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7 Interpretações e aplicações da integral
Neste capítulo apresentaremos algumas propriedades das integrais duplas e triplas, alémapresentarmos sua interpretação geométrica e física.
Propriedades das integrais duplas e tripas
Sejam f = f (x,y), f1 = f1(x,y), f2 = f2(x,y), g = g(x,y,z), g1 = g1(x,y,z), g2 = g2(x,y,z)funções contínuas, R e V regiões simples em R2 e R3, respectivamente, e � 2 R umaconstante arbitrária. Valem as seguintes propriedades para as respectivas integrais:
P1 Linearidade:"
R[f1(x,y) +�f2(x,y)]dA =
"
Rf1(x,y)dA+�
"
Rf2(x,y)dA
e$
V[g1(x,y,z) +�g2(x,y,z)]dV =
$
Vg1(x,y,z)dV +�
"
Vg2(x,y,z)dV .
P2 Limitação: se f1(x,y) f2(x,y) e g1(x,y,z) g2(x,y,z), então
"
Rf1(x,y)dA
"
Rf2(x,y)dA
e$
Vg1(x,y,z)dV
$
Vg2(x,y,z)dV .
P3 Integração sobre regiões disjuntas: se R1, R2, V1 e V2 são regiões simples e dis-juntas, tais que R =R1 [R2 e V = V1 [V2, então
"
Rf (x,y)dA =
"
R1
f (x,y)dA+"
R2
f (x,y)dA
63
CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 64
e$
Vg(x,y,z)dV =
$
V1g(x,y,z)dV +
$
V2g(x,y,z)dV .
Interpretação geométrica da integral dupla
Seja f = f (x,y) uma função contínua, não-negativa, ou seja, f (x,y) � 0, e R uma regiãosimples. Seja S o sólido delimitado pelo gráfico de f e a região R e V seu volume. A alturado ponto (x,y,z) 2 S é z = f (x,y) e o volume desse sólido é dV = f (x,y)dA. Dessa forma, ovolume do sólido S é obtido somando-se, ou integrando-se, todos esses volumes, ou seja,
V ="
Rf (x,y)dA. (7.1)
No caso particular em que f (x,y) = 1, a expressão em (7.1) se reduz à área A da regiãoR,ou seja,
A ="
RdA.
Exercício Resolvido 7.1. Encontre o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados epelo plano x + y + z = 1.
Figura 7.1: Tetraedro do Exercício Resolvido 7.1.
Solução. A altura, dada pela coordenada z, varia de z = 0 até o plano z = 1�x�y. Fixandoo valor de x, que geometricamente corresponde ao plano x = const, temos que a coordenaday varia da reta y = 0 até a reta y = 1� x. Por fim, x varia de 0 até 1, ou seja,
V =Z 1
0
Z 1�x
0
Z 1�x�y
0dzdy dx =
Z 1
0
Z 1�x
0(1� x � y)dy dx
=Z 1
0
y � xy � y
2
2
! ������
1�x
0
=Z 1
0
12� x + x
2
2
!dx =
x
2� x
2
2+x3
6
! ������
1
0
=16. ⌅
CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 65
Exercício Resolvido 7.2. O cardióide é o lugar geométrico dado pela equação r = a(1 + cos✓),a > 0. Seja R a região delimitada pelo cardióide. Encontre a área de R.
Solução. A geometria do problema nos leva naturalmente às coordenadas polares. Noteque uma vez fixado o ângulo ✓, r varia de 0 até a(1 + cos✓). Dessa forma, temos
A ="
RdA =
Z 2⇡
0
Za(1+cos✓)
0r dr d✓ =
Z 2⇡
0
0BBBB@
Z 1(1+cos✓)
0
1CCCCA r dr d ✓ =
Z 2⇡
0
12r2
������
a(1+cos✓)
0
d✓
=Z 2⇡
0
a2
2(1 + cos✓)2d✓ =
a2
2
Z 2⇡
0(1 + 2cos✓ + cos2✓)2d✓.
Usando a relação 2cos2✓ = 1+ cos2✓, obtemos
1 2 3 4x
-2
-1
1
2
y
Figura 7.2: Cardióide.
