11 integrais múltiplos

Capítulo # 11

FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS: INTEGRAIS MÚLTIPLOS

11.1 Integrais duplos em domínios rectangulares de IR2

11.2 Integrais duplos em domínios limitados

arbitrários de IR2 11.3 Aplicações de integrais duplos 11.4 Integrais duplos em coordenadas polares 11.5 Superfícies paramétricas e área superficial 11.6 Integrais triplos em domínios limitados

arbitrários de IR3 11.7 Aplicações de integrais triplos 11.8 Integrais triplos em coordenadas

cilíndricas e esféricas 11.9 Integrais múltiplos impróprios 11.A Mudanças de variáveis e Jacobianos

11.1 INTEGRAIS DUPLOS EM DOMÍNIOS RECTANGULARES DE IR2 ________________________________________________________________

1

11.1 Integrais duplos em domínios rectangulares de IR2 11.1.1 Motivação geométrica na origem do integral duplo

Um integral duplo, representado pelo símbolo

�

R∫∫ f(x,y) dA , é um integral de

uma função de duas variáveis, que supomos definida e limitada em todos os pontos de um certo domínio limitado R ⊂ IR2. A motivação geométrica inicial que levou à definição do integral duplo foi a de calcular o volume de sólidos “cilíndricos” como o sólido T representado na figura seguinte, o qual é delimitado pelo gráfico de uma função contínua e não- -negativa f(x,y), definida num certo domínio limitado R ⊂ IR2:

T = {(x,y,z) ∈ IR3: (x,y) ∈ R ∧ 0 ≤ z ≤ f(x,y)}

Contudo, como se verá ao longo do curso, as aplicações práticas dos integrais duplos excedem largamente esta simples motivação geométrica inicial.

CAPÍTULO # 11: FUNÇÕES DE VÁR. VARIÁVEIS: INTEGRAIS MÚLTIPLOS ________________________________________________________________

2

11.1.2 Definição do integral duplo em domínios rectangulares Começaremos por fazer a definição do integral duplo para o caso de o domínio R ter a forma mais simples possível: um rectângulo com os lados paralelos aos eixos coordenados no plano Oxy. Seja então f(x,y) uma função definida e limitada (isto é, sem descontinuidades infinitas) em todos os pontos do seguinte rectângulo compacto R ⊂ IR2:

R = {(x,y) ∈ IR2: a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} Se efectuarmos uma partição arbitrária do intervalo [a,b] em m sub-intervalos (a = x0 < x1 < ... < xm = b) e outra partição arbitrária do intervalo [c,d] em n sub-intervalos (c = y0 < y1 < ... < yn = d) resulta uma partição do rectângulo R em k = (m x n) sub-rectângulos Ri, designada por P = {Ri}, em que 1 ≤ i ≤ k:

Como medida do tamanho dos sub-rectângulos Ri da partição P, define-se a malha (ou norma) da partição, representada por |P|, como sendo comprimento da maior diagonal de todos os sub-rectângulos Ri que constituem a partição P.


3

Se escolhermos um ponto arbitrário de coordenadas (x

�

i*, y

�

i*) associado a cada

sub-rectângulo Ri, o conjunto S = {(x

�

i*, y

�

i*) ∈ Ri}, com 1 ≤ i ≤ k, é aquilo que

chamamos uma selecção associada à partição P do rectângulo R. Se representarmos a área do sub-rectângulo Ri por ∆Ai, a soma de Riemann para a função f(x,y), associada com a partição P do rectângulo R e a selecção S escolhida para essa partição, é definida pelo seguinte somatório:

�

i=1

k∑ f(x

�

i*, y

�

i*) ∆Ai

Interpretação geométrica de f(x

�

i*, y

�

i*) ∆Ai:

Se f(x

�

i*, y

�

i*) > 0, o produto f(x

�

i*, y

�

i*) ∆Ai

representa o volume de um paralelepípedo com área da base ∆Ai e altura f(x

�

i* , y

�

i*); se

f(x

�

i*, y

�

i*) < 0, o produto f(x

�

i*, y

�

i*) ∆Ai

representa o simétrico do volume do mesmo paralelepípedo.

Portanto, a soma de Riemann acima definida pode ser interpretada em termos geométricos como sendo a soma algébrica dos volumes dos paralelepípedos que são definidos pela partição P do rectângulo R e pela selecção S associada a P.

Exemplo 11.1 Interpretação geométrica de uma soma de Riemann para a

função f(x,y) = 4 + xy, definida na seguinte restrição de IR2 :

R = {(x,y) ∈ IR2 : 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 2}


4

Foi feita uma partição regular 4 por 4 da região R, e foi escolhido o centro de cada um dos 16 quadrados assim obtidos para calcular o valor de f(x

�

i*, y

�

i*) que

aparece na soma de Riemann. Resulta daqui um conjunto de 16 paralelepípedos, todos com a mesma área da base (∆Ai = 0.25) e com alturas variáveis, representados na figura seguinte:

A soma de Riemann é, neste caso, numericamente igual à soma dos volumes dos 16 paralelepípedos, já que se tem f(x

�

i* , y

�

i*) > 0, ∀i.

Se existir o limite quando |P| → 0 da soma de Riemann para a função f(x,y), qualquer que seja a partição P do rectângulo R e a selecção S associada a P, diremos que a função f(x,y) é integrável no rectângulo R ⊂ IR2, e chamamos ao referido limite integral duplo de f(x,y) em R:

�

R∫∫ f(x,y) dA

�

≡def.

�

lim|P|→0

�

i=1

k∑ f(x

�

i*, y

�

i*) ∆Ai


5

A interpretação geométrica do integral duplo é uma consequência imediata desta definição e da interpretação geométrica das somas de Riemann: se f(x,y) ≥ 0 em R, o integral duplo representa o volume do sólido “paralelepipédico” delimitado pelo gráfico da função f(x,y) e pelo rectângulo R; se f(x,y) ≤ 0 em R, o integral duplo representa o simétrico do volume desse sólido; finalmente, se f(x,y) mudar de sinal em R, o integral duplo representa a diferença dos volumes da parte do sólido situada acima do plano Oxy e da parte do mesmo sólido situada abaixo do plano Oxy.

Exemplo 11.2 Interpretação geométrica do integral duplo

�

R∫∫ (4 + xy) dA,

em que R = {(x,y) ∈ IR2: 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 2}.

O valor numérico do integral duplo

�

R∫∫ (4 + xy) dA é igual ao volume do

sólido “paralelepipédico” representado na figura seguinte, o qual é delimitado “em cima” pelo gráfico da função f(x,y) = 4 + xy, e “em baixo” pelo domínio rectangular R onde a função está definida, já que se tem f(x,y) ≥ 0, ∀(x,y) ∈ R :


6

O problema de saber quais as funções que são integráveis num domínio rectangular R é um problema muito importante, cuja análise detalhada está fora do âmbito desta cadeira. Limitar-nos-emos assim a dar uma resposta parcial a este problema, sem a demonstrarmos: a continuidade de f(x,y) em R é uma condição suficiente (mas não necessária) para que exista o integral duplo dessa função em R. 11.1.3 Integrais parciais de funções de duas variáveis Seja f(x,y) uma função definida e limitada num rectângulo compacto R ⊂ IR2 com os lados paralelos aos eixos coordenados. Se integrarmos f(x,y) apenas com respeito a y entre c e d, mantendo x fixo num valor entre a e b, obtemos como resultado uma função de x, designada por G(x), que é chamada integral parcial

de f(x,y) com respeito à variável y, por analogia com a derivada parcial

�

∂f∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ :

G(x)

�

≡def.

�

c

d∫ f(x,y) dy , em que a ≤ x ≤ b

Se integrarmos f(x,y) apenas com respeito a x entre a e b, mantendo y fixo num valor entre c e d, este integral é uma função de y, designada por H(y), e chamada integral parcial de f(x,y) com respeito à variável x, por analogia com a

derivada parcial

�

∂f∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ :

H(y)

�

≡def.

�

a

b∫ f(x,y) dx , em que c ≤ y ≤ d

Se a função f(x,y) for não-negativa em R, as funções G(x) e H(y) representam a área de secções rectas do sólido paralelepipédico” delimitado pelo gráfico de f(x,y) e pelo rectângulo R, secções essas que são normais ao eixo Ox e ao eixo Oy, respectivamente:


7

Se f(x,y) ≥ 0, a área de uma secção recta normal a Ox é: G(x) =

�

c

d∫ f(x,y) dy

Se f(x,y) ≥ 0, a área de uma secção recta normal a Oy é: H(y) =

�

a

b∫ f(x,y) dx

11.1.4 Integrais iterados de funções de duas variáveis Um integral iterado de f(x,y) corresponde a fazer duas integrações sucessivas: primeiro, um integral parcial com respeito a uma das variáveis; em seguida, um integral da função resultante com respeito à outra variável. Assim, se a função

G(x) =

�

c

d∫ f(x,y) dy for integrável entre x = a e x = b, podemos definir o

seguinte integral iterado de f(x,y) no rectângulo R:

�

c

d∫ab∫ f(x,y) dy dx

�

≡def.

�

f(x,y) dyc

d∫

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

a

b∫ dx =

�

a

b∫ G(x) dx

Analogamente, se a função H(y) =

�

a

b∫ f(x,y) dx for integrável entre y = c e

y = d, podemos definir outro integral iterado de f(x,y) no mesmo rectângulo R:

�

a

b∫cd∫ f(x,y) dx dy

�

≡def.

�

f(x,y) dxa

b∫

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

c

d∫ dy =

�

c

d∫ H(y) dy


8

11.1.5 Cálculo de integrais duplos utilizando integrais iterados A importância fundamental dos integrais iterados que acabámos de definir é evidente do seguinte teorema: Teorema: Se f(x,y) for contínua num rectângulo R ⊂ IR2 cujos lados são

paralelos aos eixos coordenados, então:

�

R∫∫ f(x,y) dA =

�

c

d∫ab∫ f(x,y) dy dx =

�

a

b∫cd∫ f(x,y) dx dy

Ou seja, o cálculo do integral duplo de f(x,y) em R fica reduzido ao cálculo de um qualquer dos dois integrais iterados de f(x,y) em R, em que a ordem de integração utilizada para o efeito é teoricamente indiferente: podemos integrar primeiro com respeito a y e depois com respeito a x (simbolicamente, “dy dx”), ou então integrar primeiro com respeito a x e depois com respeito a y (simbolicamente, “dx dy”). Na prática, porém, acontece frequentemente que uma destas duas ordens de integração conduz a cálculos mais simples, e então essa deverá ser obviamente a ordem utilizada para calcular o integral duplo.

Exemplo 11.3 Calcule o integral duplo

�

R∫∫ (4x3 + 6xy2) dA por dois

processos diferentes, sabendo que R é o rectângulo seguinte:

R = {(x,y) ∈ IR2: 1 ≤ x ≤ 3 ∧ – 2 ≤ y ≤ 1}.

• 1º Processo: integrar 1º com respeito a y e depois com respeito a x:

�

R∫∫ (4x3 + 6xy2) dA =

�

−2

1∫13∫ (4x3 + 6xy2) dy dx =


9

=

�

1

3∫

�

4x3y + 2xy3[ ] y= −2

y=1 dx =

�

1

3∫

�

(4x3 + 2x) − (− 8x3 − 16x)( ) dx =

=

�

1

3∫ (12x3 + 18x) dx =

�

3x4 + 9x2[ ]13

= 312

• 2º Processo: integrar 1º com respeito a x e depois com respeito a y:

�

R∫∫ (4x3 + 6xy2) dA =

�

1

3∫−2

1∫ (4x3 + 6xy2) dx dy =

=

�

−2

1∫

�

x4 + 3x2y2[ ] x=1

x= 3 dy =

�

−2

1∫

�

(81 + 27y2) − (1 + 3y2)( ) dy =

=

�

−2

1∫ (80 + 24y2) dy =

�

80y + 8y3[ ] − 21

= 312

Convém referir aqui um caso particular do teorema acima enunciado, em que o integral duplo de f(x,y) em R é igual ao produto de dois integrais simples, sem que seja necessário calcular integrais iterados; isso acontece sempre que f(x,y) for o produto de uma função só de x por uma função só de y: Corolário: Se f(x,y) = f1(x) f2(y) for contínua num rectângulo R ⊂ IR2 com

os lados paralelos aos eixos coordenados

�

R∫∫ f(x,y) dA =

�

f1 (x) dxa

b∫

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

f2 (y) dyc

d∫

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ .


10

Problemas propostos / Secção 11.1 1. Avalie os seguintes integrais duplos iterados:

(a)

�

0

3∫03∫ (xy + 7x + y) dx dy;

(b)

�

0

π∫01∫ ex sen y dy dx;

(c)

�

1

e∫0

π /2∫

�

sen yx

dx dy;

(d)

�

1

3∫12∫

�

xy

+yx

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ dx dy.

2. Avalie os seguintes integrais duplos na região rectangular R indicada:

(a)

�

R∫∫ x

�

1 − x2 dA, com R = {(x,y): 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 2 ≤ y ≤ 3};

(b)

�

R∫∫ cos (x + y) dA, com R = {(x,y): – π/4 ≤ x ≤ π/4 ∧ 0 ≤ y ≤ π/4}.

Soluções dos problemas propostos / Secção 11.1

1. (a)

�

5134

;

(b) 2 (e – 1); (c) 1; (d) ln

�

48 3( ).

2. (a)

�

13

;

(b) 1.

11.2 INTEGRAIS DUPLOS EM DOMÍNIOS LIMITADOS ARBITR. DE IR2 ________________________________________________________________

11

11.2 Integrais duplos em domínios limitados arbitrários de IR2 11.2.1 Definição do conceito Seja f(x,y) uma função definida e limitada num domínio limitado arbitrário R ⊂ IR2, e seja A um rectângulo qualquer com os lados paralelos aos eixos coordenados que contém R, isto é, R ⊆ A. Se fizermos uma partição arbitrária Q do rectângulo A em sub-rectângulos, e se apenas considerarmos os k sub-rectângulos que ficam totalmente dentro de R, esse conjunto, representado por P = {Ri}, com 1 ≤ i ≤ k, constitui o que se costuma chamar uma partição interna de R, determinada pela partição Q de A:

A norma |P| desta partição interna é, por definição, igual à norma |Q| da partição que originou P. Escolhendo um ponto arbitrário (x

�

i*, y

�

i*) em cada um dos k sub-

-rectângulos Ri que constituem a partição interna P, obtém-se uma selecção S associada a P.


12

Se representarmos a área do sub-rectângulo Ri por ∆Ai, a soma de Riemann para a função f(x,y), associada com a partição interna P de R e com a selecção S

escolhida para essa partição, é dada pelo somatório

�

i=1

k∑ f(x

�

i*, y

�

i*) ∆Ai .

Se existir o limite desta soma quando |P| → 0, esse limite é, por definição, o integral duplo de f(x,y) no domínio limitado arbitrário R ⊂ IR2:

�

R∫∫ f(x,y) dA

�

≡def.

�

lim|P|→0

�

i=1

k∑ f(x

�

i*, y

�

i*) ∆Ai

É possível demonstrar-se que é condição suficiente de existência deste integral que f(x,y) seja contínua em R, e que a fronteira do domínio de integração R seja formada por um número finito de arcos de curva suaves. Quanto à interpretação geométrica do integral duplo assim definido, mantém-se tudo o que atrás dissemos no caso de domínios rectangulares, se substituirmos agora “paralelepipédico” por “cilíndrico”.

Portanto, se f(x,y) ≥ 0 em R, o integral duplo

�

R∫∫ f(x,y) dA representa o

volume do sólido “cilíndrico” T que é delimitado “em cima” pelo gráfico da função f(x,y) e “em baixo” pelo domínio de integração R, que era o nosso objectivo inicial ao introduzir o conceito de integral, como afirmámos atrás. 11.2.2 Propriedades básicas dos integrais duplos As propriedades básicas dos integrais duplos são extensões naturais das correspondentes propriedades para integrais simples que estudámos atrás, a saber: linearidade da operação de integração, decomposição do domínio de integração e o teorema da estimativa do integral duplo.


13

11.2.2.1 Linearidade da operação de integração O resultado seguinte garante-nos que o integral duplo da soma de duas funções é igual à soma dos integrais duplos de cada uma dessas funções, se esses integrais existirem: Teorema: Se f(x,y) e g(x,y) forem integráveis em R ⊂ IR2, a soma

[f(x,y) + g(x,y)] também é integrável no mesmo domínio, sendo:

�

R∫∫ [f(x,y) + g(x,y)] dA =

�

R∫∫ f(x,y) dA +

�

R∫∫ g(x,y) dA

Como já acontecia com integrais simples, também no caso dos integrais duplos é sempre válido colocar qualquer constante multiplicativa “dentro” ou “fora” do integral, conforme for mais conveniente: Teorema: Se f(x,y) for integrável em R ⊂ IR2, e se c for uma constante

arbitrária, então [c f(x,y)] também é integrável no mesmo domínio, sendo:

�

R∫∫ [c f(x,y)] dA = c

�

R∫∫ f(x,y) dA, ∀c ∈ IR

Estes dois resultados, em conjunto, implicam que a integração de funções de duas variáveis é linear, ou seja, o integral duplo em R de uma combinação linear de n funções {fi(x,y), i = 1, ... , n} é igual à mesma combinação linear dos integrais duplos em R dessas n funções, caso esses integrais existam todos:

�

R∫∫

�

⎡ ⎣ ⎢

�

i=1

n∑ ci fi(x,y)

�

⎤ ⎦ ⎥ dA =

�

i=1

n∑ ci

�

⎡ ⎣ ⎢

�

R∫∫ fi(x,y) dA

�

⎤ ⎦ ⎥ , ∀ci ∈ IR


14

11.2.2.2 Decomposição do domínio de integração Teorema: Se f(x,y) for integrável em R ⊂ IR2, e se R = R1 ∪ R2, em

que R1 e R2 são regiões com interiores disjuntos, então:

�

R∫∫ f(x,y) dA =

�

R1∫∫ f(x,y) dA +

�

R2∫∫ f(x,y) dA

11.2.2.3 Teorema da estimativa do integral duplo É possível obter uma estimativa do valor de um integral duplo, se conhecermos a área do domínio de integração, conjuntamente com um minorante e um majorante dos valores que a função assume nesse domínio: Teorema: Se f(x,y) for integrável em R ⊂ IR2, e se m ≤ f(x,y) ≤ M,

∀(x,y) ∈ R, então:

m A(R) ≤

�

R∫∫ f(x,y) dA ≤ M A(R)

em que A(R) representa a área do domínio R.


15

Como consequência imediata deste teorema, obtém-se um método importante para calcular a área do domínio R por meio de um integral duplo; de facto, se f(x,y) = 1 em R, podemos escolher m = M = 1, e resulta o seguinte corolário:

Corolário:

�

R∫∫ dA = A(R)

11.2.3 Integrais iterados em regiões simples de IR2 Uma região R ⊂ IR2 diz-se y-simples (ou verticalmente simples) se puder ser descrita como segue:

R = {(x,y) ∈ IR2: a ≤ x ≤ b ∧ y1(x) ≤ y ≤ y2(x)}

em que, por hipótese, y1(x) e y2(x) são funções contínuas em [a,b]:

Se f(x,y) for uma função qualquer definida e limitada em R, o integral parcial de f(x,y) com respeito a y em R terá agora limites variáveis, y1(x) e y2(x):


16

G(x)

�

≡def.

�

y1 (x)

y 2 (x)∫ f(x,y) dy , em que a ≤ x ≤ b

Se agora integrarmos G(x) em [a,b], resulta o integral iterado de f(x,y) associado a este domínio y-simples ou verticalmente simples:

�

y1 (x)

y 2 (x)∫ab∫ f(x,y) dy dx

�

≡def.

�

f(x,y) dyy1 (x)

y 2 (x)∫⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ a

b∫ dx =

�

a

b∫ G(x) dx

Exemplo 11.4 Calcule o integral iterado

�

x

x2

∫12∫ xy2 dy dx , começando

por esboçar o domínio de integração.

