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Limites, derivadas e integrais - Formulário e exemplos
Caro leitor,
Este breve trabalho tem a finalidade de uxiliá-lo com a teoria en-volvendo limites, derivadas e integrais, e para isso apresenta diversas ta-belas que facilitarão os cálculos e a memorização de fórmulas. Obras mais extensas há publicadas (v. re f . [7] ), porém estão dirigidas mais ao professor ou ao matemático especializado e por isso se tornam às vezes pouco práti-cas para consultas rápidas.
A fim de enriquecer o material apresentado, introduzi um capítulo contendo exemplos de exercícios resolvidos, uma vez que apenas a formu-lação teórica não seria suficientemente clara (v . p . ex. a formulação do método de in tegração por par tes no capí tu lo Técnicas de Integração e a maneira como o método é ap l icado
nos exemplos ). Alguns dos exemplos foram extraídos das obras consultadas, mas a maioria foi elaborada por mim, logo, qualquer erro peço ao leitor que me indique para que uma versão corrigida possa ser apresentada. As-sim, todos os comentários e sugestões visando aperfeiçoá-lo e enriquecê-lo serão bem-vindos.
Finalizando, acrescento que não sou matemático nem professor de matemática, mas apenas um curioso que gosta dos números.
Gil Cleber [email protected]
www.gilcleber.com.br
- 1 -
Limites
Propriedades
Sendo lim ( )x af x L
= e lim ( )
xg x M
¥= , então:
Infinito
Limites infinitos
1) limx a
c c
= 5) lim[( )( )] lim ( ) lim ( )x a x a
x a
f g x f x g x L M
⋅ = ⋅ = ⋅
2) lim[ ( )] lim ( )x a
x a
c f x c f x c L
⋅ = ⋅ = ⋅ 6) lim[( ) ( )] lim ( )
nn n
x ax a
f x f x L
é ù= =ê úë û
3) lim[( )( )] lim ( ) lim ( )x a x a
x a
f g x f x g x L M
+ = + = + lim ( )7) lim ( ) ( 0)
lim ( )x a
x a x a
f xf Lx M
g g x M
é ùæ ö÷çê ú÷ = = ¹ç ÷ê úç ÷çè øê úë û
4) lim[( )( )] lim ( ) lim ( )x a x a
x a
f g x f x g x L M
- = - = - 8) lim ( ) lim ( )
( * e 0, ou n é ímpar e 0)
nn nx a
x a
f x f x L
n L L
= =
Î ³ £
( ) ( ) ( )( )lim , lim limx a x a x af x g x f g x
= ¥ = ¥ + = ¥
( ) ( ) ( )( )0
00
lim , lim limx a x a x a
bf x g x b f g x
b
ìï+¥ >ï= +¥ = ¹ ⋅ = íï-¥ <ïî
( ) ( ) ( )( )0
00
lim , lim limx a x a x a
bf x g x b f g x
b
ìï-¥ >ï= -¥ = ¹ ⋅ = íï+¥ <ïî
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim .x a x a x af x g x f g x
= ¥ = ¥ = +¥
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim .x a x a x af x g x f g x
= +¥ = -¥ = -¥
( ) ( )1
0lim limx a x af x
f x = ¥ =
( ) ( )1
0lim limx a x af x
f x = = +¥
- 2 -
Não se estabelece lei para os seguintes casos:
Limites no infinito
Todas as propriedades valem tanto para limx+¥
quanto para limx-¥
.
Não se estabelece uma lei para os seguintes casos:
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim ?x a x a x af x g x f g x
= ¥ = ¥ - =
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim ?x a x a x af x g x f g x
= +¥ = -¥ + =
( ) ( ) ( )( )0lim , lim lim . ?x a x a x af x g x f g x
= ¥ = =
( ) ( ) ( )lim , lim lim ?x a x a x a
ff x g x x
g
æ ö÷ç ÷= ¥ = ¥ =ç ÷ç ÷çè ø
( ) ( ) ( )( )lim , lim limx x xf x g x f g x
¥ ¥ ¥= ¥ = ¥ + = ¥
( ) ( ) ( )( )0
00
lim , lim limx x x
bf x g x b f g x
b¥ ¥ ¥
ìï+¥ >ï= +¥ = ¹ ⋅ = íï-¥ <ïî
( ) ( ) ( )( )0
00
lim , lim limx x x
bf x g x b f g x
b¥ ¥ ¥
ìï-¥ >ï= -¥ = ¹ ⋅ = íï+¥ <ïî
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim .x x xf x x f g x
¥ ¥ ¥= ¥ = ¥ = ¥
( ) ( ) ( )( )lim , lim limx x xf x x f g x
¥ ¥ ¥= +¥ = -¥ + = -¥
( ) ( )1
0lim limx xf x
f x¥ ¥= ¥ =
( ) ( )1
0lim limx xf x
f x¥ ¥= = +¥
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim ?x x xf x g x f g x
¥ ¥ ¥= ¥ = ¥ - =
( ) ( ) ( )( )lim , lim lim ?x x xf x g x f g x
¥ ¥ ¥= +¥ = -¥ + =
( ) ( ) ( )( )0lim , lim lim . ?x x xf x g x f g x
¥ ¥ ¥= ¥ = =
( ) ( ) ( )lim , lim lim ?x x x
ff x g x x
g¥ ¥ ¥= ¥ = ¥ =
- 3 -
Limites trigonométricos
Limite trigonométrico fundamental
0
senlim 1x
x
x=
Limite de uma função polinomial
Seja ( ) 20 1 2
nnf x a a x a x a x= + + + +
( ) ( )limx af x f a
=
Função racional: ( )1
*1 1 0+1
1 1 0
lim , ,m m
m mn nx
n n
a x a x a x af x m n
b x b x b x b
--
-¥-
+ + + += Î
+ + + +
( )( )( )
, lim
, lim
, lim 0
ambx n
x
x
m n f x
m n f x
m n f x
¥
¥
¥
ìï = =ïïïï > = ¥íïïï < =ïïî
Esses limites são fundamentados no fato de que lim 0x
a
x¥= (v. ex. 1, 2 e 3).
Limites exponenciais e logarítmicos
Limites exponenciais
Limite exponencial fundamental
lim sen senx a
x a
= lim cos cosx a
x a
=
lim tg tgx a
x a
= lim sec secx a
x a
=
0lim 1x
xa
lim x b
x ba a
lim , 1x
xa a
lim 0, 1x
xa a
lim 0, 0 1x
xa a
lim , 0 1x
xa a
com elim , 0 1 limf x
x b x ba c a f x c
lim 1 , 1 0
2,7182818284...
x
n
x
ne x e x
xe
1
0lim 1 , 1 0x
xx e x
- 4 -
Limites logarítmicos
Regra de L’Hôpital
Cálculo de limites nos casos indeterminados: , , , , , ¥¥⋅¥ ¥-¥ ¥
¥0 00
0 0 10
e .
Casos ,00
¥¥
Derivam-se independentemente o numerador e o denominador da função, até obter um caso de limite calculável pelas técnicas conheci-das, com o numerador ou o denominador, ou ambos, diferentes de 0 ou de ¥ . (v. ex. 4)
Caso 0⋅¥
( ) ( )limx af x g x
⋅ caso em que ( )lim
x af x
=¥ e ( )lim
x ag x
= 0
Faz-se ( )
( )1
f x
g x ou
( )
( )1
g x
f x, o que tornar os cálculos mais simples reduzindo-se ao caso
0
0 ou
¥¥
. (v. ex. 5)
Caso ¥-¥
( ) ( )limx af x g x
- caso em que ( )lim
x af x
=¥ e ( )lim
x ag x
=¥
Escreve-se ( ) ( )f x g x- como ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1
g x f x
f x g x
-
⋅
, quociente que assume a forma do caso 0
0, e se procede como nesse caso. (v. ex. 6)
Casos ,0 00 1¥¥ e
Tem-se ( ) ( )g xf x , sendo que
( )
( )( )
limlim
lim
00x a
x a
x a
f xg x
f x
ì =ïïï =íï =¥ïïî; ou ( )lim 1
x af x
= com o ( )lim
x ag x
=¥ :
Nos três casos, deve-se calcular ( ) ( ) ( ) ( )lim lim logg x
x a x af x g x f x
= ⋅ , aplicar a técnica utilizada na forma 0⋅¥ e fazer
( ) ( ) ( ) ( )lim loglim x a
g x f xg x
x af x e
⋅
= (v. ex. 7 a 9)
0
1lim ln , 0
x
x
aa a
x
0
lim ln , 0 1x
x x
1
lim log 0axx
lim log log , 0 1, 0
a ax bx b a b
lim log , 1axx a
0lim log , 1
ax
x a
lim log , 0 1axx a
0lim log , 0 1
ax
x a
lim log 0, com 0 1 e lim 1ax b x bf x a f x
0lim ln , 0 1x
x x
lim log , com 0 1 e limax b x bf x c a f x c
- 5 -
Derivadas
Derivadas de operações entre funções — propriedades
Dadas duas funções ( ) ( )e f x g x , temos:
Seja 2 ,y u u u x :
Seja 3,y u u u x :
Conseqüências das propriedades
Seja a função f x :
’ ’ ’f x g x f x g x ’ ’ g’f x g x f x g x f x x
’ ’c f x c f x ’ = f’ ’f g x g x g x
2
f’ g’’
f x x g x f x x
g x g x
2dy du
udx dx
22 2
2 22 2 2 2
d y d du d du du d uu u u
dx dx dx dx dx dx dx
2 2 2. 2 3dy du du du
u u u u u udx dx dx dx
22 2
22 2
6 3d y du d u
u udx dx dx
1
’ ’k k
f x k f x f x
1log ’ ’
lnaf x f x
f x a
’ ln ’f x f xa a a f x
sen ’ cos ’f x f x f x
cos ’ sen ’f x f x f x 2tg ’ sec ’f x f x f x
2
1
1
arc cos ’ ’f x f x
f x
2
1
1
arc en ’ ’s f x f x
f x
2
1
1arc tg ’ ’f x f x
f x
’ . ln ’g x g x
f x f x g x f x
- 6 -
Sobre essa última derivada, tendo-se em vista que ’ lnx xa a a , então
Derivadas de algumas funções elementares
1’ . ln ’ = ln
g x g x g xf x f x g x f x f x g x f x g x f x
f x
' '
1ln
g x g xf x g x f x g x f x f x
' '
0’c
1’k kx kx
1ln ’x
x
’ ln ’x x x xa a a e e
1 loglog ’
lna
a
ex
x a x
( )1
’
n
kk n nxx
k
-
=
* , park k+Î f é derivável em ( )0,+¥
* , ímpark k+Î f é derivável em { }0-
( ) ( )2
2
2’
2
ax bax bx c
ax bx c
++ + =
+ +
Ver exemplo 10.
