Teresa e Catarina. - matemtica 1 – integrais mltiplos e equaes diferenciais 2 – clculo diferencial em ir n 3 – primitivas e integrais 4 – formulrio de matemtica

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  • Teresa e Catarina.

  • COLECO MATEMTICA

    25

  • COLECO MATEMTICA

    1 INTEGRAIS MLTIPLOS E EQUAES DIFERENCIAIS

    2 CLCULO DIFERENCIAL EM IR n

    3 PRIMITIVAS E INTEGRAIS

    4 FORMULRIO DE MATEMTICA

    5 LGEBRA LINEAR Vol. 1 Matrizes e Determinantes

    6 LGEBRA LINEAR Vol. 2 Espaos Vectoriais e Geometria Analtica

    7 PROGRAMAO MATEMTICA

    8 CLCULO INTEGRAL EM IR PRIMITIVAS

    9 PRIMITIVAS E INTEGRAIS EXERCCIOS

    10 SUCESSES E SRIES

    11 LGEBRA LINEAR Exerccios Vol. 1 Matrizes e Determinantes

    12 CLCULO DIFERENCIAL EM IR

    13 CLCULO DIFERENCIAL EM IR n EXERCCIOS

    14 LGEBRA LINEAR Exerccios Vol. 2 Espaos Vectoriais e Geometria Analtica

    15 SUCESSES E SRIES EXERCCIOS

    16 EQUAES DIFERENCIAIS E SRIES

    17 INTEGRAIS MLTIPLOS E EQUAES DIFERENCIAIS EXERCCIOS

    18 INTEGRAIS DUPLOS, TRIPLOS, DE LINHA E DE SUPERFCIE

    19 FUNDAMENTOS DE ANLISE NUMRICA

    20 MTODOS NUMRICOS Introduo, Aplicao e Programao

    21 CLCULO INTEGRAL Teoria e Aplicaes

    22 PRIMITIVAS E INTEGRAIS Exerccios Resolvidos

    23 TPICOS DE ANLISE MATEMTICA EM IR n

    24 EXERCCIOS SOBRE PRIMITIVAS E INTEGRAIS

    25 LGEBRA LINEAR TEORIA E PRTICA

  • LGEBRA LINEAR Teoria e Prtica

    RICARDO JORGE CASTRO GONALVES

    EDIES SLABO

  • expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer

    forma ou meio, NOMEADAMENTE FOTOCPIA, esta obra. As transgresses

    sero passveis das penalizaes previstas na legislao em vigor.

    Visite a Slabo na rede

    www.si labo.pt

    Editor: Manuel Robalo

    FICHA TCNICA:

    Ttulo: lgebra Linear Teoria e Prtica Autor: Ricardo Jorge Castro Gonalves Edies Slabo, Lda. Capa: Pedro Mota

    1 Edio Lisboa, setembro de 2015 Impresso e acabamentos: Europress, Lda. Depsito Legal: 398026/15 ISBN: 978-972-618-817-9

    EDIES SLABO, LDA.

    R. Cidade de Manchester, 2 1170-100 Lisboa Tel.: 218130345 Fax: 218166719 e-mail: silabo@silabo.pt www.silabo.pt

  • NDICE

    PREFCIO ..................................................................................................................... 9

    CAPTULO 1

    MATRIZES............................................................................................................ 13

    1.1. A linguagem das matrizes.............................................................................. 15

    1.2. Operaes com matrizes ............................................................................... 25

    1.3. Matrizes como representao de situaes concretas .................................. 36

    Solues ............................................................................................................... 43

    CAPTULO 2

    SISTEMAS DE EQUAES LINEARES ................................................... 47

    2.1. Aproximao ao estudo de sistemas de equaes lineares .......................... 49

    2.1.1. Sistemas de duas equaes e duas incgnitas ..................................... 49

    2.1.2. Sistemas de trs equaes e trs incgnitas......................................... 52

    2.1.3. Sistemas de m equaes e n incgnitas................................................ 58

    2.2. Resoluo de sistemas de equaes lineares............................................... 62

    2.2.1. Limitaes dos mtodos de resoluo de sistemas de equaes lineares ............................................................................. 62

    2.2.2. O mtodo de eliminao de Gauss ........................................................ 70

    2.2.3. Caraterstica de uma matriz e outra discusso de sistemas de equaes lineares ............................................................................. 87

    2.3. Algoritmo para a determinao da matriz inversa.......................................... 91

    Solues ............................................................................................................. 101