O domínio de integração é y-simples ou verticalmente simples, visto que pode ser descrito da seguinte forma (ver limites de integração):

R = {(x,y) ∈ IR2: 1 ≤ x ≤ 2 ∧ x ≤ y ≤ x2}


17

G(x) =

�

x

x2

∫ xy2 dy =

�

1/3 xy3[ ] y = x

y = x2= 1/3 (x7– x4)

�

x

x2

∫12∫ xy2 dy dx =

�

1

2∫ G(x) dx =

�

1

2∫ 1/3 (x7– x4) dx =

= 1/3

�

x8

8−

x5

5

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ 1

2

=

�

1027120

Uma região R ⊂ IR2 diz-se x-simples (ou horizontalmente simples) se

R = {(x,y) ∈ IR2: c ≤ y ≤ d ∧ x1(y) ≤ x ≤ x2(y)}

em que, por hipótese, x1(y) e x2(y) são funções contínuas em [c,d]:

Se f(x,y) for uma função definida e limitada em R, o integral parcial de f(x,y) com respeito a x em R terá agora limites de integração variáveis, x1(y) e x2(y):


18

H(y)

�

≡def.

�

x1 (y)

x 2 (y)∫ f(x,y) dx , em que c ≤ y ≤ d

Se agora integrarmos H(y) em [c,d], resulta o integral iterado de f(x,y) associado a este domínio x-simples ou horizontalmente simples:

�

x1 (y)

x 2 (y)∫cd∫ f(x,y) dx dy

�

≡def.

�

f(x,y) dxx1 (y)

x 2 (y)∫⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ c

d∫ dy =

�

c

d∫ H(y) dy

Exemplo 11.5 Calcule o integral iterado

�

0

cos y∫0

π /2∫ x sen y dx dy,

começando por esboçar o domínio de integração. O domínio de integração é x-simples ou horizontalmente simples, visto que pode ser descrito da seguinte forma (ver limites de integração):

R = {(x,y) ∈ IR2: 0 ≤ y ≤ π/2 ∧ 0 ≤ x ≤ cos y}


19

H(y) =

�

0

cos y∫ x sen y dx =

�

12x2 sen y⎡

⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ x = 0

x = cos y =

�

12

cos2 y sen y

�

0

cos y∫0

π /2∫ x sen y dx dy =

�

0

π /2∫ H(y) dy =

=

�

0

π /2∫

�

12

cos2 y sen y dy = –

�

16

�

cos3 y[ ]0

π/2 =

�

16

11.2.4 Avaliação de integrais duplos pelo teorema de Fubini A avaliação de integrais duplos de funções contínuas pode ser feita, em geral, por intermédio dos integrais iterados que acabámos de definir para regiões x-simples ou y-simples do plano Oxy, de acordo com o teorema de Fubini: Teorema: Seja f(x,y) uma função contínua num domínio compacto R ⊂ IR2.

Se R for y-simples, o integral duplo de f(x,y) em R pode ser calculado por:

�

R∫∫ f(x,y) dA =

�

y1 (x)

y 2 (x)∫ab∫ f(x,y) dy dx;

Se R for x-simples, o integral duplo de f(x,y) em R pode ser calculado por:

�

R∫∫ f(x,y) dA =

�

x1 (y)

x 2 (y)∫cd∫ f(x,y) dx dy.

Este teorema deverá ser completado com as seguintes observações:


20

• Se R for x-simples e y-simples, poderá em princípio escolher-se a ordem de integração (ou seja, o integral iterado) mais fácil. o que depende não só da forma do domínio R, como também da própria função f(x,y):

�

y1 (x)

y 2 (x)∫ab∫ f(x,y) dy dx =

�

x1 (y)

x 2 (y)∫cd∫ f(x,y) dx dy.

Este é o resultado a que devemos recorrer quando for necessário “mudar a ordem de integração” num integral duplo iterado.

• Se R não for x-simples nem y-simples, poderá em geral ser dividida num

número finito de regiões x-simples ou y-simples, às quais o teorema de Fubini pode ser aplicado. No fim, pelo teorema da decomposição do domínio de integração, basta adicionar os resultados assim obtidos.

Exemplo 11.6 Calcule o integral duplo

�

R∫∫

�

ex2

dA, em que a região R é

o triângulo delimitado pelas rectas x = 1, y = 0 e y = 2x. A região R é simultaneamente x-simples e y-simples:


21

R é x-simples: R = {(x,y): 0 ≤ y ≤ 2 ∧ y/2 ≤ x ≤ 1} ↔

�

y/2

1∫02∫

�

ex2

dx dy

R é y-simples: R = {(x,y): 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2x} ↔

�

0

2x∫01∫

�

ex2

dy dx

Contudo, o 1º integral não pode ser avaliado, porque não existe a primitiva

elementar de

�

ex2

com respeito a x. Assim, só nos resta o 2º integral:

�

R∫∫

�

ex2

dA =

�

0

2x∫01∫

�

ex2

dy dx =

�

0

1∫

�

y ex2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ y = 0

y = 2x dx =

=

�

0

1∫ 2x

�

ex2

dx =

�

ex2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ 0

1 = e – 1

11.2.5 Valor médio de f(x,y) em R

Teorema da média para integrais duplos Definição: Se f(x,y) for integrável em R ⊂ IR2, o valor médio de f(x,y)

nesse domínio, representado por

�

f(x,y), é igual ao integral de f(x,y) em R a dividir pela área do domínio R:

�

f(x,y)

�

≡def.

�

1A(R)

�

R∫∫ f(x,y) dA =

�

f(x,y) dA

R∫∫

dA

R∫∫

Se f(x,y) ≥ 0 em R, o valor médio

�

f(x,y) pode ser interpretado em termos geométricos como sendo a altura média do sólido “cilíndrico” T que é delimitado “em baixo” por R e “em cima” pelo gráfico de f(x,y).


22

O teorema da média do Cálculo Integral aplicado a integrais duplos garante-nos que qualquer função f(x,y) que seja contínua num certo domínio R assume obrigatoriamente o seu valor médio algures nesse domínio: Teorema: (Teorema da média para integrais duplos)

f(x,y) contínua em R ⊂ IR2 ⇒ ∃(a,b) ∈ R :

�

f(x,y) = f(a,b) ⇔

⇔ ∃(a,b) ∈ R :

�

R∫∫ f(x,y) dA = f(a,b)

�

R∫∫ dA = f(a,b) A(R)

Exemplo 11.7 Calcule o valor médio da função f(x,y) = y sen (x y) no

rectângulo R = {(x,y) ∈ IR2: 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ π/2}.

�

R∫∫ y sen (x y) dA =

�

0

1∫0

π /2∫ y sen (x y) dx dy =

=

�

0

π /2∫

�

− cos (x y)[ ]x = 0

x = 1 dy =

�

0

π /2∫ (– cos y + 1) dy =

=

�

− sen y + y[ ]0π /2

= (– 1 + π/2) – (0 + 0) = π/2 – 1

A(R) = (1) (π/2) = π/2 ⇒

�

f(x,y) =

�

π /2 − 1π /2

=

�

π − 2π

.

Os pontos de R onde a função assume o seu valor médio poderiam ser obtidos

resolvendo a equação y sen (x y) =

�

π − 2π

, em que 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 < y ≤ π/2.


23

Problemas propostos / Secção 11.2 1. Avalie os seguintes integrais duplos iterados:

(a)

�

0

x2

∫01∫ xy dy dx;

(b)

�

− 2y

2y∫02∫ (3x + 2y) dx dy;

(c)

�

0

x3

∫01∫ ey/x dy dx;

(d)

�

0

y∫03∫

�

y2 + 16 dx dy.

2. Avalie os seguintes integrais duplos na região R indicada:

(a)

�

R∫∫ x (cos xy) dA, em que R é a região do plano delimitada pelas

curvas x = 1, x = 2, y = π/2 e y = 2π/x;

(b)

�

R∫∫

�

x

1 + y2 dA, em que R é a região do primeiro quadrante do

plano delimitada pelas curvas y = x2, y = 4 e x = 0;

(c)

�

R∫∫ (3x – 2y) dA, em que R é a região do plano delimitada pela

curva de equação x2 + y2 = 1;

(d)

�

R∫∫ x2 dA, em que R é a região do primeiro quadrante do plano

delimitada pelas curvas xy = 1, y = x e y = 2x;

(e)

�

R∫∫ sen y3 dA, em que R é a região do plano delimitada pelas

curvas y =

�

x , y = 2 e x = 0.


24

3. Em cada caso, escreva o correspondente integral iterado com a ordem de integração trocada e, em seguida, avalie esse integral:

(a)

�

4x

4∫01∫ e–y2

dy dx;

(b)

�

0

arccos x∫01∫ x dy dx;

(c)

�

arcsen y

π /2∫01∫ sec2 (cos x) dx dy.

4. Calcule o valor médio de f(x,y) no domínio R indicado em cada caso:

(a) f(x,y) = x

�

x2 + y , R = {(x,y): 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 3}; (b) f(x,y) = 10 – 8x2 – 2y2, R = {(x,y): 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2}.


1. (a)

�

112

;

(b)

�

645

;

(c)

�

e2

– 1;

(d)

�

613

.

2. (a) –

�

2π

;

(b)

�

17 − 12

;

(c) 0;

(d)

�

18

;

(e)

�

1 − cos 83

.

3. (a)

�

0

y/4∫04∫ e– y2

dx dy =

�

1 − e−16

8 ;


25

(b)

�

0

cos y∫0

π /2∫ x dx dy =

�

π8

;

(c)

�

0

sen x∫0

π /2∫ sec2 (cos x) dy dx = tg 1.

4. (a)

�

2 (31 − 9 3)45

;

(b)

�

143

.

11.3 APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DUPLOS ________________________________________________________________

27

11.3 Aplicações de integrais duplos 11.3.1 Cálculo de volumes utilizando integrais duplos Se f(x,y) for uma função contínua e não-negativa definida numa região limitada R ⊂ IR2, o volume do sólido “cilíndrico” delimitado pelo gráfico de f(x,y) e pela região R é, por definição, o integral duplo de f(x,y) em R (se o integral existir).

Volume de T =

�

R∫∫ f(x,y) dA , se f(x,y) ≥ 0 em R

Em geral, porém, f(x,y) poderá assumir valores positivos e negativos em R. Nesse caso, se quisermos calcular o volume do sólido “cilíndrico” delimitado pelo gráfico de f(x,y) e pelo domínio R, teremos de calcular o integral duplo de

�

f(x,y) no mesmo domínio, em vez de f(x,y). Se f(x,y) e g(x,y) forem duas funções contínuas definidas numa região plana limitada R, e se f(x,y) ≥ g(x,y) em R, o volume do sólido “cilíndrico” que é delimitado pelos gráficos das duas funções pode ser obtido calculando o integral duplo no domínio R de [f(x,y) – g(x,y)], mesmo quando as duas funções assumirem valores negativos em R:


28

Volume =

�

R∫∫ [f(x,y) – g(x,y] dA , se f(x,y) ≥ g(x,y) em R

Exemplo 11.8 Calcule o volume do sólido delimitado pelos planos z = 6 e

z = 2y, e pelos cilindros parabólicos y = x2 e y = 2 – x2.


29

A projecção deste sólido cilíndrico no plano Oxy é a região R delimitada pelas parábolas y = x2 e y = 2 – x2, que se intersectam nos pontos de coordenadas (1, 1) e (– 1, 1). Esta região pode ser descrita como sendo a união de duas regiões x-simples, ou então como uma única região y-simples:

R é a união de duas regiões x-simples:

�

(x,y) :0 ≤ y ≤ 1∧ − y ≤ x ≤ y{ } ∪

∪

�

(x,y) :1≤ y ≤ 2 ∧ − 2 − y ≤ x ≤ 2 − y{ }

R é y-simples:

�

(x,y) :−1≤ x ≤1 ∧ x2 ≤ y ≤ 2 − x2{ }

Claramente, é mais fácil considerar esta 2ª hipótese, já que envolve o cálculo de um único integral iterado, em vez de dois integrais. O volume pretendido é igual ao valor do integral duplo no domínio R da diferença entre a função “maior” e a função “menor”; ora, no domínio R, tem-se sempre 6 ≥ 2y, já que 0 ≤ y ≤ 2. Portanto, para calcularmos o volume pretendido, vamos integrar a função 6 – 2y:

V =

�

R∫∫ (6 – 2y) dA =

�

x22 − x2

∫− 1

1∫ (6 – 2y) dy dx =


30

=

�

− 1

1∫

�

6y − y2[ ] y = x2y = 2 − x2

dx =

�

− 1

1∫ (8 – 8x2) dx = 32/3

Note-se que, no caso de [f(x,y) – g(x,y)] assumir valores positivos e negativos em R, o volume de T é igual ao integral duplo de

�

f(x,y) − g(x,y) em R. 11.3.2 Cálculo de áreas utilizando integrais duplos O cálculo de áreas por meio de integrais duplos é uma consequência imediata do corolário do teorema da estimativa do integral duplo. O que nós calculamos de facto é ainda o volume de um sólido "cilíndrico", mas como f(x,y) = 1 em R, esse volume é numericamente igual à área da base do sólido, isto é, à área de R:

Área de R =

=

�

R∫∫ dA

Se R for uma região y-simples ou x-simples, o teorema de Fubini conduz-nos a resultados que já são nossos conhecidos do estudo das funções de uma variável:

• Área de região y-simples =

�

dy dxy1 (x)

y 2 (x)∫ab∫ =

�

a

b∫ [y2(x) – y1(x)] dx

• Área de região x-simples =

�

dx dyx1 (y)

x 2 (y)∫cd∫ =

�

c

d∫ [x2(y) – x1(y)] dy


31

Exemplo 11.9 Utilize um integral duplo para calcular a área da região R do

plano Oxy que é delimitada pela recta y = x e pela parábola y = x2 – 2x.

Esta região pode ser descrita como sendo a união de duas regiões x-simples, ou então como uma única região y-simples; é mais fácil considerar a 2ª hipótese, já que envolve o cálculo de um único integral iterado, em vez de dois integrais. Se resolvermos a equação x = x2 – 2x, concluímos que a recta e a parábola se intersectam nos pontos (0, 0) e (3, 3), pelo que a descrição y-simples de R será:

R = {(x,y) ∈ IR2: 0 ≤ x ≤ 3 ∧ x2 – 2x ≤ y ≤ x}

A(R) =

�

R∫∫ dA =

�

x2 − 2x

x∫03∫ dy dx =

�

0

3∫

�

y[ ]y = xy = x2 − 2x

dx =

=

�

0

3∫ [x – (x2 – 2x)] dx =

�

0

3∫ (3x – x2) dx =

�

92


32

11.3.3 Centro geométrico de figuras planas Definição: O centro geométrico (por vezes chamado “centróide”) de um

domínio compacto R ⊂ IR2 é o ponto cujas coordenadas (

�

x , y ) são os valores médios de x e de y em R, respectivamente:

�

x

�

≡def.

�

x dA

R∫∫

dA

R∫∫

;

�

y

�

≡def.

�

y dA

R∫∫

dA

R∫∫

É possível por vezes utilizar com vantagem o seguinte princípio de simetria: se a região plana R for simétrica com respeito à linha recta l, então o centro geométrico de R terá de estar situado obrigatoriamente sobre l:

Em particular, se R for simétrica com respeito à recta vertical x = a, então

�

x = a; e se R for simétrica com respeito à recta horizontal y = b, então

�

y = b.


33

11.3.4 Massa de uma lâmina de densidade variável Em linguagem corrente, uma lâmina é um objecto cuja espessura (ou altura) é desprezável quando comparada com as outras duas dimensões. Em linguagem matemática, uma lâmina é uma idealização deste conceito corrente, ou seja, é uma região plana bidimensional delimitada por uma (ou mais) curvas no plano Oxy, como a que é mostrada na figura anterior. Se uma lâmina R de massa m e área A for homogénea, a sua densidade de massa

δ (ou “massa por unidade de área”) será simplesmente dada por δ =

�

mA

.

Se a lâmina R não for homogénea, a sua densidade poderá variar de ponto para ponto, ou seja, poderá ser representada por meio de uma função δ(x,y). Se fizermos uma partição arbitrária da lâmina, a massa mi de uma pequena porção

de área ∆Ai será dada aproximadamente por mi ≈ δ(x

�

i*, y

�

i*) ∆Ai . Formando a

soma de Riemann correspondente, e passando ao limite quando ∆Ai

�

→ 0, obtém-se o integral duplo que nos dá o valor exacto da massa da lâmina R:

m(R) =

�

R∫∫ δ(x,y) dA

Exemplo 11.10 (i) Calcule as coordenadas do centro geométrico duma

lâmina delimitada pelo gráfico de y = cos x e pelo eixo Ox, entre x = – π/2 e x = π/2. (ii) Se a densidade de massa desta lâmina for representada

pela função δ(x,y) = 1 + y, calcule a massa da lâmina e a sua densidade média.


34

(i) Coordenadas do centro geométrico: Em virtude da simetria com respeito ao eixo Oy (x = 0), podemos afirmar imediatamente que

�

x = 0. Para obtermos

�

y , iremos considerar que R é uma região y-simples, descrita da seguinte forma:

R = {(x,y) ∈ IR2: – π/2 ≤ x ≤ π/2 ∧ 0 ≤ y ≤ cos x}

�

R∫∫ dA =

�

0

cos x∫− π /2

π /2∫ dy dx =

�

− π /2

π /2∫ cos x dx =

�

sen x[ ] π /2− π /2

= 2

�

R∫∫ y dA =

�

0

cos x∫− π /2

π /2∫ y dy dx =

�

− π /2

π /2∫

�

1/2 y2[ ] y = 0

y = cos x dx =

= 1/2

�

− π /2

π /2∫ cos2 x dx = 1/4

�

− π /2

π /2∫ (1 + cos 2x) dx = π/4

Portanto,

�

y ≡

�

(

�

R∫∫ y dA /

�

R∫∫ dA

�

) = π/8, e as coordenadas do centro

geométrico da região R acima representada são (0, π/8). (ii) Massa da lâmina e densidade média:

m(R) =

�

R∫∫ (1 + y) dA =

�

0

cos x∫− π /2

π /2∫ (1 + y) dy dx =

=

�

− π /2

π /2∫

�

y + 1/2 y2[ ] y = 0

y = cos x dx =

�

− π /2

π /2∫ (cos x + 1/2 cos2 x) dx =

=

�

− π /2

π /2∫ (cos x + 1/4 + 1/4 cos 2x) dx = 2 + π/4.

A densidade média da lâmina R é igual à massa m(R) a dividir pela área A(R):


35

�

δ(x,y)

�

≡def.

�

1A(R)

�

R∫∫ δ (x,y) dA =

�

m(R)A(R)

=

�

2 + π /42

= 1 + π/8.

Problemas propostos / Secção 11.3 1. Utilize um integral duplo para calcular o volume dos sólidos indicados:

(a) O tetraedro situado no primeiro octante que é delimitado pelos três planos coordenados e pelo plano z = 5 – 2x – y;

(b) O sólido situado no primeiro octante que é delimitado pelos planos x = 0, z = 0, x = 5, z = y e z + 2y = 6;

(c) O sólido delimitado pelas superfícies y2 = x, z = 0 e x + z = 1;


36

(d) O sólido delimitado pelas superfícies z = 1 + x2 + + y2 e z = 0, sendo o domínio de integração em Oxy delimitado pelas curvas y = x e y = 2 – x2;

(e) O sólido delimitado pelo parabolóide z = 1 – x2 – – y2 e pelo plano z = 0;

(f) O sólido situado no primeiro octante que é delimitado pelos cilindros circulares x2 + y2 = 25 e x2 + z2 = 25.

2. Utilize um integral duplo para calcular a área das regiões do plano

delimitadas pelas curvas dadas: (a) y = x2 + 1 e y = 2x2 – 3;

(b) y = x2 e y =

�

2

1 + x2 ;

(c) y = sen x e y = cos x, se 0 ≤ x ≤ π/4; (d) y = cosh x e y = senh x, se 0 ≤ x ≤ 1.