De um modo geral, temos:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )’ ’ ’m m nmn nn
mf x f x f x f x
n
-é ùé ù ê úê ú = = ⋅ê úê ú ê úë û ë û
sen ’ cosx x
2 2sen ’ sen cosx x x
cos ’ senx x
2 2cos ’ sen cosx x x
2tg ’ secx x
2
2
2 tgtg ’
cos
xx
x
2cot ’ cos secx x
2
2
2 cotgcotg ’
sen
xx
x
sec ’ sec tgx x x
2 2
3
22
sinsec ’ tg sec
cos
xx x x
x
cossec ’ cossec cotx x x
2 2
3
22
coscossec ’ cotg cossec
sen
xx x x
x
1cos ’ senx x
2cos ’ senx x
cos ’ senx x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
senh senh ’ cosh2
cosh cosh ’ senh2
tgh tgh ’ sech
cotgh cotgh ’ cosech
2sech sech ’ sech tgh
2cosech cosech ’ cosech cotgh
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
e ex x x
e ex x x
e ex x xe ee e
x x xe e
x x x xe e
x x x xe e
-
-
-
-
-
-
-
-
-= =
+= =
-= =
++
= = --
= =-+
= = --
- 7 -
2
1
1arc sen ’x
x
2
1
1arccos ’x
x
2
1
1arc tg ’x
x
2
1
1arcctg ’x
x
2
1
1arcsec ’x
x x
2
1
1arccossec ’x
x x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
1arg senh ’
11
arg cosh ’1
1arg tgh ’
11
arg cotgh ’1
1arg sech ’
11
arg cosech ’1
xx
xx
xx
xx
xx x
xx x
=+
=-
=-
=+
=-
=+
- 8 -
Técnicas de Integração
A Integral Indefinida
Identidades importantes para a resolução de alguns tipos de integrais
I) 2 21 sen cosx x
II) 2 2 2 21 tg sec tg sec 1x x x x
III) sen 2sen 2 2(sen cos ) sen cos
2
xx x x x x
IV)
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
1 1cos cos
cos 2 cos sen
cos 1 cos cos 2
2cos 1 cos 2
22 2
1 1sen cos 2
cos sen cos 2
1 sen sen cos 2
2sen 1 s 2
2
o
2
c
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x x
e:
Donde decorrem as identidades V, VI, VII e VIII
V) 2 1 cos2
sen2
xx
-=
VI) 2 1 cos2
cos 22
xx
+=
VII) 2
2
1 1cos cos 2
2 21 cos
cos2 2 2
x x
x x
VIII) 2
2
1 1sen cos 2
2 21 cos
sen2 2 2
x x
x x
IX) 2 2cos cos sen
2 2
x xx
X) 2sen cos sen senax bx a b x a b x
XI) 2cos cos cos cosax bx a b x a b x
- 9 -
XII) 2sen sen cos cosax bx a b x a b x
XIII)
2
2 tg2sen
1 tg2
x
xx
XIV) 2
2
1 tg2cos
1 tg2
x
xx
XV) 22
2
tgsen
1 tg
xx
x
XVI) 2
2
1cos
1 tgx
x
XVII) 2
2 tgtg 2
1 tg
xx
x
XVIII) cosh senh xx x e+ =
XIX) cosh senh xx x e-- =
XX) senh2 2 senh coshx x x=
XXI) 2 2cosh2 cosh senhx x x= +
XXII) 2cosh2 2 senh 1x x= +
XXIII) 2cosh2 2cosh 1x x= -
XXIV) senh cosh 1
2 2
x x -=
XXV) cosh cosh 1
2 2
x x +=
Neste caso não há o sinal ±, pois a imagem da função está contida no intervalo [1, )+¥ .
Integrais diversas
1
, 11
ln , 1
xx dx
x
+ìïï ¹ -ïï= í +ïï = -ïïî
ò ln lnx dx x x x k = - +ò
1x xe dx e k
= +ò
lnlog
ln10 ln10
x x xx dx
= -ò
ln
xx aa dx
a=ò
2 2
1arc sen ,
xdx k x a
aa x= + <
-ò
- 10 -
2 2
2 2
1lndx x x a k
x a= + +
ò
2 2
1 1arc tg
xdx k
a aa x= +
+ò
2 2
1 1ln
2
x adx k
a x aa x
+= +
--ò 2 2
1 1arc sec ,
xdx k x a
a ax x a= + >
-ò
Integrais da forma ( )( ) ( )ò f g x g x dx (substituição simples)
Neste tipo de integral, aparecem no integrando uma função composta f g x e a derivada g x . Deve-se identificá-las e efetu-ar-se a substituição.
Sendo F g x F g x g x f g x g x
faz-se u g x , du g x dx donde:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= = + = +ò òf g x g x dx f u du F u k F g x k .
(v. ex. 11 e 12)
Integrais da forma ( ) ( )ò f x g x dx (integração por partes)
Neste tipo de integral, aparecem no integrando uma função ( )=u f x e a derivada dv g x .
Sendo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )é ù é ù= + =ë û ë û f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x
então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= -ò ò f x g x dx f x g x f x g x dx .
Fazendo , , ,u f x v g x du f x dx dv g x dx , chega-se à forma usual de representar a regra:
= -ò òu dv uv v du .
