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Função Inversa
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
3
Uma função f de A em B é sobrejetora se, esomente se, para todo y pertencente a B existe umelemento x pertencente a A tal que
f(x) = yEm símbolos
1. Função sobrejetora
:
é sobrejetora , , , / ( )
f A B
f y y B x x A f x y
→⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ =
4
Notemos que f: A → B é sobrejetora se, esomente se, Im(f) = B.
Em lugar de dizermos “f é uma funçãosobrejetora de A em B” poderemos dizer “f é umasobrejeção de A em B”.
1. Função sobrejetora
:
é sobrejetora Im( )
f A B
f f B
→⇔ =
5
Exemplos:
1o) A função f de A = {-1, 0, 1, 2} em B = {0, 1, 4}definida pela lei f(x) = x2 é sobrejetora, pois, paratodo elemento y ∈ B, existe o elemento x ∈ A talque y = x2.
1. Função sobrejetora
6
Observemos que para todo elemento de Bconverge pelo menos uma flecha.
1. Função sobrejetora
0
-1
1
2
0
1
4
A B
f
7
2o) A função f de A = em B = de-finida por f(x) = x2 + 1 é sobrejetora pois, paratodo y ∈ B, existe x ∈ A, tal que y = x2 + 1,bastando para isso tomar
1. Função sobrejetora
ℝ { }/ 1y y∈ ≥ℝ
1 ou 1x y x y= − = − −
8
Uma função f de A em B é injetora se, esomente se, quaisquer que sejam x1 e x2 de A, sex1 ≠ x2 então f(x1) ≠ f(x2).
Em símbolos
2. Função injetora
( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2
:
é injetora , , , ( ) ( )
f A B
f x x A x x A x x f x f x
→⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ≠ ⇒ ≠
9
Notemos que a definição proposta éequivalente a uma função f de A em B é injetorase, e somente se, quaisquer que sejam x1 e x2 de A,se f(x1) = f(x2) então x1 = x2.
Em lugar de dizermos “f é uma funçãoinjetora de A em B” poderemos dizer “f é umainjeção de A em B”.
2. Função injetora
( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2
:
é injetora , , , ( ) ( )
f A B
f x x A x x A x x f x f x
→⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ = ⇒ =
10
Exemplos:
1o) A função f de A = {0, 1, 2, 3} em B = {1, 3, 5, 7,9} definida pela lei f(x) = 2x + 1 é injetora, pois,dois elementos distintos de A têm como imagensdois elementos distintos de B.
2. Função injetora
11
Observemos que não existem duas ou maisflechas convergindo para um mesmo elemento de B.
2. Função injetora
0
1
2
3
1
3
9
A B
5
7
f
12
2o) A função de em definida por f(x) =2x é injetora, pois, quaisquer que sejam x1 e x2de , se x1 ≠ x2 então 2x1 ≠ 2x2.
3o) A função de em definida por f(x) =x -1 é injetora, pois, quaisquer que sejam x1 e x2de , se x1 ≠ x2 então x1
-1 ≠ x2-1.
2. Função injetora
A = ℕ B = ℕ
ℕ
*A = ℝ B = ℝ
*ℝ
13
Uma função f de A em B é bijetora se, esomente se, f é sobrejetora e injetora.
Em símbolos
3. Função bijetora
:
é bijetora f é sobrejetora e injetora
f A B
f
→⇔
14
A definição anterior é equivalente a: umafunção f de A em B é bijetora se, e somente se,para qualquer elemento y pertencente a B existeum único elemento x pertencente a A tal quef(x) = y.
Em lugar de dizermos “f é uma funçãobijetora de A em B” poderemos dizer “f é umabijeção de A em B”.
3. Função bijetora
:
é bijetora , , | , / ( )
f A B
f y y B x x A f x y
→⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ =
15
Exemplos:
1o) A função f de A = {0, 1, 2, 3} em B = {1, 2, 3, 4}definida por f(x) = x + 1 é bijetora
3. Função bijetora
1
3
2
43
0
1
2
A B
f
16
pois f é sobrejetora e injetora, isto é, para todoelemento y ∈ B, existe um único elemento x ∈ A,tal que y = x + 1. Observemos que para cadaelemento de B converge uma só flecha.
2o) A função f de A = em B = definida por f(x)= 3x + 2 é bijetora, pois:
I) qualquer que seja y ∈ , existe x ∈ tal que y =3x + 2, basta tomarmos . Logo, f é sobre-jetora;
3. Função bijetora
ℝ ℝ
ℝ ℝ
23
yx
−=
17
II) quaisquer que sejam x1 e x2 de , se x1 ≠ x2,então 3x1 + 2 ≠ 3x2 + 2, isto é, f é injetora.