37

3. Em cada caso, calcule as coordenadas (

�

x ,

�

y ) do centro geométrico da região plana delimitada pelas curvas dadas: (a) x = 0, y = 0 e x + 2y = 4; (b) y = 0, y = x2 e x = 2; (c) x = 3y2 – 6y e x = 2y – y2; (d) y = 0 e y = sen x, no intervalo 0 ≤ x ≤ π.

4. Em cada caso, calcule a massa da lâmina delimitada pelas curvas dadas,

com densidade de massa δ(x,y): (a) y = 0, x = 1 e y =

�

x , com δ(x,y) = x + y; (b) y = sen x e y = 0 entre x = 0 e x = π, com δ(x,y) = y.


1. (a)

�

12512

;

(b) 15;

(c)

�

815

;

(d)

�

83770

;

(e)

�

π2

;

(f)

�

2503

.

2. (a)

�

323

;

(b) π –

�

23

;

(c)

�

2 – 1;

(d) 1 –

�

1e

.

3. (a)

�

43, 23

⎛ ⎝

⎞ ⎠ ;

(b)

�

32, 65

⎛ ⎝

⎞ ⎠ ;


38

(c)

�

−45, 1⎛

⎝ ⎞ ⎠ ;

(d)

�

π2, π8

⎛ ⎝

⎞ ⎠ .

4. (a)

�

1320

;

(b)

�

π4

.

11.4 INTEGRAIS DUPLOS EM COORDENADAS POLARES ________________________________________________________________

39

11.4 Integrais duplos em coordenadas polares 11.4.1 Integrais duplos em “rectângulos” polares Certos integrais duplos são mais facilmente calculados—ou, em certos casos, só podem ser calculados—se se fizer uma mudança de variáveis de coordenadas rectangulares para coordenadas polares, utilizando as conhecidas relações:

�

x = r cos θy = r sen θ⎧ ⎨ ⎩

.

A situação mais simples em que isto pode acontecer ocorre quando o domínio de integração R é um “rectângulo” polar, isto é, um domínio do plano Oxy que se transforma num rectângulo quando mudamos de coordenadas rectangulares para coordenadas polares:

R = {(x,y) ∈ IR2: a ≤ r ≤ b ∧ α ≤ θ ≤ β, com β – α ≤ 2π} Se a = 0, o “rectângulo” polar será um sector circular; se 0 < a < b, com α = 0 e β = 2π, o “rectângulo” polar será um anel circular.


40

Sabendo da geometria elementar que a área de um sector circular de raio r e

ângulo-ao-centro ∆θ é igual a

�

12

r2 ∆θ, podemos calcular a área do “rectângulo”

polar acima representado como diferença das áreas de dois sectores circulares:

A(R) =

�

12

b2 (β – α) –

�

12

a2 (β – α) =

�

12

(b + a) (b – a) (β – α) =

�

r ∆r ∆θ,

em que

�

r =

�

12

(b + a), ∆r = b – a e ∆θ = β – α.

Para calcularmos o integral duplo

�

R∫∫ f(x,y) dA, em que R é o “rectângulo”

polar acima referido, começamos por fazer uma partição do intervalo [a,b] em m sub-intervalos de comprimento ∆r = (b – a)/m:

a = r0 < r1 < …… < rm–1 < rm = b e depois uma partição do intervalo [α,β] em n sub-intervalos de comprimento ∆θ = (β – α)/n:

α = θ0 < θ1 < …… < θn–1 < θn = β.


41

Fica assim definida uma partição polar P do “rectângulo” polar R em k = m x n “sub-rectângulos” polares {Ri}, em que a malha ou norma |P| desta partição é o comprimento da maior diagonal de todos esses “sub-rectângulos”. Em seguida, escolhemos o ponto central de cada “sub-rectângulo” Ri, de

coordenadas polares (r

�

i*, θ

�

i*), em que r

�

i* e θ

�

i* representam os valores médios

das coordenadas radial e angular no “sub-rectângulo” Ri (ver figura anterior). A soma de Riemann para a função f(x,y) associada com a partição polar P do “rectângulo” polar R é então dada pelo somatório

�

i=1

k∑ f(x

�

i*, y

�

i*) ∆Ai

em que ∆Ai = r

�

i* ∆r ∆θ é a área do “sub-rectângulo” polar Ri. Se agora

substituirmos x

�

i* por (r

�

i* cos θ

�

i*) e y

�

i* por (r

�

i* sen θ

�

i*), esta soma de Riemann

ficará expressa apenas em coordenadas polares:

�

i=1

k∑ f(x

�

i* , y

�

i*) ∆Ai =

�

i=1

k∑ f(r

�

i* cos θ

�

i*, r

�

i* sen θ

�

i*) r

�

i* ∆r ∆θ .

Passando agora ao limite quando a norma da partição polar P tende para zero, o que implica que ∆r e ∆θ tendem para zero, obtém-se a importante fórmula que nos permite calcular o integral duplo de f(x,y) no “rectângulo” polar R como um integral iterado em coordenadas polares:

�

R∫∫ f(x,y) dA =

�

a

b∫α

β∫ f(r cos θ, r sen θ) r dr dθ

Note-se que, além de substituirmos x = r cos θ e y = r sen θ na função f(x,y), temos de multiplicar este resultado por r antes de integrar. Portanto, vamos de facto integrar uma nova função, que é g(r, θ) = f(r cos θ, r sen θ) r.


42

Note-se também que a ordem de integração no integral iterado acima escrito poderá ser trocada, se isso for mais conveniente em termos de cálculo, ou seja:

�

R∫∫ f(x,y) dA =

�

α

β∫ab∫ f(r cos θ, r sen θ) r dθ dr

Se o domínio R for um “rectângulo” polar e se, adicionalmente, a função g(r, θ) puder ser escrita como produto de uma função só de r por uma função só de θ, o integral iterado em coordenadas polares acima escrito transforma-se no produto de dois integrais simples:

g(r, θ) = f(r cos θ, r sen θ) r = g1(r) g2(θ) ⇒

⇒

�

R∫∫ f(x,y) dA =

�

⎛ ⎝

�

a

b∫ g1(r) dr

�

⎞ ⎠

�

⎛ ⎝

�

α

β∫ g2(θ) dθ

�

⎞ ⎠

11.4.2 Integrais duplos em regiões r-simples Se o domínio de integração R não for um “rectângulo” polar, ainda é possível

nalguns casos escrever o integral duplo

�

R∫∫ f(x,y) dA como sendo um integral

iterado em coordenadas polares, se utilizarmos o conceito mais geral de partição polar interna do domínio R, analogamente ao que fizemos atrás quando definimos integrais duplos em domínios limitados arbitrários de IR2. A única situação de importância prática que convém conhecer corresponde a termos uma região R ⊂ IR2 que pode ser descrita da seguinte forma:

R = {(x,y) ∈ IR2: α ≤ θ ≤ β ∧ r1(θ) ≤ r ≤ r2(θ), com β – α ≤ 2π} em que, por hipótese, r1(θ) e r2(θ) são funções contínuas em [α,β].


43

Uma região do plano Oxy que pode ser descrita desta maneira diz-se uma região r-simples, ou radialmente simples. Repare-se que todos os “raios” (isto é, semi-rectas) que partem da origem e que intersectam R têm um único ponto de entrada e um único ponto de saída do domínio, que poderão eventualmente ser coincidentes (se r1(θ) = r2(θ)):

Neste caso, o integral duplo poderá ser calculado utilizando um integral iterado em coordenadas polares, em que integramos primeiro com respeito a r entre limites variáveis, e depois com respeito a θ:

�

R∫∫ f(x,y) dA =

�

r1 (θ)

r2 (θ)∫αβ∫ f(r cos θ, r sen θ) r dr dθ

É importante salientar novamente que esta mudança para coordenadas polares implica não só substituir x por (r cos θ) e y por (r sen θ) na função f(x,y), mas ainda multiplicar este resultado por r, antes de fazer a integração.


44

Exemplo 11.11 Utilize coordenadas polares para calcular o integral duplo

�

R∫∫

�

4 − x2 − y2 dA, em que o domínio de integração

é o conjunto R = {(x,y): 0 ≤ (x – 1)2 + y2 ≤ 1 ∧ y ≥ 0}. Comecemos por representar graficamente o domínio de integração R:

A equação da fronteira de R em coordenadas polares é a seguinte: (x – 1)2 + y2 = 1 ⇔ x2 + y2 = 2x ⇔ r2 = 2 r cos θ ⇔ r = 2 cos θ. Como se vê, R é uma região r-simples: {(x,y): 0 ≤ θ ≤ π/2 ∧ 0 ≤ r ≤ 2 cos θ}.

�

R∫∫

�

4 − x2 − y2 dA =

�

0

2 cos θ∫0

π /2∫

�

4 − r2 r dr dθ =

�

4 − r2 r dr = −134 − r2( )3/2∫⎛

⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = –

�

13

�

0

π /2∫

�

4 − r2( )3/2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ r = 0

r = 2cosθdθ =


45

= –

�

13

�

0

π /2∫

�

4 − 4 cos2 θ( )3/2 − 43/2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ dθ =

= –

�

83

�

0

π /2∫

�

sen2 θ( )3/2 − 1⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ dθ = –

�

83

�

0

π/2∫

�

sen θ 3 − 1⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ dθ =

(porque sen θ ≥ 0 em [0, π/2]) =

�

83

�

0

π /2∫ (1 – sen3 θ) dθ =

�

12π − 169

.

11.4.3 Aplicações geométricas O cálculo de integrais iterados em coordenadas polares poderá, como é evidente, ser utilizado em qualquer aplicação prática dos integrais duplos, nomeadamente nas aplicações geométricas atrás estudadas. A decisão sobre a utilização de coordenadas polares no cálculo de integrais duplos depende essencialmente de dois factores: o domínio de integração R, e a função integranda f(x,y). Se o domínio de integração for delimitado por curvas polares, ou curvas que tenham equações mais simples em coordenadas polares, e se na função integranda aparecer a expressão x2 + y2, que em coordenadas polares se transforma em r2, é quase sempre mais simples fazer o cálculo do integral duplo utilizando coordenadas polares. Por exemplo, se o domínio de integração R for r-simples, e se f(x,y) e g(x,y) forem duas funções tais que f(x,y) ≥ g(x,y), ∀(x,y) ∈ R , o volume do sólido

“cilíndrico” T que é delimitado pelos gráficos das duas funções no domínio R pode ser obtido calculando o seguinte integral iterado em coordenadas polares:

Volume de T =

�

r1 (θ)

r2 (θ)∫αβ∫ [f(r cos θ, r sen θ) – g(r cos θ, r sen θ)] r dr dθ


46

Exemplo 11.12 Utilize um integral iterado em coordenadas polares para

calcular o volume do sólido delimitado pelos parabolóides de equações z = 8 – x2 – y2 e z = x2 + y2.

A intersecção dos dois parabolóides é uma circunferência de raio 2:

8 – x2 – y2 = x2 + y2 ⇒ x2 + y2 = 4 (⇒ z = 4) A projecção desta circunferência no plano Oxy delimita um círculo de raio 2 centrado na origem, que é o domínio de integração R:

O volume do sólido acima representado é dado pelo integral duplo seguinte:

Volume =

�

R∫∫ [(8 – x2 – y2) – (x2 + y2)] dA =

�

R∫∫ 8 – 2(x2 + y2) dA.

Como na função integranda aparece o grupo (x2 + y2), e como o domínio R é um “rectângulo” polar descrito por R = {(x,y): 0 ≤ r ≤ 2 ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π}, é mais conveniente utilizar coordenadas polares no cálculo deste integral duplo:


47

Volume =

�

0

2∫0

2π∫ (8 – 2r2) r dr dθ =

�

⎛ ⎝ ⎜

�

0

2∫ (8r – 2r3) dr

�

⎞ ⎠ ⎟

�

⎛ ⎝ ⎜

�

0

2π∫ dθ

�

⎞ ⎠ ⎟ =

=

�

4r2 −r4

2

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ 0

2 (2π – 0) = 16π.

Se o domínio de integração R for r-simples, a área desse domínio pode ser calculada por meio de um integral iterado em coordenadas polares:

A(R) =

�

R∫∫ dA =

�

r1 (θ)

r2 (θ)∫αβ∫ r dr dθ

Atendendo a que

�

∫ r dr =

�

12

r2, obtém-se um resultado que já tinha sido

deduzido por um processo diferente, quando estudámos coordenadas polares:

A(R) =

�

12

�

α

β∫

�

r2 (θ)[ ] 2 − r1 (θ)[ ] 2⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

dθ

Um caso especial desta fórmula corresponde ao cálculo da área de uma figura plana que inclui a origem das coordenadas, e que é delimitada por uma curva fechada de equação r = r2(θ). Fazendo α = 0, β = 2π e r1(θ) = 0, obtém-se:

A(R) =

�

12

�

0

2π∫

�

r2 (θ)[ ] 2 dθ


48

Problemas propostos / Secção 11.4 1. Calcule os seguintes integrais duplos utilizando coordenadas polares:

(a)

�

R∫∫

�

9 − x2 − y2 dA, em que R = {(x,y): x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x2 + y2 ≤ 9};

(b)

�

R∫∫

�

1

1 + x2 + y2 dA, em que R = {(x,y): 0 ≤ y ≤ x ∧ x2 + y2 ≤ 4};

(c)

�

0

4 − x2

∫02∫

�

x2 + y2( )3/2 dy dx;

(d)

�

0

1 − y2

∫01∫ sen (x2 + y2) dx dy.

2. Utilize um integral duplo em coordenadas polares para calcular o volume

dos sólidos delimitados pelas superfícies cujas equações são dadas:

(a) z = 0 e z = a2 – x2 – y2;


49

(b) z = 0, z = 1 + x e r = 1 + cos θ;

(c) interior à esfera x2 + y2 + + z2 = 9 e ao cilindro x2 + + y2 = 1;

(d) z = 1 – x2 – y2, z = 0 e x2 + y2 = x.


50

3. Utilize um integral duplo em coordenadas polares para calcular a área da região plana indicada a seguir: (a) A região delimitada pelo cardióide r = 1 + cos θ; (b) A região comum aos círculos limitados pelas circunferências r = 1 e

r = 2 sen θ; (c) A área interior ao laço mais pequeno do caracol de Pascal

r =1 – 2 sen θ. 4. Utilize coordenadas polares para calcular a massa da lâmina delimitada

pelas curvas dadas, com densidade de massa δ(x,y): (a) y ≥ 0, x ≥ 0 e x2 + y2 = a2, com δ(x,y) = xy; (b) x2 + y2 = 1 e y ≥ 0, com δ(x,y) = x2 + y2.


1. (a)

�

9π2

;

(b)

�

π8

ln 5;

(c)

�

16π5

;

(d)

�

π4

(1 – cos 1).

2. (a)

�

π a4

2 ;

(b)

�

11π4

;

(c)

�

4π3

27 − 16 2( );

(d)

�

5π32

.

3. (a)

�

3π2

;

(b)

�

4π − 3 36

;

(c)

�

2π − 3 32

.


51

4. (a)

�

a4

8 ;

(b)

�

π4

.

11.5 SUPERFÍCIES PARAMÉTRICAS E ÁREA SUPERFICIAL ________________________________________________________________

53

11.5 Superfícies paramétricas e área superficial 11.5.1 Representação paramétrica de superfícies em três dimensões Como sabemos, uma curva no espaço pode ser representada por três equações que dependem de um parâmetro t, que são as equações paramétricas da curva:

�

x = f(t)y = g(t)z = h(t)

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ , com t ∈ I

Para representarmos analiticamente superfícies no espaço, temos utilizado quer a equação implícita F(x,y,z) = 0, quer equações explícitas do tipo z = f(x,y) (gráficos de funções). Porém, a representação analítica mais geral de superfícies no espaço é uma representação paramétrica análoga à referida acima para as curvas, mas em que são utilizados dois parâmetros em vez de um:

�

x = f(u,v)y = g(u,v)z = h(u,v)

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ , com (u,v) ∈ D

em que D representa uma dada região do plano-uv. Se v for constante, estas equações correspondem a uma curva no espaço, e o mesmo se dirá se u for constante. Se variarmos as duas constantes, obtêm-se duas famílias de curvas no espaço, que nos permitem visualizar a superfície paramétrica no espaço:


54

Exemplo 11.13 Escreva duas representações paramétricas alternativas da

porção do parabolóide de equação z = 4 – x2 – y2 que está compreendida entre os planos z = 0 e z = 4.

A forma mais simples de parametrizar esta superfície é considerar que x = u e y = v ⇒ z = 4 – u2 – v2. Mas 0 ≤ z ≤ 4 ⇒ 0 ≤ 4 – u2 – v2 ≤ 4 ⇒ u2 + v2 ≤ 4, e a representação será, neste caso:

�

x = uy = vz = 4 − u2 − v2

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

, com u2 + v2 ≤ 4.

Alternativamente, podemos parametrizar a mesma superfície utilizando as coordenadas cilíndricas r e θ. Substituindo x por r cos θ e y por r sen θ, obtém- -se, como vimos atrás, z = 4 – r2. Como 0 ≤ z ≤ 4 ⇒ 0 ≤ 4 – r2 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ r ≤ 2, e resulta a seguinte representação:

�

x = r cos θy = r sen θz = 4 − r2

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

, com 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ < 2π.

Repare-se nas curvas x = c e y = c

Repare-se nas curvas r = c e θ = c


55

Exemplo 11.14 Escreva duas representações paramétricas alternativas da

superfície esférica de equação x2 + y2 + z2 = 9.

Se resolvermos em ordem a z, obtemos duas soluções, z =

�

9 − x2 − y2 e

z = –

�

9 − x2 − y2 , que representam a parte “superior” e a parte “inferior” da superfície considerada, respectivamente. Cada uma destas semiesferas pode ser representada parametricamente fazendo x = u e y = v, em que 0 ≤ x2 + y2 ≤ 9:

�

x = uy = v

z = 9 − u2 − v2

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

e

�

x = uy = v

z = − 9 − u2 − v2

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

, com u2 + v2 ≤ 9.

Podemos parametrizar a mesma superfície utilizando as coordenadas esféricas φ e θ. A equação da superfície esférica em coordenadas esféricas é ρ = 3, pelo que a sua representação paramétrica se obtém substituindo este valor nas equações que relacionam as coordenadas rectangulares com as coordenadas esféricas:

�

x = 3 cos θ sen φy = 3 sen θ sen φz = 3 cos φ

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ , com 0 ≤ φ ≤ π e 0 ≤ θ < 2π.

Repare-se nas curvas x = c e y = c

Repare-se nas curvas φ = c e θ = c


56

Muitas das superfícies com que trabalhamos são superfícies de revolução em torno de um dos três eixos coordenados. As equações paramétricas dessas superfícies podem ser facilmente obtidas se conhecermos a equação da curva plana que gera a superfície de revolução, e qual o eixo de revolução. Assim, por exemplo, se a curva plana de equação y = f(x), com a ≤ x ≤ b, rodar em torno do eixo Ox, obtém-se como já sabemos uma superfície de revolução

de equação

�

y2 + z2 = f(x), que pode ser parametrizada através das equações

�

x = uy = f(u) cos vz = f(u) sen v

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ , com a ≤ u ≤ b e 0 ≤ v < 2π.

Analogamente, se a curva plana x = g(y), com c ≤ y ≤ d, rodar em torno do eixo Oy, as equações paramétricas da correspondente superfície de revolução serão:

�

x = g(u) cos vy = uz = g(u) sen v

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ , com c ≤ u ≤ d e 0 ≤ v < 2π.


57

Exemplo 11.15 Obtenha as equações paramétricas da superfície de revolução

que se obtém rodando a curva plana de equação y =

�

1x

, com

x > 0, em torno do eixo Ox.

As equações pedidas podem ser obtidas substituindo em cima f(u) por

�

1u

:

�

x = u

y =1ucos v

z =1usen v

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

, com u > 0 e 0 ≤ v < 2π.