(v. ex. 13 a 15)
Integração de funções trigonométricas, e de suas potências e produtos
cossen
sencos
axax dx k
aax
ax dx ka
-= +
= +
ò
ò
2
2
sen2 sen cossen
2 4 2 2sen2 sen cos
cos2 4 2 2
x x x x xx k
x x x x xx k
⋅= - = - +
⋅= + = + +
ò
ò (ver identidades IV, VI e VII)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1sen cos sen sen
21
cos cos cos cos21
sen sen cos cos2
ax bx dx a b x a b x dx
ax bx dx a b x a b x dx
ax bx dx a b x a b x dx
é ù= + + -ê úë û
é ù= + + -ê úë û
é ù= - + + -ê úë û
ò ò
ò ò
ò ò
(ver identidades VIII, IX e X)
(v. ex. 16 e 17)
- 11 -
( )
2
1
1 1sec ln sec tg ln tg
2 41
sec tg
secsec tg sec sec tg 1
secsec tg
nn n
axax dx ax ax k k
a a
ax dx x ka
axax ax dx ax ax ax dx k n
n aax
ax ax dx ka
-
æ ö÷ç ÷= + + = + +ç ÷ç ÷çè ø
= +
= = + ¹⋅
= +
ò
ò
ò ò
ò
sec cosec ln tg ln sen ln cosx x dx x k x x k= + = - +ò
( )
2
1
1cosec ln cosec cotg
cosec cotg
coseccosec cotg cosec cosec cotg 1
coseccosec cotg
nn n
ax dx ax ax ka
ax dx ax k
axax ax dx ax ax ax dx k n
n ax
ax ax dx ka
-
= - +
= - +
-= = + ¹
⋅-
= +
òò
ò ò
ò
( )
( ) ( )
2 2
12
1 1tg ln cos ln sec
tgtg sec 1
tgtg sec 1
1
nn
ax dx ax k ax ka a
axax dx ax dx x k
aax
ax ax dx dx k na n
+
= - + = +
= - = - +
= + ¹+
ò
ò ò
ò
( )
( ) ( )
2 2
12
1 1cotg ln sen ln cosec
cotgcotg cosec 1
tgcotg cosec 1
1
nn
ax dx ax k ax ka a
axax dx ax dx x k
aax
ax ax dx dx k na n
+
= + = +
-= - = - +
= + ¹+
ò
ò ò
ò
Integração de funções trigonométricas inversas
2 2arc sen arc senx xdx x a x ka a
= + - +ò
1 1
2 2
1arc sen arc sen
1 1
m mm x x x xx dx dx
a m a m a x
+ +
= -+ + -
ò ò
2 2arc cos arc cosx xdx x a x ka a
= - - +ò
1 1
2 2
1arc cos arc cos
1 1
m mm x x x xx dx dx
a m a m a x
+ +
= ++ + -
ò ò
( )2 2arc tg arc tg ln2
x x adx x x a ka a
= - + +ò
- 12 -
1 1
2 2arc tg arc tg
1 1
m mm x x x a xx dx dx
a m a m a x
+ +
= -+ + +ò ò
( )2 2arc cot arc cot ln2
x x adx x x a ka a
= + + +ò
1 1
2 2arc cot arc cot
1 1
m mm x x x a xx dx dx
a m a m a x
+ +
= ++ + +ò ò
( )( )
2 2
2 2
arc sec ln , 0 arc sec2arc sec
arc sec ln , arc sec2
x xx a x x a kx a adx
x xa x a x x a ka a
p
pp
ìïï - + - + < <ïïï= íïï + + - + < <ïïïî
ò
1
2 2
1
2 2
arc sec, 0 arc sec
1 1 2arc sec
arc sec, arc sec
1 1 2
mm
m
mm
xx a x xa dxm m ax x ax dx
xa x a x xa dxm m ax a
p
pp
+
+
ìïïïïï - < <ïï + +ï -= íïïïïï + < <ïï + + -ïî
òò
ò
( )( )
2 2
2 2
arc cosec ln , 0 arc cosec2arc cosec
arc cosec ln , arc cosec 02
x xx a x x a kx a adx
x xa x a x x a ka a
p
p
ìïï + + - + < <ïïï= íïï - + - + - < <ïïïî
ò
1
2 2
1
2 2
arc cosec, 0 arc cosec
1 1 2arc cosec
arc cosec, arc cosec 0
1 1 2
mm
m
mm
xx a x xa dx
m m ax x ax dxxa x a x xa dx
m m ax a
p
p
+
+
ìïïïïï + < <ïï + +ï -= íïïïïï - - < <ïï + + -ïî
òò
ò
Observa-se que o cálculo das integrais com xm implica em utilizar o método das substituições trigonométricas, visto adiante.
Integrais de funções hiperbólicas
senh coshx dx x k= +ò cosh senhx dx x k= +ò
2sech tghx dx x k= +ò 2cosech cotghx dx x k=- +ò
sech tgh sechx x dx x k=- +ò cosech cotgh cosechx x dx x k= - +ò
Os casos n x xcos sen2ò e n x xcos cos2ò
Substitui-se, conforme o caso, sen2x ou cos2x por seus valores conforme as identidades IV e V, efetuando-se a integração das funções trigonométricas resultantes. Vejam-se os exemplos 18 e 19.
- 13 -
Fórmulas de redução para nx dxsenò , nx dxcosò , secnx dxò , cos secnx dxò ,
tgnx dxò e cotgnx dxò
1 21 1cosn n nn
sen x dx sen x x sen x dxn n
- --= - +ò ò
1 21 1cos cos cosn n nnx dx xsenx x dx
n n- --
= +ò ò
1 21tg tg tg
1n n nx dx x x dx
n- -= -
-ò ò
1 21cot cot cot
1n n nx dx x x dx
n- -= - -
-ò ò
2 21 2sec sec tg sec
1 1n n nnx dx x x x dx
n n- --
= +- -ò ò
2 21 2cosec cosec cot cosec
1 1n n nnx dx x x x dx
n n- --
= - +- -ò ò
O caso sen cosn mx x dx
Sugestão n ímpar Transformam-se as potências de seno a co-seno (ident. I).
Faz-se a substituição cos , senu x du x . n par Transformam-se as potências de seno a co-seno (ident. I).
Faz-se a substituição sen , cosu x du x . m e n pares Usam-se as identidades V e VI, o que resulta numa integral bastante trabalhosa, ou pode-se usar a identidade I
para transformar potências de seno a co-seno (ou vice-versa), aplicando-se em seguida as fórmulas de redução.
(v. ex. 20 e 21)
O caso nx dx nsec , parò
Além da fórmula de redução, podem utilizar-se a identidade II e a derivada ( ) 2tg ’ = secx x , seguindo-se substituição simples. (v. ex. 22)
O caso n mx x dxsec tgò
Sugestão Fórmula m ímpar Faça
1 1sec tg sec tgn mx x x x dx- -ò
Use a fórmula
x x2 2tg sec 1= -
para substituir em 1tgm x m par Expressar o integrando em potências de secx , e utili-
zar a fórmula de redução para secn x .
Mesma fórmula e mesmo procedimento.
(v. ex. 23 e 24)
- 14 -
Substituição trigonométrica
1º caso: a x2 2
2 2
sen ,2 2
cos ,
arc sen
cos
x a
dx a d x a a
x
aa x a
Observe-se que
0 se 02
0 se 02
x
x
pq
pq
£ £ ³
- £ < <
Como 2 2 2, cos 0 cos cos cos2 2
a x ap p
q q q q q- £ £ ³ \ = - = .
2º caso: a x2 2
2 22
2 2 2 2 2
2 2
tg ,2 2
sec tg 1 tg sese c
arctg
sec
c 1 tg
x a
dx a d x a x a a a a
x
aa x a
Observe-se que
0 se 02
0 se 02
x
x
pq
pq
£ £ ³
- £ < <
Como 2 2 2, sec 1 sec sec sec2 2
a x ap p
q q q q q- < < ³ \ = + = .
3º caso: x a x a 2 2 ,
Usa-se a identidade III.
x a
dx a d x a a a a tg a
x
ax a a
2 2 2 2 2 2 2
2 2
sec
sec tg sec tg
arc sec
tg
a x
2 2a x
a
x2 2a x
- 15 -
Observe-se que
0 se23
se2
x a
x a
pq
pp q
£ < ³
£ < <-
Como 2 2 230 ou , tg 0 tg tg tg
2 2x a a
p pq p q q q q q< < £ < ³ \ = - = .
Se , sec 1 e 0 arcsec2
x xx a
a a
pq q q³ = ³ £ < \ = .
Se 3, sec 1 e
2
xx a
a
pq p q<- = ³- £ < ;
como arcsec , quando 2 arcsec2
x xx a
a a
pp q p< £ £- = - .
(v. ex. 25 a 27)
Mudança de variável tg e tg2
xu u x
Essa mudança de variável é feita quando o integrando é da forma ( )sen , cosQ x x , sendo ( ),Q u v um quociente entre dois
polinômios nas variáveis u e v.
Utilizam-se as identidades XIII e XIV, fazendo-se a mudança de variável tg2
xu :
2
2sen
1
ux
u
,
2
2
1cos
1
ux
u
e
2
2
1dx du
u
Se as potências de sen x e cos x são pares, faz-se a substituição tgx u= , usando-se as identidades XV, XVI e XVII.
a
x 2 2x a
/2
-/2
3/2
2
0
- 16 -
2
2
1cos
1x
u=
+,
22
2sen
1
ux
u=
+ e
21
dudx
u=
+
(v. ex. 28 a 30)
Integrais de funções racionais (integração por frações parciais)
Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
( )( )( )
P xdx
x x- -ò
Se P(x) é um polinômio de grau igual ou maior que o numerador, divide-se P(x) pelo denominador, de forma que a nova integral tenha como numerador o resto da divisão. Integra-se normalmente o quociente, e, em seguida, a nova fração. (v. ex. 31 a 35)
Seja o resto da divisão ax :
ax A B
ax A x B xx x x x
ax Ax A Bx B
A B a
A B
determinam-se os valores de A e B. O resultado da integração será:
( )( )( )
ln lnP x
dx A x B x kx x
= - + - +- -ò
Para integrandos do tipo
( )( )2P x
dxx a-
ò
faz-se a mudança de variável x u .
Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
( )( )( )( )
P xdx
x x x- - -ò
O procedimento é similar (v. ex. 34):
2 2
P x A B C
x x x x x x
P x A B C
x xx x x
- 17 -
Integrais de funções racionais com numeradores do tipo( )
2
P xdx
x bx c+ +ò ,
sendo o denominador um trinômio não fatorável do segundo grau. Converte-se o denominador numa soma de um número real com um binômio quadrado (v. ex. 35):
22 2 2 2 2x bx c x bx d d c x bx c x d e
em que 2
2
bd
e c d
( ) ( )( )
( )( )
( )
2 2 2
2,
P x P x P xdx dx dx
x bx c x d e x d e
P xu x d du dx du
u e
= =+ + + + + +
= + = +
ò ò ò
ò
integra-se fazendo a substituição do valor de x em P(x), e entendendo o denominador como uma função arco seno ou arco tangente.