Z 2⇡
0
a2
2(1 + cos✓)2d✓ =
a2
2
Z 2⇡
0(1 + 2cos✓ + cos2✓)2d✓
=a2
2
Z 2⇡
0
✓1+2cos✓ +
1+ cos2✓2
◆d✓ = a
2✓32✓ +2sin✓ +
14sin2✓
◆ ������
⇡
0
=32⇡a
2. ⌅
Interpretação física da integral dupla
Do ponto de vista físico, a expressão em (7.1) pode ser interpretada da seguinte maneira:suponha que R seja um objeto bidimensional e ⇢(x,y) sua densidade. Aqui densidade serefere a algum tipo de carga, seja gravitacional (massa) ou elétrica (carga elétrica).
CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 66
Um exemplo simples de um objeto físico com estas características seria uma chapa, oulâmina, metálica de altura desprezível. Então, a massa M da chapa é dada por
M ="
R⇢(x,y)dA. (7.2)
Note que de (7.2) podemos interpretar a quantia ⇢(x,y)dA = dm como o elemento demassa.
Ainda no campo da física, podemos considerar f (x,y) = y⇢(x,y), em que ⇢(x,y) denota adensidade da região R no ponto (x,y). Então a quantia
Mx ="
Ry⇢(x,y)dA (7.3)
denota o momento total da lâmina em relação ao eixo x, enquanto
My ="
Rx⇢(x,y)dA (7.4)
denota o momento total da lâmina em relação ao eixo y.Relembrando que o centro de massa (x,y) de um objeto é o ponto em que a massa total
dele poderia estar concentrada sem alterar seu momento em relação a qualquer dos eixos.Estes são encontrados através da relação
x =My
Me y =
Mx
M
em que Mx, My e M são dados por (7.3), (7.4) e (7.2), respectivamente.
Exercício Resolvido 7.3. SejaR uma lâmina de densidade ⇢(x,y) = xy delimitada pelo quadradode vértices (0,0), (a,a), (a,0) e (0, a). Encontre a coordenada x do centro de massa dessa lâmina.
Solução. A coordenada x do centro de massa da lâmina é
x =My
M,
em que My e M são dadas por (7.4) e (7.2), respectivamente. A nossa região de integração,por outro lado, é R = [0, a]⇥ [0, a]. Comecemos calculando M . Temos:
M ="
R
⇢(x,y)dA =Z
a
0
Za
0xy dy dx =
Za
0xdx
! Za
0y dy
!=14a4.
CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 67
Calculemos My . Temos
My ="
Rx⇢(x,y)dA =
Za
0
Za
0x2y dy dx =
Za
0
x2
2
0BBBBB@y
2
������
a
0
1CCCCCA =
a2
2
Za
0x2dx =
a2
2x3
3
������
a
0
=a5
6.
Com isso, encontramos
x =My
M=23a. ⌅
Interpretação da integral tripla
Seja f : R3! R uma função contínua e V ✓ R3 uma região simples. Nosso objetivo, aqui,é dar significado à expressão
$
Vf (x,y,z)dV .
Do ponto de vista físico, podemos considerar V um volume emR3 e f (x,y,z) a densidade,por exemplo, de massa ou carga, de um determinado objeto ou corpo. No caso em quef (x,y,z) = 1, a expressão anterior corresponde ao volume da região V .
Exercício Resolvido 7.4. Use integrais triplas para determinar o volume do sólido cuja base écone de altura h cujas geratrizes forma um ângulo ↵ com o eixo z e a parte superior é uma semi-esfera de raio h.
Figura 7.3: Objeto do Exercício Resolvido 7.4.
Solução. A geometria envolvida nos mostra que as coordenadas esféricas são as maisconvenientes para tratar o problema. Note que nossa região pode ser descrita da seguinte
CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 68
forma: a coordenada radial varia de 0 a a, o ângulo equatorial não possui restrições, ou seja,0 < ✓ < 2⇡, enquanto o ângulo da reta ligando qualquer ponto p na superfície à origempossui um ângulo � que varia de 0 a ↵. Com isso, temos
V =Z 2⇡
0
Z↵
0
Za
0r2 sin� dr d� d✓ =
Z 2⇡
0d✓
Z↵
0sin� d�
Za
0r2dr
=
0BBBBBB@✓
������
2⇡
0
1CCCCCCA
0BBBBB@r3
3
������
a
0
1CCCCCA
0BBBBB@cos�
������
↵
0
1CCCCCA =
23⇡a
3 (1� cos↵).
