Upload
d-chaves-chaves
View
225
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
1/21
Serviço Público FederalInstituto Federal de AlagoasCampus Palmeira dos Índios
Curso Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Conteúdo: Introdução – Área e Distância
Prof. Me. Alberto H R Silva
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
2/21
Introdução
Historicamente, foi da necessidade de calcularáreas de figuras planas cujos contornos não sãosegmentos de reta que brotou a noção de
integral.
Arquimedes (287 –212 a.C.) – O grandeprecursor do Cálculo Integral. Obra: AQuadratura da Parábola.
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
3/21
Argumentação de Antifon: Por sucessivas
duplicações do número de lados de um polígonoregular inscrito num circulo, a diferença entre aárea do círculo e a dos polígonos seria “ao fim” exaurida.
Eudóxio (método da exaustão): Se de uma grandezasubtrai-se uma parte não menor que sua metade,do restante outra parte não menor que sua metade,
e assim por diante, numa determinada etapa doprocesso chega-se a uma grandeza menor quequalquer outra da mesma espécie fixada a priori .
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
4/21
Arquimedes
Foi o primeiro matemático a demonstrar que aárea de um circulo de raio é igual a área de umtriângulo de altura e base igual aocomprimento da circunferência.
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
5/21
Áreas
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
6/21
Consideremos o problema de calculara área da região sob o gráfico dafunção
: [, ] → , em que
() ≥ 0.
Se () fosse constante e igual a em [,], a área procurada seria aárea de um retângulo e teríamos:
( − ) ∙
Não sendo () constante, dividimoso intervalo [,] em subintervalossuficientemente pequenos para queneles () possa ser consideradaconstante com uma boa aproximação.
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
7/21
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
8/21
Somas Importantes
• Soma dos termos de uma P.A.: +
2
• Soma dos termos de uma P.G.: ( 1 −
)1 −
• Soma dos infinitos termos de uma P.G.:
1 −
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
9/21
• Soma dos primeiros quadrados naturais:
( + 1)(2 + 1)6
• Soma dos primeiros cubos naturais:
( +1)2
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
10/21
Área Aproximada
≅ ∆
=
≅ ∆
=
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
11/21
Exemplo 1
Faça uma estimativa da área sob o gráfico de 250 − , 0 ≤ ≤ 50 , dividindo ointervalo [0,50] em subintervalos decomprimento 10.
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
12/21
Exemplo 2
Obtenha uma estimativa da área sob o gráfico
da função , ∈ [10,50] dividindo ointervalo em
4 subintervalos de comprimento
10.
Obs.: O valor correto da área procurada é 321,9.
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
13/21
Área
lim→∞ ∆
=
lim→∞ ∆
=
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
14/21
Exemplo 3
Calcule a área do triângulo retângulo de base[0,1] determinado pelo eixo e pelas retas
e
1.
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
15/21
Exemplo 4
Calcular a área da região compreendida peloeixo , pela reta definida pela equação 1 epelo trecho da parábola determinada pela
equação .
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
16/21
Distâncias
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
17/21
O Problema das Distâncias
Achar a distância percorrida por um objeto duranteum certo período de tempo sendo conhecida avelocidade do objeto em todos os instantes. Se avelocidade permanece constante, então o problema
da distância é de fácil solução através da fórmula:
â × Mas se a velocidade variar, não é tão fácil encontrara distância percorrida.
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
18/21
Exemplo 5
Suponha que queiramos estimar a distânciapercorrida por um carro durante um intervalo de30s. A cada 5 segundos registramos a leitura do
velocímetro na seguinte tabela:
Durante os primeiros 5s a velocidade não variamuito, logo podemos estimar a distância percorridadurante esse tempo supondo a velocidadeconstante.
t (s) 0 5 10 15 20 25 30
v(pés/s) 25 31 35 43 47 46 41
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
19/21
Se tomarmos a velocidade durante aqueleintervalo de tempo como a velocidade inicial
(25pés/s), então obteremos aproximadamente adistância durante os cinco primeiros segundos:
25é
× 5 125 pés
Analogamente, durante o segundo intervalo detempo:
31és × 5 155 é Por fim, teremos:25 × 5 + 31 × 5 + 35 × 5 + 43 × 5 + 47 × 5 + 46 × 5 1.135 é
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
20/21
Podemos da mesma forma usar a velocidade nofim de cada intervalo em vez de no começo.
Dessa forma teríamos 1.215 pés.Se quisermos uma estimativa mais precisa,poderemos tomar as leituras a cada 2 segundos
ou até mesmo a cada segundo.
8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias
21/21
Bibliografia
• IEZZI, G; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar, 1: conjuntos efunções. 8.ed. São Paulo: Atual, 2004.
• IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos deMatemática Elementar, 8. Limites, Derivadas, Noções de Integral. 6.ed. 4.reimp. SãoPaulo: Atual Editora, 2005.
•
IEZZI, G; DOLCE, O; TEIXEIRA, J. C; MACHADO, N. J; GOULART, M. C; CASTRO, L. R. S;MACHADO, A. S; Matemática. 2º grau. 1ª série. 4.ed. revisada. São Paulo: Atual, 1976.
• LARSON, Ron. Cálculo Aplicado: Curso Rápido. São Paulo: Cengage Learning, ?year?.
• LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol.1. 3.ed. Tradução: Cyro deCarvalho Patarra. São Paulo: Editora HARBRA Ltda, 1994.
• LIMA, E. L; CARVALHO, P. C. P; WAGNER, E; MORGADO, A. C. A Matemática do Ensino
Médio, vol.1, 9.ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.• STEWART, James. Cálculo I. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, ?year?.
• SWORKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica, 1. São Paulo: McGraw-Hill,?year?.