Em particular, para integrais do tipo 2
Ax Bdx
ax bx c
++ +ò e
2
Ax Bdx
ax bx c
+
+ +ò utilizam-se as fórmulas:
2 2
2
2
2 2
2 1
2 2
2 1
2 2
Ax Bdx
ax bx cAx B
dxax bx c
A ax b Abdx B dx
a aax bx c ax bx cA ax b Ab
dx B dxa aax bx c ax bx c
æ ö+ ÷ç ÷+ -ç ÷ç ÷ç+ + + +è øæ ö+ ÷ç ÷+ -ç ÷ç ÷çè ø
+=
+ ++
=++ + ++ +
ò
ò
ò ò
ò ò
Estas fórmulas são uma conseqüência do desenvolvimento observado no exemplo 31.
Integrais de funções racionais com numeradores do tipo
( )( )( )2
P xdx
x e x bx c+ + +ò
sendo o trinômio do denominador não fatorável. A fórmula dada é:
( )( )( ) 22
P x A Bx Cdx dx
x e x bx cx e x bx c
+= +
+ + ++ + +ò ò
sendo que a segunda parcela da integral recai no caso anterior.
Similarmente, integrais do tipo ( )
( )( )2 2
P xdx
x e x bx c+ + +ò , com P(x) de grau até 2:
( )( )( )2 2
P xdx
x e x bx c+ + +ò =2 2
Ax B Cx Ddx
x e x bx c
+ ++
+ + +ò
- 18 -
Integral da função racional do tipo
( ) 12 2
1ndx
x+
+ò
,
( ) ( ) ( )1 22 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1
22n n n
x ndx dx
nx n x x+
-= +
+ + +ò ò
Funções irracionais
Integrais do tipoa bx
dxc dx
+
+ò
( )2
ax b ax b ax b ax bdx dx dx
cx d cx d ax b acx ad cb x db
+ + + += =
+ + + + + +ò ò ò
e prossegue-se com substituição trigonométrica, completando-se o quadrado na expressão sob o radical, se necessário. (v. ex. 36)
Integrais com raízes de uma variável
Dado o integrando que contém de uma variável ,j ml nx x , a substituição é feita por x tm= , em que é o denominador
comum dos expoentes dados em forma fracionária:
é o denominador comum entre , ,
lj l j
nm n m
x x
n lx x
m jm
=
=
A integral obtida recai em casos já estudados. (v. ex. 37)
Outras integrais
Integrais do tipo 2,x ax bx c dxæ ö÷ç ÷+ +çò ÷ç ÷çè ø
com substituição de Euler
1ª Substituição de Euler – se a > 0 2
2 2 2
2 2
2
2 2
ax bx c ax t
ax bx c ax ax t
t c t cx dxb t a b t a
+ + = +
+ + = + +æ ö- - ÷ç ÷= = ç ÷ç ÷çè ø- -
'
22
2
t cax bx c ax t a t
b t a
-\ + + = + = +
-
2ª Substituição de Euler – se c > 0
- 19 -
2
2 2 2
2 2
2
2
2
2 2
2
ax bx c xt c
ax bx c x t t cx c
t c b t
t c bax bx c xt c t c
a t
c bx dx
a t a t
+ + =
+ + = + +æ ö- - ÷ç ÷ç= = ÷ç ÷ç ÷- -ç
-\ + + = = +
-
è ø'
3ª Substituição de Euler – se a > 0 ou a < 0, com e como raízes reais do trinômio
( )( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( )
2
2
2
22
2
2
2
2 2
2 2
ax bx c x t
ax bx c a x x
a x x x t
a x x x t
a x
a tax bx
x t
a t a tx t dx
a t a t
c x t ta t
a
a b
a b a
a b a
b a
b a
b
b aa
aa a
+ + = -
+ + = - -
- - = -
- - = -
- = -æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷= - =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- -è ø
æ ö- ÷ç ÷\ + + = - = -ç ÷ç ÷ç -è ø
è ø'
(v. ex. 38 a 40)
Integração do binômio diferencial ( )pm nx a bx dx+ò
A integral do binômio diferencial ( )pm nx a bx dx+ò pode ser reduzido à integral de uma função racional, se m, n e p são
racionais, e se: – p é inteiro (positivo, negativo ou zero);
– 1m
n
+ é inteiro (positivo, negativo ou zero);
– 1mp
n
++ é inteiro (positivo, negativo ou zero).
Procedimento:
Faz-se 1 1
11,n nx z dx z dz
n
-= =
( ) ( ) ( )1
1
11
1 1p p pm n qn
n
x a bx dx z a bz dz z a bz dzn n
q z
-
-
+ = + = +
\ =
ò ò ò
1º CASO: p é inteiro, q racional, r
qs
= .
,r
sR z z dzæ ö÷ç ÷ç\ ÷ç ÷÷çè ø
ò
- 20 -
Substitui-se r
sz por ts.
2º CASO: 1m
n
+ é inteiro, então q também é inteiro e p é racional, p =
.
( ),qR z a bz dzé ùê ú\ +ê úê úë û
ò
Substitui-se a bz+ por t.
3º CASO: 1mp
n
++ é inteiro, logo q + p é inteiro.
( ) ,
,
ppq q p
k
lq
a bz kz a bz dz z dz p
z l
a bzR z dz
z
+æ ö+ ÷ç ÷\ + = =ç ÷ç ÷çè ø
é ùê úæ ö+ ÷çê ú÷\ ç ÷çê ú÷çè øê úë û
ò ò
ò
Substitui-se a bz
z
+ por tl.
(v. ex. 41 a 43)
Metodos numéricos
Usam-se para calcular a aproximação de uma integral definida quando a integração da função é difícil de obter-se.
Seja uma função : ,f a b . Divide-se o intervalo ,a b em n subintervalos de comprimento b a
hn
.
Temos então:
0 1 0 2 1
, , , ,n
i i
x a x x h x x h x b
y f x
1) Regra retangular
0 1 2 1
b
naf x dx h y y y y
ou
1 2 3
b
naf x dx h y y y y
2) Regra dos trapézios
01 2 12
bn
na
y yf x dx h h y y
3) Fórmula de Simpson (ou Método das parábolas)
- 21 -
O número de subintervalos n deve ser par.
0 2 4 2 1 3 12 4
3
b
n n na
hf x dx y y y y y y y y
Os métodos são trabalhosos, sendo a Fórmula de Simpson a que oferece melhor aproximação. Nos exemplos de nº 44 a 46 observa-se sua aplicação em uma integral simples, a título de comparação.
Integrais impróprias
1) Se f é contínua para todo x a , então
limb
a abf x dx f x dx
se o limite existir.
2) Se f é contínua para todo x b , então
limb b
aaf x dx f x dx
se o limite existir.
3) Se f é contínua para todo x, então
0
0lim lim
b
ab af x dx f x dx f x dx
se os limites existirem.
4) Se f é contínua para todo ,x a b , então
0
limb b
a af x dx f x dx
se o limite existir.
5) Se f é contínua para todo ,x a b , então
0
limb b
a af x dx f x dx
se o limite existir.
6) Se f é contínua para todo ,x a b , exceto num ponto “c”, então
0 0
lim limb c b
a a cf x dx f x dx f x dx
se os limites existirem.
Quando os limites existem, diz-se que a integral converge (para o ponto de limite). Caso contrário, diz-se que a integral diverge. (v. ex. 47 a 51)
- 22 -
Exemplos :
o Limite da função racional
1. Exemplo a
4
2 3 4 2 3 4
44
4
4
4 2
3
3 1 1 3 1 12 22 0 2
lim lim2 2 5 0 52 2 55
2 3 1lim
5 2 2x x x
xx x x x x x
xx
x
x x
xx
x x
x
¥ ¥ ¥
æ ö÷ç ÷+ + +ç ++ + ++
+ +÷ç ÷ç +è ø= = = =
æ ö +÷ç + -÷+ -çç ÷è-
÷ç ø
2. Exemplo b
5 2
4
5
3 4 5 3 4 5
444
3
3 1 1 3 1 12 22
lim lim lim2 2 52 2 55
2 3 1lim
5 2 2x x x x
xx x x x x xx x
xx xx x
x x x
x x ¥ ¥ ¥ ¥
æ ö÷ç ÷+ + +ç + + +÷ç ÷çè ø= = ⋅ = ⋅ = ¥
æ ö÷ç + -÷+ -ç ÷ç ÷çè
+ +-
ø
++
3. Exemplo c
4 2
4
2 3 4 2 3 4
3 37
4 74 7
7 3
3 1 1 3 1 122 3 1
lim5
21 1 2
lim lim lim 02 2 52 2 55
2 2 x x xx
xx x x x x x
x xx
x xx
x
x
x x
x x ¥ ¥¥ ¥
æ ö÷ç ÷+ + +ç + + +÷ç ÷çè ø= = ⋅ = ⋅ =
æ ö÷ç + -÷+ -ç ÷ç ÷ç
+ ++ -
ø
+
è
o Limites - formas indeterminadas
4. As formas 0/0 e ¥/¥ Derivam-se independentemente o numerador e o denominador da função, até obter um caso de limite calculável pelas técnicas conheci-das, com o numerador ou o denominador, ou ambos, diferentes de 0 ou de ¥ .
