Aula 4-Integrais

AULA 4: Integrais

Keliny Martins de M. Sousa Soares

ESPECIALIZAÇÃO EM ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ

Primitivas

De�nição 1: Seja f uma função de�nida num intervalo I. Umaprimitiva de f em I é uma função F de�nida em I, tal que

F ′(x) = f (x)

para todo x em I.

Ex: F (x) = 1

3x3 é uma primitiva de f (x) = x2 em R.

Se duas funções tem derivadas iguais num intervalo, elas diferem,nesse intervalo, por uma constante. Assim as primitivas de f em Isão as funções da forma F (x) + k ,com k constante. Assim,F (x) + k , k constante, é a família das primitivas de f em I. Anotação

∫f (x)dx será usada para representar a família das

primitivas de f: ∫f (x)dx = F (x) + k


Primitivas


F ′(x) = f (x)

para todo x em I.

Ex: F (x) = 1






Primitivas


F ′(x) = f (x)

para todo x em I.

Ex: F (x) = 1






Tabela das primitivas:

a) (cx)′ = c

b) ( xα+1

α+1)′ = xα, (α 6= −1)

c) (ex)′ = ex

d) ( ax

ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1

e) (sin x)′ = cos x

f) (cos x)′ = − sin x

g) (tan x)′ = sec2

h) (sec x)′ = sec x tan x

i) (arcsin x)′ = 1√1−x2

j) (arctan x)′ = 1

1+x2

Ex: Seja f (x) = x2

3 − sin x + cos x + sec2 x + 4x3 − 1, achartodas as primitivas.



a) (cx)′ = c

b) ( xα+1

α+1)′ = xα, (α 6= −1)

c) (ex)′ = ex

d) ( ax

ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1





i) (arcsin x)′ = 1√1−x2


1+x2

Ex: Seja f (x) = x2




a) (cx)′ = c

b) ( xα+1

α+1)′ = xα, (α 6= −1)

c) (ex)′ = ex

d) ( ax

ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1





i) (arcsin x)′ = 1√1−x2


1+x2

Ex: Seja f (x) = x2




a) (cx)′ = c

b) ( xα+1

α+1)′ = xα, (α 6= −1)

c) (ex)′ = ex

d) ( ax

ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1





i) (arcsin x)′ = 1√1−x2


1+x2

Ex: Seja f (x) = x2




a) (cx)′ = c

b) ( xα+1

α+1)′ = xα, (α 6= −1)

c) (ex)′ = ex

d) ( ax

ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1





i) (arcsin x)′ = 1√1−x2


1+x2

Ex: Seja f (x) = x2




a) (cx)′ = c

b) ( xα+1

α+1)′ = xα, (α 6= −1)

c) (ex)′ = ex

d) ( ax

ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1





i) (arcsin x)′ = 1√1−x2


1+x2

Ex: Seja f (x) = x2




a) (cx)′ = c

b) ( xα+1

α+1)′ = xα, (α 6= −1)

c) (ex)′ = ex

d) ( ax

ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1





i) (arcsin x)′ = 1√1−x2


1+x2

Ex: Seja f (x) = x2




a) (cx)′ = c

b) ( xα+1

α+1)′ = xα, (α 6= −1)

c) (ex)′ = ex

d) ( ax

ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1





i) (arcsin x)′ = 1√1−x2


1+x2

Ex: Seja f (x) = x2




a) (cx)′ = c

b) ( xα+1

α+1)′ = xα, (α 6= −1)

c) (ex)′ = ex

d) ( ax

ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1





i) (arcsin x)′ = 1√1−x2


1+x2

Ex: Seja f (x) = x2




a) (cx)′ = c

b) ( xα+1

α+1)′ = xα, (α 6= −1)

c) (ex)′ = ex

d) ( ax

ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1





i) (arcsin x)′ = 1√1−x2


1+x2

Ex: Seja f (x) = x2




a) (cx)′ = c

b) ( xα+1

α+1)′ = xα, (α 6= −1)

c) (ex)′ = ex

d) ( ax

ln a)′ = ax , a > 0, a 6= 1





i) (arcsin x)′ = 1√1−x2


1+x2

Ex: Seja f (x) = x2



Integral de�nida

De�nição 1: Se F é primitiva de uma função f num intervalo I talque F (a) = 0 para um certo a de I, então certamente F é únicanessas condições. Assim,

F =

∫af (t)dt

e

F (x) =

∫ x

af (t)dt, x ∈ I

. Portanto,

F (x) =

∫ a

af (t)dt = 0

e

F ′(x) = (

∫ x

af (t)dt)′ = f (x).