Esta superfície, que é conhecida pelo nome de “trompa de Gabriel”, tem uma propriedade que desafia a nossa intuição: embora a sua área superficial seja infinita, o volume delimitado por esta superfície é finito!


58

11.5.2 Funções vectoriais de duas variáveis Da mesma forma que a curva paramétrica em três dimensões de equações

�

x = f(t)y = g(t)z = h(t)

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ , com t ∈ I

pode ser interpretada como sendo o gráfico da função vectorial (ou função com valores vectoriais) de uma variável

�

r (t) =

�

f(t), g(t), h(t) , também a superfície paramétrica em três dimensões de equações

�

x = f(u,v)y = g(u,v)z = h(u,v)

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ , com (u,v) ∈ D

pode ser interpretada como sendo o gráfico da função vectorial (ou função com valores vectoriais) de duas variáveis

�

r (u,v) =

�

f(u,v), g(u,v), h(u,v) . Geometricamente, o vector

�

r (u,v) pode ser interpretado como sendo o vector de posição de um ponto genérico de coordenadas (x,y,z) situado sobre a superfície paramétrica acima referida. À medida que u e v variam, a extremidade do vector

�

r (u,v) percorre a superfície que é representada pelas equações paramétricas.


59

Como acontece com funções vectoriais de uma variável, diremos que a função vectorial de duas variáveis

�

r (u,v) é contínua num ponto (uo,vo) ∈ D se e só se todas as suas componentes forem contínuas nesse mesmo ponto. As derivadas parciais de funções vectoriais de duas variáveis são representadas

pela notação

�

∂ r ∂u

e

�

∂ r ∂v

(ou pela notação alternativa

�

r u e

�

r v ) e são definidas da

maneira usual, ou seja: Definição:

�

∂ r ∂u

≡

�

r u

�

≡def.

�

limh→0

�

r (u + h, v) − r (u, v)h

�

∂ r ∂v

≡

�

r v

�

≡def.

�

limk→0

�

r (u, v + k) − r (u, v)k

Partindo destas definições, demonstra-se sem dificuldade o teorema que nos garante que as derivadas parciais da função vectorial

�

r (u,v) podem ser obtidas derivando (com respeito à variável apropriada) cada uma das três componentes desta função, ou seja: Teorema:

�

∂ r ∂u

=

�

∂x∂u, ∂y∂u, ∂z∂u

ou

�

r u =

�

fu , g u , h u

�

∂ r ∂v

=

�

∂x∂v, ∂y∂v, ∂z∂v

ou

�

r v =

�

fv , g v , h v


60

11.5.3 Vector normal e plano tangente a uma superfície paramétrica Seja σ uma superfície no espaço a três dimensões, e seja Po um ponto qualquer de σ. Diremos então que um plano é tangente à superfície σ no ponto Po se e só se todas as infinitas rectas situadas sobre esse plano que passam por Po forem tangentes nesse mesmo ponto a uma curva situada sobre a superfície σ. Se σ for o gráfico de uma função z = f(x,y), e se essa função for diferenciável em Po(xo,yo,zo), o plano tangente à superfície em Po tem a seguinte equação:

z = f(xo,yo) +

�

∂z∂x

(xo,yo) (x – xo) +

�

∂z∂y

(xo,yo) (y – yo).

Pretendemos agora obter a equação do plano tangente em Po quando σ for uma superfície paramétrica, gráfico da função vectorial

�

r (u,v), em que uo e vo são os valores dos parâmetros correspondentes ao ponto Po, isto é:

�

r (uo,vo) =

�

xo, yo, zo . Se mantivermos v = vo constante e apenas variarmos u, então

�

r (u,vo) é uma função vectorial de uma variável, cujo gráfico é uma curva situada sobre σ que

passa pelo ponto Po; como vimos atrás, se

�

∂ r ∂u

≠

�

0 em Po, este vector será

tangente à curva referida nesse ponto. Analogamente, se mantivermos u = uo constante e apenas variarmos v, a função vectorial

�

r (uo,v) é o gráfico de outra curva situada sobre σ que também passa

por Po, e se o vector

�

∂ r ∂v

≠

�

0 em Po, este vector também será tangente à curva

referida no mesmo ponto.

Segue-se pois que, se

�

N

�

≡def.

�

∂ r ∂u

x

�

∂ r ∂v

for diferente do vector nulo em (uo,vo),

então esse vector será normal ao plano tangente à superfície σ em Po, e portanto será normal à superfície σ em Po:


61

Dividindo o vector

�

N pela sua norma ou grandeza, obtém-se o chamado vector

normal unitário à superfície σ em Po: Definição: Se a superfície paramétrica σ for o gráfico da função vectorial

�

r (u,v), e se

�

N

�

≡def.

�

∂ r ∂u

x

�

∂ r ∂v

≠

�

0 num ponto qualquer de σ, o

vector normal unitário à superfície σ nesse ponto é, por definição, o seguinte vector:

�

n (u,v)

�

≡def.

�

N N

≡

�

∂ r ∂u

×∂ r ∂v

∂ r ∂u

×∂ r ∂v

.

Uma vez conhecido o vector

�

n (ou o vector

�

N ) num ponto Po(xo,yo,zo) de σ, a

equação do plano tangente à superfície nesse ponto pode ser facilmente escrita:

�

N • P − Po = 0 ⇒ N x (x − x o ) + N y (y − y o ) + N z (z − z o ) = 0


62

em que

�

N =

�

Nx , N y , Nz , e em que P(x,y,z) é um ponto qualquer situado

sobre o plano tangente à superfície σ em Po(xo,yo,zo).

Exemplo 11.16 Obtenha o vector normal unitário e a equação do plano

tangente à superfície paramétrica de equações

�

x = uvy = uz = v2

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

no

ponto Po onde u = 2 e v = – 1.

�

r =

�

uv, u, v2 ⇒

�

∂ r ∂u

= v, 1, 0∂ r ∂v

= u, 0, 2v

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

⇒

�

∂ r ∂u

(2, −1) = − 1, 1, 0∂ r ∂v

(2, −1) = 2, 0, − 2

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

⇒

⇒

�

N (2, – 1) =

�

∂ r ∂u

(2, – 1) x

�

∂ r ∂v

(2, – 1) =

�

i

j

k

− 1 1 02 0 − 2

=

�

− 2, − 2, − 2 .

�

N (2, −1) =

�

(− 2)2 + (− 2)2 + (− 2)2 =

�

12 = 2

�

3 ⇒

⇒

�

n (2, – 1) =

�

N (2, −1) N (2, −1)

=

�

−13, − 1

3, − 1

3.

O ponto Po onde u = 2 e v = – 1 tem coordenadas rectangulares (– 2, 2, 1), pelo que a equação do plano tangente à superfície dada em Po será:

�

− 2, − 2, − 2 • x + 2, y − 2, z − 1 = 0 ⇒

⇒ – 2 (x + 2) – 2 (y – 2) – 2 (z – 1) = 0 ⇒ x + y + z = 1.


63

11.5.4 Área superficial de superfícies paramétricas suaves Definição: Seja σ uma superfície paramétrica, imagem (ou gráfico) da

função vectorial

�

r (u,v) =

�

f(u,v), g(u,v), h(u,v) , com (u,v) ∈ D. Diremos que σ é uma superfície paramétrica suave na região D

do plano-uv se as derivadas parciais

�

∂ r ∂u

e

�

∂ r ∂v

forem contínuas e,

além disso,

�

∂ r ∂u

x

�

∂ r ∂v

≠

�

0 em D.

Geometricamente, isto significa que σ tem um vector normal unitário, e portanto também um plano tangente, para todos os pontos de D, e ainda que esse vector normal unitário

�

n é contínuo em D (não tem mudanças bruscas de direcção). Para deduzirmos a fórmula integral que nos permite calcular a área superficial de uma superfície paramétrica suave que não se auto-intersecte, começamos por fazer uma partição interna de D em n rectângulos Ri (i = 1, ......, n) de lados ∆ui e ∆vi paralelos aos eixos Ou e Ov, sendo pois a sua área ∆Ai = ∆ui ∆vi:


64

Seja (ui,vi) o vértice inferior esquerdo do rectângulo Ri. A imagem (ou gráfico) do rectângulo Ri segundo a função vectorial

�

r (u,v) será uma certa porção σi da superfície σ, que em geral não será um rectângulo, e que terá num dos vértices um ponto que é a imagem de (ui,vi), ou seja, cujo vector de posição é

�

r (ui,vi):

Como se pode ver da figura seguinte, a área de σi, que designaremos por ∆Si, é aproximadamente igual à área de um paralelogramo cujos lados adjacentes são dois vectores com origem no vértice definido pelo vector de posição

�

r (ui,vi), ou seja, [

�

r (u i + Δu i , v i ) − r (u i , v i )] e [

�

r (u i , v i + Δv i ) − r (u i , v i )]:

Como é sabido da Álgebra Vectorial, a área deste paralelogramo é igual à norma do produto vectorial dos dois vectores, pelo que concluímos que: ∆Si ≈

�

r (u i + Δu i , v i ) − r (u i , v i )( ) x

�

r (u i , v i + Δv i ) − r (u i , v i )( )


65

Se ∆ui ≈ 0 e ∆vi ≈ 0, podemos calcular o valor aproximado das diferenças

�

r (u i + Δu i , v i ) − r (u i , v i )( ) e

�

r (u i , v i + Δv i ) − r (u i , v i )( ) a partir da

definição das correspondentes derivadas parciais (aproximação linear):

�

r (u i + Δu i , v i ) − r (u i , v i ) ≈∂ r ∂u

(u i , v i ) Δu i r (u i , v i + Δv i ) − r (u i , v i ) ≈

∂ r ∂v

(u i , v i ) Δv i

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

em que

�

∂ r ∂u

(ui,vi) e

�

∂ r ∂v

(ui,vi) são os vectores tangentes à superfície σi no ponto

(ui,vi), nas direcções em que v e u são constantes, respectivamente. Substituindo esta aproximação linear em cima, resulta o seguinte valor aproximado para a área ∆Si de σi:

∆Si ≈

�

∂ r ∂u

Δu i ×∂ r ∂v

Δv i =

�

∂ r ∂u

×∂ r ∂v

∆ui ∆vi =

�

∂ r ∂u

×∂ r ∂v

∆Ai =

�

N ∆Ai

Somando desde i = 1 até i = n obtém-se a seguinte aproximação para a área superficial S da superfície paramétrica suave σ :

S =

�

i=1

n∑ ∆Si ≈

�

i=1

n∑

�

∂ r ∂u

×∂ r ∂v

∆Ai =

�

i=1

n∑

�

N ∆Ai

que é uma soma de Riemann para a função de duas variáveis

�

∂ r ∂u

×∂ r ∂v

(u,v) =

=

�

N (u,v). Assim, no limite quando n → ∞, o valor exacto da área superficial

da superfície paramétrica suave σ é dado pelo seguinte integral duplo:

S =

�

D∫∫

�

∂ r ∂u

×∂ r ∂v

(u,v) dA =

�

D∫∫

�

N (u,v) dA, com (u,v) ∈ D


66

Exemplo 11.17 Calcule a área superficial da superfície cónica representada

pelas equações

�

x = uy = u cos vz = u sen v

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ , com 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v < 2π.

�

r (u,v) =

�

u, u cos v, u sen v ⇒

�

∂ r ∂u

(u,v) = 1, cos v, sen v∂ r ∂v

(u,v) = 0, − u sen v, u cos v

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

�

N =

�

∂ r ∂u

x

�

∂ r ∂v

=

�

i

j

k

1 cos v sen v0 − u sen v u cos v

=

�

u, − u cos v, − u sen v

�

N =

�

∂ r ∂u

×∂ r ∂v

=

�

u2 + (− u cos v)2 + (− u sen v)2 =

�

2u2 =

�

2 u

S =

�

D∫∫

�

N dA =

�

D∫∫

�

2 u dA =

�

0

2∫0

2π∫

�

2 u du dv =

=

�

⎛ ⎝

�

0

2∫

�

2 u du

�

⎞ ⎠

�

⎛ ⎝

�

0

2π∫ dv

�

⎞ ⎠ = (2

�

2 ) (2π) = 4

�

2π.


67

11.5.4.1 Área superficial em coordenadas rectangulares Se a superfície σ for representada pela equação z = f(x,y) (isto é, se for o gráfico de uma função de duas variáveis), podemos sempre obter uma representação paramétrica se fizermos x = u, y = v e z = f(u,v), donde resulta sucessivamente:

�

r (u,v) =

�

u, v, f(u,v) ⇒

�

∂ r ∂u

(u,v) = 1, 0, ∂f∂u

= 1, 0, ∂z∂x

∂ r ∂v

(u,v) = 0, 1, ∂f∂v

= 0, 1, ∂z∂y

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

�

N =

�

∂ r ∂u

x

�

∂ r ∂v

=

�

i

j

k

1 0 ∂z∂x

0 1 ∂z∂y

=

�

−∂z∂x, − ∂z

∂y, 1

�

N =

�

∂ r ∂u

×∂ r ∂v

=

�

∂z∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2+

∂z∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

+ 1

S =

�

D∫∫

�

∂z∂x

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2+

∂z∂y

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 2

+ 1 dA

em que o domínio de integração D é, neste caso, o domínio de definição Df da função f(x,y), ou seja, a projecção no plano Oxy da superfície z = f(x,y) cuja área se pretende calcular.

Exemplo 11.18 Calcule a área superficial da parte do parabolóide de equação

z = x2 + y2 que está situado abaixo do plano z = 1.


68

�

∂z∂x

= 2x∂z∂y

= 2y

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

⇒ S =

�

D∫∫

�

4x2 + 4y2 + 1 dA

em que D é o círculo de raio 1 centrado na origem, pois z = x2 + y2 ∧ z = 1 ⇒ ⇒ x2 + y2 = 1. Atendendo à forma do domínio D, o integral duplo pode ser calculado mais facilmente utilizando coordenadas polares:

S =

�

0

1∫0

2π∫

�

4r2 + 1 r dr dθ =

=

�

⎛ ⎝

�

0

1∫

�

4r2 + 1 r dr

�

⎞ ⎠

�

⎛ ⎝

�

0

2π∫ dθ

�

⎞ ⎠ =

=

�

112

4r2 + 1( )3/2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ 0

1

�

θ[ ] 02π

=

�

53/2 − 112

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ (2π) =

�

π6

(5

�

5 – 1).


69

11.5.4.2 Área superficial em coordenadas cilíndricas Se a superfície σ for representada em coordenadas cilíndricas pela equação z = g(r,θ), podemos sempre obter uma representação paramétrica se utilizarmos as habituais relações x = r cos θ e y = r sen θ, donde resulta sucessivamente:

�

r =

�

r cos θ, r sen θ, g(r,θ) ⇒

⇒

�

∂ r ∂r

= cos θ, sen θ, ∂z∂r

∂ r ∂θ

= − r sen θ, r cos θ, ∂z∂θ

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

(não confundir a coordenada polar r com a função vectorial

�

r !)

�

N =

�

∂ r ∂r

x

�

∂ r ∂θ

=

�

i

j

k

cos θ sen θ∂z∂r

− r sen θ r cos θ ∂z∂θ

=

=

�

sen θ ∂z∂θ

− r cos θ ∂z∂r, − cos θ ∂z

∂θ− r sen θ ∂z

∂r, r

�

N =

�

sen θ ∂z∂θ

− r cos θ ∂z∂r

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2+ − cos θ ∂z

∂θ− r sen θ ∂z

∂r⎛ ⎝

⎞ ⎠

2+ r2 =

=

�

r2 ∂z∂r

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2+

∂z∂θ

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2+ r2

S =

�

D∫∫

�

r2 ∂z∂r

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2+

∂z∂θ

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2+ r2 dA


70

em que o domínio de integração D é, como no caso anterior, o domínio de definição Dg da função z = g(r,θ), ou seja, a projecção no plano Oxy da superfície z = g(r,θ) cuja área se pretende calcular. Outra maneira (mais trabalhosa!) de chegar a esta última fórmula consiste em

começar por exprimir as derivadas parciais

�

∂z∂x

e

�

∂z∂y

em termos das coordenadas

polares r e θ, e em seguida substituir estas expressões na fórmula atrás obtida para a área superficial em coordenadas rectangulares.

Exemplo 11.19 Calcule a área superficial da parte do parabolóide de equação

z = r2 que está situado abaixo do plano z = 1.

�

∂z∂r

= 2r∂z∂θ

= 0

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

⇒ S =

�

D∫∫

�

r2 2r( )2 + 0 + r2 dA =

�

D∫∫ r

�

4r2 + 1 dA

em que D = {(r,θ): 0 ≤ r ≤ 1 ∧ 0 ≤ θ < 2π}. O integral duplo a que chegámos é exactamente o mesmo que obtivemos no exemplo anterior depois de mudarmos para coordenadas polares, o que não é surpreendente, já que se trata da mesma superfície. Vem portanto:

S =

�

0

1∫0

2π∫ r

�

4r2 + 1 dr dθ =

�

π6

(5

�

5 – 1).


71

Problemas propostos / Secção 11.5 1. Obtenha uma representação paramétrica das seguintes superfícies:

(a) a parte do cilindro de equação x2 + z2 = 4 situada entre os planos de equações y = 1 e y = 3;

(b) a parte do plano de equação y – 2z = 5 situada entre os planos de equações x = 0 e x = 3;

(c) a superfície gerada por revolução da curva y = ex em torno de Ox;


72

(d) a superfície gerada por revolução da curva y = = sen x em torno do eixo Ox.

2. Em cada caso, obtenha uma representação paramétrica da superfície dada,

utilizando como parâmetros as coordenadas cilíndricas r e θ:

(a) z =

�

1

1 + x2 + y2 ;

(b) z = e – (x2 + y2); (c) z = 2xy; (d) z = x2 – y2.

3. Obtenha uma representação paramétrica da folha superior do cone de

equação z2 = 3x2 + 3y2 utilizando como parâmetros as coordenadas esféricas ρ e θ.

4. Obtenha uma representação paramétrica do cilindro circular de equação

x2 + y2 = 9 utilizando como parâmetros as coordenadas esféricas θ e φ. 5. Por eliminação dos parâmetros u e v, obtenha a equação em coordenadas

rectangulares da superfície paramétrica dada, e descreva em cada caso de forma muito resumida qual é a superfície: (a) {x = 3 sen u, y = 2 cos u, z = 2v}, com 0 ≤ u < 2π e 1 ≤ v ≤ 2; (b) {x =

�

u cos v, y =

�

u sen v, z = u}, com 0 ≤ u ≤ 4 e 0 ≤ v < 2π; (c) {x = 2u + v, y = u – v, z = 3v}, com – ∞ < u < ∞ e – ∞ < v < ∞; (d) {x = sen u cos v, y = 2 sen u sen v, z = 3 cos u}, com 0 ≤ u ≤ π e

0 ≤ v < 2π. 6. Obtenha a equação do plano tangente à superfície paramétrica dada no

ponto indicado: (a) {x = u, y = v, z = u2 + v2 }, no ponto (1, 2, 5);


73

(b) {x = 3 v sen u, y = 2 v cos u, z = u2}, no ponto (0, 2, 0); (c) {x = uv, y = u – v, z = u + v}, no ponto onde u = 1 e v = 2; (d) {x = uv, y = uev, z = veu}, no ponto onde u = ln 2 e v = 0.

7. Em cada caso, calcule a área superficial da superfície paramétrica dada:

(a) a parte do cilindro de equação y2 + z2 = 9 situada “por cima” do rectângulo D = {(x,y): 0 ≤ x ≤ 2 ∧ – 3 ≤ y ≤ 3};

(b) a parte do plano de equação 2x + 2y + z = 8 situada no 1º octante;

(c) a parte do parabolóide de equação 2z = x2 + y2 situada “dentro” do cilindro de equação x2 + + y2 = 8;


74

(d) a parte do cone de equação z2 = 4x2 + 4y2 situada “por cima da região do 1º quadrante delimitada pela recta de equação y = x e pela parábola de equação y = = x2;

(e) a parte da folha superior do cone de equação z2 = x2 + y2 situada “dentro” do cilindro de equação x2 + y2 = 2x;

(f) a parte da esfera de equação x2 + y2 + z2 = 8 situada “dentro” da folha superior do cone de equação z2 = x2 + y2.