O primeiro exemplo é o caso 0/0. O segundo, a forma ¥/¥.
( )( )
( )( )31
1 1
3 21 1 1
1 ’1 ln ’ 1lim lim lim
6 63
1 lnl
2 ’i
3 3m
2 3 ’
x x
x x xx
x x
xx x
x x
x x x
-
- +=
+ +
- +- += = = -
+ + +
( )( )
( )( )
22 ’ 2 ’ 2lim ll iim m lim 0
’ ’xx xx xx x x
x x
ee e
x
e ¥ ¥¥ ¥== = =
5. A forma 0.¥ Neste exemplo o método utilizado foi reduzir à forma 0/0 e proceder como nesse caso.
( ) ( )( ) 232 232
3 6 ’ 3 1li
1lim 3 6
3 2m lim
1293 244 ’x xx
x
x xxx
- ⋅ =
-
-= =
-
6. A forma ¥ — ¥
( )( )
( )( )
0
0
0 0 0
2
sin ’ 1 cos ’ sin 0lim lim lim 0
2cos sin 2sin ’ si
1 1lim
sin n cos ’x x xx
x
x
x x x
x x xxx x x x x
æ ö÷ç ÷- =ç ÷ç ÷
- -= =
ç=
+è ø=
-
- 23 -
7. A forma 00
( )
( ) ( )
0sen lim sen ln sen
sen
0 0
0
0
0 0
2
cosln sen ’ senlim sen ln sen lim lim sen 0 1 lim se
lim
n 1cos1
’sense
s n
n
e x
x
x x
x x x
x
x x
xx xx x x e x
x
xx
x e ⋅
⋅ = = = - = = \ =
æ ö -÷ç ÷ççç ø
=
÷÷è
8. A forma ¥0
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
2
2
2
2
4 1l
22
1 4 2 322
2 21
im 4 ln
2 2 2
2
2 2
4
0
2
’2
2
4 ’ln ’ 8 16 ’1 4 16lim 4 ln lim lim lim lim
2 4 42 4 ’ 2 4 ’
0 10
1lim
1 lim4
2
2
x
x
x x x x x
x
x
x
xx
x
x
x x x x xx
x xx x x x
x
x
e
e
-æ ö÷ç
--
÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ø
-
è -
é ù-ê ú - + -ê úë û- = = = =
- -- -
æ ö÷ç ÷= = = \ ç ÷ç ÷ç -è
æ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷ç
ø
-è ø
( )41
-
=
9. A forma 1¥
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
0
1 1lim
3 123 0 3
0 0
ln 13
0
0 0
ln 1 ’1 3 0lim ln
lim 1
1 lim lim 0 1 lim 1 1’ 3 1 1
x
x
x x x x
xx x
x
x xx e x
x x x
x e
⋅ +
+⋅ + = = = = = \ +
+ =
=+
o Derivação de radicandos
10. Exemplo
( )
( )( )2 2
0
2
2 1 2 1’ l m
2 1
ix
f
xx
x
f
x
x x
xD
+D + - +=
+
D
=
Neste ponto, racionaliza-se o numerador:
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 22 2
0 2 2
2 2
0 2 2
22 2
0 22 2
2 1 2 1 2 1 2 1
’ lim
2 1 2 1
2 1 2 1lim
2 1 2 1
2 4 1 2 1lim
2 4 1 2 1
x
x
x
x x x x x x
f x
x x x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x
D
D
D
æ öæ ö÷ ÷ç ç+D + - + ÷ +D + + + ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø=
æ ö÷çD +D + + + ÷ç ÷ç ÷çè ø
+D + - -=
æ ö÷çD +D + + + ÷ç ÷ç ÷çè ø
+ D + D + - -=
æ ö÷çD + D + D + + +çççè ø÷÷÷
- 24 -
Cancelam-se os opostos, igualam-se a zero as parcelas com xD :
( )( ) 20 2 2
4 2’ lim
2 1 2 2 11x
x xf x
x x
x
x xD
D=
D + + + +=
o Integração por substituição simples
11. Exemplo a
( )
( ) ( ) ( )443 3 3
3
2 1, 2
2 11 12 1 2 1 2
2 2 8 8
2 1
u x du dx
xux dx x dx u du k k
x dx
= + =
++ = + = + +
+
= =
ò
ò ò ò
12. Exemplo b
( ) ( )
2
2
4 2 22
4
, 2
1 2 1 1 1 1arctan arctan
2 2 2 21
1
11
u x du x dx
x xdx d
x
x du u k x kx ux
dxx
= =
= = = +
+
= ++ ++
ò ò ò
ò
o Integração por partes
13. Exemplo a
,
sen
u
x x
x d d
dx
u x= =ò
sen , cos
sen cos cos cos sen
dv x dx v x
x x dx x x x dx x x x k
= = -
= - + =- + +ò ò
14. Exemplo b Neste exemplo aplica-se duas vezes o método da integração por partes.
( )
2
2 2
2 2
2
2
2
, 2
,
2
2 , 2
,
2 2
2 2
2 2
x x
x x x
x x
x x x x
x x x
x
x
u x du x dx
dv e dx v e
x e dx x e xe
u x du dx
dv e dx v e
x e dx x e xe e dx
x e xe e k
x e
x x e
x
k
d
= =
= =
= -
= =
= =
= - +
= - + +
= - + +
ò ò
ò ò
ò
15. Exemplo c Neste exemplo aplica-se, em seguida, o método de substituição trigonométrica, que será visto adiante.
- 25 -
2
2
2
2
2
1arcsen ,
1,
arcsen arcsen1sen , cos
se
a
n cossen
cos1c
rcse
os 1
arcsen arcsen 1
n
u x du dxx
dv dx v x
xx dx x x dx
xx dx d
xdx d d
xk x
x dx
x d
x x x
x
q q qq q
q q qq
q
= =-
= =
= --
= =⋅
= =-
= - + = - +
= + +
ò ò
ò
ò
ò ò
ò
o Integração de funções trigonométricas
Os casos esen cos , cos cos sen senax bx dx ax bx dx ax bx dxò ò ò
16. Exemplo a
( )
( )
cos 31 1 cos7sen( 3 ) sen 7sen
2 2 3 7
cos 3 cos7
6 1
2 cos( )
4
5x x
x x dx k
x xk
x x dxé ù- -ê ú- + = - +ê úê úë û
- -= - +
⋅ - = òò
Essas fórmulas servem para calcular integrais aparentemente mais complexas, mas que se reduzem às formas dadas, como neste: 17. Exemplo b
( )23 2
2
I II
2
sen 4 sen 2 sen2 sen 4 sen2 1 cos 2
sen 4 sen2 sen4 sen2 cos 2
1I) sen
sen
4 sen2 cos6 cos22
1II) sen 4 sen2 cos 2 sen 4 sen2 1 c
2
4 sen 2 x x x dx x x x dx
x x dx x x x dx
x x dx x x dx
x x x dx
x x dx
x x
= ⋅ ⋅ = ⋅ -
= ⋅ - ⋅ ⋅
⋅ = - +
- ⋅ ⋅ = - ⋅ ⋅
⋅
+
ò òò ò
ò ò
ò
ò
( )
Ident. VI
Ident. III
3
os 4
1 1 1sen 4 sen2 sen 4 cos 4 .sen2
2 2 21 1 1 1 sen 8
cos6 cos2 sen22 2 2 2 2
1 1 1sen4 sen 2 cos6 cos2 cos6 cos2 cos10 cos6
2 4 81
co4
x dx
x x dx x x x dx
xx x dx x dx
x x dx x x dx x x dx x x dx
= - ⋅ - ⋅
= - ⋅ - + -
\
⋅ = - + - - + + -
= -
ò
ò ò
ò ò
ò ò ò ò
1s6 cos2 cos10 cos6
8sen6 sen2 sen10 cos6
24 8 80 48sen6 sen2 sen10
16 8 80
x x dx x x dx
x x x xk
x x xk
+ + -
-= + + - +
-= + + +
ò ò
- 26 -
Caso ecos sen2 cos cos2n nx x x xò ò
18. Exemplo a
( )
( )
2 3
4 42 3 3
2 cos 2 sen cos 2 cos sen
cos , sen
coscos sen2 2 cos sen 2
co
2
se
2
s n2 x x x dx x x dx
u x du x dx
u xx x dx x x dx u du
x x d
k k
x = =
= = -
= - - = - = - + = - +
ò ò
ò
ò
ò ò
Observamos neste caso que foi utilizado também o método de substituição simples.
19. Exemplo b
( )3 2 2 53 3 2
I II
cos cos cos sen cos coco s sens2 x x x dx x dx x dx x x x dx= - = -ò ò òò
Utiliza-se agora a fórmula de redução dada para cosn x.
