Aula 8 dedução das equações de conservação. sistema físico modelo de camadas múltiplas...

Aula 8

dedução das equações de conservação

sistema físico

• modelo de camadas múltiplas

[ 4 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

hb

h

Yb

transporte em suspensão

transporte por arrastamento

camada de mistura

substrato

h = hs + hb: profundidade do escoamentohs : espessura da camada de transporte em suspensãohb : espessura da camada de transporte por arrastamentoLa : espessura da camada de mistura

Yb : cota do fundo

La

sistema físico

• modelo de camadas múltiplas

[ 4 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

hb

h

Yb

transporte em suspensão

transporte por arrastamento

camada de mistura

substrato

h = hs + hb: profundidade do escoamentohs : espessura da camada de transporte em suspensãohb : espessura da camada de transporte por arrastamentoLa : espessura da camada de mistura

Yb : cota do fundo

La

• teorema do transporte de Reynolds (#1)

sist c 0 c 0

0 00

( ) ( )

d 1( , ) d lim ( , ) d ( , ) d

d tt t t

e t e t t e tt t

x x x

c 0( )t t

c 0( )t t

sist c 0( )t

sist c 0( )t

modelo conceptual

sist

d( , ) d ( , )

de t t

t

x x

sist

d( , ) d 0

de t

t

x

ausência de fontes ou sumidouros

dada uma grandeza extensiva e

modelo conceptual

• teorema do transporte de Reynolds (#1)

c 0 c 0

0 00

( ) ( )

1lim ( , ) d ( , ) dt

t t t

e t t e tt

x x

c 0( )t t

c 0( )t t

sist c 0( )t

sist c 0( )t

c 0 c 0 c( ) ( )t t t

c 0 c 0 c( ) ( )t t t

c 0 c c 0

0 0 00

( ) ( )

1lim ( , ) d ( , ) d ( , ) dt

t t

e t t e t t e tt

x x x

modelo conceptual

• teorema do transporte de Reynolds (#1)

c 0( )t t

c 0( )t t

sist c 0( )t

sist c 0( )t

c 0

c

0 00

( )

00

1lim ( , ) ( , ) d

1lim ( , ) d

tt

t

e t t e tt

e t tt

x x

x

c 0 c 0 c

0 0 00

( ) ( )

1lim ( , ) d ( , ) d ( , ) dt

t t

e t t e t e t tt

x x x

primeira parcela:

c 0

c

0 00

( )( )

1lim ( , ) ( , ) d

( ) d

t

tt

e

t

e t t e tt

e

x x

modelo conceptual

• teorema do transporte de Reynolds (#1)

c 0( )t t

c 0( )t t

sist c 0( )t

sist c 0( )t

c

00

1lim ( , ) dt

e t tt

x

segunda parcela:

d

0(

)

t

t

r

n

τ

0( )trp

0 0( ) ( )t t t r r r

n τ

p r

modelo conceptual

• teorema do transporte de Reynolds (#1)

c

00

1lim ( , ) dt

e t tt

x

segunda parcela:

d

0(

)

t

t

r

n

τ

0( )trp

r

p

d

r

0(

)

t

t

r

n

τ

0( )tr r n n

d τ p r

x yn n n i jyx

x y

nnn n τ i j i j

n n

x y

p i jr r

x y r i j

x yx y

n n

τ p i jr r

r

τ p nr

τ p r r n

d r n

d d τ p r r n

modelo conceptual

• teorema do transporte de Reynolds (#1)

c

00

1lim ( , ) dt

e t tt

x

segunda parcela:

d

r

0(

)

t

t

r

sr n n0( )tr

d r n

d

dsr n n

d d ds r n

0,1s

c 0

1

00

( ) 0

1lim ( , ) d dt

t

e t t st

x n r

c 0

1 22 3

00

( ) 0

lim ( , ) O d d2t t

tt

te t e t e t s

t

rx n

c 0

1

0 c

( ) 0

( , ) d dt

e t s

x v nc 0

c

( )

dt

e

v n

2

2 30 0

0lim ( , ) O ( , )