75


1. (a)

�

x = 2 cos uy = vz = 2 sen u

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ , com 0 ≤ u < 2π e 1 ≤ v ≤ 3;

(b)

�

x = uy = 2v + 5z = v

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ , com 0 ≤ u ≤ 3 e – ∞ < v < ∞;

(c)

�

x = uy = eu cos vz = eu sen v

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

, com – ∞ < u < ∞ e 0 ≤ v < 2π;

(d)

�

x = uy = sen u cos vz = sen u sen v

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ , com – ∞ < u < ∞ e 0 ≤ v < 2π.

2. (a)

�

x = r cos θ

y = r sen θ

z =1

1 + r2

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

, com r ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π;

(b)

�

x = r cos θ

y = r sen θ

z = e− r2

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

, com r ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π;

(c)

�

x = r cos θy = r sen θz = r2 sen 2θ

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

, com r ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π;

(d)

�

x = r cos θy = r sen θz = r2 cos 2θ

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

, com r ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π.


76

3.

�

x =12ρ cos θ

y =12ρ sen θ

z =32

ρ

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

, com ρ ≥ 0 e 0 ≤ θ < 2π.

4.

�

x = 3 cos θy = 3 sen θz = 3 cotg φ

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ , com 0 < φ < π e 0 ≤ θ < 2π.

5.

(a)

�

x3

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2+

y2

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2= 1, em que

2 ≤ z ≤ 4: é parte de um cilindro elíptico com eixo de simetria Oz, entre os planos de equações z = 2 e z = 4;

(b) z = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 4: é parte de um parabolóide circular com eixo de simetria Oz, entre os planos de equações z = 0 e z = 4;


77

(c) z = x – 2y: um plano que passa pela origem;

(d) x2 +

�

y2

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2+

z3

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2= 1: é

um elipsóide centrado na origem com semieixos de comprimentos a = 1, b = 2 e c = 3 na direcção dos eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente.

6. (a) 2x + 4y – z = 5;

(b) z = 0; (c) 2x – y – 3z = – 4; (d) 2x – (ln 2) z = 0.

7. (a) S = 6π;

(b) S = 24;

(c) S =

�

52π3

;

(d) S =

�

56

;

(e) S =

�

2π; (f) S = 8 (2 –

�

2 ) π.

11.6 INTEGRAIS TRIPLOS EM DOMÍNIOS LIMITADOS ARBITR. DE IR3 ________________________________________________________________

79

11.6 Integrais triplos em domínios limitados arbitrários de IR3 11.6.1 Definição do conceito

Um integral triplo, representado pelo símbolo

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV, é um integral

de uma função de três variáveis, que supomos definida e limitada em todos os pontos de um certo domínio limitado R ⊂ IR3. Este integral é definido de forma inteiramente análoga à que foi utilizada atrás para definir o integral duplo num domínio limitado arbitrário de IR2. Começa-se por escolher um paralelepípedo rectangular arbitrário A, de faces paralelas aos três planos principais, que contenha o domínio de integração R. Em seguida, faz-se uma partição arbitrária Q do paralelepípedo A em sub- -paralelepípedos. O conjunto de k sub-paralelepípedos que ficarem totalmente contidos em R é designado por P = {Ri}, com 1 ≤ i ≤ k, e constitui uma partição interna de R determinada pela partição Q do paralelepípedo A. A norma |P| desta partição interna é, por definição, igual à norma |Q| da partição que determinou P. A selecção S associada à partição interna P é obtida escolhendo um ponto arbitrário de coordenadas (x

�

i*, y

�

i*, z

�

i*) em cada um dos k sub-paralelepípedos

Ri da partição interna P. Se representarmos o volume de Ri por ∆Vi, a soma de Riemann para a função f(x,y,z), e para a partição interna P de R, com a selecção S associada a essa

partição, é dada por

�

i=1

k∑ f(x

�

i* , y

�

i* , z

�

i*) ∆Vi .


80

Se existir o limite desta soma quando |P| → 0, esse limite é, por definição, o integral triplo de f(x,y,z) no domínio limitado arbitrário R ⊂ IR3:

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV

�

≡def.

�

lim|P|→0

�

i=1

k∑ f(x

�

i* , y

�

i* , z

�

i*) ∆Vi

Demonstra-se que é condição suficiente de existência deste integral que a função f(x,y,z) seja contínua em R, e que a fronteira de R seja formada por um número finito de superfícies suaves. 11.6.2 Propriedades básicas dos integrais triplos As propriedades básicas dos integrais triplos são extensões naturais das correspondentes propriedades para integrais simples e duplos que estudámos atrás, a saber: linearidade da operação de integração, decomposição do domínio de integração e o teorema da estimativa do integral. 11.6.2.1 Linearidade da operação de integração O resultado seguinte garante-nos que o integral triplo da soma de duas funções é igual à soma dos integrais triplos de cada uma dessas funções, se esses integrais existirem: Teorema: Se f(x,y,z) e g(x,y,z) forem integráveis em R ⊂ IR3, então a

sua soma também é integrável no mesmo domínio, sendo:

�

R∫∫∫ [f(x,y,z) + g(x,y,z)] dV =

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV +

�

R∫∫∫ g(x,y,z) dV


81

Como já acontecia com os integrais simples e duplos, também no caso dos integrais triplos é sempre válido colocar qualquer constante multiplicativa “dentro” ou “fora” do integral, conforme for mais conveniente: Teorema: Se f(x,y,z) for integrável em R ⊂ IR3, e se c for uma

constante arbitrária, então [c f(x,y,z)] é integrável no mesmo domínio, sendo:

�

R∫∫∫ [c f(x,y,z)] dV = c

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV, ∀c ∈ IR

Estes dois resultados, em conjunto, implicam que a integração de funções de três variáveis é linear, ou seja, o integral triplo em R de uma combinação linear de n funções {fi(x,y,z), i = 1, ... , n} é igual à mesma combinação linear dos integrais triplos em R dessas n funções, caso esses integrais existam todos:

�

R∫∫∫

�

⎡ ⎣ ⎢

�

i=1

n∑ ci fi(x,y,z)

�

⎤ ⎦ ⎥ dV =

�

i=1

n∑ ci

�

⎡ ⎣ ⎢

�

R∫∫∫ fi(x,y,z) dV

�

⎤ ⎦ ⎥ , ∀ci ∈ IR

11.6.2.2 Decomposição do domínio de integração Teorema: Se f(x,y,z) for integrável em R ⊂ IR3, e se R = R1 ∪ R2, em

que R1 e R2 são regiões com interiores disjuntos, então:

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV =

�

R1∫∫∫ f(x,y,z) dV +

�

R2∫∫∫ f(x,y,z) dV


82

11.6.2.3 Teorema da estimativa do integral triplo É possível obter uma estimativa do valor de um integral triplo, se conhecermos o volume do domínio de integração, conjuntamente com um minorante e um majorante dos valores que a função assume nesse domínio: Teorema: Se f(x,y,z) for integrável em R ⊂ IR3, e m ≤ f(x,y,z) ≤ M,

∀(x,y,z) ∈ R, então:

m V(R) ≤

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV ≤ M V(R)

em que V(R) representa o volume do domínio R.

Como consequência imediata deste teorema, obtém-se um método importante para calcular o volume do domínio R por meio de um integral triplo; de facto, se f(x,y,z) = 1 em R, podemos escolher m = M = 1, e resulta o seguinte corolário:

Corolário:

�

R∫∫∫ dV = V(R)

11.6.3 Integrais iterados em regiões simples de IR3 Uma região limitada R ⊂ IR3 diz-se z-simples se puder ser descrita como segue:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: (x,y) ∈ Rxy ∧ z1(x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)}

em que Rxy é a projecção de R sobre o plano Oxy, e z1(x,y) e z2(x,y) são, por hipótese, funções contínuas em Rxy. A equação da fronteira de Rxy pode ser obtida de duas maneiras, dependendo da forma que tiver a região z-simples R:


83

• ou existe uma superfície cilíndrica paralela ao eixo Oz que delimita R, e a equação da fronteira de Rxy coincide com a equação dessa superfície:

• ou então essa superfície cilíndrica reduz-se à curva de intersecção das

superfícies z = z1(x,y) e z = z2(x,y), e a equação da fronteira de Rxy é a equação da projecção dessa curva no plano Oxy, z1(x,y) = z2(x,y):


84

Se f(x,y,z) for uma função qualquer definida e limitada na região z-simples R, o integral parcial de f(x,y,z) com respeito a z é definido da seguinte forma:

F(x,y)

�

≡def.

�

z1 (x,y)

z2 (x,y)∫ f(x,y,z) dz , em que (x,y) ∈ Rxy

Se a função F(x,y) assim definida for integrável em Rxy, podemos calcular o

integral duplo

�

Rxy∫∫ F(x,y) dA, para o que temos, em teoria, duas alternativas:

1. Se F(x,y) for uma função contínua, e se a região Rxy for y-simples:

�

Rxy∫∫ F(x,y) dA =

�

y1 (x)

y 2 (x)∫ab∫ F(x,y) dy dx =

=

�

f(x,y,z) dzz1 (x,y)

z2 (x,y)∫⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ dy dx

y1 (x)

y 2 (x)∫ab∫

�

≡def.

�

≡def.

�

f(x,y,z) dzz1 (x,y)

z2 (x,y)∫ dy dxy1 (x)

y 2 (x)∫ab∫

Este integral chama-se um integral iterado da função f(x,y,z) associado a um domínio z-simples de IR3, com uma projecção y-simples no plano Oxy. A ordem de integração é indicada pela ordem dos símbolos “dz dy dx”: integramos primeiro com respeito a z, depois com respeito a y, e por fim com respeito a x. Portanto, como acontece com qualquer integral iterado, temos de integrar “de dentro para fora”.


85

2. Alternativamente, se F(x,y) for contínua, e se a região Rxy for x-simples:

�

Rxy∫∫ F(x,y) dA =

�

x1 (y)

x 2 (y)∫cd∫ F(x,y) dx dy =

=

�

f(x,y,z) dzz1 (x,y)

z2 (x,y)∫⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ dx dy

x1 (y)

x 2 (y)∫cd∫

�

≡def.

�

≡def.

�

f(x,y,z) dzz1 (x,y)

z2 (x,y)∫ dx dyx1 (y)

x 2 (y)∫cd∫

Este ultimo integral é ainda um integral iterado da função f(x,y,z) associado a um domínio z-simples de IR3, mas agora com uma projecção x-simples no plano Oxy. Mais uma vez, a ordem de integração está claramente indicada pela ordem dos símbolos “dz dx dy”: primeiro integra-se com respeito a z, depois com respeito a x, e finalmente com respeito a y. Ou seja, temos de integrar “de dentro para fora”.

Exemplo 11.20 Calcule o integral

�

0

2 − y − x∫0

2 − x∫02∫ xy dz dy dx,

começando por esboçar o domínio de integração.


86

Inspeccionando os limites de integração do integral iterado, podemos inferir que é um domínio de integração z-simples, com projecção y-simples em Oxy:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 2 – x ∧ 0 ≤ z ≤ 2 – y – x} Trata-se de uma região tetraédrica situada no 1º octante, como se pode ver na figura anterior. Começamos por calcular o integral parcial de f(x,y,z) = xy com respeito a z:

F(x,y) =

�

0

2 − y − x∫ xy dz =

�

xyz[ ] z = 0z = 2 − y − x = 2xy – xy2 – x2y

Em seguida, calculamos o integral parcial de F(x,y) com respeito a y:

g(x) =

�

0

2 − x∫ (2xy – xy2 – x2y) dy =

�

xy2 − 1/3 xy3 − 1/2 x2y2[ ] y = 0

y = 2 − x =

= x (2 – x)2 – 1/3 x (2 – x)3 – 1/2 x2 (2 – x)2 = – 1/6 x4 + x3 – 2x2 + 4/3 x

Finalmente, calculamos o integral de g(x) com respeito a x:

�

0

2∫ (– 1/6 x4 + x3 – 2x2 + 4/3 x) dx =

=

�

− 1/30 x5 + 1/4 x4 − 2/3 x3 + 2/3 x2[ ]0

2 =

�

415

.

Uma região limitada de IR3 pode eventualmente ser descrita de duas formas alternativas, análogas à descrição z-simples que acabámos de estudar. A cada descrição estará associado um integral parcial de f(x,y,z), e a cada um destes integrais parciais estarão associados dois integrais iterados de f(x,y,z).


87

Assim, uma região limitada de IR3 dir-se-á y-simples se for possível descrevê-la da seguinte forma:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: (x,z) ∈ Rxz ∧ y1(x,z) ≤ y ≤ y2(x,z)}

em que Rxz é a projecção de R sobre o plano Oxz, e y1(x,z) e y2(x,z) são, por hipótese, funções contínuas em Rxz. A esta descrição de R está associado o seguinte integral parcial de f(x,y,z) com respeito a y:

G(x,z)

�

≡def.

�

y1 (x,z)

y 2 (x,z)∫ f(x,y,z) dy , em que (x,z) ∈ Rxz

Se esta função for contínua em Rxz, e se esta região for z-simples ou x-simples,

podemos calcular o integral duplo

�

Rxz∫∫ G(x,z) dA utilizando um dos dois

integrais iterados seguintes:

�

z1 (x)

z2 (x)∫ab∫ G(x,z) dz dx

�

≡def.

�

y1 (x,z)

y 2 (x,z)∫z1 (x)

z2 (x)∫ab∫ f(x,y,z) dy dz dx

ou

�

x1 (z)

x 2 (z)∫pq∫ G(x,z) dx dz

�

≡def.

�

y1 (x,z)

y 2 (x,z)∫x1 (z)

x 2 (z)∫pq∫ f(x,y,z) dy dx dz.


88

Analogamente, a região limitada de IR3 dir-se-á x-simples se puder ser descrita da seguinte maneira:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: (y,z) ∈ Ryz ∧ x1(y,z) ≤ x ≤ x2(y,z)}

em que Ryz é a projecção de R sobre o plano Oyz, e x1(y,z) e x2(y,z) são, por hipótese, funções contínuas em Ryz. A esta descrição de R está associado o seguinte integral parcial de f(x,y,z) com respeito a x:

H(y,z)

�

≡def.

�

x1 (y,z)

x 2 (y,z)∫ f(x,y,z) dx , em que (y,z) ∈ Ryz

Se esta função for contínua em Ryz, e se esta região for z-simples ou y-simples,

podemos calcular o integral duplo

�

Ryz∫∫ H(y,z) dA utilizando um dos dois

integrais iterados seguintes:

�

z1 (y)

z2 (y)∫cd∫ H(y,z) dz dy

�

≡def.

�

x1 (y,z)

x 2 (y,z)∫z1 (y)

z2 (y)∫cd∫ f(x,y,z) dx dz dy

ou

�

y1 (z)

y 2 (z)∫pq∫ H(y,z) dy dz

�

≡def.

�

x1 (y,z)

x 2 (y,z)∫y1 (z)

y 2 (z)∫pq∫ f(x,y,z) dx dy dz.


89

11.6.4 Avaliação de integrais triplos pelo teorema de Fubini A avaliação de integrais triplos de funções contínuas pode ser feita, em geral, por intermédio dos integrais iterados que acabámos de definir para regiões z-simples ou y-simples ou x-simples do espaço a três dimensões, de acordo com o teorema de Fubini, na sua versão tridimensional: Teorema: Seja f(x,y,z) uma função contínua num domínio compacto R ⊂ IR3.

Se R for z-simples, e se a projecção de R sobre o plano Oxy for y-simples, o integral triplo de f(x,y,z) em R pode ser calculado por:

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV =

�

f(x,y,z) dzz1 (x,y)


y 2 (x)∫ab∫ .

Se R for z-simples, e se a projecção de R sobre o plano Oxy for x-simples, o integral triplo de f(x,y,z) em R pode ser calculado por:

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV =

�

f(x,y,z) dzz1 (x,y)


x 2 (y)∫cd∫ .

O enunciado deste teorema não termina aqui, pois há ainda que considerar a possibilidade de R ser y-simples, com projecção z-simples ou x-simples sobre o plano Oxz, e também a possibilidade de R ser x-simples, com projecção z-simples ou y-simples sobre o plano Oyz. Portanto, teoricamente, temos seis maneiras diferentes de calcular um integral triplo utilizando integrais iterados em IR3, cada um dos quais com uma ordem de integração diferente.

• Se duas ou mais das seis descrições da região compacta R ⊂ IR3 forem válidas, deverá escolher-se a ordem de integração mais fácil, o que depende não só da forma da região R, como também da função f(x,y,z):


90

�

f(x,y,z) dzz1 (x,y)


y 2 (x)∫ab∫ =

=

�

f(x,y,z) dzz1 (x,y)


x 2 (y)∫cd∫ = …

Este é o resultado a que devemos recorrer quando for necessário “mudar a ordem de integração” num integral triplo iterado.

• Se R não for z-simples, nem y-simples, nem x-simples, poderá em geral ser dividida num número finito de regiões, a cada uma das quais o teorema de Fubini pode ser aplicado. No fim, só temos de utilizar o teorema da decomposição do domínio, e adicionar os resultados obtidos.

• Se e só se a região R for um paralelepípedo rectangular de faces paralelas

aos três planos coordenados, os limites de integração nos vários integrais iterados serão todos constantes: a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ p ≤ z ≤ q.

• Se os limites de integração forem constantes e, adicionalmente, a função

f(x,y,z) for o produto de uma função só de x por uma função só de y por uma função só de z, f(x,y,z) = r(x) s(y) t(z), os seis integrais iterados acima escritos transformam-se num produto de três integrais simples:

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV =

�

a

b∫ r(x) dx

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

c

d∫ s(y) dy

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

p

q∫ t(z) dz

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟


91

11.6.5 Valor médio de f(x,y,z) em R Teorema da média para integrais triplos

Definição: Se f(x,y,z) for integrável em R ⊂ IR3, o valor médio de

f(x,y,z) nesse domínio, representado por

�

f(x,y,z), é igual ao integral de f(x,y,z) em R a dividir pelo volume de R:

�

f(x,y,z)

�

≡def.

�

1V(R)

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV =

�

f(x,y,z) dV

R∫∫∫

dV

R∫∫∫

Como sempre, a definição de valor médio pressupõe apenas que a função f seja integrável no domínio R. O teorema da média do Cálculo Integral tem uma versão aplicável a integrais triplos. De acordo com este teorema, uma função f(x,y,z) que seja contínua num certo domínio R assume sempre o seu valor médio algures nesse domínio: Teorema: (Teorema da média para integrais triplos)

f(x,y,z) contínua em R ⊂ IR3 ⇒ ∃(a,b,c) ∈ R :

�

f(x,y,z) = f(a,b,c) ⇔

⇔ ∃(a,b,c) ∈ R :

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV = f(a,b,c)

�

R∫∫∫ dV


92

Problemas propostos / Secção 11.6 1. Avalie os seguintes integrais triplos iterados:

(a)

�

0

1∫02∫− 1

1∫ (x2 + y2 + z2) dx dy dz;

(b)

�

1

z∫− 1

y2

∫02∫ yz dx dz dy;

(c)

�

0

ln z∫x

x2

∫13∫ x ey dy dz dx;

(d)

�

− 5 + x2 + y23 − x2 − y2

∫0

4 − x2

∫02∫ x dz dy dx.

2. Avalie os seguintes integrais triplos na região R indicada em cada caso:

(a)

�

R∫∫∫ (x + y + z) dV, com R = {(x,y,z): 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 3 ∧ 0 ≤ z ≤ 1};

(b)

�

R∫∫∫ xyz dV, com R = {(x,y,z): – 1 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1 – x2};

(c)

�

R∫∫∫ (x + y) dV, com R = {(x,y,z): 0 ≤ y ≤ 3 ∧ x2 ≤ z ≤ 2 – x2}.