( )
5 4 3
4 2
4 2
3 2 3 2 3 5
1 4I) cos cos sen cos
5 51 4 1 2
cos sen cos sen cos5 5 3 31 4 8
cos sen cos sen sen5 15 15
II) cos sen cos 1 cos cos cos
x dx x x x dx
x x x x x dx
x x x x x k
x x dx x x dx x dx x dx
= +
æ ö÷ç ÷= + +ç ÷ç ÷çè ø
= + + +
= - - = - +
ò ò
ò
ò ò ò ò
Não apresento o desenvolvimento da solução por se tratar apenas da fórmula de redução dada. Vamos direto à resposta:
3 4 22 1 2cos cos2 cos sen cos sen sen
5 5 5x x dx x x x x x k= + + +ò
Caso sen cosn mx x dx
20. Exemplo a Primeiro um UexUemplo com potências ímpares:
( )5 2 5 2
5 7
6 8 6 8
3
5 7
5
7 5
sen cos cos sen 1 sen cos
sen cos sen cos
sen , cos
sen sensen c
sen c
os sen cos6
o
6
s
8 8
x x x dx x x x dx
x x x x dx
u x du x
u u x
x
xx x x x dx u u du k k
x dx = -
= -
= =
- = - = - - +
=
+ =
ò òò
ò
ò ò
Poder-se-ia ter feito também:
( ) ( )32
25 4 3 3sen cos sen cos 1 cos sen
cos , s
sen co
en , etc.
s x x x dx x x x dx
u x du x
x x dx == - - -
= = -ò òò
21. Exemplo b
Um UexUemplo com ambas as potências pares (ident. VI e VII):
( ) ( )6
3
24
22 3
2 1 cos2 1 cos2sen cos
2se
2n cosx x
x xx x d dx xd x
æ ö æ ö- +÷ ÷ç ç÷ ÷= ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è=
øò òò
- 27 -
( ) ( )
( ) ( )
2 3
2 32 2 2 3
11 cos2 1 cos2
81
1 2cos2 cos 2 1 3 cos2 cos 2 2 cos 2 cos 2 , etc8
x x dx
x x x x x x dx
= - +
= - + + + + +
ò
ò
O integrando se transforma numa expressão polinomial bastante trabalhosa de integrar.
O mesmo UexUemplo, utilizando-se porém a identidade I:
( )2 6 82 66 1 cos cosen co s cos coss x xx x d dx x x dxx - = -=òò ò
Neste caso aplica-se a fórmula de redução para potências de co-seno.
O caso sec , parnx dx nò
22. Exemplo
( )2 2 2 2 2
2 2
4
2
3 32 2 2
34
sec 1 tg sec sec tg
tg sec tg
tg , sec
tgsec tg
sec
3 3
tgsec tg
3
x x dx x dx x x dx
x x x dx
u x du x dx
u xx x dx u du k k
x dx x k
x dx + = +
= +
= =
= = + = +
\
= + +
= ò ò òò
ò
ò
ò ò
O caso sec tgn mx x dxò
23. Exemplo a, m ímpar
( )
( ) ( )
22 4 2 2
2 22 2 2 2 6 4 2
7 5 3 7 5
3 5
3
sec tg sec tg sec sec 1 sec tg
sec , sec tg
sec sec 1 sec tg 1 2
2 sec 2 sec sec
7 5 3
sec tg
7 5 3
x x x x dx x x x x dx
u x du x x dx
x x x x dx u u du u
x x dx
u u du
u u u x x xk k
= -
= =
- = - = - +
= - + + =
=
- + +
ò ò ò
ò ò ò
24. Exemplo b, m par
( )23 23 7 5 34 secsec sec 1 sec 2 sec sectg x dx x dx x x x x dx- = - +=ò ò ò
E aplica-se a fórmula de redução correspondente.
o Integração - Substituição trigonométrica
25. 1º caso: 2 2a x
227 74 114
2
2
44 1
24
4
7 x x
x xi dx
x
xdx dx
æ ö÷ç æ ö÷ç ÷ç÷ç ÷- ÷ çç ÷÷ ç- ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ çè ø ÷ç ÷÷çè ø
+= =
+ +=
-ò ò ò
- 28 -
2 2sen 4 cos
7 7
21 sen
7 2sen , sen , cos
2 7
1 1 4 8 2 4sen cos
2 2 7 77 7
d
xx dx d
i d kq q q
q
q q q q
q q q q
æ ö÷ç ÷ç + ÷ç ÷ç ÷è ø
-
= = =
= = + = - + +ò ò
Usando-se o triângulo retângulo para retornar à variável x:
24 7 4 7arcsen
2 77
xi x k
-= + -
\
26. 2º caso: 2 2a x
2
22
2
2 2
2
2 1 2 2 1
43 68 1 18 4
6 4 tgtg , , se
3
c4
8
6
2 1 x xdx
xi d dx
x x
xx dx d
xx
qq q q
- -= =
æ ö æ ö÷ç ÷÷ ç
-
+ç ÷÷ çç +÷÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø
= =
+
=
= ò òò
( )
22
2
1
2 2 3
16 tg 42 1 sec
62 2 64 tg sec 46sec
4 sec 4 3 6 6
2 4 3) sec ln sec tg
4 362 64 6 16 3 16 3
) tg sec sec 1 sec sec sec4 18 9 9
II I
d
i d
I d k
II d d d
qq q
qq q
q
q q q q
q q q q q q q q q
æ ö÷ç ÷´ -ç ÷ç ÷çè ø= = -
- = - + +
= - = -
ò ò
ò
ò ò ò
3
2
16 3 16 3ln sec tg sec
9 916 3 16 3 sec tg 1
ln sec tg sec9 9 2 2
16 3 8 3 8 3ln sec tg sec tg ln sec tg
9 9 9
16 3 8 3 8 3 3ln sec tg sec tg ln sec tg ln sec tg
9 9 9 3
d
d
k
i k
q q q q
q qq q q q
q q q q q q
q q q q q q q q
= - + +
é ùê ú= - + + +ê úë û
= - + + + + +
\
= - + + + + - + +
ò
ò
Usando-se o triângulo retângulo para retornar à variável x:
2 7 x
24 7x
- 29 -
2 2
2 28 3 3 8 3 11 3 3 8 3ln
9 2 9
1 11 33 8 ln 3 8 3
3 9
2 2 2 2
x x x xi k
x x x x k
\
+ + += -
+
+
= + - + +
27. 3º caso: 2 2 ,x a x a
2 2
22
2
3
2
2
2
3 1 3
54 225 1 125 5
2 5 sec 5 sec tgsec , ,
5 2 2
5 sec 5 sec tg3
2 21 25 3sec sec
5 8 2sec 1
3
4 25
II I
x xdx dx
x x
xx d
xi dx
x d
d
i d
x
d
q q qq q
q q qq
q q q qq
+ += =
æ ö æ ö÷ç ÷÷ ç-ç ÷ -÷ çç ÷÷ç ç ÷çè ø è ø
= = =
é ùæ öê ú÷ç ÷ +çê ú÷ç ÷çè øê úë û= = +
+
-
-
= ò ò
ò ò
ò
ò
1
3
2
3 3) sec ln sec tg
2 225 25 sec tg 1 25 sec tg 1
) sec sec ln sec tg8 8 2 2 8 2 2
25 49sec tg ln sec tg
16 16
I d k
II d d k
i k
q q q q
q q q qq q q q q q
q q q q
= + +
é ù é ùê ú ê ú= + = + + +ê ú ê úë û ë û
\
= + + +
ò
ò ò
Usando-se o triângulo retângulo para retornar à variável x:
224 25 49
ln 2 4 258 16
x xi x x k
-= + -
\
+
o Mudança de variável tg e tg2
xu u x
28. Exemplo a Algumas integrais de quociente de funções seno e co-seno podem ser resolvidas por substituição simples, como neste exemplo:
5
2x 24 25x -
2 2
3 x
23 8x +
- 30 -
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1
2 2
2
2
1
cos , sen
sen sen 1 1
2cos cos 2 cos cos 2 2
12
22
2 1 1 1,
0 2 2
1 1 1 1 2 cosln cos ln 2 cos ln
2 2 2 22
sen
2cos cosu x du x dx
x xdx dx du du
x x x x u u u u
A BA B u A
u uu u
AA B
A B
xdu du x
x
x ku uu
x
u
dxx
= = --
= - = - = -+ + + +
= + = + +++
ìï =ï \ = = -íï + =ïî+
- = - - = - + + + =
+
++
ò ò ò ò
ò
ò
ò cosk
x+
29. Exemplo b Neste exemplo são feitas as substituições indicadas neste tópico:
21 tg2
22 2 2 2 tgtg tg 2 tg22 2 2
2 2 21 tg 1 tg 1 tg2 2 2
11
1
1 1
1 1cos
x
dxxx x x
x x x
dx dx dx xdx
+
+ + +
=-
= = =
- -ò ò ò ò ò
2v. ident. II
2
2
221 tg2
2 2 222 tg tg2 2
1tg , 1 tg
2 2 2
22 1 tg
2 1
1 2 1 1 1
2 1
x
dxx x
x xt dt dx
xdt dx dt dx
t
tdt dt k k
tt t u
é ùê úë û
+
æ ö÷ç ÷= = +ç ÷ç ÷çè øæ ö÷ç ÷= + =ç ÷ç ÷ç +è ø
+= ⋅ = = - + = - +
+ò ò ò
1 cos2 2cos coscos2 2 22
1 cos2 2sen sen sen 1 cos 12 2 2 2 2
