Teresa e Catarina. - matemtica 1 – integrais mltiplos e equaes diferenciais 2 – clculo diferencial em ir n 3 – primitivas e integrais 4 – formulrio de matemtica

Teresa e Catarina.

COLECO MATEMTICA

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COLECO MATEMTICA

1 INTEGRAIS MLTIPLOS E EQUAES DIFERENCIAIS

2 CLCULO DIFERENCIAL EM IR n

3 PRIMITIVAS E INTEGRAIS

4 FORMULRIO DE MATEMTICA

5 LGEBRA LINEAR Vol. 1 Matrizes e Determinantes

6 LGEBRA LINEAR Vol. 2 Espaos Vectoriais e Geometria Analtica

7 PROGRAMAO MATEMTICA

8 CLCULO INTEGRAL EM IR PRIMITIVAS

9 PRIMITIVAS E INTEGRAIS EXERCCIOS

10 SUCESSES E SRIES

11 LGEBRA LINEAR Exerccios Vol. 1 Matrizes e Determinantes

12 CLCULO DIFERENCIAL EM IR

13 CLCULO DIFERENCIAL EM IR n EXERCCIOS

14 LGEBRA LINEAR Exerccios Vol. 2 Espaos Vectoriais e Geometria Analtica

15 SUCESSES E SRIES EXERCCIOS

16 EQUAES DIFERENCIAIS E SRIES

17 INTEGRAIS MLTIPLOS E EQUAES DIFERENCIAIS EXERCCIOS

18 INTEGRAIS DUPLOS, TRIPLOS, DE LINHA E DE SUPERFCIE

19 FUNDAMENTOS DE ANLISE NUMRICA

20 MTODOS NUMRICOS Introduo, Aplicao e Programao

21 CLCULO INTEGRAL Teoria e Aplicaes

22 PRIMITIVAS E INTEGRAIS Exerccios Resolvidos

23 TPICOS DE ANLISE MATEMTICA EM IR n

24 EXERCCIOS SOBRE PRIMITIVAS E INTEGRAIS

25 LGEBRA LINEAR TEORIA E PRTICA

LGEBRA LINEAR Teoria e Prtica

RICARDO JORGE CASTRO GONALVES

EDIES SLABO

expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer

forma ou meio, NOMEADAMENTE FOTOCPIA, esta obra. As transgresses

sero passveis das penalizaes previstas na legislao em vigor.

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Editor: Manuel Robalo

FICHA TCNICA:

Ttulo: lgebra Linear Teoria e Prtica Autor: Ricardo Jorge Castro Gonalves Edies Slabo, Lda. Capa: Pedro Mota

1 Edio Lisboa, setembro de 2015 Impresso e acabamentos: Europress, Lda. Depsito Legal: 398026/15 ISBN: 978-972-618-817-9

EDIES SLABO, LDA.

R. Cidade de Manchester, 2 1170-100 Lisboa Tel.: 218130345 Fax: 218166719 e-mail: silabo@silabo.pt www.silabo.pt

NDICE

PREFCIO ..................................................................................................................... 9

CAPTULO 1

MATRIZES............................................................................................................ 13

1.1. A linguagem das matrizes.............................................................................. 15

1.2. Operaes com matrizes ............................................................................... 25

1.3. Matrizes como representao de situaes concretas .................................. 36

Solues ............................................................................................................... 43

CAPTULO 2

SISTEMAS DE EQUAES LINEARES ................................................... 47

2.1. Aproximao ao estudo de sistemas de equaes lineares .......................... 49

2.1.1. Sistemas de duas equaes e duas incgnitas ..................................... 49

2.1.2. Sistemas de trs equaes e trs incgnitas......................................... 52

2.1.3. Sistemas de m equaes e n incgnitas................................................ 58

2.2. Resoluo de sistemas de equaes lineares............................................... 62

2.2.1. Limitaes dos mtodos de resoluo de sistemas de equaes lineares ............................................................................. 62

2.2.2. O mtodo de eliminao de Gauss ........................................................ 70

2.2.3. Caraterstica de uma matriz e outra discusso de sistemas de equaes lineares ............................................................................. 87

2.3. Algoritmo para a determinao da matriz inversa.......................................... 91

Solues ............................................................................................................. 101