2t tt

te t e t e t e t

x x

c0

limt t

r

v

sist c 0( )t

sist c 0( )t

modelo conceptual

• teorema do transporte de Reynolds (#1)somando as duas parcelas:

c

c d 0e

v n

c

( ) dt e

sist

d( , ) d 0

de t

t

x

• teorema do transporte de Reynolds (#2)

c 0( )t t c 0( )t t

sist 0( )t t

sist 0( )t t

cv

sv

rv

volume de controlo não coincide com o sistema em t = t0 + t

r s c v v v velocidade do fluido relativamente à fronteira do volume de controlo

sist c 0( )t

sist c 0( )t

modelo conceptual

• teorema do transporte de Reynolds (#2)

sist

d( , ) d 0

de t

t

xc 0( )t t c 0( )t t

sist 0( )t t

sist 0( )t t

cv

sv

rv

sist 0 c 0

0 00

( ) ( )

1lim ( , ) d ( , ) dt

t t t

e t t e tt

x x

c 0 c 0 c( ) ( )t t t

sist 0 c 0 sc( ) ( )t t t t

c 0 c sc c 0

0 0 0 00

( ) ( )

1lim ( , ) d ( , ) d ( , ) d ( , ) dt

t t

e t t e t t e t t e tt

x x x x

modelo conceptual

• teorema do transporte de Reynolds (#2)

c c c

c rd d d 0t e e e

v n v n

c 0 c sc

0 0 0 00 0

( )

1 1lim ( , ) ( , ) d lim ( , ) d ( , ) dt t

t

e t t e t e t t e t tt t

x x x x

sc c 0

1

0 0 sc0 0

( ) 0

1 1lim ( , )d lim ( , ) d dt t

t t

e t t e t t st t

x x n r

c 0

0

1

0 sc01

lim ( ) 0

1lim ( , ) d d

t

tt t

t

e t t st

x n r

c 0 c 0

1

0 r 0 r

( ) 0 ( )

( , ) d d ( , ) dt t

e t s e t

x n v x n v

notar que:

sist

d( , ) d

de t

t

x

se c0

lim ( )t

t t

modelo conceptual

• teorema do transporte de Reynolds (#2)

c c c

c rd d d 0t e e e

v n v n

sist

d( , ) d

de t

t

x

c c c

cd

d d ddt e e et

v n

por definição:

sist

d( , ) d 0

de t

t

x

c c

rd

d d 0d

e et

v n

modelo conceptual

• conservação da massa na camada [1]

sist

dd 0

d st

considerando que não há fontes ou sumidouros e que e = s(1) (massa volúmica aparente dos sedimentos

transportados em suspensão)

[ 4 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

hb

h

Yb

transporte em suspensão

transporte por arrastamento

camada de mistura

substrato

La

exemplo: sedimentos transportados em suspensão

fronteiras móveisfronteiras fixas

(1) (1) ( )

(1) (1)r

dd d 0

ds

s st

u n

• conservação da massa de sedimentos

[ 4 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

hb

h

Yb

transporte em suspensão

transporte por arrastamento

camada de mistura

substrato

La

sedimentos transportados em suspensão

(1) (1) ( )

(1) (1)r

dd d 0

ds

s st

u n( ) ( )

r 1( , )s su x x t u n

( )

r 0s u n( ) ( , )su x t

n

n n

n

( ) ( )

r 2( , )s su x x t u n

2,1 1,2

(1)ˆsC

(1) ( ) (1) (1) 3

areia

ˆ ˆˆ 2650 kg mgs s sC C

(1)(1)

(1)ˆ s sw

s sww

qC C

q

2 2

(1) (1) ( ) (1) ( ) (2) (1)

(1) (1) (1)1 1 2 1

2,1 1,2

( , ) ( , ) ( , )

dˆ ˆd d d d d 0

ds s

x x

s s s s s

x S x t S x t S x t x

S x u S u S B B xt

taxa de variação local fluxo fronteira fixa 1 fluxo fronteira fixa 2 fluxo fronteira fundo

modelo conceptual

B largura do canal

• conservação da massa na camada [1]

2 2 2

( ) (1) ( ) ( )

1 2

1 1 1

d ˆ d d dd

g g g

t x t

w s sw w w sw w wx xt x t

Bh C x t B C h u B C h u tt

2 2

( ) (2) ( ) (1)

1 1

2,1 1,2ˆ ˆ d d 0g g

t x

s s

t x

B C B C x t

2 2

(1) (1) ( ) (1) ( ) (2) (1)

(1) (1) (1)1 1 2 1

2,1 1,2

( , ) ( , ) ( , )

dˆ ˆd d d d d 0

ds s

x x

s s s s s

x S x t S x t S x t x

S x u S u S B B xt

modelo conceptual

(1) (1)