  • CAPTULO 3

    DETERMINANTES ...........................................................................................113

    3.1. Definio e propriedades dos determinantes ...............................................115

    3.2. Algoritmos para o clculo de determinantes de qualquer ordem..................120

    3.2.1. Determinantes de ordem 2 ...................................................................120

    3.2.2. Determinantes de ordem 3 ...................................................................126

    3.2.3. Determinantes de qualquer ordem .......................................................134

    3.3. Os determinantes em novos mtodos de clculo .........................................141

    3.3.1. Matriz Inversa .......................................................................................141

    3.3.2. Sistemas de equaes lineares ............................................................147

    Solues..............................................................................................................155

    CAPTULO 4

    ESPAOS VETORIAIS...................................................................................161

    4.1. procura de novos vetores .......................................................................163

    4.2. Subespao vetorial de um espao vetorial ...................................................175

    4.3. Combinao linear de vetores ......................................................................181

    4.4. Subespaos vetoriais gerados......................................................................189

    4.5. Dependncia e independncia linear de vetores..........................................198

    4.6. Bases e dimenso de um espao vetorial ....................................................206

    Solues..............................................................................................................212

    BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................225

  • 9

    PREFCIO

    Este livro dirige-se aos alunos do ensino superior universitrio e politcnico e que para o estudo da lgebra linear procuram uma abordagem alternativa, inovadora e facilitadora da aprendizagem dos principais temas.

    Os estudos internacionais na rea, desenvolvidos ao longo das ltimas trs dcadas, apontaram um conjunto de recomendaes didticas para serem conside-radas no ensino, com vista a melhorar o desempenho dos alunos na aprendizagem da lgebra linear. A elaborao deste texto resultou da vontade do autor em considerar extensivamente aquelas recomendaes, possibilidade observvel em alguma bibliografia internacional de referncia, o que confere a este livro o principal elemento de destaque no panorama da bibliografia nacional. Desta forma, o livro propicia a fcil assimilao dos contedos, o desenvolvimento da destreza de cl-culo e a capacidade de aplicao dos conceitos em situaes dspares.

    Sobre a importncia de se recorrer ao uso da tecnologia, introduziu-se a utiliza-o do software de computao simblica Scilab, ao qual se pode aceder gratuita-mente na WEB. A referncia possvel utilizao deste programa aparece sobretudo na explorao de exemplos, onde so introduzidos os comandos elementares que o aluno deve conhecer para a sua utilizao autnoma. Nos exerccios, procurou-se promover o recurso ao Scilab pela via da ilustrao de propriedades e pelo apoio a processos de clculo em situaes de cariz mais prtico. Em paralelo, a interpreta-o geomtrica dos conceitos acompanhada pela utilizao do ambiente de geometria dinmica GeoGebra e do Mathematica.

    Como forma de reduzir o carter formal dos conceitos de lgebra linear, introdu-ziu-se apenas a terminologia necessria, com uma linguagem e notao o mais simplificado possvel. As definies e teoremas, destacados em caixas de cor, so os estritamente necessrios e as demonstraes foram omitidas. Parte das propriedades associadas a alguns dos conceitos foram consideradas sob a forma de exerccios, onde se apela sua ilustrao. No sentido contrrio, enfatizou-se o recurso a exemplos resolvidos e a aplicaes, segundo o pressuposto de elucidar o como e quando aplicar os conceitos de lgebra linear. Para apoiar a utilizao aut-noma deste livro, os exerccios so acompanhados da sua resoluo ou soluo, aparecendo estas no final de cada captulo.

  • 10

    Ao longo do texto, alguns conceitos so introduzidos precocemente como forma de os relacionar com outros. A ligao dos diferentes assuntos aos pr-requisitos foi tida em considerao no sentido de se justificar novas aprendizagens, a partir de situaes mais elementares e familiares para o aluno. Destaca-se, neste contexto, a introduo do mtodo de eliminao de Gauss, a partir da limitao dos mtodos conhecidos para a resoluo de sistemas at trs equaes e trs incgnitas, e a introduo ao estudo dos espaos vetoriais. De salientar ainda a utilizao estrita da linguagem matricial na explorao de todos os assuntos, onde o ponto de partida a considerao de um vetor escrito como matriz coluna.

    Em cada captulo proposta a resoluo de uma tarefa. Excetuando-se a tarefa do Captulo 3, cujo alcance a aplicao de contedos, as tarefas enquadram-se na perspetiva de introduo dos conceitos, nomeadamente: multiplicao de matrizes (Tarefa 1), resoluo de sistemas de equaes lineares pelo mtodo de eliminao de Gauss (Tarefa 2) e combinao linear de vetores, subespao vetorial gerado por um conjunto de vetores e base de um espao vetorial (Tarefa 4).

    Em termos de estrutura, o livro est dividido em quatro captulos, referentes ao estudo das matrizes, sistemas de equaes lineares, determinantes e espaos veto-riais, nesta o