Para cada b de I, o número∫ ba f (t)dt = F (b) se chama integral

de�nida de f de a até b; a e b são extremos de integração e f é afunção integranda, ou o integrando.


Integral de�nida


F =

∫af (t)dt

e

F (x) =

∫ x

af (t)dt, x ∈ I

. Portanto,

F (x) =

∫ a

af (t)dt = 0

e

F ′(x) = (

∫ x

af (t)dt)′ = f (x).




Integral de�nida


F =

∫af (t)dt

e

F (x) =

∫ x

af (t)dt, x ∈ I

. Portanto,

F (x) =

∫ a

af (t)dt = 0

e

F ′(x) = (

∫ x

af (t)dt)′ = f (x).




De�nição 2: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b].Suponha que este intervalo seja dividido em n partes iguais delargura 4x = b−a

n e seja xj um número pertencente ao j-ésimointervalo , para j = 1, 2, . . . , n. Neste caso, a integral de�nida de fem [a, b], denotada por

∫ ba f (x)dx ,é dada por∫ b

af (x)dx = lim

n→∞[Σn

j=1f (xj)]4x

se este limite existir.


interpretação geométrica:

Suponhamos que y = f (x) seja contínua e positiva em umintervalo [a, b]. Dividimos esse intervalo em n sub-intervalos decomprimentos iguais, ou seja, 4x = b−a

n de modo quea = a0 < a1 < . . . < an = b. Seja xj um sub-intervalo no ponto[ak−1, ak ], k = 1, 2, . . . , n. Construimos em cada um dessessub-intervalos retângulos com base 4x e altura f (xj) conforme a�gura:



A soma das áreas dos n retângulos construídos é dado pelosomatório de cada um deles, isto é:

Aretângulos = [Σnj=1f (xj)]4x

Intuitivamente é possível admitir que à medida que n cresce, 4xdiminue, e conseguentemente o somatório anterior converge para aárea A da região limitada pelo grá�co de f e pelas retasy = 0, x = a e y = b. Portanto a área dessa região é dada por

A = limn→∞

[Σnj=1f (xj)]4x

Mas esse limite é exatamente igual a de�nição de integral de�nida ecom isso observamos que a integral de�nida de uma funçãocontínua e positiva, para x variando de a até b, fornece a área daregião limitada pelo grá�co de f, pelo eixo x e pelas retas x = a ex = b.

Ex:Usar integração para calcular a área das regiões delimitadas peloeixo x e pela função f (x) = 2x + 3 no intervalo de [1, 3]





A = limn→∞

[Σnj=1f (xj)]4x







A = limn→∞

[Σnj=1f (xj)]4x




1o Teorema Fundamental do Cálculo

Seja f uma função contínua no intervalo I. Escolhendo c em I, sejaA a função de domínio I dada por A(x) =

∫ xc f . Então para todo x

de I, tem-sedA

dx(x) = f (x)

Ex:∫2xdx


Se F é uma primitiva de f em I e se a e b são números de I, então∫ b

af (t)dt = F (b)− F (a).

Exemplo:

a)∫4

0(2x + 10)dx

b)∫4

−3(x2 − x − 1)dx





de I, tem-sedA

dx(x) = f (x)

Ex:∫2xdx



af (t)dt = F (b)− F (a).

Exemplo:

a)∫4

0(2x + 10)dx

b)∫4

−3(x2 − x − 1)dx





de I, tem-sedA

dx(x) = f (x)

Ex:∫2xdx



af (t)dt = F (b)− F (a).

Exemplo:

a)∫4

0(2x + 10)dx

b)∫4

−3(x2 − x − 1)dx





de I, tem-sedA

dx(x) = f (x)

Ex:∫2xdx



af (t)dt = F (b)− F (a).