93

3. Em cada caso, reescreva o integral triplo iterado por forma a que a ordem de integração seja primeiro em ordem a z, depois em ordem a y e finalmente em ordem a x:

(a)

�

0

9 − y2 − z2

∫0

9 − z2

∫03∫ f(x,y,z) dx dy dz;

(b)

�

0

z∫0

4 − y∫04∫ f(x,y,z) dx dz dy.

4. Calcule o valor médio de f(x,y,z) no domínio R indicado em cada caso:

(a) f(x,y,z) = x + y + z, em que R é o tetraedro delimitado pelo plano de equação x + y + z = 1 e pelos três planos coordenados;

(b) f(x,y,z) = z, em que R é o tetraedro delimitado pelo plano de equação z = 6 – 3x – 2y e pelos três planos coordenados.


1. (a) 8;

(b) 7;

(c)

�

1183

;

(d)

�

12815

.

2. (a) 18;

(b) 0; (c) 12.

3. (a)

�

0

9 − x2 − y2

∫0

9 − x2

∫03∫ f(x,y,z) dz dy dx;

(b)

�

x24 − y∫0

4 − x2

∫02∫ f(x,y,z) dz dy dx.


94

4. (a)

�

34

;

(b)

�

32

.

11.7 APLICAÇÕES DE INTEGRAIS TRIPLOS ________________________________________________________________

95

11.7 Aplicações de integrais triplos 11.7.1 Cálculo de volumes utilizando integrais triplos A aplicação geométrica mais simples dos integrais triplos é uma consequência directa do corolário do teorema da estimativa, e permite-nos calcular o volume do domínio de integração R:

V(R) =

�

R∫∫∫ dV

Se R for uma região z-simples, ou y-simples, ou x-simples, o teorema de Fubini em IR3 conduz-nos a resultados já conhecidos, correspondentes ao cálculo do volume de sólidos “cilíndricos” por meio de integrais duplos:

1. se R for z-simples: V(R) =

�

Rxy∫∫ [z2(x,y) – z1(x,y)] dA;

2. se R for y-simples: V(R) =

�

Rxz∫∫ [y2(x,z) – y1(x,z)] dA;

3. se R for x-simples: V(R) =

�

Ryz∫∫ [x2(y,z) – x1(y,z)] dA.

Estes integrais duplos, em princípio, podem ser calculados pelo teorema de Fubini em IR2.


96

Exemplo 11.21 Utilize um integral triplo para calcular o volume do sólido R

que é delimitado pelo cilindro parabólico x = y2 e pelos planos z = 0 e x + z = 1.

O volume pretendido, V(R), é dado pelo integral triplo

�

R∫∫∫ dV.

O teorema de Fubini permite-nos calcular este integral triplo por meio de um integral iterado de seis maneiras diferentes, em que cada um destes integrais está associado a uma descrição diferente do domínio. Comecemos então por estudar a forma do sólido R e das suas projecções nos três planos coordenados. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

O sólido R é z-simples, já que:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: (x,y) ∈ Rxy ∧ 0 ≤ z ≤ 1 – x}

em que Rxy é a projecção de R no plano Oxy:

A projecção Rxy é simultaneamente y-simples e x-simples, já que:

Rxy = {(x,y) ∈ IR2: 0 ≤ x ≤ 1 ∧ –

�

x ≤ y ≤

�

x} =

= {(x,y) ∈ IR2: – 1 ≤ y ≤ 1 ∧ y2 ≤ x ≤ 1}


97

Combinando a descrição z-simples de R com a descrição y-simples de Rxy:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: 0 ≤ x ≤ 1 ∧ –

�

x ≤ y ≤

�

x ∧ 0 ≤ z ≤ 1 – x}

a que corresponde o seguinte integral iterado:

�

dz dy dx0

1 − x∫− x

x∫01∫ . (1)

Combinando a descrição z-simples de R com a descrição x-simples de Rxy:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: – 1 ≤ y ≤ 1 ∧ y2 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1 – x}


�

dz dx dy0

1 − x∫y2

1∫− 1

1∫ . (2)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

O sólido R é y-simples, já que:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: (x,z) ∈ Rxz ∧ –

�

x ≤ y ≤

�

x}

em que Rxz é a projecção de R no plano Oxz:


98

A projecção Rxz é simultaneamente z-simples e x-simples, já que:

Rxz = {(x,z) ∈ IR2: 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1 – x} =

= {(x,z) ∈ IR2: 0 ≤ z ≤ 1 ∧ 0 ≤ x ≤ 1 – z}

Combinando a descrição y-simples de R com a descrição z-simples de Rxz:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1 – x ∧ –

�

x ≤ y ≤

�

x}


�

dy dz dx− x

x∫0

1 − x∫01∫ . (3)

Combinando a descrição y-simples de R com a descrição x-simples de Rxz:


99

R = {(x,y,z) ∈ IR3: 0 ≤ z ≤ 1 ∧ 0 ≤ x ≤ 1 – z ∧ –

�

x ≤ y ≤

�

x}


�

dy dx dz− x

x∫0

1 − z∫01∫ . (4)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

O sólido R é x-simples, já que:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: (y,z) ∈ Ryz ∧ y2 ≤ x ≤ 1 – z}

em que Ryz é a projecção de R no plano Oyz

A projecção Ryz é simultaneamente z-simples e y-simples, já que:

Ryz = {(y,z) ∈ IR2: – 1 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1 – y2} =

= {(y,z) ∈ IR2: 0 ≤ z ≤ 1 ∧ –

�

1 − z ≤ y ≤

�

1 − z}


100

Combinando a descrição x-simples de R com a descrição z-simples de Ryz:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: – 1 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1 – y2 ∧ y2 ≤ x ≤ 1 – z}


�

dx dz dyy21 − z∫0

1 − y2

∫− 1

1∫ . (5)

Combinando a descrição x-simples de R com a descrição y-simples de Ryz:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: 0 ≤ z ≤ 1 ∧ –

�

1 − z ≤ y ≤

�

1 − z ∧ y2 ≤ x ≤ 1 – z}


�

dx dy dzy21 − z∫− 1 − z

1 − z∫01∫ . (6)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ A título de exemplo, iremos calcular V(R) pelo integral iterado (1), mas obtém- -se o mesmo valor utilizando qualquer um dos outros cinco integrais iterados (a confirmação deste facto é deixada a cargo do aluno):

V(R) =

�

dz dy dx0

1 − x∫− x

x∫01∫ =

�

− x

x∫01∫ (1 – x) dy dx =

=

�

0

1∫

�

(1 − x) y[ ] y = − xy = x dx =

�

0

1∫ 2 (1 – x)

�

x dx =

= 2

�

23x3/2 −

25x5/2⎡

⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 0

1 =

�

815

.


101

11.7.2 Centro geométrico de sólidos

Definição: O centro geométrico (por vezes chamado “centróide”) de um domínio compacto R ⊂ IR3 é o ponto cujas coordenadas (

�

x ,

�

y ,

�

z ) são os valores médios de x,y e z em R, respectivamente:

�

x

�

≡def.

�

x dV

R∫∫∫

dV

R∫∫∫

;

�

y

�

≡def.

�

y dV

R∫∫∫

dV

R∫∫∫

;

�

z

�

≡def.

�

z dV

R∫∫∫

dV

R∫∫∫

Também neste caso é possível por vezes utilizar com vantagem um princípio de simetria, por analogia com o que acontece em duas dimensões: se o sólido R for simétrico com respeito ao plano p, então o centro geométrico de R terá de estar situado obrigatoriamente sobre p. Em particular, se R for simétrico com respeito ao plano x = a, então

�

x = a; e analogamente para os planos y = b e z = c.

Exemplo 11.22 Obtenha as coordenadas do centro geométrico do tetraedro que é delimitado pelos planos z = x + y, z = 6, x = 0 e y = 0.


102

O sólido é simétrico com respeito ao plano vertical x = y ⇒

�

x =

�

y : Considerando, por exemplo, que o tetraedro é z-simples, e que a sua projecção no plano Oxy é y-simples, resulta a seguinte descrição deste sólido:

Tetraedro = {(x,y,z) ∈ IR3: 0 ≤ x ≤ 6 ∧ 0 ≤ y ≤ 6 – x ∧ x + y ≤ z ≤ 6}

V =

�

x + y

6∫0

6 − x∫06∫ dz dy dx = 36

�

x + y

6∫0

6 − x∫06∫ x dz dy dx = 54 ⇒

�

x =

�

y = 54/36 = 3/2

�

x + y

6∫0

6 − x∫06∫ z dz dy dx = 162 ⇒

�

z = 162/36 = 9/2

Em conclusão, as coordenadas do centro geométrico pedido são: (3/2, 3/2, 9/2).

11.7.3 Massa de um sólido de densidade variável Se um sólido R de massa m e volume V for homogéneo, a sua densidade de

massa δ (ou “massa por unidade de volume”) é dada por δ =

�

mV

. Se o sólido R

não for homogéneo, a sua densidade poderá variar de ponto para ponto, ou seja, poderá ser representada por meio de uma função δ(x,y,z). Se fizermos uma partição arbitrária do sólido, a massa mi de uma pequena porção de volume ∆Vi

será dada aproximadamente por mi ≈ δ(x

�

i*, y

�

i*, z

�

i*) ∆Vi. Se formarmos a soma

de Riemann correspondente, e passarmos ao limite quando ∆Vi

�

→ 0, obtemos o integral triplo que nos dá o valor exacto da massa do sólido R:

m(R) =

�

R∫∫∫ δ(x,y,z) dV


103

Exemplo 11.23 Calcule a massa do sólido R que é delimitado pelo cilindro

parabólico x = y2 e pelos planos z = 0 e x + z = 1, sabendo que a densidade de massa é dada por δ(x,y,z) = 1 + 2z.

R = {(x,y,z) ∈ IR3: – 1 ≤ y ≤ 1 ∧ y2 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1 – x} (ver exemplo 11.21)

m(R) =

�

R∫∫∫ (1 + 2z) dV =

�

0

1 − x∫y2

1∫− 1

1∫ (1 + 2z) dz dx dy =

=

�

y21∫− 1

1∫

�

z + z2[ ] z = 0

z = 1 − x dx dy =

�

y21∫− 1

1∫ (2 – 3x + x2) dx dy =

=

�

− 1

1∫

�

2x −3x2

2+x3

3

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ x = y2

x = 1 dy =

�

− 1

1∫

�

56− 2y2 +

3y4

2−y6

3

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ dy =

=

�

56y −

2y3

3+3y5

10−y7

21

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ − 1

1 = 2

�

56−23

+310

−121

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ =

�

88105

.


104

Problemas propostos / Secção 11.7 1. Utilize um integral triplo para calcular o volume do sólido delimitado

pelas superfícies cujas equações são dadas a seguir: (a) 2x + 3y + z = 6, x = 0, y = 0 e z = 0;

(b) y + z = 4, y = 4 – x2, y = = 0 e z = 0;

(c) z = 10 – x2 – y2, y = x2, x = y2 e z = 0.

2. Diga quais as superfícies que delimitam o sólido cujo volume é dado pelo

integral triplo iterado seguinte:

(a)

�

0

y + 1∫− 1 − x2

1 − x2

∫− 1

1∫ dz dy dx;

(b)

�

0

y2 − 9x2

∫0

y/3∫09∫ dz dx dy.


105

3. Em cada caso, calcule as coordenadas (

�

x ,

�

y ,

�

z ) do centro geométrico da região do espaço a três dimensões delimitada pelas superfícies dadas:

(a) z = y, y = x2, y = 4 e z = = 0;

(b) z = x2, y + z = 4 e y = 0;

(c) x2 + y2 + z2 ≤ a2 e z ≥ 0;

(d) z = cos x, y = 0, z = 0 e y + z = 1, com – π/2 ≤ x ≤ ≤ π/2.


106

4. Em cada caso, calcule a massa do sólido dado, cuja densidade está representada pela função δ(x,y,z): (a) O cubo definido por {0 ≤ x ≤ a ∧ 0 ≤ y ≤ a ∧ 0 ≤ z ≤ a}, em que

δ(x,y,z) = a – x; (b) O sólido delimitado por z = 1 – y2 (para y ≥ 0), z = 0, y = 0, x = 1

e x = – 1, em que δ(x,y,z) = yz; (c) O sólido delimitado por y = 9 – x2 (para x ≥ 0), x = 0, y = 0, z = 0

e z = 1, em que δ(x,y,z) = xz; (d) O sólido cilíndrico delimitado por x2 + y2 = a2, z = 0 e z = h, em

que δ(x,y,z) = h – z.

Soluções dos problemas propostos / Secção 11.7 1. (a) 6;

(b)

�

1285

;

(c)

�

332105

.

2. (a) Cilindro circular x2 + y2 = 1, plano z = 0 e plano z = y + 1;

(b) Cone elíptico y2 = 9x2 + z2 (y ≥ 0), plano z = 0, plano x = 0 e plano y = 9.

3. (a)

�

0, 207, 107

⎛ ⎝

⎞ ⎠ ;


107

(b)

�

0, 87, 127

⎛ ⎝

⎞ ⎠ ;

(c)

�

0, 0, 3a8

⎛ ⎝

⎞ ⎠ ;

(d)

�

0 , 44 − 9π72 − 9π

, 9π − 1672 − 9π

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ .

4. (a)

�

a4

2 ;

(b)

�

16

;

(c)

�

818

;

(d)

�

π a2 h2

2 .

11.8 INTEGRAIS TRIPLOS EM COORDEN. CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS ________________________________________________________________

109

11.8 Integrais triplos em coordenadas cilíndricas e esféricas 11.8.1 Integrais triplos em “paralelepípedos” cilíndricos Alguns integrais triplos são mais facilmente calculados—ou, em certos casos, só podem ser calculados—se se fizer uma mudança de variáveis de coordenadas rectangulares para coordenadas cilíndricas, utilizando as conhecidas relações:

�

x = r cos θy = r sen θz = z

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ .

A situação mais simples em que é conveniente utilizar coordenadas cilíndricas ocorre quando a região R for um “paralelepípedo” cilíndrico, isto é, um domínio que se transforma num paralelepípedo rectangular se mudarmos de coordenadas rectangulares para coordenadas cilíndricas:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: a ≤ r ≤ b ∧ α ≤ θ ≤ β ∧ c ≤ z ≤ d, com β – α ≤ 2π}


110

Atendendo a que o volume de qualquer sólido cilíndrico é igual ao produto da área da base pela altura, e sendo a base neste caso um “rectângulo” polar cuja

área, como vimos atrás, é dada por

�

r ∆r ∆θ, em que

�

r =

�

12

(b + a), ∆r = b – a e

∆θ = β – α, resulta que o volume deste “paralelepípedo” cilíndrico é dado por:

V(R) =

�

r ∆r ∆θ ∆z, em que ∆z = d – c é a altura do “paralelepípedo”

O integral triplo

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV, em que R é o “paralelepípedo” cilíndrico

acima referido, pode ser calculado se começarmos por fazer uma partição do intervalo a ≤ r ≤ b em l sub-intervalos de comprimento ∆r = (b – a)/l:

a = r0 < r1 < …… < rl–1 < rl = b seguida de uma partição do intervalo α ≤ θ ≤ β em m sub-intervalos de comprimento ∆θ = (β – α)/m:

α = θ0 < θ1 < …… < θm–1 < θm = β seguida de uma partição do intervalo c ≤ z ≤ d em n sub-intervalos de comprimento ∆z = (d – c)/n:

c = z0 < z1 < …… < zn–1 < zn = d. Fica assim definida uma partição cilíndrica P do “paralelepípedo” cilíndrico R em k = l x m x n “sub-paralelepípedos” cilíndricos {Ri}, em que a malha ou norma |P| desta partição é o comprimento da maior diagonal de todos esses k “sub-paralelepípedos”. Em seguida, escolhemos o ponto central de cada “sub-paralelepípedo” Ri, de

coordenadas cilíndricas (r

�

i*, θ

�

i* , z

�

i*), em que r

�

i*, θ

�

i* e z

�

i* representam os

valores médios das coordenadas r, θ e z no “sub-paralelepípedo” Ri:


111

A soma de Riemann para a função f(x,y,z) associada com a partição cilíndrica P do “paralelepípedo” cilíndrico R acima descrita é então dada pelo somatório

�

i=1

k∑ f(x

�

i*, y

�

i*, z

�

i*) ∆Vi

em que ∆Vi = r

�

i* ∆r ∆θ ∆z é o volume do “sub- paralelepípedo” cilíndrico Ri.

Se agora substituirmos x

�

i* por (r

�

i* cos θ

�

i*) e y

�

i* por (r

�

i* sen θ

�

i*), esta soma de

Riemann ficará totalmente expressa em coordenadas cilíndricas:

�

i=1

k∑ f(x

�

i* , y

�

i* , z

�

i*) ∆Vi =

�

i=1

k∑ f(r

�

i* cos θ

�

i*, r

�

i* sen θ

�

i*, z

�

i*) r

�

i* ∆r ∆θ ∆z.

Passando agora ao limite quando a norma da partição cilíndrica P tende para zero, o que implica que ∆r, ∆θ e ∆z tendem para zero, obtém-se a importante fórmula que nos permite calcular o integral triplo de f(x,y,z) no “paralelepípedo” cilíndrico R como um integral iterado em coordenadas cilíndricas:


112

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV =

�

a

b∫α

β∫cd∫ f(r cos θ, r sen θ, z) r dr dθ dz

Note-se bem que, além de substituirmos x por (r cos θ) e y por (r sen θ) na função f(x,y,z), temos de multiplicar este resultado por r antes de fazermos a integração. Ou seja, temos efectivamente de integrar uma nova função, a saber:

g(r, θ, z) = f(r cos θ, r sen θ, z) r Note-se também que a ordem de integração no integral iterado acima escrito poderá ser trocada, caso isso seja mais conveniente em termos de cálculo; por exemplo, podemos escrever que:

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV =

�

c

d∫α

β∫ab∫ f(r cos θ, r sen θ, z) r dz dθ dr

ou qualquer outra das restantes quatro hipóteses: a escolha da ordem pela qual é feita a integração depende aqui unicamente da função g(r, θ, z). No caso particular de o domínio R ser um “paralelepípedo” cilíndrico, e de a função g(r, θ, z) poder ser escrita como produto de uma função só de r por uma função só de θ por uma função só de z, o integral iterado em coordenadas cilíndricas transforma-se no produto de três integrais simples:

g(r, θ, z) = f(r cos θ, r sen θ, z) r = g1(r) g2(θ) g3(z) ⇒

⇒

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV =

�

a

b∫ g1 (r) dr

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

α

β∫ g2 (θ) dθ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

c

d∫ g 3 (z) dz

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟


113

Exemplo 11.24 Mostre que o integral triplo

�

R∫∫∫ e(x2 + y2) dV, em que R

é a parte do cilindro circular de equação x2 + y2 = 1 que está situada no 1º octante entre os planos z = 0 e z = 2, não pode ser calculado em coordenadas rectangulares, mas pode ser facilmente calculado em coordenadas cilíndricas.

R = {(x,y,z) ∈ IR3: 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ x ≤

�

1 − y2 ∧ 0 ≤ z ≤ 2} A esta descrição do domínio R está associado o seguinte integral iterado:

�

0

2∫0

1 − y2

∫01∫ e(x2 + y2) dz dx dy

Este integral não pode ser calculado porque não existe a primitiva elementar de

ex2 com respeito a x (ou de ey2

com respeito a y). Porém, em coordenadas cilíndricas, o integral é fácil de calcular. A descrição do domínio R será agora:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: 0 ≤ θ ≤ π/2 ∧ 0 ≤ r ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 2} e a esta descrição está associado o seguinte integral iterado:

�

0

2∫01∫0

π /2∫ er2 r dz dr dθ =

�

0

π /2∫ dθ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

0

1∫ r er

2dr

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

0

2∫ dz

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

=

�

π2

− 0⎛ ⎝

⎞ ⎠

�

12er2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ 0

1 (2 – 0) =

�

π2

(e – 1).


