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Integrais múltiplas
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas . Unifal-MG
Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063
Integrais múltiplas
Recordando Integral Definida para uma variável
Sabemos até o momento encontrar áreas abaixo de curvas utilizando o conceito
de Integral Definida para uma variável. Definimos que a área abaixo da curva f(x), no
intervalo � ≤ � ≤ � é dado por
� ������
Para tanto, dividimos a área abaixo da curva f(x) em n intervalos de igual
comprimento, ∆� = ��� . A área de todos os n retângulos formados fornece uma noção
sobre a área abaixo da curva de f(x). Então escolhemos pontos arbitrários ��∗ em cada
um desses subintervalos e formamos a soma de Riemann
� ����∗�∆��
���
E tomando o limite dessa soma quando n cresce indefinidamente obtemos a
integral definida de a até b da função f.
� ����� = lim�→� � ����∗���
���
�
No caso em que f(x)é maior ou igual a zero, a soma de Riemann pode ser
interpretada como a soma das áreas dos retângulos aproximadores da figura abaixo e a
integral representa a área sob a curva y = f(x) de a até b.
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Volumes e integrais duplas
Vamos considerar uma função f de duas variáveis definida num retângulo
fechado � ≤ � ≤ �, � ≤ � ≤ , ou seja,
� = ��, �! × ��, ! = {��, �� ∈ �%'�()*+� ≤ � ≤ �+� ≤ � ≤ }
Interessa-nos a região formada entre o domínio R e a curva f(x,y) = z (suponho ���, �� ≥ 0). Seja S o sólido formado nessa região, ou seja,
/ = {��, �, 0� ∈ �1'�()*+0 ≤ 0 ≤ ���, �� ∈, ��, �� ∈ �%}
Nosso objetivo é determinar o volume de S.
O primeiro passo consiste em dividir R em sub-retângulos. Faremos isso
dividindo o intervalo [a,b] em m retângulos de tamanho ∆� = ��2 e o intervalo [c,d] em
n retângulos de tamanho ∆� = 3�4� . Formamos assim os sub-retângulos:
��5 = �����, ��! × 6�5��, �57 = {��, ��'�()*+���� ≤ � ≤ �� +�5�� ≤ � ≤ �5}
cada um com área ∆8 = ∆�. ∆�.
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Escolhendo um ponto arbitrário ���∗, �5∗� podemos calcular o volume de uma
caixa retangular com base ��5 = ∆8 e altura ����∗, �5∗�. Se seguirmos esse procedimento
para todos os retângulos de R, teremos uma aproximação do volume V desejado.
Assim
: ≈ � � ����∗, �5∗�∆8�
5��
2
���
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A aproximação desse volume pode ser melhorada aumentando o número de
retângulos. Portanto devemos esperar que
: = lim�2,��→� � � ����∗, �5∗�∆8�
5��
2
���
Limites como esse não são apenas utilizados para determinar volumes, mas para
diversas outras áreas, inclusive na economia. Esse limite, quando existe é chamado de
Integral dupla de f sobre o retângulo R. O ponto ���∗, �5∗� pode ser tomado em qualquer
parte de ��5. Porém, se escolhermos o canto superior direito do retângulo ��5 nossa
expressão ficará mais simples. Assim chegamos a seguinte definição:
Def.: A integral dupla de f sobre o retângulo R é dada por
< ���, ��8 ==
lim�2,��→� � � ���, ��∆8�
5��
2
���
se esse limite existir.
Logo temos que o volume V do sólido que procuramos é dado por
: = < ���, ��8 ==
A soma ∑ ∑ ����, �5�∆8�5��2��� é chamada de Soma dupla de Riemann.
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Algumas propriedades
<����, �� + @��, ��!8 = < ���, ��8 + < @��, ��8===
< ����, ��8 = �. < ���, ��8==
Se ���, �� ≥ @��, �� para todo (x, y) em R, então:
< ���, ��8 ≥ < @��, ��8==
Obs: em relação ao cálculo I, é muito importante que saber as técnicas de integração,
como o método da substituição, a integração por partes, as transformações
trigonométricas etc.
Integrais Iteradas
Suponha que f seja uma função de duas variáveis contínua no retângulo � =��, �! × ��, !. Usaremos a notação A ���, ���3
4 significando que x é mantido fixo e
f(x,y) é integrada em relação a y de y = c até y = d. Esse procedimento é chamado
integração parcial em relação a y. Como A ���, ���34 é um número que depende do
valor de x, ele define uma função de x:
8��� = � ���, ���34
se agora integrarmos a função A com relação à variável x de x = a até x = b, obteremos
� 8���� = � B� ���, ���34
C ��
�
A equação do lado direito da equação acima é chamada de integral iterada. Em
geral, os colchetes são omitidos, então
� � ���, ����34
=�
� B� ���, ���34
C ��
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Significa que primeiro integramos com relação a
até b (ou vice-versa).