Exemplo:

a)∫4

0(2x + 10)dx

b)∫4

−3(x2 − x − 1)dx


Propriedades da Integral De�nida

∫ ba (mf + ng)(x)dx = m

∫ ba f (x)dx + n

∫ ba g(x)dx∫ b

a mf (x)dx = m∫ ba f (x)dx∫ b

a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b

a (f + g)(x)dx =∫ ba f (x)dx +

∫ ba g(x)dx∫ b

a (f − g)(x)dx =∫ ba f (x)dx −

∫ ba g(x)dx∫ b

a (f )(x)dx =∫ ca f (x)dx +

∫ bc f (x)dx , com a ≤ c ≤ b∫ b

a (f )(x)dx = −∫ ab f (x)dx




∫ ba f (x)dx + n

∫ ba g(x)dx∫ b


a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b


∫ ba g(x)dx∫ b


∫ ba g(x)dx∫ b







∫ ba f (x)dx + n

∫ ba g(x)dx∫ b


a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b


∫ ba g(x)dx∫ b


∫ ba g(x)dx∫ b







∫ ba f (x)dx + n

∫ ba g(x)dx∫ b


a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b


∫ ba g(x)dx∫ b


∫ ba g(x)dx∫ b







∫ ba f (x)dx + n

∫ ba g(x)dx∫ b


a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b


∫ ba g(x)dx∫ b


∫ ba g(x)dx∫ b







∫ ba f (x)dx + n

∫ ba g(x)dx∫ b


a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b


∫ ba g(x)dx∫ b


∫ ba g(x)dx∫ b







∫ ba f (x)dx + n

∫ ba g(x)dx∫ b


a (−f )(x)dx = −∫ ba f (x)dx∫ b


∫ ba g(x)dx∫ b


∫ ba g(x)dx∫ b





Exemplos:Calcule as seguintes integrais:

a)∫2

1x2dx

b)∫3

−1 4dx

c)∫2

0(x3 + 3x − 1)dx

d)∫2

1

1

x2dx

e)∫2

1( 1

x + 1

x3)dx

f)∫ π

8

0sin 2xdx

g)∫1

0e−xdx


Mudança de variável na integral

Seja f contínua num intervalo I e sejam a e b dois reais quaisquerem I. Seja g : [c , d ]→ I , com g' contínua em [c,d], tal queg(c) = a e g(d) = b. Nestas condições∫ b

af (x)dx =

∫ d

cf (g(u))g ′(u)du

Exemplos:

a)∫1

0(x − 1)10dx

b)∫11

2

√2x − 1dx

c)∫1

0e3xdx

d)∫1

0

xx2+1

dx

e)∫2

1x√x2 + 1dx


Mudança de variável na integral

Seja f contínua num intervalo I e sejam a e b dois reais quaisquerem I. Seja g : [c , d ]→ I , com g' contínua em [c,d], tal queg(c) = a e g(d) = b. Nestas condições∫ b

af (x)dx =

∫ d

cf (g(u))g ′(u)du

Exemplos:

a)∫1

0(x − 1)10dx

b)∫11

2

√2x − 1dx

c)∫1

0e3xdx

d)∫1

0

xx2+1

dx

e)∫2

1x√x2 + 1dx


Cálculo da Integral Inde�nida

Sejam f e g tais que Img ⊂ Df com g derivável. Suponhamos queF seja uma primitiva de f, isto é, F ′ = f . Segue que, F ′(g(x)) éuma primitiva de f (g(x))g ′(x). Desse modo, de∫