(1) ( , )

ˆds s w

S x t

S h B (1) ( ) (1) ( ) (1)

(1)

ˆds s

s s w s w w

S

u S u h B u h B considerando que

e integrando no tempo, fica

(1) ( ) (1)ˆˆ g

s sC

note que, porque não há segregação entre os sólidos transportados em suspensão e o fluido,(1)

(1)(1)

ˆ s sws sw

w

qC C

q

(1) ( ) (1) ( )ˆˆ g g

s s sw swC C

( )g

sw swC

sedimentos transportados em suspensão• conservação da massa na camada [1]

modelo conceptual

eliminando a largura do canal, B, e a massa volúmica dos grãos, (g), e considerando que

que

2 2

(1) (1)

1 1

2d

ˆ ˆd dd

x x

w s t w s t

x x

h x h x xt

(1)

21ˆw s tx

h x 2

(1) (1)

1

1

ˆ ˆ d

x

w s t w sxx

h h x regra de Leibnitz

2

1 2

1

d

x

sw w w sw w w x sw w wx xx

h u h u h u x teorema fundamental do cálculo

e que

2 2

( ) (2) ( ) (1) ( )

1 1

2,1 1,2 2,1ˆ ˆ d dg g g

x xnet

s s s

x x

C C x x

2 2 2

( ) (1) ( ) ( )

1 2

1 1 1

d ˆ d d dd

g g g

t x t

w s sw w w sw w wx xt x t

Bh C x t B C h u B C h u tt

2 2

( ) (2) ( ) (1)

1 1

2,1 1,2ˆ ˆ d d 0g g

t x

s s

t x

B C B C x t

sedimentos transportados em suspensão• conservação da massa na camada [1]

2 2 2 2

(1)

1 1 1 1

ˆ d d d d

t x t x

t w s x sw w w

t x t x

h C x t C h u x t 2 2

1 1

2,1d d 0

t xnets

t x

x t

modelo conceptual

considerando que o espaço de integração é não nulo

equação de conservação da massa de sedimentos transportados em suspensão na forma integral

(1)ˆt w s x sw w wh C C h u 2,1 0net

s

equação de conservação da massa de sedimentos transportados em suspensão na forma diferencial

cumprindo um processo idêntico ao anterior, a equação da massa de água na camada de transporte em suspensão é

(1)ˆ1 1t w s x sw w wh C C h u 2,1 0netw

notar que massa volúmica aparente da água é (1)

(1) (1) (1) (1)

(1) (1) (1)ˆ1 1w s s

sC

• conservação da massa na camada [1]

• conservação da massa de sedimentos

[ 4 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

hb

h

Yb

transporte em suspensão

transporte por arrastamento

camada de mistura

substrato

La

sedimentos transportados por arrastamento

(2) (2) ( )

(2) (2)r

dd d 0

ds

cb cbt

u n

nn n

n3,2 2,3 0

(2)ˆcC

(2) ( ) (2) (2) 3

areia

ˆ ˆˆ 2650 kg mgc c cC C

(2)(2)

(2)ˆ c

cC

equação de conservação dos sedimentos transportados por arrastamento na camada [2]

modelo conceptual

• conservação da massa na camada [2]

2,1 1,2

cbcb

b

qC

q

( ) 3

areia2650 kg mg

cb cb cbC C

(2)ˆt b c x cb b bh C C u h 02,3 net

c

nota: (2)ˆc cbC C como os sedimentos grosseiros e a água têm velocidades diferentes (há

segregação) “depth-averaging” e “flux-averaging” são conceitos diferentes!

modelo conceptual

• conservação da massa na camada [2]consequências da segregação de sedimentos grosseiros transportados por arrastamento

( )wu( )su

( )gu

( ) ( ) ( )g s wu u u

( )(2)

(2)

2ˆg

ccC

( )(1)

(1)

5ˆg

ssC

( ) ( )(2)

(2) (2)

1 ˆg g

c ccb c

tC C

t

( )wu

( ) ( )(1)

(1) (1)

5 5 ˆg g

s csw s

tC C

t

(2) *

*

ˆ1 1

cbc

cb

CC

C

prova-se que

em que ( )