114

11.8.2 Integrais triplos em regiões z-simples com projecção r-simples Se o domínio de integração R não for um “paralelepípedo” cilíndrico, ainda é

possível nalguns casos escrever o integral triplo

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV como um

integral iterado em coordenadas cilíndricas, se utilizarmos o conceito mais geral de partição cilíndrica interna do domínio R, analogamente ao que fizemos atrás quando definimos integrais triplos em domínios limitados arbitrários de IR3. A única situação de importância prática que convém conhecer corresponde a termos uma região R ⊂ IR3 que pode ser descrita da seguinte forma:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: α ≤ θ ≤ β ∧ r1(θ) ≤ r ≤ r2(θ) ∧ z1(r,θ) ≤ z ≤ z2(r,θ)} em que, por hipótese, β – α ≤ 2π, r1(θ) e r2(θ) são funções contínuas em [α,β], e z1(r,θ) e z2(r,θ) são funções contínuas na projecção Rxy da região R sobre o plano Oxy, que é a região r-simples definida pelas duas primeiras condições. Geometricamente, isto significa que as rectas paralelas a Oz que interceptem a região R vão ter o seu “ponto de entrada” e o seu “ponto de saída” situado em superfícies de equações z = z1(r,θ) e z = z2(r,θ), respectivamente. Uma região do espaço a três dimensões que pode ser assim descrita diz-se uma região z-simples, com projecção r-simples sobre o plano Oxy.

Neste caso, o integral triplo

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV poderá ser calculado por meio de

um integral iterado em coordenadas cilíndricas, em que temos de integrar primeiro com respeito a z, depois com respeito a r, e depois com respeito a θ:

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV =

�

z1 (r,θ)

z2 (r,θ)∫r1 (θ)

r2 (θ)∫αβ∫ f(r cos θ, r sen θ, z) r dz dr dθ


115

Saliente-se novamente que esta mudança para coordenadas cilíndricas implica não só substituir x por (r cos θ) e y por (r sen θ) na função f(x,y,z), mas ainda multiplicar este resultado por r, antes de fazer a integração. A decisão sobre a utilização de coordenadas cilíndricas no cálculo de integrais triplos depende essencialmente de dois factores: o domínio de integração R, e a função integranda f(x,y,z). Se o domínio de integração R for delimitado por superfícies que tenham equações mais simples em coordenadas cilíndricas, e se na função integranda aparecer a expressão x2 + y2, que se transforma em r2 em coordenadas cilíndricas, é quase sempre mais simples fazer o cálculo do integral triplo utilizando coordenadas cilíndricas. A utilização de coordenadas cilíndricas no cálculo de integrais triplos é particularmente indicada quando a(s) superfície(s) que delimita(m) o domínio R tiver(em) o eixo Oz como eixo de simetria, como acontece no caso dos sólidos de revolução em torno desse eixo. Uma das aplicações mais simples da integração utilizando coordenadas cilíndricas é o cálculo do volume do domínio R; se R for uma região z-simples, com projecção r-simples no plano Oxy, o volume de R poderá ser obtido calculando o seguinte integral iterado em coordenadas cilíndricas:

V(R) =

�

R∫∫∫ dV =

�

z1 (r,θ)

z2 (r,θ)∫r1 (θ)

r2 (θ)∫αβ∫ r dz dr dθ

Exemplo 11.25 Utilize coordenadas cilíndricas para calcular o volume do

sólido delimitado pelo parabolóide circular z = b (x2 + y2) e pelo plano z = h (b, h > 0).

Em coordenadas cilíndricas, a equação do parabolóide circular é z = br2, e a equação do plano é a mesma, isto é, z = h. Como se vê na figura seguinte, o sólido é z-simples, e a sua projecção em Oxy é um “rectângulo” polar, pois é um círculo centrado na origem de raio

�

(h /b) :

z = br2 = h ⇒ r =

�

(h /b)


116

O sólido pode portanto ser descrito da seguinte forma:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: 0 ≤ θ ≤ 2π ∧ 0 ≤ r ≤

�

(h /b) ∧ br2 ≤ z ≤ h}

V(R) =

�

R∫∫∫ dV =

�

br2h∫0

h /b∫0

2π∫ r dz dr dθ =

=

�

0

h /b∫0

2π∫ (hr – br3) dr dθ =

=

�

0

2π∫ dθ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

0

h /b∫ (hr − br3) dr

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ =

= (2π)

�

hr2

2−br4

4

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ 0

h /b = (2π)

�

h (h /b)2

−b (h /b)2

4

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ =

�

π h2

2b .


117

11.8.3 Integrais triplos em “paralelepípedos” esféricos Acontece frequentemente que o cálculo de um integral triplo não se consegue fazer em coordenadas rectangulares nem em coordenadas cilíndricas, ou que se torna muito trabalhoso utilizar essas coordenadas. Este problema pode por vezes ser resolvido com uma mudança de variáveis de coordenadas rectangulares para coordenadas esféricas, utilizando as conhecidas relações:

�

x = ρ sen φ cos θy = ρ sen φ sen θz = ρ cos φ

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ .

A situação mais simples em que é conveniente utilizar coordenadas esféricas no cálculo de integrais triplos ocorre quando a região R for um “paralelepípedo” esférico, ou seja, um domínio que se transforma num paralelepípedo rectangular ao mudarmos de coordenadas rectangulares para coordenadas esféricas:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: a ≤ ρ ≤ b ∧ γ ≤ φ ≤ δ ∧ α ≤ θ ≤ β,

com δ – γ ≤ π e β – α ≤ 2π}


118

É possível demonstrar-se rigorosamente que o volume do “paralelepípedo” esférico representado na figura anterior é dado por:

V(R) =

�

ˆ ρ 2 sen

�

ˆ φ ∆ρ ∆φ ∆θ em que ∆ρ = b – a, ∆φ = δ – γ e ∆θ = β – α, e em que

�

ˆ ρ e

�

ˆ φ são dois números tais que a ≤

�

ˆ ρ ≤ b e γ ≤

�

ˆ φ ≤ δ.

O integral triplo

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV no “paralelepípedo” esférico acima referido

pode ser calculado se começarmos por fazer uma partição do intervalo a ≤ ρ ≤ b em l sub-intervalos de comprimento ∆ρ = (b – a)/l:

a = ρ0 < ρ1 < …… < ρl–1 < ρl = b seguida de uma partição do intervalo γ ≤ φ ≤ δ em m sub-intervalos de comprimento ∆φ = (δ – γ)/m:

γ = φ0 < φ1 < …… < φm–1 < φm = δ seguida finalmente de uma partição do intervalo α ≤ θ ≤ β em n sub-intervalos de comprimento ∆θ = (β – α)/n:

α = θ0 < θ1 < …… < θn–1 < θn = β. Fica assim definida uma partição esférica P do “paralelepípedo” esférico R em k = l x m x n “sub-paralelepípedo” esféricos {Ri}, em que a malha ou norma |P| desta partição é, como sempre, o comprimento da maior diagonal de todos esses k “sub-paralelepípedo”. Escolhe-se depois para cada “sub-paralelepípedo” Ri o ponto de coordenadas

esféricas (ρ

�

i*, φ

�

i* , θ

�

i*), em que ρ

�

i* e φ

�

i* são os números

�

ˆ ρ i e

�

ˆ φ i atrás referidos,

e em que θ

�

i* representa um valor arbitrário de θ no “sub-paralelepípedo” Ri:


119

A soma de Riemann para a função f(x,y,z), associada com a partição esférica P do “paralelepípedo” esférico R acima descrita, é então dada pelo somatório

�

i=1

k∑ f(x

�

i*, y

�

i*, z

�

i*) ∆Vi

em que ∆Vi =

�

ρ i* )⎛

⎝ 2 sen φ

�

i* ∆ρ ∆φ ∆θ é o volume do “sub-paralelepípedo”

esférico Ri. Fazendo agora a substituição de x

�

i* por (ρ

�

i* sen φ

�

i* cos θ

�

i*), de y

�

i*

por (ρ

�

i* sen φ

�

i* sen θ

�

i*) e de z

�

i* por (ρ

�

i* cos φ

�

i*), esta soma de Riemann ficará

totalmente expressa em coordenadas esféricas:

�

i=1

k∑ f(x

�

i*, y

�

i*, z

�

i*) ∆Vi =

=

�

i=1

k∑ f(ρ

�

i* sen φ

�

i* cos θ

�

i*, ρ

�

i* sen φ

�

i* sen θ

�

i*, ρ

�

i* cos φ

�

i*)

�

ρ i* )⎛

⎝ 2 sen φ

�

i* ∆ρ ∆φ ∆θ.


120

Passando agora ao limite quando a norma da partição esférica P tende para zero, o que implica que ∆ρ, ∆φ e ∆θ tendem para zero, obtém-se a importante fórmula que nos permite calcular o integral triplo de f(x,y,z) no “paralelepípedo” esférico R como um integral iterado em coordenadas esféricas:

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV =

=

�

α

β∫γ

δ∫ab∫ f(ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ) ρ2 sen φ dθ dφ dρ

Repare-se que, além de substituirmos x por (ρ sen φ cos θ), y por (ρ sen φ sen θ) e z por (ρ cos φ) na função f(x,y,z), temos de multiplicar este resultado por ρ2 sen φ antes de fazermos a integração. Ou seja, temos efectivamente de integrar uma nova função, que é a função g(ρ, φ, θ) seguinte:

g(ρ, φ, θ) = f(ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ) ρ2 sen φ Note-se também que a ordem de integração naquele integral iterado poderá ser trocada, caso isso seja mais conveniente em termos de cálculo, já que a ordem de integração acima escrita é apenas uma de seis hipóteses possíveis: a escolha da ordem de integração depende aqui unicamente da função g(ρ, φ, θ). No caso particular de o domínio R ser um “paralelepípedo” esférico, e de a função g(ρ, φ, θ) poder ser escrita como produto de uma função só de ρ por uma função só de φ por uma função só de θ, o integral iterado em coordenadas esféricas transforma-se no produto de três integrais simples:

f(ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ) ρ2 sen φ = g1(ρ) g2(φ) g3(θ) ⇒

⇒

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV = =

�

a

b∫ g1 (ρ) dρ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

γ

δ∫ g2 (φ) dφ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

α

β∫ g 3 (θ) dθ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟


121

Exemplo 11.26 Utilize coordenadas esféricas para calcular a massa de uma

esfera de raio 2 centrada na origem, cuja densidade variável

é representada pela função δ(x,y,z) =

�

1

4 + x2 + y2 + z2 .

Qual é a densidade média deste sólido esférico? A descrição do sólido esférico em coordenadas esféricas é muito simples:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: 0 ≤ ρ ≤ 2 ∧ 0 ≤ φ ≤ π ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π}

m(R) =

�

R∫∫∫ δ(x,y,z) dV =

�

0

2∫0

π∫0

2π∫

�

1

4 + ρ2 ρ2 sen φ dρ dφ dθ =

=

�

0

2π∫ dθ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

0

π∫ sen φ dφ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

0

2∫ ρ2

4 + ρ2dρ

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ = (*)

C. A.:

�

∫

�

ρ2

4 + ρ2dρ =

�

∫

�

1 −4

4 + ρ2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ dρ = ρ – 2 arctg

�

ρ2

⎛ ⎝

⎞ ⎠

(*) = (2π)

�

− cos φ[ ]0

π

�

ρ − 2 arctg ρ2

⎛ ⎝

⎞ ⎠

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

0

2= (2π) (2) (2 – 2 arctg 1) =

= (4π)

�

2 − 2 π4

⎛ ⎝

⎞ ⎠ = 2π (4 – π).

Como V(R) =

�

43

π 23 =

�

323

π, a densidade média do sólido esférico será:

�

δ(x,y,z) =

�

m(R)V(R)

=

�

2π (4 − π)323

π =

�

3 (4 − π)16

.


122

11.8.4 Integrais triplos em regiões ρ-simples Se o domínio de integração R não for um “paralelepípedo” esférico, ainda assim

é possível nalguns casos escrever o integral triplo

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV como um

integral iterado em coordenadas esféricas, se utilizarmos o conceito mais geral de partição esférica interna do domínio R, analogamente ao que referimos atrás para as coordenadas cilíndricas e para as coordenadas rectangulares. A única situação de importância prática que convém conhecer corresponde a termos uma região R ⊂ IR3 que pode ser descrita da seguinte forma:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: γ ≤ φ ≤ δ ∧ α ≤ θ ≤ β ∧ ρ1(φ,θ) ≤ ρ ≤ ρ2(φ,θ)} em que, por hipótese, δ – γ ≤ π, β – α ≤ 2π, e ρ1(φ,θ) e ρ2(φ,θ) são funções contínuas na “projecção de R no plano-φθ”, que é definida pelas duas primeiras condições (note-se que esta projecção não pode ser visualizada num plano de Oxyz, ao contrário do que acontece ao mudar para coordenadas cilíndricas, pelo que é necessário conhecer bem as definições das coordenadas esféricas φ e θ, para deduzir quais são os respectivos limites de variação). Geometricamente, aquela descrição significa que “raios” (isto é, semi-rectas) que partam da origem e que interceptem a região R terão o seu “ponto de entrada” e o seu “ponto de saída” em duas superfícies, cujas equações em coordenadas esféricas são ρ = ρ1(φ,θ) e ρ = ρ2(φ,θ), respectivamente. Uma região do espaço a três dimensões que pode ser assim descrita diz-se uma região ρ-simples (ou centralmente-simples).

Neste caso, o integral triplo

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV poderá ser calculado por meio de

um integral iterado em coordenadas esféricas, em que temos de integrar primeiro com respeito a ρ, e em seguida com respeito a φ e depois a θ, ou então com respeito a θ e depois a φ, conforme o que for mais conveniente:


123

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV =

�

ρ1 (φ,θ)

ρ2 (φ,θ)∫γδ∫α

β∫ g(ρ,φ,θ) dρ dφ dθ

ou, alternativamente:

�

R∫∫∫ f(x,y,z) dV =

�

ρ1 (φ,θ)

ρ2 (φ,θ)∫αβ∫γ

δ∫ g(ρ,φ,θ) dρ dθ dφ

em que g(ρ, φ, θ) = f(ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ) ρ2 sen φ. Para calcular um integral triplo em coordenadas esféricas, não basta substituir x por (ρ sen φ cos θ), y por (ρ sen φ sen θ) e z por (ρ cos φ) em f(x,y,z): é ainda preciso multiplicar este resultado por ρ2 sen φ antes de fazer a integração. Mais uma vez, a decisão sobre a utilização de coordenadas esféricas no cálculo de integrais triplos depende essencialmente de dois factores: o domínio de integração R, e a função integranda f(x,y,z). Se o domínio de integração R for delimitado por superfícies que tenham equações mais simples em coordenadas esféricas, como é o caso de superfícies esféricas e superfícies cónicas centradas na origem, e se na função integranda aparecer a expressão x2 + y2 + z2, que em coordenadas esféricas se transforma em ρ2, é quase sempre mais simples fazer o cálculo do integral triplo utilizando coordenadas esféricas. Uma das aplicações mais simples da integração utilizando coordenadas esféricas é o cálculo do volume do domínio R; se R for uma região ρ-simples, o volume de R poderá ser obtido calculando um integral iterado em coordenadas esféricas:

V(R) =

�

R∫∫∫ dV =

�

ρ1 (φ,θ)

ρ2 (φ,θ)∫γδ∫α

β∫ ρ2 sen φ dρ dφ dθ


V(R) =

�

R∫∫∫ dV =

�

ρ1 (φ,θ)

ρ2 (φ,θ)∫αβ∫γ

δ∫ ρ2 sen φ dρ dθ dφ


124

Exemplo 11.27 Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume do

sólido interior à superfície cónica circular z2 = 3 (x2 + y2) e à superfície esférica x2 + y2 + (z – 1)2 = 1.

Em coordenadas esféricas, a equação da “folha” superior da superfície cónica é:

z2 = 3 (x2 + y2) ∧ z ≥ 0 ⇒ tg φ ≡

�

x2 + y2

z =

�

33

⇒ φ =

�

π6

Quanto à equação da superfície esférica em coordenadas esféricas: x2 + y2 + (z – 1)2 = 1 ⇒ x2 + y2 + z2 = 2z ⇒ ρ2 = 2ρ cos φ ⇒ ρ = 2 cos φ O sólido delimitado por estas superfícies é ρ-simples, e a sua “projecção no plano-φθ” é um rectângulo, já que pode ser descrito da seguinte forma:

R = {(x,y,z) ∈ IR3: 0 ≤ θ ≤ 2π ∧ 0 ≤ φ ≤

�

π6

∧ 0 ≤ ρ ≤ 2 cos φ}


125

V(R) =

�

R∫∫∫ dV =

�

0

2 cos φ∫0

π /6∫0

2π∫ ρ2 sen φ dρ dφ dθ =

=

�

0

π /6∫0

2π∫

�

ρ3

3

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ 0

2 cosφsen φ dφ dθ =

=

�

83

�

0

π /6∫0

2π∫ cos3 φ sen φ dφ dθ =

=

�

83

�

0

2π∫ dθ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

�

0

π /6∫ cos3 φ sen φ dφ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

=

�

16π3

�

−cos4 φ4

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ 0

π /6 =

�

7π12

.

Problemas propostos / Secção 11.8 1. Utilize um integral triplo em coordenadas cilíndricas para calcular o

volume do sólido indicado: (a) O sólido delimitado pelo plano z = 4 e pelo parabolóide z = x2 + y2;

(b) O sólido interior à esfera x2 + y2 + z2 = 4 e ao cilindro x2 + y2 = = 2x;


126

(c) O sólido interior à esfera x2 + y2 + z2 = 2 e ao parabolóide z = x2 + y2.

2. Utilize um integral triplo em coordenadas esféricas para calcular o

volume do sólido indicado: (a) O sólido interior à esfera x2 + y2 + z2 = 9 e exterior ao cone

z2 = x2 + y2, com z ≥ 0;

(b) O sólido interior à esfera x2 + y2 + z2 = 4a2, entre os planos z = 0 e z = a;

(c) O sólido interior ao cone z2 = x2 + y2, entre os planos z = 0 e z = 1.


127

3. Calcule o valor dos seguintes integrais triplos utilizando coordenadas cilíndricas ou esféricas, conforme o que for mais conveniente:

(a)

�

0

a2 − x2 − y2

∫0

a2 − x2

∫0a∫ x2 dz dy dx , em que a > 0;

(b)

�

0

1 − x2 − y2

∫0

1 − x2

∫− 1

1∫ e– (x2 + y2 + z2)

3/2 dz dy dx;

(c)

�

x2 + y28 − x2 − y2

∫0

4 − y2

∫02∫ z2 dz dx dy.

4. Em cada caso, utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular a

massa do sólido descrito, cuja densidade é dada pela função δ(x,y,z):

(a) O sólido delimitado pelo cone z =

�

x2 + y2 e pelo plano z = 3, com densidade δ(x,y,z) = 3 – z;

(b) O sólido delimitado pelas superfícies esféricas x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4, com densidade δ(x,y,z) = (x2 + y2 + z2)–1/2.


1. (a) 8π;

(b)

�

169

(3π – 4);

(c)

�

π68 2 − 7( ).

2. (a) 9

�

2π;

(b)

�

11π a3

3 ;

(c)

�

π3

.

3. (a)

�

π a6

48 ;


128

(b)

�

π (e − 1)3e

;

(c)

�

32π15

2 2 − 1( ) .

4. (a)

�

27 π4

;

(b) 6π.

