AM2

Integrais triplos

Definição de integral triplo

generalização definição integral simples e duplo

Integrais triplos num paralelipípedo: integrais iterados

Integrais triplos em regiões mais gerais

Integrais triplos: coordenadas cilíndricas

Integrais triplos: coordenadas esféricas

Transformações genéricas para calcular integrais triplos

AM2

Integral triplo – interpretação geométrica

E

AM2

c d

a

b

u

v

Como calcular?

Integral triplo – cálculo

AM2

Exemplo:

considerar x e y fixos

considerar x e z fixos

AM2

Após integrar,

é uma função de x e y.

Para (x,y) constante, z variaentre

Integrais triplos sobre regiões mais gerais – cálculoz

y

x D

E

AM2

AM2

Exemplo: determinar onde E é a região do 1º octante

que está abaixo do plano 2x + 3y + z = 6

D

ou

AM2

Integrais triplos sobre regiões mais gerais – proj. no plano yz

Para (y,z) constante, x variaentre

Após integrar,

é uma função de y e z.

E

AM2

Exemplo: determinar onde E é o sólido definido por

e . e .

y

z

D

1

1

coordenadaspolares para a projecção.

x

z

y

AM2

Integrais triplos sobre regiões mais gerais - proj. no plano xz

Para (x,z) constante, y variaentre

Após integrar,

é uma função de x e z.

E

AM2

Exemplo: determinar onde E é o sólido limitado por

e pelo plano y=8.

x

z

D

2

2

coordenadaspolares para a projecção

AM2

Integrais triplos – coordenadas cilíndricasP

x

z

yr

z

lugar geométrico dos pontos com

lugar geométrico dos pontos com

lugar geométrico dos pontos com

cilindro

semiplano vertical

plano horizontal

Coordenadas cilíndricas:extensão das coordenadas polares a 3 dimensões

AM2

Exemplo: determinar onde E está limitado por e e z = 4.

x

z

D

2

2

x

y

z

Mudança paracoordenadas cilíndricas

AM2

Integrais triplos – coordenadas esféricas

P

x

z

y

lugar geométrico dos pontos com

lugar geométrico dos pontos com

lugar geométrico dos pontos com

esfera

semiplano vertical

cone

Exemplo: determinar onde E é o sólido definido por

e . e .

AM2

Integrais triplos – coordenadas esféricas

z

y

x

z

1

1Resultado já obtido.Verifique!

“fatia” correspondente aconstante

AM2

Exercício:

1) Considere o integral onde E é o sólido limitado pela metade

superior da esfera e pelo parabolóide Defina os limites de integração para coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.

2) Transforme o integral num integral em

coordenadas cilíndricas

AM2

Integrais triplos – mudança de variável geral