( )*

w

g

u

u

e, para concentrações baixas, que

(2)*

ˆc cbC C

modelo conceptual

• conservação da massa na camada [2]súmula de equações de conservação da massa

(2)ˆt b c x cb b bh C C u h 02,3 net

c

(2)ˆt b s x sb b bh C C u h 3,2 2,1 0net net

s s

(2) (2)ˆ ˆ1 1t b s c x sb cb b bh C C C C u h 3,2 2,1 0net netw w

sedimentos grosseiros

sedimentos finos

água

• conservação da massa no leito

3,2 3,2(1 ) 0net nett b s cp Y sedimentos

3,2 0nett b wp Y água

modelo conceptual

• conservação da massa totalmassa total na camada [1]

t b x b bh u h 3,2 2,1 0net net

3,2 0nett bY

(1)ˆt w s x sw w wh C C h u 2,1

nets (1)ˆ1 1t w s x sw w wh C C h u 2,1 0net

w

t w x w wh h u 2,1 0net

massa total na camada [2]

massa total no leito

massa total no sistema

t w b t b x w w b bh h Y h u h u 2,1net

3,2 2,1 3,2 0net net net

0t t b xh Y hu 0t xY q

(1)

sist sist sist

(1)d dd d

d d s M SP St t

u f f d

(1) (1) (1)

(1) (1) (1) (1) (1)

rd

d d d d dd s s su S S S

t

u u n g p T

modelo conceptual

• conservação da quantidade de movimentoexemplo: camada [1]

(1) ( ) (1) ( ) (1)1g w

s s sC C

p T

taxa de variação temporal da quantidade de movimento (forças de inércia)

forças de massa

forças no contorno

variação local variação convectivaforça da gravidade

forças de pressão (normais)

forças tangenciais

g : aceleração da gravidade

: pressão : tensões tangenciais

hipótese fundamental: as camadas são meios contínuos

( ) (1) ( ) ( ) (1)w w w

s ss C C águasólidos (1) ( ) (1)1 ( 1)w

s ss C

[ 4 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

hb

h

Yb

La

( )

1( , )su x x t

n

n n

n

( )

2( , )su x x t

2,1b bu 1,2s wu

modelo conceptual

• conservação da quantidade de movimento [1]

g

sen( )g

2P1P

2,1

- forças de inércia

- forças de pressão

- força da gravidade

- forças de resistência

- outras forças tangenciais

2

(1) (1) (1)

(1) (1)1

rd

d d dd

t

s s

t

u S tt

u u n

2 2 2 2

1 1 1 1

2d d ' d d

t x t x

t w s w x w s w

t x t x

B h u x t B h u x t membro esquerdo, segundo x:

2 2

1 1

2,1 2,1 d

t x

s w b b

t x

B u u x

modelo conceptual

• conservação da quantidade de movimento [1]

membro direito, segundo x:2

(1) (1) (1)1

d d d d

t

s

t

S S t

g p T

2 2

1 1

d d

t x

x s w

t x

B g h x t

2

1 21

2 21 12 2

d

t

s s s sx x

t

Bg h h t

2 2

1 1

2,1d d

t x

t x

B x t

1 2 1 2

1 1 1 1

212

sen( ) d d d d

t x t x

s w x s w

t x t x

B g h x t gB h x t 2 2

1 1

2,1d d

t x

t x

B x t

força da gravidade

forças de pressão

forças de resistência

modelo conceptual

• conservação da quantidade de movimento [1]

2 2 2 2

1 1 1 1

2d d ' d d

t x t x

t w s w x w s w

t x t x

h u x t h u x t 2 2

1 1

2,1 2,1+ d

t x

b b s w

t x

u u x

1 2 1 2

1 1 1 1

212

sen( ) d d d d

t x t x

s w x s w

t x t x

g h x t g h x t 2 2

1 1

2,1d d

t x

t x

x t

eliminando a largura do canal (canal prismático ou cilíndrico)

a equação de conservação da quantidade de movimento na forma diferencial obtém-se considerando que o espaço de integração é não-nulo

2't w s w x w s wh u h u 2,1 2,1+b b s wu u 21

2sen( ) s w x s wg h g h 2,1

e que ' 1 sen( ) x bg Y

2t w s w x w s wh u h u 21

2,1 2,1 2,12x s w x b s w b b s wg h g Y h u u

modelo conceptual

• conservação da quantidade de movimento [2]