Note que ↵ = 0 implica na situação limite em que temos um segmento de reta sobreo eixo a, entre 0 e a e, portanto, possui volume 0. Quando ↵ = ⇡/2, o objeto geométricocorresponde à meia esfera, cujo volume é V = 2⇡a3/3 e, finalmente, quando ↵ = ⇡, obtemosa esfera de raio a, centrada na origem, e recuperamos o volume V = 4⇡a3/3. ⌅
Exercício Resolvido 7.5. Utilize integral tripla para determinar o volume do sólido contido nocilindro x2 + y
2 = 1 e entre os planos z = 1 e x + z = 5.
Solução: Queremos calcular o volume
Z Z Z
B
dV ,
com B sendo a região de integração que corresponde à intersecção do cilindro x2 + y
2 = 9 eentre os planos z = 1 e x + z = 5, região esta que é representada na Figura 7.4. Observemos
Figura 7.4: Região de integração B.
que, neste caso, z varia de 1 ao plano z = 5 � x, enquanto a projeção da região no plano xy
CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 69
é dada pela circunferência x2 + y
2 = 9 de centro na origem e raio r = 3. Assim, o cálculo dovolume é dado por
Z 3
�3
Z p1�x2
�p1�x2
Z 5�x
1dzdydx =
Z 3
�3
Z p1�x2
�p1�x2
(4� x)dydx =Z 3
�3(8� 2x)
p9� x2dx.
Observemos agora que a integral requerida se torna de difícil cálculo (porém pode ser feitapor meio de substituições trigonométricas).
Como a região de integração envolve um cilindro, refaçamos os cálculos utilizando coor-denadas cilíndricas. Já verificamos que a base do cilindro x
2 + y2 = 9 tem raio r = 3. Então
no plano xy podemos fazer a mudança de coordenadas x = r cos✓, y = r sin✓, de forma queteremos 0 r 3 e 0 ✓ 2⇡, enquanto z continua variando entre 1 e 5 � x = 5 � r cos✓.Além disso, o Jacobiano da mudança para coordenadas cilíndriccs é dado por
�����@(x,y,z)@(r,✓, z)
����� = r.
Assim, a integral se torna
Z Z Z
B
dV =Z 3
0
Z 2⇡
0
Z 5�r cos✓
1rdzd✓dr =
Z 3
0
Z 2⇡
0(4r � r2 cos✓)d✓dr
= 8⇡Z 3
0rdr �
Z 3
0r2 sin✓
������
✓=2⇡
✓=0
= 8⇡r2
2
������
r=3
r=0
= 36⇡. ⌅
Integrais impróprias
Nesta seção mostraremos como calcular a integral
Z 1
0e�x2
dx. (7.5)
Essa integral não é facilmente calculada. Uma das razões para que isso ocorra é a inexis-tência de uma função elementar1.
1Podemos caracterizar uma função elementar como aquelas funções que são escritas de forma explícitaenvolvendo apenas as operações elementares de soma, adição, multiplicação, divisão, radiciação e exponen-ciação. Exemplos de funções elementares são as racionais, trigonométricas e suas correspondentes inversas,etc.
CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 70
Para resolver esta integral, comecemos com uma observação com respeito ao ExercícioResolvido 7.3. Nele, calculamos a integral
Za
0
Za
0xy dy dx =
Za
0xdx
! Za
0y dy
!. (7.6)
Seja f (x) = x e
I =Z
a
0f (x)dx. (7.7)
Note que x, na expressão (7.7), é uma variável muda, isto é, é irrelevante qual variável usemosnaquela expressão, ou seja,
I =Z
a
0f (x)dx =
Za
0f (y)dy =
Za
0f (t)dt = · · · .
Note então que
I2 = I ⇥ I = Z
a
0f (x)dx
! Za
0f (y)dy
!=
Za
0
Za
0f (x)f (y)dy dx. (7.8)
Ou seja, o produto de duas integrais ordinárias nada mais é que duas integrais iteradas,que podem ser identificadas com uma integral dupla.