f (u)du = F (u) + k

segue ∫f (g(x))g ′(x)dx = F (g(x)) + k

Fazendo u = g(x) e du = g ′(x)dx temos que∫f (g(x))g ′(x)dx =

∫f (u)du = F (u) + k = F (g(x)) + k


Primitivas Imediatas

a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k

g)∫cos xdx = sin x + k

h)∫sin xdx = − cos x + k

i)∫sec2 xdx = tan x + k

j)∫sec x tan xdx = sec x + k

l)∫sec xdx = ln | sec x + tan x |+ k

m)∫tan xdx = − ln | cos x |+ k

n)∫

1

1+x2dx = arctan x + k

o)∫

1√1−x2 dx = arcsin x + k



a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k







n)∫

1


o)∫




a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k







n)∫

1


o)∫




a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k







n)∫

1


o)∫




a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k







n)∫

1


o)∫




a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k







n)∫

1


o)∫




a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k







n)∫

1


o)∫




a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k







n)∫

1


o)∫




a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k







n)∫

1


o)∫




a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k







n)∫

1


o)∫




a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k







n)∫

1


o)∫




a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k







n)∫

1


o)∫




a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k







n)∫

1


o)∫




a)∫cdx = cx + k

b)∫xαdx = xα+1

α+1+ k (α 6= −1)

c)∫exdx = ex + k

d)∫

1

x dx = ln x + k, (x > 0)

e)∫

1

x dx = ln(−x) + k , (x < 0)

f)∫

1

x dx = ln |x |+ k







n)∫

1


o)∫



Regras algebricas para Integração Inde�nida

1)∫kf (x)dx = k

∫f (x)dx , k uma constante qualquer.

2)∫

[f (x)± g(x)]dx =∫f (x)dx ±

∫g(x)dx

Obs.: Não existe regra para a integral do produto e do quocientede duas funções.

Ex1.: Calcule:

a)∫x√xdx

b)∫

x3+1

x dx

c)∫e2xdx

d)∫cos2 xdx


Ex2:

a)∫x cos x2dx

b)∫e3xdx

c)∫

(2x + 1)3dx

d)∫

x1+x2

dx

e)∫x√1 + x2

f)∫sin3 x cos xdx

g)∫

sin xcos3 x

dx


Integração por partes

Suponhamos f e g de�nidas e deriváveis num intervalo I. Temos

[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)

ouf (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x)

Supondo então, que f ′(x)g(x) admita primitiva em I e observandoque f (x)g(x) é uma primitiva de [f (x)g(x)]′, então f (x)g ′(x)também admitirá primitiva em I e∫

f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)−∫

f ′(x)g(x)dx

que é a integração por partes. Fazendo u = f (x) e v = g(x)

teremos du = f ′(x)dx e dv = g ′(x)dx , temos que∫udv = uv −

∫vdu


Integração por partes

Suponhamos f e g de�nidas e deriváveis num intervalo I. Temos

[f (x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)

ouf (x)g ′(x) = [f (x)g(x)]′ − f ′(x)g(x)

Supondo então, que f ′(x)g(x) admita primitiva em I e observandoque f (x)g(x) é uma primitiva de [f (x)g(x)]′, então f (x)g ′(x)também admitirá primitiva em I e∫

f (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)−∫

f ′(x)g(x)dx

que é a integração por partes. Fazendo u = f (x) e v = g(x)

teremos du = f ′(x)dx e dv = g ′(x)dx , temos que∫udv = uv −

∫vdu


Exemplos:

a)∫x cos xdx

b)∫ex cos xdx

c)∫cos2 xdx

d)∫ t1x ln xdx


Cálculo de Áreas

Suponha que f e g sejam de�nidas e contínuas em [a, b] tais que,f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b]. Então a área da região R limitadas pelosgrá�cos de f e g e pelas retas x = a e x = b, é dada por

A =

∫ b

a[f (x)− g(x)]dx

independente de f e g serem positiva ou não. De fato, temos trêspossibilidades:


Cálculo de Áreas

Suponha que f e g sejam de�nidas e contínuas em [a, b] tais que,f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b]. Então a área da região R limitadas pelosgrá�cos de f e g e pelas retas x = a e x = b, é dada por

A =

∫ b

a[f (x)− g(x)]dx

independente de f e g serem positiva ou não. De fato, temos trêspossibilidades:




Exemplos: Encontre a área da região limitada:

a) pelo grá�co de f (x) = x3 pelo eixo x e pelas retas x = −1 ex = 1.

b) pelas curvas x = 0, x = 1, y = 2 e pelo grá�co de y = x2.

c) do conjunto de todos os pontos (x , y) tais que x2 ≤ y ≤√x .


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