2 2 2 2

1 1 1 1

2d d d d

t x t x

t b b b x b b b

t x t x

h u x t h u x t 2 2

1 1

2,1 2,1 3,2 d

t x

b b s w b b

t x

u u u x

1 2 1 2

1 1 1 1

212

sen( ) d d d d

t x t x

s w x b b s w b

t x t x

g h x t g h h h x t 2 2

1 1

1,2 2,3 d d

t x

t x

x t

seguindo um procedimento idêntico ao anterior obtém-se a eq. cons. na forma integral

a equação de conservação da quantidade de movimento na forma diferencial é

2 212t b b b x b b b x b b s w b b b x bh u h u g h h h g h Y

2,1 2,1b b s wu u 1,2 2,3

modelo conceptual

• súmula das equações de conservação das camadas de transporte e do leito

2 212t b b b x b b b x b b s w b s w x bh u h u g h h h g h Y

2,1 2,1b b s wu u 1,2 2,3

2t w s w x w s wh u h u 21

2,1 2,1 2,12x s w x b s w b b s wg h g Y h u u

0t t b xh Y hu

3,2(1 ) 0nett b sp Y

k kt w s x s w wh C C h u 2,1 0

k

nets

*k k kt b b x b b bh C C u h 3,2 2,1 0k k

net nets s

nota: entre eq. de conservação dos sedimentos (S), a eq. de conservação da água (W) e a eq. de conservação da massa total (T) só 2 equações são independentes (T=S+W). usa-se a eq. de conservação da massa total e não a da água.

* 1k

nota: sempre que as fracções correspondentes não segregarem.

massa total

massa de sedimentos, leito

massa de sedimentos, fracção k, camada [1]

massa de sedimentos, fracção k, camada [2]

quantidade de movimento da mistura, camada [1]

quantidade de movimento da mistura, camada [2]

modelo conceptual

• camada de mistura

[ 4 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

hb

h

Yb

La n

nnota: a camada de mistura age como um filtro

Hipóteses: - não há movimento longitudinal

- fluxos de massa são exclusivamente verticais

- existe mistura instantânea do material entrado nesta camada

3,2(1 ) (1 ) 0k k

nett a k I t b sp L F p f Y

kI kf facumulação da fracção k

fluxo da fracção k através da fronteira inferior

fração no substratokf k

fração na camada de transporte

por arrastamentokp k

fração na camada de misturakF k

fração na fronteira inferiorkIf k

erosão

1kI I k I kf p F deposição

fluxo da fracção k através da fronteira superior

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho

h

wu

bu

bY

kF

ksC

kbC

variáveis dependentes: : profundidade do escoamento

: velocidade média na camada de transporte em suspensão [1]

: velocidade média na camada de transporte por arrastamento [2]

: cota do fundo

: concentração de sedimentos da fracção granulométrica k em [1]

: concentração de sedimentos da fracção granulométrica k em [2]

: percentagem da fracção granulométrica k na camada de mistura

4 + 3(k-1) variáveis dependentes para 4 + 3(k-1) equações!

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho

3,2k

nets

2,1k

nets

1,2

2,3 b

2,11,2

equações de fecho: : fluxo da fracção k entre o fundo e a camada de transporte [1]

: fluxo da fracção k entre as camadas de transporte [1] e [2]

: velocidade média vertical entre as camadas [1] e [2]

: tensão de arrastamento de [2] para [1]

: tensão de arrastamento de [1] para [2]: tensão de arrastamento junto ao fundo

aL : espessura da camada de mistura

kIf : percentagem da fracção k entre a camada de mistura e o fundo

bh : espessura da camada de transporte por arrastamento

w bh h h

kb b

k

C C ks s

k

C C 1k

k

F ( ) 1 ( 1)w

X Xs C

, 1k

nets a b

k

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho

2*b u

equações de fecho, exemplos:

: coeficiente de resistência; calcular com uma fórmula apropriada de resistência e.g., só resistência do grão (tipo Keulegen, Einstein, etc...), ou resistência do grão e de forma (Garde e Raju, Brownlie, Ackers et al., Van Rijn).

90 fundo liso

rugas, dunas e antidunasbd

h

: espessura da camada de transporte por arrastamento com ou sem formas de fundo.

2*

fu

Cu

2b fC u

2grão forma

* *' ''u u

u

90 fundo liso

rugas, dunas e antidunasad

L

: espessura da camada de mistura com ou sem formas de fundo.