Consideremos (7.7), mas com f (x) = e�x2 e façamos a ! 1. De (7.8) e (7.7), podemos
escreverI =
Z 1
0e�x2
dx
eI2 =
Z 1
0
Z 1
0e�x2
e�y2
dxdy =Z 1
0
Z 1
0e�(x2+y2)
dxdy
Podemos agora usar coordenadas polares para resolver a integral dupla acima. Diferente-mente do que tínhamos antes, nossa região de integração, agora é infinita e corresponde atodo o primeiro quadrante do plano, ou seja, 0 < ✓ < ⇡/2 e 0 < r < 1. Para a coordenadaradial, podemos, ainda, escrever como 0 < r < R e R!1. Assim, temos
I2 =Z 1
0
Z 1
0e�(x2+y2)
dxdy =Z
⇡/2
0
Z 1
0e�r2
r dr d✓ =Z
⇡/2
0
limR!1
ZR
0e�r2
r dr
!d✓
= Z
⇡/2
0d✓
! limR!1
ZR
0e�r2
r dr
!= lim
R!1⇡
2�e�r2
2
������
1
0
=⇡
4,
CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 71
ou seja, temos I =p⇡/2 e, então, concluímos que
I =Z 1
0e�x2
dx =p⇡
2.
Observemos que o fato de as integrais duplas envolvidas nesta parte não são integraiscalculadas em regiões limitadas e, por esta razão, são chamadas de integrais impróprias .
Exercícios
Exercício 7.1. Os momentos de inércia de uma lâmina de densidade ⇢(x,y) com relação ao eixo xe ao eixo y, respectivamente, são dados por
Ix ="
Ry2⇢(x,y)dA e Iy =
"
Rx2⇢(x,y)dA.
Calcule a massa, o centro de massa e os momentos de inércia com relação aos eixos x e y dalâmina do Exercício Resolvido 7.3.
Exercício 7.2. Se um objeto possui densidade constante, seu centro de massa é chamado centróide.
a) Encontre o centro de massa do cardióide do Exercício Resolvido 7.2 de densidade ⇢(r,✓) = r.
b) Encontre o centróide do cardióide do Exercício Resolvido 7.2.
Exercício 7.3. Calcule a integral
Z 2a
0
Z p2ax�x2
0(x2 + y
2)dxdy.
Exercício 7.4. Calcule o centróide do disco semicircular x2 + y2 a
2 e y � 0.
Exercício 7.5. Calcule as seguintes integrais:
a)R⇡/20 e
�tg2xdx/ cos2 x.
b)R 10 e�xdx/px.
c)R 10
p� lnxdx.
CAPÍTULO 7. INTERPRETAÇÕES E APLICAÇÕES DA INTEGRAL 72
Exercício 7.6. Seja S um corpo tridimensional de densidade ⇢(x,y,z). Os momentos em relaçãoaos planos coordenados xy, yz e xz são dados, respectivamente, por
Mxy =$
Sz⇢(x,y,z)dV , Myz =
$
Sx⇢(x,y,z)dV , Mxz =
$
Sy ⇢(x,y,z)dV ,
enquanto seus correspondentes centros de massa são x = Myz/M , y = Mxz/M e z = Mxy/M . Osmomentos de inércia com respeito aos eixos são dados pelas expressões
Ix =$
S(y2 + z
2)⇢(x,y,z)dV , Iy =$
S(x2 + z
2)⇢(x,y,z)dV , Iz =$
S(x2 + y
2)⇢(x,y,z)dV .
Suponha que o sólido S dado no Exercício Resolvido 7.4 tenha densidade de massa ⇢(x,y,z) =px2 + y2 + z2.
a) Encontre a massa M de S .
b) Encontre os momentos em relação aos eixos coordenados.
c) Determine os momentos de inércia em relação aos eixos de S .
d) Encontre o centro de massa de S .
Índice Remissivo
Conjuntoilimitado, 32limitado, 32
Errona aproximação de 1ª ordem, 11
Hessiano, 16
Integraldupla, 34iterada, 22tripla, 41
integralimprópria, 71
Jacobiano, 48
Método dos quadrados mínimos, 17Matriz
jacobiana, 48Matriz Hessiana, 5
Mudança de coordenadas, 49
Polinômio de Taylor, 1ª ordem, 5, 2ª ordem, 6
Pontocrítico, 15de maximo, 15extremo, 15
Regiãohorizontalmente simples, 33retangular, 33simples, 33verticalmente simples, 32
Selaponto de, 16
Teoremade Fubini, 25
Teste da derivada segunda, 16
73