Observação:
Observemos que existem funções que não sãosobrejetoras nem injetoras. Assim, porexemplo, a função de em definida por |x|:
I) dado y ∈ , não existe x∈ tal que y = |x|,portanto f não é sobrejetora;
II) existem x1 e x2 em , x1 e x2 opostos (e por-tanto x1 ≠ x2) tais que |x1| = |x2|, isto é, f não éinjetora.
3. Função bijetora
ℝ
ℝ ℝ
*−ℝ ℝ
ℝ
18
Pela representação cartesiana de umafunção f podemos verificar se f é injetora ousobrejetora ou bijetora. Para isso, bastaanalisarmos o número de pontos de intersecção dasretas paralelas ao eixo dos x, conduzidas por cadaponto (0, y) em que y ∈ B (contradomínio de f).
3.1 Reconhecimento através dográfico
19
1o) Se cada uma dessas retas cortar ográfico em um só ponto ou não cortar o gráfico,então a função é injetora.
Exemplos
3.1 Reconhecimento através dográfico
21
3.1 Reconhecimento através dográfico
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-6 -4 -2 0 2 4 6
+ →
=
ℝ ℝ
2
:
( )
f
f x x
22
2o) Se cada uma das retas cortar o gráficoem um ou mais pontos, então a função ésobrejetora.
Exemplos
3.1 Reconhecimento através dográfico
23
3.1 Reconhecimento através dográfico
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-6 -4 -2 0 2 4 6
→= −ℝ ℝ:
( ) 1
f
f x x
24
3.1 Reconhecimento através dográfico
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-6 -4 -2 0 2 4 6
+→
=
ℝ ℝ
2
:
( )
f
f x x
25
3o) Se cada uma das retas cortar o gráficoem um só ponto, então a função é bijetora.
Exemplos
3.1 Reconhecimento através dográfico
27
3.1 Reconhecimento através dográfico
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-6 -4 -2 0 2 4 6
→= ⋅ℝ ℝ:
( )
f
f x x x
28
Resumo
Dada a função f de A em B, consideram-seas retas horizontais por (0, y) com y ∈ B:
1o) se nenhuma reta corta o gráfico mais de umavez, então f é injetora;
2o) se toda reta corta o gráfico, então f ésobrejetora;
3o) se toda reta corta o gráfico em um só ponto,então f é bijetora.
3.1 Reconhecimento através dográfico
29
Exemplo preliminar
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} eB = {1, 3, 5, 7}, consideremos a função f de A em Bdefinida por f(x) = 2x – 1.
4 Função inversa
1
5
3
74
1
2
3
A B
f
30
Notemos que a função f é bijetora formadapelos pares ordenados
f = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}
em que D(f) = A e Im(f) = B.
4 Função inversa
31
A relação f -1 = {(y, x)/(x, y) ∈ f}, inversa de f, é também uma função, pois f é uma bijeção de Aem B, isto é, para todo y ∈ B existe um único x ∈ Atal que (y, x) ∈ f -1.
4 Função inversa
1
3
2
47
1
3
5
A B
f-1
32
Observemos que a função f é definida pelasentença ,
e f -1 é definida pela sentença , isto é:
1o) f leva cada elemento x ∈ A até o y ∈ B tal que
2o) f -1 leva cada elemento y ∈ B até o x ∈ A tal que
4 Função inversa
= −2 1y x
+= 12
yx
= −2 1y x
+= 12
yx
33
A função f -1 é formada pelos pares ordena-dos
f -1= {(1, 1), (3, 2), (5, 3), (7, 4)}
em que D(f -1) = B e Im(f -1) = A.
4 Função inversa
34
Se f é uma função bijetora de A em B, arelação inversa de f é uma função de B em A quedenominamos função inversa de A e indicamos porf -1.
4.1 Definição
35
2a) Pela observação anterior, temos:
(x, y) ∈ f ⇔ (y, x) ∈ f -1
Agora, se considerarmos a função inversa def -1, teremos:
(y, x) ∈ f -1 ⇔ (x, y) ∈ (f -1)-1
isto é, a inversa de f -1 é a própria função f:
(f -1)-1 = fPodemos assim afirmar que f e f -1 são inver-
sas entre si, ou melhor, uma é inversa da outra.
4.1 Definição
36
3a) O domínio da função f -1 é B, que é a imagem dafunção f. A imagem da função f -1 é A, que é odomínio da função f.