Exemplo 1 - Calcule o valor das integrais iteradas
(a) A A �%���%�
1D
(b) A A �%���1D
%�
(lousa)
Exemplo 2 – Calcule a integral dupla
E ≤ F,G ≤ H ≤ F} (lousa)
Exemplo 3 – Calcule ∬ J(lousa)
Exemplo 4 – Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide
elíptico EF + FHF + K = GLcoordenados.
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ntegramos com relação a y e c a d e depois em relação a
Calcule o valor das integrais iteradas
Calcule a integral dupla ∬ �E M NHF�OPJ onde J = {�
HQRS�EH�OP onde J = �G, F! × �T, U!
Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide GL, pelo planos x = 2 e y =2 e pelos três planos
e depois em relação a x de a
{�E, H� ∈ JFVT ≤
Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide
e pelos três planos
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Exercícios 1)- Encontre as integrais duplas das seguintes funções, nos intervalos indicados.
(a) ∬ 10�²�8,0
(b) ∬��1�% + ��8, M 1
(c) ∬ 2�Z[�. �Z[�8, 0 ≤
2) Determine o volume do sólido determinado pelo paraboloide �H M F�F e pelos planos z = 1, x = 1, x =
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Encontre as integrais duplas das seguintes funções, nos intervalos indicados.
≤ � ≤ 1,1 ≤ � ≤ 2. 1 ≤ � ≤ 1,0 ≤ � ≤ 1. ≤ � ≤ \, 0 ≤ � ≤ ]
% . 2) Determine o volume do sólido determinado pelo paraboloide
e pelos planos z = 1, x = 1, x = -1, y = 0 e y = 4.
Encontre as integrais duplas das seguintes funções, nos intervalos indicados.
2) Determine o volume do sólido determinado pelo paraboloide K = F + EF +
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Integrais duplas em Regiões gerais
Em alguns casos precisamos integrar a função f(x, y) não somente sobre
retângulos, mas também em uma região D de forma mais geral, como a figura abaixo.
Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D está contida
em uma região retangular R como na figura abaixo.
Definimos então uma nova função F, com domínio R, dada por:
Se F for integrável em R, então definimos a integral dupla de f em D por
< ���, ��8 = < ^��, ��8=
Z_+^é��a+(�+)*�çãZ�_'+deZdf
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A definição a cima faz sentido porque R é um retângulo e, portanto, podemos
calcular a integral iterada. O procedimento usado é razoável, pois os valores de F(x, y)
são 0 quando (x, y) está fora da região D, e dessa forma não contribuem para o valor da
integral.
No caso em que ���, �� ≥ 0, podemos ainda interpretar a integral dupla sobre a
região D como o volume do sólido que está acima de D e abaixo da superfície z = f(x,
y).
Tipos de regiões
Tipo I – uma região plana D é dita do tipo I se for a região entre o gráfico de duas
funções contínuas de x, ou seja, g = {��, ��|� ≤ � ≤ �, @���� ≤ � ≤ @%���}
Exemplos:
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Tipo II – uma região plana D é dita do tipo II se for a região entre o gráfico de duas
funções contínuas de y, ou seja,
g = {��, ��|� ≤ � ≤ , ℎ���� ≤ � ≤ ℎ%���}
Exemplos:
Exemplo 1: Calcule ∬ �� + 2��8f onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x²
e y = 1 + x².
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Exemplo 2: Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z = x² + y² e
acima da região D do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x².
(lousa)
Figura-Sólido gerado pelas intersecções do paraboloide com y = 2x e y = x²
Exemplo 3: Calcule ∬ ��8f onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela
parábola y² = 2x + 6.
Exemplo 4: Calcule a integral iterada A A [+_��%����j
�D .
(lousa)
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Exercícios:
Determine as integrais duplas abaixo:
1. ∬ �1�%8,gf = {��, ��|0 ≤ � ≤ 2, M� ≤ � ≤ �}
2. ∬ kljmn% 8,g = {��, ��|1 ≤ � ≤ 2,0 ≤ � ≤ 2�}f
3. ∬ � + 2�8 onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x² e y = 1+x²
Determine o volume do sólido dado
4. Abaixo do paraboloide z = x² + y² e acima da região delimitada por y = x² e x = y².
5. Abaixo do paraboloide z = 3x² + y² e acima da região delimitada por y = x e x = y² - y
6.
Evaluate the double integral.
∫∫D
dAyx cos D is bounded by y = 0, y = x2, and x = 2.
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