cosv. ident. V2
2
1
1 cos 1 cos sen
1 cos 1 cos 1 cos
x x xx
x x x x x
x
k k k k k
x x xk k k
x x x
+
+- -
é ùê úë û
= - + = - + = - + = - + = - +
+ - -= - + = - + = +
- - -
30. Exemplo c Este método leva às vezes a operações trabalhosas, como neste exemplo:
2
2
2 2
2 tg2
1 tg2
2 tg 1 tg 22 2
1 tg 1 tg2 2
2
2
2 tg2
2 tg 1 tg2 2
1 2tg , 1 tg
sen
sen co
2 2 2 1
s
x
x
x x
x x
xx
d dx dxx x
x xt dt dx t
t
x
d dx
xx
+
-
+ +
= =+ -+
æ ö÷ç
=+
÷= = + =ç ÷ç ÷ç +è ø
ò ò ò
- 31 -
( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2 22
2 2 2 2
2 2
2 tg 2 2 422 1 1 2 1 12 tg 1 tg
2 24
2 1 1 1 2 1
4 ( ) 2 1 1
xt t
dx dt dtx x t t t t t t
t At B Ct D
t t t t t t
t At B t t Ct D t
= ⋅ =+ - + - + + ++ -
+ += +
- + + + + - + +
= + - + + + + +
ò ò ò
Desenvolvendo, ordenando e igualando os coeficientes, obtemos o sistema:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
3 2
2 22 2
III
4 2 2
0
2 01, 1
2 4
0
4 1 1
1 2 12 1 1
t A C t A B D t A B C t B D
A C
A B DA B C D
A B C
B D
t t tdt dt dt
t t tt t t
= - + + - + + + + + +ìï- + =ïïï - + =ïï \ = = = = -íï + + =ïïï + =ïïî\
+ - += +
+ - -- + + +ò ò ò
( )2
12 2 2
2
12
2
22 2
2
2
1 1 2 1 1I) ln 1 arc tg
2 21 1 11 1
ln 1 tg arc tg tg2 2 21
1 1 2 2 1II) ln 2 1
2 22 1 2 11 1
ln tg 2 tg 12 2 22 1
t tdt dt dt t t k
t t tt x x
dt ktt t
dt dt t t kt t t tt x x
dtt t
+= + = + + +
+ + +æ ö æ ö+ ÷ ÷ç ç÷ ÷\ = + + +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç+ è ø è ø
- + - - -= = - - +
- - - -æ- + - ç\ = - -
- - è
ò ò ò
ò
ò ò
ò 2k
ö÷÷+ç ÷ç ÷ç ø
Então:
2tg
2
2tg 2 tg
2 2
2 2sen 1 1ln 1 tg arc tg tg ln tg 2 tg 1
sen cos 2 2 2 2 2
11ln arc tg tg
2 21
2x
x x
x x x x xdx k
x
k
x
x
-
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= + + - - - +ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç çæ ö+ ÷ç ÷= + +ç ÷ç ÷ç- è
ç+ è ø
ø
è ø è øò
É necessário agora obter a solução em termos de sen x e cos x:
2
2
2
2
sen2
cos2
sen sen2 2
2cos cos
2 2
1 sensen 1 2ln arc tgsen cos 2
cos12
x
x
x x
x x
xx
dx kx x x
-
æ ö+ ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= + +ç ÷ç ÷+ ç ÷÷ç- ÷çè ø
ò
- 32 -
2 2
2
2 2
2 2
cos sen2 2
cos2
sen sen cos cos2 2 2 2
2cos cos cos
2 2 2
2 2
2 22
sen1 2ln arc tg2
cos2
cos sen sen cos1 2 2 2 2ln arc tg2
sen sen cos cos cos cos2 2 2 2 2 2
x x
x
x x x x
x x x
x
kx
x x x x
x x x x x x
+
⋅-
-
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= + +ç ÷ç ÷ç ÷÷ç- ÷çè ø
æ ö÷ç ÷+ ç ÷ç ÷ç ÷= + ⋅ç ÷ç ÷ç ÷⋅ - ççè ø(V. ident. III)
2
2 2
(V. ident. VI)
(V. ident. IV) (V. ident. III)
sen cos1 1 2 2ln arc tg2
cos2cos sen 2 sen cos
2 2 2 2
k
x x
xx x x x
+÷÷
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= + ÷ç ÷çæ ö ÷ç÷ç ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç- - + ⋅ ÷ ç ÷ç ÷ çç ÷ è øç ÷÷ç ÷çè ø
sen1 1 2ln arc tg2 cos sen 1 cos
21 1 sen
ln arc tg2 cos sen 1 cos
xk
k
x
kx x
x
x
x x
+
÷
æ ö÷ç ÷ç ÷ç- ÷ç ÷= + +ç ÷ç ÷+ +ç ÷÷ç ÷çèæ ö- ÷ç ÷= + +ç ÷ç ÷ç +è ø
ø
+
o Frações parciais
31. Exemplo a
( )
( )
16 168 8 5 53 3
2 2 2
2
2
2
2 2
38 3 21 1 3
8 8 84 5 1 4 5 1 4 5 13 8 5 1 1 3 1 1
ln 4 5 18 8 8 84 5 1 4 5 1 4
4
1
3
5 1
5
2 x xxdx dx dx
x x x x x xx
dx dx x x dxx x x
xdx
x x
x x x
æ ö÷ç ÷ç + ÷ + + -ç ÷çè ø+
= =+ + + + + +
+= + = + + +
+
+=
+ +
+ + + + +
ò ò ò
ò ò
ò
ò
A integral no fim da expressão acima terá seu denominador fatorado da seguinte maneira: ( )( )1 4 1x x+ + , e será resolvida com
no exemplo b.
32. Exemplo b
( )( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
3
3
2 42 4
3 4 2 3 4 2
3
4 2 0
2 4
x A B
x xx x
x A x B x x x A B A B
A
xdx
B
x x
B
A
= +- +- +
= + + -
- +
= + + -ìï + =ïíï - =ïî
ò
Resolvendo-se o sistema, obtém-se 1 e 2,A B= = \
( )( )3 1 2
ln 2 2 ln 42 42 4
xdx x x k
x xx x= + = - + + +
- +- +ò ò
- 33 -
33. Exemplo c
( )
( )( )
2
2 2 2 2
12
5, 5,
2 5 12 1 2 11 1 12 11
5
112 ln 11 2 ln
2 1
5
11 2 ln 51 5
u x x u du dx
ux udx du du du du
uu u ux
xdx
uu u du u k x k
x
x
--
= - = + =
+ ++ += = = +
-
= + = + + = - - +- -
+
-
ò ò ò
ò
ò ò
ò
34. Exemplo d
( )( )
( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2
3 2
1 8 ( 8)1 8
3 2 8 1 8 1
16 7
3 2
1 8
64 8
x A B C
x x
xdx
x x
xx x
x A x B x x C x
A B x A B C x A B C
+= + +
- + +- +
+ = + + - + + -
= + + + + +
+
-
- +
-
ò
Obtém-se o sistema:
0
16 7 3
64 8 2
A B
A B C
A B C
ìï + =ïïï + + =íïï - - =ïïî
cuja solução é
( )( ) ( )
( )
5 5 22
81 81 92 2
2
5 5 22, ,
81 81 9
3 2
1 81 8 8
5 5 22 1ln 1 ln 8
81 81 9 8
A B C
xdx dx
x xx x x
x x dxx
-
-= = =
\
+= + +
- +- + +
= - - + ++
ò ò ò ò
ò
Na última integral faz-se
( ) ( )
( )( ) ( )
1 12 2
2
8,
22 1 22 1 22 22
9 9 9 9 88
3 2 5 5 22ln 1 ln 8
81 81 9 81 8
u x du dx
dx du k kuu xx
xdx x x k
xx x
= + =- -
= = + = +++
\+
= - - + - ++- +
ò ò
ò
35. Exemplo e
( )22 2
2
2 4
3
2 1 1 4
4
1
2
3x x x
xdx
x
x x
x- + = - + - + = -
+- +
+
ò
- 34 -
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
I II
2 2
1 12 2
3 3
2 4 1 3
1, 1 ,
3 4 4
3 3 31 3
1 2 1 1I) ln 3 ln 4
2 2 23 3
x xdx dx
x x x
u x u x du dx
x u udx du du du
u u ux
u udu du u k x x k
u u
+ +=
- + - += - + = =
+ += = +
+ + +- +
= = + + = - + ++ +
ò ò
ò ò ò ò
ò ò
( )
( )
2 22 21
3
2
2
4 4 1 4 3 4 3 1II) arc tg arc tg
3 3 1 33 3 31
3 1 4 3 1ln 4 arc tg
2 32 4 3
u xdu du k k
u u
x xdx x x k
x x
-= = ⋅ + = +
+ +
\
+ -= - + + +
- +
ò ò
ò
o Funções irracionais
Integrais do tipoax b
dxcx d
+
+ò
36. Exemplo
2
2
2
21 9
4 16
9216
3 3 3
2 4 3 2 1
1 92 1 2
4 16
3 1 3
2
3
2
4 2
1 1, ,
4 43 1 11
2 4 2
4
x
u
xdx
x
x x xdx dx
x x x x
x x x
x xdx dx
x
x u x u dx du
x udx du
x
æ ö÷ç ÷ç - -÷ç ÷÷çè ø
-
- ⋅ - -= =
+ ⋅ - - -é ùæ öê ú÷ç ÷- - = - -çê ú÷ç ÷çè øê úë û
\
- -=
+
- = = + =
- -=
+
-
+ò ò
ò ò
ò
ò
ò
A integral na variável u se resolve pelo método de substituição trigonométrica.