CAPTULO 3

DETERMINANTES ...........................................................................................113

3.1. Definio e propriedades dos determinantes ...............................................115

3.2. Algoritmos para o clculo de determinantes de qualquer ordem..................120

3.2.1. Determinantes de ordem 2 ...................................................................120

3.2.2. Determinantes de ordem 3 ...................................................................126

3.2.3. Determinantes de qualquer ordem .......................................................134

3.3. Os determinantes em novos mtodos de clculo .........................................141

3.3.1. Matriz Inversa .......................................................................................141

3.3.2. Sistemas de equaes lineares ............................................................147

Solues..............................................................................................................155

CAPTULO 4

ESPAOS VETORIAIS...................................................................................161

4.1. procura de novos vetores .......................................................................163

4.2. Subespao vetorial de um espao vetorial ...................................................175

4.3. Combinao linear de vetores ......................................................................181

4.4. Subespaos vetoriais gerados......................................................................189

4.5. Dependncia e independncia linear de vetores..........................................198

4.6. Bases e dimenso de um espao vetorial ....................................................206

Solues..............................................................................................................212

BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................225

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PREFCIO

Este livro dirige-se aos alunos do ensino superior universitrio e politcnico e que para o estudo da lgebra linear procuram uma abordagem alternativa, inovadora e facilitadora da aprendizagem dos principais temas.

Os estudos internacionais na rea, desenvolvidos ao longo das ltimas trs dcadas, apontaram um conjunto de recomendaes didticas para serem conside-radas no ensino, com vista a melhorar o desempenho dos alunos na aprendizagem da lgebra linear. A elaborao deste texto resultou da vontade do autor em considerar extensivamente aquelas recomendaes, possibilidade observvel em alguma bibliografia internacional de referncia, o que confere a este livro o principal elemento de destaque no panorama da bibliografia nacional. Desta forma, o livro propicia a fcil assimilao dos contedos, o desenvolvimento da destreza de cl-culo e a capacidade de aplicao dos conceitos em situaes dspares.

Sobre a importncia de se recorrer ao uso da tecnologia, introduziu-se a utiliza-o do software de computao simblica Scilab, ao qual se pode aceder gratuita-mente na WEB. A referncia possvel utilizao deste programa aparece sobretudo na explorao de exemplos, onde so introduzidos os comandos elementares que o aluno deve conhecer para a sua utilizao autnoma. Nos exerccios, procurou-se promover o recurso ao Scilab pela via da ilustrao de propriedades e pelo apoio a processos de clculo em situaes de cariz mais prtico. Em paralelo, a interpreta-o geomtrica dos conceitos acompanhada pela utilizao do ambiente de geometria dinmica GeoGebra e do Mathematica.

Como forma de reduzir o carter formal dos conceitos de lgebra linear, introdu-ziu-se apenas a terminologia necessria, com uma linguagem e notao o mais simplificado possvel. As definies e teoremas, destacados em caixas de cor, so os estritamente necessrios e as demonstraes foram omitidas. Parte das propriedades associadas a alguns dos conceitos foram consideradas sob a forma de exerccios, onde se apela sua ilustrao. No sentido contrrio, enfatizou-se o recurso a exemplos resolvidos e a aplicaes, segundo o pressuposto de elucidar o como e quando aplicar os conceitos de lgebra linear. Para apoiar a utilizao aut-noma deste livro, os exerccios so acompanhados da sua resoluo ou soluo, aparecendo estas no final de cada captulo.

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Ao longo do texto, alguns conceitos so introduzidos precocemente como forma de os relacionar com outros. A ligao dos diferentes assuntos aos pr-requisitos foi tida em considerao no sentido de se justificar novas aprendizagens, a partir de situaes mais elementares e familiares para o aluno. Destaca-se, neste contexto, a introduo do mtodo de eliminao de Gauss, a partir da limitao dos mtodos conhecidos para a resoluo de sistemas at trs equaes e trs incgnitas, e a introduo ao estudo dos espaos vetoriais. De salientar ainda a utilizao estrita da linguagem matricial na explorao de todos os assuntos, onde o ponto de partida a considerao de um vetor escrito como matriz coluna.

Em cada captulo proposta a resoluo de uma tarefa. Excetuando-se a tarefa do Captulo 3, cujo alcance a aplicao de contedos, as tarefas enquadram-se na perspetiva de introduo dos conceitos, nomeadamente: multiplicao de matrizes (Tarefa 1), resoluo de sistemas de equaes lineares pelo mtodo de eliminao de Gauss (Tarefa 2) e combinao linear de vetores, subespao vetorial gerado por um conjunto de vetores e base de um espao vetorial (Tarefa 4).

Em termos de estrutura, o livro est dividido em quatro captulos, referentes ao estudo das matrizes, sistemas de equaes lineares, determinantes e espaos veto-riais, nesta o