2010 na base 2000

180

Preços correntes e constantes

• O “preço médio” normalizado denomina-se por Índice de Preços no Consumo, havendo outros índices de preços– índice de preços na produção– índice de preços dos mais pobres– índice de preços do interior norte– índice de preços na construção– Etc.

181

Preços correntes e constantes

• Os preços dos bens ou serviços observados no dia a dia denominam-se de “preços correntes” (ou “preços nominais”) e variam ao longo do tempo.

• E.g., há um ano a gasolina custava deferente do que custa agora.

182

Preços correntes e constantes

• Os preços corrigidos da inflação denominam-se de “preços constantes” ou “preços reais”.

183

Preços correntes e constantes

• Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços.

• Temos os preços correntes do período J, PJ, que queremos em preços reais com base no ano T, PTJ

• PJ PTJ

184

Preços correntes e constantes

• PJ T, PTJ• Teremos os índices de preços dos

períodos na mesma base (e.g., T)• IP período T no ano base T, IPTT e

• IP período J no ano base T, IPTJ

185

Preços correntes e constantes

• Transformamos PJ PTJ• multiplicando o preço corrente pelo índice de

preços do período T, IPTT, e dividindo pelo índice de preços do período J, IPTJ:

• Não interessa a base do IP pois dá-se uma mudança de base.

JIPTIPPJJPT

TT

186

Décima Aula26 Outubro 2010

187

Preços correntes e constantes

• Ex.1.37. O preço de um frigorífico diminuiu de 178.50€ em 2006 para 169.90€ em 2010. Com IP20052006 = 101.61 IP20052010 = 102.86

Quais os preços na base 2005?Qual o preço de 2005 na base 2010?Qual foi a variação em termos nominais e

reais do preço?

188

Preços correntes e constantes

• R. em 2005 o IP vale 100 porque é o ano base

• P20052006 =178.50100/101.61 = 175.67€• P20052010 =169.90100/102.82 = 165.24€

• Para 2010 ocorre mudança da base• P20102006 =178.50102.82/101.61 = 180.73€

189

Preços correntes e constantes

• Em termos nominais temos 169.90/178.50 –1 = – 4.77% (169.90 – 178.50)/178.50 = – 4.77%

Em termos reais temosVariação = 165.24/175.77 –1 = –5.98%Var. média anual (1–5.98%)^(1/4) –1 = –1.53%/ano

190

Preços correntes e constantes

• Podíamos usar outro ano base qualquer• E.g, 2010

Variação = 169.90/180.73 –1 = –5.98%

191

Preços correntes e constantes

• Ex.1.38. O salário mínimo em 1974 era de 16,46€ e em 2010 é de 475,00€.

• IPC20001974 é 4.003 e

• IPC20002010 é 126,62.• compare, em termos reais (de 2010), o

poder aquisitivos do SM nesses dois anos e a taxa de variação anual em termos nominais e reais.

192

Preços correntes e constantes

• Se quiséssemos comparar em termos de preços reais do ano 2010 fazemos

• os 16.46€ de 1974 valem a preços de 2010

• SM20101974= = 520,65€• Que é maior que os actuais• SM20102010 = 475€

003.462,12646.16

193

Preços correntes e constantes

• R. Relativamente à taxa de variação, no espaço de 36 anos, em termos nominais o SM aumentou

(475/16.46)^(1/36)–1 = 9,79%/ano

• em termos reais, diminuiu (15.02/16.46)^(1/36) –1 = –0,25%/ano.

194

Preços correntes e constantes

• A taxa de inflação é calculada pelo INE com base no IPC e tem periodicidade mensal.

• Taxa de inflação homóloga – compara o IPC do mês corrente com o IPC do mês igual do ano anterior.

• Taxa de inflação média – é a média das 12 taxas de inflação homóloga.

•

195

Preços correntes e constantes

• Taxa de inflação acumulada – é a variação percentual do IPC desde o princípio do ano.

• A taxa de inflação mensal anualizada – é a variação percentual entre o IPC no mês anterior e o IPC no mês actual anualizada: (1+π)12-1.

• A taxa de inflação em cadeia – é a taxa de inflação mensal (ou trimestral) sem anualizar

196

Preços correntes e constantes

• Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC valia 128.7 e em Março 2006 passou a valer 131.4,

• então a taxa de inflação homóloga de Março entre estes dois “instantes” foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%.