4.1 Definição
A B
f
B A
f-1
D(f-1) = B = Im(f) e Im(f-1) = A = D(f)
37
Vimos no exemplo preliminar que, se afunção f é definida pela sentença aberta
,
então a função inversa f -1 é definida pela sentença
4.2 Determinação da funçãoinversa
= −2 1y x
+= 12
yx
38
Observemos, por exemplo, que x = 2 e y = 3satisfazem a condição e .
Isso não quer dizer que o par ordenado
(2, 3) pertença a f e f -1. De fato:
(2, 3) ∈ f e (3, 2) ∈ f -1.
4.2 Determinação da funçãoinversa
= −2 1y x+= 12
yx
39
As sentenças abertas
e
não especificam qual (x? ou y?) é o primeiro termo
do par ordenado.
4.2 Determinação da funçãoinversa
= −2 1y x+= 12
yx
40
Ao construirmos o gráfico cartesiano dafunção f, colocamos x em abscissas e y emordenadas, isto é:
e ao representarmos no mesmo plano cartesiano ográfico de f -1, como o conjunto
devemos ter y em abscissa e x em ordenada.
4.2 Determinação da funçãoinversa
{ }= ∈ = −( , ) / 2 1f x y A x B y x
− + = ∈ =
1 1( , ) /
2y
f y x B x A x
41
A fim de que possamos convencionar que:
1o) dada uma sentença aberta que define umafunção, x representa sempre o primeiro termo dospares ordenados e
2o) dois gráficos de funções distintas possam serconstruídos no mesmo plano cartesiano com x emabscissas e y em ordenadas.
justifica-se a seguinte regra prática.
4.2 Determinação da funçãoinversa
42
Dada a função bijetora f de A em B,definida pela sentença y = f(x), para obtermos asentença aberta que define f -1, procedemos doseguinte modo:
1o) na sentença y = f(x) fazemos uma mudança devariável, isto é, trocamos x por y e y por x,obtendo x = f(y);
2o) transformamos algebricamente a expressãox = f(y), expressando y em função de x paraobtermos y = f -1(x).
4.3 Regra prática
43
Exemplos
1o) Qual é a função inversa da função f(x) bijetoraem definida por f(x) = 3x + 2?
4.3 Regra prática
ℝ
44
A função dada é .
Aplicando a regra prática:
I) permutando as variáveis:
II) expressando y em função de x:
Resposta: É a função f -1 em definida por
4.3 Regra prática
= = +( ) 3 2f x y x
= +3 2x y
−= + ⇒ = − ⇒ = 23 2 3 2
3x
x y y x y
ℝ
− −=1 2( )
3x
f x
45
Exemplos
2o) Qual é a função inversa da função f(x) bijetoraem definida por f(x) = x3?
4.3 Regra prática
ℝ
46
A função dada é: .
Aplicando a regra prática:
I) permutando as variáveis:
II) expressando y em função de x:
Resposta: É a função f -1 em definida por
4.3 Regra prática
= = 3( )f x y x
= 3x y
= ⇒ =3 3x y y x
ℝ
− =1 3( )f x x
47
Os gráficos cartesianos de f e f -1 sãosimétricos em relação à bissetriz dos quadrantes1 e 3 do plano cartesiano.
Exemplos:
Vamos construir no mesmo diagrama osgráficos de duas funções inversas entre si:
4.4 Propriedades dos gráficosde f e f-1
−
−
−
+= − =
= =
= =
1
2 1
3 1 3
41 ) ( ) 2 4 ( )
2
2 ) ( ) ( )
3 ) ( ) ( )
o
o
o
xf x x e f x
f x x e f x x
f x x e f x x
48
4.4 Propriedades dos gráficosde f e f-1
+= − = 41 ) 2 4
2o x
y x y
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
x -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
y -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
49
4.4 Propriedades dos gráficosde f e f-1
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
f
f-1
50
4.4 Propriedades dos gráficosde f e f-1
= =22 ) o y x y x
x 0 1 2 3 4 5 6
y 0 1 4 9 16 25 36
x 0 1 4 9 16 25 36
y 0 1 2 3 4 5 6
53
4.4 Propriedades dos gráficosde f e f-1
= =3 33 ) o y x y x
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -27 -8 -1 0 1 8 27
x -27 -8 -1 0 1 8 27
y -3 -2 -1 0 1 2 3
54
4.4 Propriedades dos gráficosde f e f-1
-28
-24
-20
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
24
28
-28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28
f
f-1
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