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho

* **

3,2 * * **

k k k kk k k

k

k

b b b b b b b b b bb b cbnets b

bcb

h u C h u C h u C qC C uh

uu

equações de fecho, exemplos:

: caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte (e.g., Einstein, Meyer-Peter & Mueller, Van Rijn, etc...).

3,2(1 ) 0nett b sp Y

*

**

(1 )k kb b b b

t b

h u C qp Y

*kbq

deposição:

*k kb b b bh u C q *

k kb b b bh u C q

erosão: equilíbrio:

*k kb b b bh u C q

0t bY 0t bY 0t bY

nota: deve incorporar um critério de sobreexposição/ocultamento (exposure/hiding). exemplo, na fórmula de Meyer-Peter & Mueller:

32* 8

k kb k k cq Y Y 50k

k

correctedc

kc k

Y d

Y d

mobilidade indiferente: = 0

modelo conceptual• granulometria uniforme, equações de conservação

2 212t b b b x b b b x b b s w b b b x bh u h u g h h h g h Y

2,1 2,1b b s wu u 1,2 2,3

2t w s w x w s wh u h u 21

2,1 2,1 2,12x s w s w x b b b s wg h g h Y u u

0t t b xh Y hu

3,2(1 ) 0nett b sp Y

t w s x s w wh C C h u 2,1 0nets

*t b b x b b bh C C u h 3,2 2,1 0net nets s

massa total

conservação da massa de sedimentos do leito

massa de sedimentos, camada [1]

massa de sedimentos, camada [2]

quantidade de movimento da mistura, camada [1]

quantidade de movimento da mistura, camada [2]

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho, #2

h

wu

bu

bY

sC

bC

variáveis dependentes: : profundidade do escoamento

: velocidade média na camada de transporte em suspensão [1]

: velocidade média na camada de transporte por arrastamento [2]

: cota do fundo

: concentração de sedimentos em [1]

: concentração de sedimentos em [2]

6 variáveis dependentes para 6 equações

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho, #2

3,2nets

2,1nets

1,2

2,3 b

2,11,2

equações de fecho: : fluxo de sedimentos entre o fundo e a camada de transporte [1]

: fluxo de sedimentos entre as camadas de transporte [1] e [2]

: velocidade média vertical entre as camadas [1] e [2]

: tensão de arrastamento de [2] para [1]

: tensão de arrastamento de [1] para [2]: tensão de arrastamento junto ao fundo

bh : espessura da camada de transporte por arrastamento

w bh h h

( ) 1 ( 1)w

X Xs C

* **

3,2 * * *

b b b b b b b b b bnet b bs b

cb

h u C h u C h u C qC Ch

u

exemplo:

2* *' ''b u u ' ''b g R R J ' ''b g R J J

modelo conceptual

• granulometria uniforme, velocidade média

2 2t m x w s w b b bhu h u h u

2 21 12 2x s w b b s w b s w s w x b bg h h h h g h h Y

0t t b xh Y hu

3,2(1 ) 0nett b sp Y

t w s x s w wh C C h u 2,1 0nets

*t b b x b b bh C C u h 3,2 2,1 0net nets s

massa total

conservação massa sedimentos, leito

massa de sedimentos, camada [1]

massa de sedimentos, camada [2]

quantidade de movimento da mistura

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho, #3

hu

bY

sC

bC

variáveis dependentes: : profundidade do escoamento

: velocidade média na totalidade da “coluna de água”

: cota do fundo

: concentração de sedimentos em [1]

: concentração de sedimentos em [2]

5 variáveis dependentes para 5 equações

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho, #3

3,2nets

2,1nets

bu

2,3 b

equações de fecho: : fluxo de sedimentos entre o fundo e a camada de transporte [1]

: fluxo de sedimentos entre as camadas de transporte [1] e [2]

: velocidade média na camada de arrastamento

: tensão de arrastamento junto ao fundo

bh : espessura da camada de transporte por arrastamento

w bh h h

( ) 1 ( 1)w

X Xs C

b bw

w

uh u hu

h

(2) (2)ˆ ˆ1b cb c wb cu u C u C

exemplo:

*cb cbu u u *50

, bwb wb

hu u u

d

: velocidade média na camada de arrastamento, água e sedimentos

velocidade média dos sedimentos velocidade média da água

modelo conceptual• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações

2t xhu hu ( )21

2w

x x b bg h gh Y

0t t b xh Y hu

3,2(1 ) 0nett b sp Y

t xhC Cuh 3,2 0nets

massa total

conservação da massa de sedimentos no leito

massa de sedimentos em movimento

quantidade de movimento da mistura

( ) ( )1 ( 1)w w

X s C porque:

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho, #4

hu

bY

variáveis dependentes: : profundidade do escoamento

: velocidade média do escoamento

: cota do fundo

4 variáveis dependentes para 4 equações

C : concentração total de sedimentos

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho, #4

3,2nets

2,3 b

equações de fecho:

: fluxo de sedimentos entre o fundo e o escoamento

: tensão de arrastamento junto ao fundo

exemplo:

* **

3,2 * * *

Snets

huC huC huC qC Ch

u

: caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte, de preferência total (e.g., Einstein, Ackers & White, Van Rijn, etc...).

*Sq

2* *' ''b u u ' ''b g R R J ' ''b g R J J

modelo conceptual

2t xhu hu ( )21

2w

x x b bg h gh Y

0t t b xh Y hu

(1 ) 0t b t xp Y hC Cuh

massa total

conservação da massa de sedimentos

quantidade de movimento da mistura

• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho, #5

hu

bY

variáveis dependentes: : profundidade do escoamento

: velocidade média do escoamento

: cota do fundo

3 variáveis dependentes para 3 equações

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho, #5

C

2,3 b

equações de fecho:

: concentração de sedimentos (igual à capacidade de transporte)

: tensão de arrastamento junto ao fundo

exemplo:

em que qS é caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte, de preferência total (e.g., Einstein, Ackers & White, Van Rijn, etc...).

SqC

q

2* *' ''b u u ' ''b g R R J ' ''b g R J J

modelo conceptual

2dx hu ( )212

d d w

x x b bg h gh Y

d 0x hu q uh cte

(1 ) 0t b t xp Y hC Cuh

massa total

conservação da massa de sedimentos

quantidade de movimento da mistura

• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho, #6

hu

bY

variáveis dependentes: : profundidade do escoamento

: velocidade média do escoamento

: cota do fundo

3 variáveis dependentes para 3 equações (1 eq. algébrica)

modelo conceptual

• variáveis dependentes e equações de fecho, #6

C

2,3 b

equações de fecho:

: concentração de sedimentos

: tensão de arrastamento junto ao fundo

exemplo:

em que qS é caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte, de preferência total (e.g., Einstein, Ackers & White, Van Rijn, etc...).

SqC

q

2* *' ''b u u ' ''b g R R J ' ''b g R J J

modelo conceptual

d 0x hu q uh cte

(1 ) 0t b x Sp Y q

se se desprezar a acumulação de sedimentos na coluna de água, i.e.,

• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente

0t hC

( )2 212

d d d w

x x x b bhu g h gh Y

( )2d 2 d d d w

x x x x b bu h uh u gh h gh Y

( )

d 0

d d d d d w

x

x x x x x b b

hu

u u h h u hu u gh h gh Y

( )2

d2

w

x b bu

h Y ghg

2

d2x bu

h Y Jg

note-se que a equação de conservação da quantidade de movimento é, ausência de descontinuidades no escoamento, equivalente à equação de Bernoulli

modelo conceptual

(1 ) 0t b x Sp Y q considerando que

• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente

d = dx x x bu

u h Y Jg

( )S Sq q u (1 ) 0t b u S xp Y q u

d = dx xh

h uu

que e que

obtém-se

2d 1 =x x bh

u Fr Y Ju

e, portanto

2(1 ) 1 0t b u S x bh

p Y q Y J Fru

2 2(1 ) 1 (1 ) 1

u S u St b x b

u q u qY Y J

p h Fr p h Fr

modelo conceptual

2dx hu ( )212

d d w

x x b bg h gh Y

d 0x hu q uh cte massa total

conservação da massa de sedimentos

quantidade de movimento da mistura

• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente

2 2(1 ) 1 (1 ) 1

u S u St b x b

u q u qY Y J

p h Fr p h Fr

hu

bY

variáveis dependentes: : profundidade do escoamento

: cota do fundo

: velocidade média do escoamentoSq

J

equações de fecho:

: concentração de sedimentos

: declive da linha de energia