11.9 INTEGRAIS MÚLTIPLOS IMPRÓPRIOS ________________________________________________________________

129

11.9 Integrais múltiplos impróprios Até aqui, ao calcular um integral duplo ou triplo, supusemos sempre que o domínio de integração era limitado, e que a função integranda não apresentava descontinuidades infinitas (isto é, que era limitada) nesse domínio. Se relaxarmos a 1ª restrição, permitindo que o domínio de integração seja ilimitado, somos conduzidos à definição dos integrais múltiplos impróprios do 1º tipo. Se relaxarmos a 2ª restrição, permitindo que a função tenha descontinuidades infinitas no domínio de integração, somos levados à definição dos integrais múltiplos impróprios do 2º tipo. Se estas duas situações ocorrerem simultaneamente, o integral em causa dir-se-á um integral múltiplo impróprio do tipo misto. 11.9.1 Integrais múltiplos impróprios do 1º tipo

(domínio de integração ilimitado) Seja f(x,y) uma função definida e limitada em R ⊆ IR2, em que R é um domínio ilimitado, e consideremos uma sucessão crescente de domínios convergente para R definida da seguinte forma:

Qn

�

≡def.

{(x,y) ∈ IR2:

�

x ≤ n ∧

�

y ≤ n, com n ∈ IN} Como é evidente desta definição, tem-se: Q1 ⊂ Q2 ⊂ … ⊂ Qn ⊂ Qn+1 ⊂ …. Consideremos agora a intersecção de cada um destes domínios quadrados com o domínio ilimitado R:

An

�

≡def.

Qn ∩ R (∃no ∈ IN : n ≥ no ⇒ An ≠

�

∅)


130

Desta definição do conjunto {An}, resulta evidente que

�

limn→∞

An = R:

Se a função f(x,y) for integrável em An, ∀n ≥ no

, define-se o integral duplo

impróprio do 1º tipo da seguinte forma:

�

R∫∫ f(x,y) dA

�

≡def.

�

limn→∞

�

An∫∫ f(x,y) dA

Alternativamente, podemos considerar outra sucessão crescente de domínios diferente da anterior, mas também convergente para R:

Dn

�

≡def.

{(x,y) ∈ IR2: x2 + y2 ≤ n2 , com n ∈ IN} Mais uma vez, é evidente que D1 ⊂ D2 ⊂ … ⊂ Dn ⊂ Dn+1 ⊂ ….


131

Consideremos agora a intersecção de cada um destes domínios circulares (“discos”) com o domínio ilimitado R:

Bn

�

≡def.

Dn ∩ R (∃no ∈ IN : n ≥ no ⇒ Bn ≠

�

∅)

Desta definição do conjunto {Bn}, resulta novamente que

�

limn→∞

Bn = R:

Se a função f(x,y) for integrável em Bn , ∀n ≥ no

, pode agora definir-se o

integral duplo impróprio do 1º tipo da seguinte forma alternativa:

�

R∫∫ f(x,y) dA

�

≡def.

�

limn→∞

�

Bn∫∫ f(x,y) dA

À primeira vista, parece existir uma ambiguidade, já que temos duas definições (aparentemente) diferentes para o integral duplo impróprio do 1º tipo.


132

Contudo, é possível demonstrar-se que, se um dos dois limites existir, o outro também existe, e que são iguais, pelo que estas definições não são ambíguas e podem ser utilizadas indistintamente. De facto, se tal for conveniente, mostra-se ainda que podem ser utilizados na definição outros tipos de sucessões crescentes de domínios de IR2, análogas às sucessões {Qn} e {Dn} acima definidas, mas com formas geométricas diferentes.

Exemplo 11.28 Calcule o integral duplo impróprio

�

R∫∫ e– (x2 + y2) dA, em

que R = {(x,y) ∈ IR2: x ≥ 0 ∧ y ≥ 0} (o 1º quadrante). Comecemos por utilizar a 1ª definição dada acima:

An = {(x,y) ∈ IR2: 0 ≤ x ≤ n ∧ 0 ≤ y ≤ n, com n ∈ IN}

�

An∫∫ e– (x2 + y2) dA =

�

An∫∫ e– x2

e– y2 dA =

�

0

n∫0n∫ e– x2

e– y2 dx dy =

=

�

⎛ ⎝

�

0

n∫ e– x2

dx

�

⎞ ⎠

�

⎛ ⎝

�

0

n∫ e– y2

dy

�

⎞ ⎠ =

�

⎛ ⎝

�

0

n∫ e– x2

dx

�

⎞ ⎠

2


133

�

R∫∫ e– (x2 + y2) dA =

�

limn→∞

�

⎛ ⎝

�

0

n∫ e– x2

dx

�

⎞ ⎠

2=

�

⎛ ⎝

�

limn→∞

�

0

n∫ e– x2

dx

�

⎞ ⎠

2 = ?

Como a primitiva elementar de e– x2 não existe, o resultado pretendido não

pode ser obtido por este processo. Tentemos utilizar a definição alternativa:

Bn = {(x,y) ∈ IR2: x2 + y2 ≤ n2 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0, com n ∈ IN} ou, utilizando coordenadas polares:

Bn = {(x,y) ∈ IR2: 0 ≤ θ ≤ π/2 ∧ 0 ≤ r ≤ n, com n ∈ IN}

�

Bn∫∫ e– (x2 + y2) dA =

�

0

n∫0

π /2∫ e– r2 r dr dθ =

=

�

⎛ ⎝

�

0

π /2∫ dθ

�

⎞ ⎠

�

⎛ ⎝

�

0

n∫ e– r2 r dr

�

⎞ ⎠ =

= (π/2)

�

−12e− r

2⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ 0

n = π/4

�

1 − e− n2⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟


134

�

R∫∫ e– (x2 + y2) dA =

�

limn→∞

π/4

�

1 − e− n2⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = π/4.

Exemplo 11.29 A partir do resultado obtido no exemplo anterior, mostre que

�

0

∞∫ e– x2

dx =

�

π2

.

Vimos que

�

R∫∫ e– (x2 + y2) dA = π/4, em que R = {(x,y): x ≥ 0 ∧ y ≥ 0}.

Por outro lado, vimos que

�

R∫∫ e– (x2 + y2) dA =

�

⎛ ⎝

�

limn→∞

�

0

n∫ e– x2

dx

�

⎞ ⎠

2,

que não conseguimos calcular porque não existe a primitiva elementar de e– x2.

Como os dois processos de calcular o integral duplo impróprio conduzem obrigatoriamente ao mesmo resultado, concluímos que:

�

⎛ ⎝

�

limn→∞

�

0

n∫ e– x2

dx

�

⎞ ⎠

2 = π/4 ⇒

�

limn→∞

�

0

n∫ e– x2

dx =

�

π2

⇒

⇒

�

0

∞∫ e– x2

dx =

�

π2

.

Este é um integral impróprio com aplicações muito importantes em Estatística, relacionado com a chamada distribuição normal de uma variável aleatória.

Se f(x,y,z) for uma função definida e limitada em R ⊆ IR3 , em que R é um domínio ilimitado, podemos calcular o integral triplo impróprio de f(x,y,z) em R a partir da seguinte sucessão crescente de domínios cúbicos:

Cn

�

≡def.

{(x,y,z) ∈ IR3:

�

x ≤ n ∧

�

y ≤ n ∧

�

z ≤ n, com n ∈ IN}


135

An

�

≡def.

Cn ∩ R ⇒

�

limn→∞

An = R

�


�

≡def.

�

limn→∞

�

An∫∫∫ f(x,y,z) dV

ou, alternativamente, da seguinte sucessão crescente de domínios esféricos:

En

�

≡def.

{(x,y,z) ∈ IR3: x2 + y2 + z2 ≤ n2 , com n ∈ IN}

Bn

�

≡def.

En ∩ R ⇒

�

limn→∞

Bn = R

�


�

≡def.

�

limn→∞

�

Bn∫∫∫ f(x,y,z) dV

ou qualquer outro tipo de sucessão crescente de domínios de IR3 convergente para R que for mais conveniente.

Exemplo 11.30 Calcule o valor do integral triplo impróprio do 1º tipo

�

R∫∫∫ e– (x2 + y2 + z2) dV, em que R é o primeiro octante

do espaço a três dimensões. Considerando a sucessão de domínios esféricos En acima definida, e utilizando coordenadas esféricas no cálculo: Bn = {(x,y,z) ∈ IR3: x2 + y2 + z2 ≤ n2 ∧ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ z ≥ 0, com n ∈ IN} =

= {(x,y,z) ∈ IR3: 0 ≤ θ ≤ π/2 ∧ 0 ≤ φ ≤ π/2 ∧ 0 ≤ ρ ≤ n, com n ∈ IN}


136

�

Bn∫∫∫ e– (x2 + y2 + z2) dV =

�

0

n∫0

π /2∫0

π /2∫ e– ρ2

ρ2 sen φ dρ dφ dθ =

=

�

⎛ ⎝

�

0

π /2∫ dθ

�

⎞ ⎠

�

⎛ ⎝

�

0

π /2∫ sen φ dφ

�

⎞ ⎠

�

⎛ ⎝

�

0

n∫ ρ2 e– ρ2

dρ

�

⎞ ⎠ =

= (π/2)

�

− cos φ[ ]0

π /2

�

⎛ ⎝

�

0

n∫ ρ2 e– ρ2

dρ

�

⎞ ⎠ = π/2

�

⎛ ⎝

�

0

n∫ ρ2 e– ρ2

dρ

�

⎞ ⎠

�

R∫∫∫ e– (x2 + y2 + z2) dV = π/2

�

limn→∞

�

⎛ ⎝

�

0

n∫ ρ2 e– ρ2

dρ

�

⎞ ⎠ = (*)

C. A.:

�

∫ ρ2 e– ρ2 dρ = – 1/2 ρ e– ρ2

+ 1/2

�

∫ e– ρ2 dρ

(*) = π/2

�

limn→∞

�

⎡ ⎣ ⎢ – 1/2 ρ e– ρ2

+ 1/2

�

∫ e– ρ2 dρ

�

⎤ ⎦ ⎥

n

0 =

= π/2

�

limn→ ∞

−1/2 n e− n2

+ 1/2 e− ρ2dρ

0

∞∫

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = π/2

�

0 + 1/2π2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

�

π π8

.

�

⎛ ⎝ já que

�

0

∞∫ e– ρ2

dρ =

�

π2

, como vimos no exemplo anterior

�

⎞ ⎠

11.9.2 Integrais múltiplos impróprios do 2º tipo

(função integranda com descontinuidade infinita) Seja f(x,y) uma função com uma descontinuidade infinita no ponto (a,b) ∈ R, em que R ⊂ IR2 é um domínio limitado:

�

lim(x,y)→(a,b)

f(x,y) = ± ∞.


137

Se V(δ;(a,b)) representar, como habitualmente, uma vizinhança de raio δ > 0 do ponto (a,b), podemos definir o seguinte conjunto:

R*

�

≡def.

R \ V(δ;(a,b)), se (a,b) for um ponto-interior de R


R*

�

≡def.

R \ (V(δ;(a,b)) ∩ R), se (a,b) for um ponto-fronteira de R

O integral duplo impróprio do 2º tipo define-se então da seguinte forma:

�

R∫∫ f(x,y) dA

�

≡def.

�

limδ→0+

�

R*∫∫ f(x,y) dA

em que, por hipótese, a função f(x,y) é integrável em R*.

• Se tal for conveniente, a definição de R* poderá também ser feita utilizando vizinhanças não-circulares (por exemplo, quadrados), em torno do ponto de descontinuidade infinita da função f(x,y).


138

• Se a função f(x,y) apresentar n descontinuidades infinitas no domínio R, este deverá ser dividido em n subdomínios R1, … , Rn com interiores disjuntos, com R = R1 ∪ … ∪ Rn, por forma a que cada subdomínio Ri contenha apenas um dos pontos de descontinuidade. A definição anterior pode então ser aplicada separadamente a cada um dos subdomínios Ri e, se existirem todos os limites, independentemente uns dos outros, basta adicionar no final os resultados assim obtidos, por aplicação do teorema da decomposição do domínio de integração.

Exemplo 11.31 Calcule o valor do integral duplo

�

R∫∫

�

1

(x2 + y2)1/2 dA,

em que R = {(x,y) ∈ IR2: x2 + y2 ≤ 1}.

Trata-se de um integral impróprio do 2º tipo, porque a função integranda tem uma descontinuidade infinita em (0, 0):

�

lim(x,y)→(0,0)

�

1

(x2 + y2)1/2 = ∞

O domínio R* é, por definição, a diferença R \ V(δ;(0,0)):


139

R* = {(x,y) ∈ IR2: δ2 ≤ x2 + y2 ≤ 1} = {(x,y) ∈ IR2: 0 ≤ θ ≤ 2π ∧ δ ≤ r ≤ 1}

�

R*∫∫

�

1

(x2 + y2)1/2 dA =

�

δ

1∫0

2π∫

�

1r

r dr dθ =

=

�

⎛ ⎝

�

0

2π∫ dθ

�

⎞ ⎠

�

⎛ ⎝

�

δ

1∫ dr

�

⎞ ⎠ = 2π (1 – δ)

�

R∫∫

�

1

(x2 + y2)1/2 dA =

�

limδ→0+

2π (1 – δ) = 2π

A definição de integrais triplos impróprios do 2º tipo não oferece qualquer dificuldade. Assim, se (a,b,c) for um ponto-interior de R onde a função f(x,y,z) apresenta uma descontinuidade infinita, o domínio R* será definido através de

R*

�

≡def.

R \ V(δ;(a,b,c)); alternativamente, se (a,b,c) for um ponto-fronteira de R onde a função f(x,y,z) apresenta uma descontinuidade infinita, definiremos

R*

�

≡def.

R \ (V(δ;(a,b,c)) ∩ R); em qualquer dos casos, o integral impróprio do 2º tipo será definido e calculado da seguinte forma:

�


�

≡def.

�

limδ→0+

�

R*∫∫∫ f(x,y,z) dV

Exemplo 11.32 Calcule o valor do integral triplo impróprio do 2º tipo

�

R∫∫∫

�

1

(x2 + y2 + z2)1/2 dV, sendo R a região esférica

definida por R = {(x,y,z) ∈ IR3: x2 + y2 + z2 ≤ 1}. Trata-se de um integral impróprio do 2º tipo, porque a função integranda tem uma descontinuidade infinita em (0, 0, 0):


140

�

lim(x,y,z)→(0,0,0)

�

1

(x2 + y2 + z2)1/2 = ∞

O domínio R* é, por definição, a diferença R \ V(δ;(0, 0, 0)):

R* = {(x,y,z) ∈ IR3: δ2 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 1} =

= {(x,y,z) ∈ IR3: 0 ≤ θ ≤ 2π ∧ 0 ≤ φ ≤ π ∧ δ ≤ ρ ≤ 1}

�

R*∫∫∫

�

1

(x2 + y2 + z2)1/2 dV =

�

δ

1∫0

π∫0

2π∫

�

1ρ

ρ2 sen φ dρ dφ dθ =

=

�

⎛ ⎝

�

0

2π∫ dθ

�

⎞ ⎠

�

⎛ ⎝

�

0

π∫ sen φ dφ

�

⎞ ⎠

�

⎛ ⎝

�

δ

1∫ ρ dρ

�

⎞ ⎠ = 2π (1 – δ2)

�

R∫∫∫

�

1

(x2 + y2 + z2)1/2 dV =

�

limδ→0+

2π (1 – δ2) = 2π.

Problemas propostos / Secção 11.9 1. Calcule o valor do integral duplo impróprio do primeiro tipo

�

R∫∫

�

1

1 + x2 + y2( )1/2⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 3 dA, em que R = IR2.

2. Determine a condição a que deve obedecer o expoente p para que o

integral duplo impróprio do segundo tipo

�

R∫∫

�

1

x2 + y2( )p dA seja

convergente, em que R = {(x,y) ∈ IR2: x2 + y2 ≤ 1}.


141

Soluções dos problemas propostos / Secção 11.9 1. π.

2. Converge para

�

π1 − p

sse 0 < p < 1.

11.A MUDANÇAS DE VARIÁVEIS E JACOBIANOS ________________________________________________________________

143

11.A Mudanças de variáveis e Jacobianos Como já dissemos, ocorrem frequentemente situações em que é conveniente fazer uma mudança de variáveis para resolver certos problemas mais facilmente. Um exemplo típico são as mudanças de variáveis para calcular integrais duplos em coordenadas polares, ou integrais triplos em coordenadas cilíndricas ou em coordenadas esféricas. 11.A.1 Transformações de IR2 para IR2 Em duas dimensões, uma mudança de variáveis é definida pelas duas equações simultâneas:

T:

�

x = f(u,v)y = g(u,v)⎧ ⎨ ⎩

.

Dizemos então que estas duas equações definem uma transformação T de IR2 para IR2, ou do plano-uv para o plano-xy, e escrevemos que (x,y) = T(u,v), isto é, o ponto (x,y) é a imagem do ponto (u,v) resultante da transformação T. À transformação T está sempre associado um determinante funcional (isto é, um determinante cujos elementos são funções), designado por Jacobiano da

transformação, e representado simbolicamente por

�

∂(x,y)∂(u,v)

:

�

∂(x,y)∂(u,v)

�

≡def.

�

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

=

�

∂x∂u

⎛ ⎝

⎞ ⎠

�

∂y∂v

⎛ ⎝

⎞ ⎠ –

�

∂x∂v

⎛ ⎝

⎞ ⎠

�

∂y∂u

⎛ ⎝

⎞ ⎠

Como já foi dito, a transformação mais frequentemente utilizada no plano corresponde à mudança de coordenadas rectangulares para coordenadas polares. O Jacobiano desta transformação, que aparece no cálculo de integrais duplos em coordenadas polares, tem o seguinte valor:


144

�

x = f(r,θ) = r cos θy = g(r,θ) = r sen θ

⎧ ⎨ ⎩

⇒

�

∂(x,y)∂(r,θ)

=

�

cos θ − r sen θ

sen θ r cos θ = r.

11.A.2 Transformações de IR3 para IR3 A generalização dos conceitos expostos às mudanças de variáveis envolvendo três variáveis pode ser feita sem dificuldade. Assim, no espaço a três dimensões, uma mudança de variáveis T é definida pelas equações simultâneas:

T:

�

x = f(u,v,w)y = g(u,v,w)z = h(u,v,w)

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

Dizemos então que estas equações definem uma transformação de IR3 para IR3, ou do espaço-uvw para o espaço-xyz, e escrevemos que (x,y,z) = T(u,v,w).

O Jacobiano da transformação T, representado simbolicamente por

�

∂(x,y,z)∂(u,v,w)

, é

agora um determinante funcional de 3ª ordem:

�

∂(x,y,z)∂(u,v,w)

�

≡def.

�

∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

em que este determinante deverá ser calculado seguindo exactamente o mesmo procedimento que é utilizado para determinantes numéricos de 3ª ordem. Interessam-nos aqui em particular os Jacobianos das mudanças de coordenadas rectangulares para coordenadas cilíndricas ou para coordenadas esféricas.

11.A MUDANÇAS DE VARIÁVEIS E JACOBIANOS ________________________________________________________________

145

No 1º caso, o Jacobiano da transformação tem o mesmo valor do que foi obtido atrás para a mudança de coordenadas rectangulares para coordenadas polares:

�

x = f(r,θ,z) = r cos θy = g(r,θ,z) = r sen θz = h(r,θ,z) = z

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ ⇒

�

∂(x,y,z)∂(r,θ,z)

=

�

cos θ − r sen θ 0

sen θ r cos θ 0

0 0 1

= r.

Este resultado obtém-se facilmente desenvolvendo o determinante pela última linha ou pela última coluna. Quanto ao Jacobiano associado à mudança de coordenadas rectangulares para coordenadas esféricas, o seu valor é o seguinte:

�

x = f(ρ,φ,θ) = ρ sen φ cos θy = g(ρ,φ,θ) = ρ sen φ sen θz = h(ρ,φ,θ) = ρ cos φ

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ ⇒

⇒

�

∂(x,y,z)∂(ρ,φ,θ)

=

�

sen φ cos θ ρ cos φ cos θ − ρ sen φ sen θ

sen φ sen θ ρ cos φ sen θ ρ sen φ cos θ

cos φ − ρ sen φ 0

= ρ2 sen φ.

Este resultado pode ser obtido desenvolvendo o determinante pela última linha (experimentar!).

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11 integrais múltiplos