197

Preços correntes e constantes

• Interessará retirar a inflação da análise de equivalência das somas de valores dinheiro obtidas em instantes de tempo diferentes.

• E.g., precisamos saber se a renda de 60mil€ mensais dará ou não para comprar alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos.

198

Taxa de inflação

• Como a taxa de inflação é calculada com o índice de preços, podemos utilizá-la na transformação de preços correntes em preços reais

• Ou mesmo refazer o IPC

11

11 1...11

nTTTT

TnT pp

199

Taxa de inflação

• Sendo IPT e, IPT+1

os índice de preços no período T e T+1, respectivamente

• Também calculamos a taxa de inflação durante o período T+1, T+1 , por:

1111

T

TTT IP

IPIPIPIP

200

Taxa de inflação

• Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia 128.7 e em 2006 valia 131.4, então a taxa de inflação em 2005 foi de

131.4/128.7 – 1 = 2.1%.

Neste exemplo, 128.7 refere-se à média do IPC de Jan., Fev., …, Dez. de 2005

201

Décima primeira Aula

28 Outubro 2010

202

Preços correntes e constantes

• Se o preço corrente de um bem em 2006 foi de 150€, podemos saber a quanto correspondia em 2005 em termos reais (constantes) descontando este preço com a taxa de inflação

• O preço do bem, a preços de 2005, seria

€92.146%1.21150 12005

2006 p

203

Preços correntes e constantes

• O preço de um bem era p2005 = 1.25€ e passou para p2006 = 1.30€. Sendo que em 2005 a inflação foi de 2.1%, em termos reais, será que o preço deste bem aumentou (em termos reais)?

204

Preços correntes e constantes

• O preço, em termos reais, aumentou 1.86%:

%86.11250.1/273.1

€273.1%1.2130.12006 12005

p

205

Preços correntes e constantes

• Para transformar preços correntes do período T+n em preços constantes em referência ao período T, sabida a taxa de inflação para cada um dos n–1 períodos, temos:

111 1...1)()(

nTTT nTpnTp

206

Preços correntes e constantes

• Como a taxa de inflação é calculada “em cadeia”, a partir do Índice de Preços:

• Memorizar que se o IPC aumenta, o preço real diminui.

J

TJTJ

IPIP

pp

207

Salário Mínimo NacionalA preços correntes e constantes

208

Salário Mínimo NacionalA preços correntes e constantes

E3: =C4*$B$4/B4; F3: =D4*$B$36/B4 E copiava ambas as expressões em coluna

209

Preços correntes e constantes

• Ex.1.42. No exercício 1.31, vimos que o planeamento da reforma do Figo se traduz numa prestação mensal a preços correntes de 44665€ até aos 85 anos.

• Prevendo-se uma taxa de inflação de 2% ano,

• i) Determine a preços constantes de agora, qual será o valor desse prestação (faltam 50 anos).

210

Preços correntes e constantes

• Vamos descontar 44665€ ao presente com a taxa de inflação de 2%/ano como taxa de desconto:

• Em termos reais, corresponde a apenas 37% do valor nominal.

€16594%)21(44665 50 R

211

Preços correntes e constantes

• Ex.1.42.ii) Supondo as mesmas entregas, determine um plano de reforma que mantenha o poder aquisitivo (igual em termos reais).

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Preços correntes e constantes

• Posso fazer a análise

• a “preços correntes” aumentando as prestações na taxa de inflação prevista

• Ou a “preços constantes” retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal

• Este “nominal” não é o mesmo conceito de quando falamos de capitalização

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Preços correntes e constantes

• Fazemos a análise a preços reais retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal. A taxa de juro real mensal é 0.0813%= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.

€05,29453000813.11

000813.013945

13945)000813.11(0008135.0

600

xx

x

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Preços correntes e constantes

• A “preços correntes”, uso o Excel:

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Preços correntes e constantes

• B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3; • C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos

em coluna; • C603: =Soma(C2:C602) e usamos a

ferramenta “Atingir objectivo”, definir a célula C603 para o valor 0 por alteração da célula E1

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Preços correntes e constantes

• Eu ter retirado a taxa de inflação à taxa de juro nominal (“preços constantes”) e deu o mesmo resultado

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