Integrais com raízes de uma variável
37. Exemplo 1
24 3
34
4 33 4
o den.comum é 4 , 41
x xx t dx t dt
x x
xdx
x
ìïï =ïï = =íïï =ïïî
=+
ò
- 35 -
2 5 23 2
3 3 34 3
3 3 33
3
4 43 3
4 4 41 1 11
4 1 3 4 44 ln 1
3 3 3 314 4
ln 13 3
x t t tdx t dt dt t dt
t t txt t t
dt t kt
x x k
= = = -+ + ++
= - ⋅ = - + ++
= - + +
ò ò ò ò
ò
Substituições de Euler
38. 1ª substituição de Euler - exemplo
2 2
2
2 2 24 2
1
4 2 4
4
x t x x x tx t x x tx t x
dxx x
+ = + + + + = + + +
+
=
+
+
ò
( )( )( )
( )( )( )( )
2 2
2
2 2
2 2 24 22 1
2
1
2
4 2 2 8,
2 1 2 1
2 4 2 1 41 22
2 12 1 4 2 1
1 1 1ln ln 4
2 2
ttt
t
t t tx dx
t t
t t t t tI dt dt dt
tt t t t
dt t k x x x k
-+
-
-
- - + -\ = =
- -æ ö÷ç- - + - - +÷ç ÷ç= = - =-÷ç ÷ç -÷ç - - + -÷çè ø
= - = - - + = - + + - - +
ò ò ò
ò
39. 2ª substituição de Euler - exemplo
( )
( )( )
22
2 2
2 2 2 2
2
2 22
1 1 2
2 1
1 1
1
2
1
1,
1
x x xt
x xdx
x x x
x x x t xt
t ttx dx
t t
+ + = + + = +
- +-\ = =
-
-
+ +
-
+ +ò
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2 22 2 2 2 2
2
2 2 2 22 2
2 2 2
2 11 1
2 1 2 1 1 2 11
2 1 2 1 2 1 1 2 111 1 1
tt
t t t t t t t ttdt
t t t t t ttt t t
I
é ùì üé ùï ïæ ö- ê úï ï÷çï ïê ú÷ç- +í ý ê ú÷çê ú÷ - + - + - - - +÷ï ïç ê úè ø-ê úï ïë ûï ïî þ ê úê úé ùæ ö æ ö æ öê ú- - -÷ ÷ ÷ - -ç ç çê ú÷ ÷ ÷ç ç ç+ ê ú÷ ÷ ÷ç ç çê ú÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çê úè ø è ø è ø- - -ê úë û ë û
= =ò ( )( )22
2
21 1
2 2
2
21
1 1 1 1 12 ln 2 ln
1 1 1
dt
t t
tdtt
t x x x x xt k k
t x x x x x
=- + - -
+ + + - + + + -= - + + = - + +
- - - + + +
ò ò
- 36 -
40. 3ª substituição de Euler - exemplo
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
22
2
2
2
2 2 2
2
2 22
102
1
2 21 4 24
2
1
3 4 4 1 4 1 4
4 1 4 1 4
1 4 10,
1 1
10 1 2
11 5
1 4 1ln l
3 4
n1 4 1
1
t
tdt
t
t
x x x x x x x t
x x x t x x t
t tx dx dt
t t
t tI dt dt
tt t
dxx
t x x
x x
x
k kt
-
æ ö÷+ç ÷ç + ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø
+ - = + - + - = +
+ - = + - = +
+\ = =
- -
-= = =
--
+ + + -
+ -
= + = +- + - -
ò
ò
ò ò
o Integração do binômio diferencial ( )pm nx a bx dx+ò
41. Exemplo a
( )
( ) ( )
212
2 2 2
122
2 22 5 5 6 7
6 7 8 3 34
1 2 1 2 ,
,
1 2 2 1 2 2 4 4
4 4 82
6 7 8 7 3
x x dx x x dx
x z x z
x x dx z z dz z z z dz
z z z x x xk x k
æ ö÷ç ÷ç+ = + ÷ç ÷÷çè ø
= =
\ + = + = + +
æ ö÷ç ÷= + + + = + + +ç ÷ç ÷çè ø
ò ò
ò ò ò
42. Exemplo b
( )
( ) ( )
( )
11 2
3 2
2
13 7
1
3
2
22
1
, 2
1
1
2 1
1 , 1
x x dx
x z dx z dz
x x dx z z dz
z t z
x x dx
t
æ ö÷ç ÷ç= + ÷ç ÷÷çè ø= =
\ +
+
+
= +
= + =
ò
ò
ò
ò
( ) ( ) ( )1
7 77 222 1 2 1 2 4 1 , etcz z dz t t t dt t t dt\ + = - = -ò ò ò
43. Exemplo c
( )1
1 1 23 2 31 1x x xx x xd d
æ ö÷ç ÷ç + ÷ç ÷÷çè ø+ =ò ò
- 37 -
( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2
1 11 1 3 71 12 2
2 42 3 2 22 2
2
2 22
14 22
4
2 2 62 2
, 3
11 1 3 3 1 3
1 1 2,
1 1
1 2 1 23 , etc
3 31 1 1
x z dx z dz
zx x dx z z z dz z z dz z dz
z
z dtt z dz
z t t
z t tz dz t dt dt
z t t t
= =
æ ö æ ö+÷ç ÷ç÷ ÷ç + = + = + = ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç÷ç è øè ø+ -
= = =- -
æ ö æ ö+ ÷ ÷ç ç÷ ÷\ = - = -ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç -è ø è ø - -
ò ò ò ò
ò ò ò
o Integração numérica
Veremos uma integral que pode ser resolvida também por substituição trigonométrica. Os cálculos, muito trabalhosos, só são viáveis com uma calculadora ou com um software de matemática. Foi utilizado o Derive 6:
( )3
2
1
2
xf x
x
-=
+\
( )33 ln 15 11 20 6 6 66 505 11
3 222
15,177312395
2
xdx
x
- - +-= - =
+ò
Neste caso temos a = 2, 3b = , e faremos 10 0,1n h= \ = .
Para intervalos maiores, n deverá ser maior. Quanto maior n, melhor a aproximação.
44. Aplicando o método retangular:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )33
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,922
7 6 8261 641 402 19 11167 1603 194 39 33 2072 219 18683 929 873 246 23389 1041
6 64100 475 2700 4850 44 5475 92900 2050 104100
10,1
20,1
4,9299482
f f f f f f f f f fx
dxx
+ + + + + + + + +
æ ö÷ç ÷ç ÷+ + + + + + + + +ç ÷÷çè ø
-» ´
+» ´
»
ò
13
45. Aplicando o método dos trapézios:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
33
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9222
7 6 26 118261 641 402 19 11167 1603 194 39 33 2072 219 18683 929 873 246 23389 10416 11
2 64100 475 2700 4850 44 5475 92900 2050 10410
10,1
2
0,1
ny yf f f f f f f f f
xdx
x
æ ö+ ÷ç ÷ç + + + + + + + + + ÷ç ÷çè ø
++ + + + + + + + +
-» ´
+
» ´
ò
0
5,179026059
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
»
Observa-se com esse método uma aproximação bem melhor, em que duas casas decimais correspondem.
46. Aplicando a fórmula de Simpson:
0 2 4 2 1 3 12 4
3
b
n n na
hf x dx y y y y y y y y
- 38 -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )33
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,922
7 6 26 11 402 19 1603 194 2072 219 873 246 8261 641 11167 39 33 18683 929 23389 10412 4
6 11 475 4850 5475 2050 64100 2700 44 92900 104
1 1
3021
30
f f f f f f f f f fx
dxx
+ + + + + + + + +
æ ö÷ç ÷ç ÷+ + ´ + + + + ´ + + + +ç ÷ç ÷÷çè ø
-» ´
+
» ´
ò
100
5,177312462
æ ö÷æ öç ÷÷ç ç ÷÷ç ç ÷÷ç ç ÷÷ç ç ÷÷÷ç ç ÷ç è øè ø
»Obtivemos uma aproximação ainda melhor com este método, com seis casas decimais correspondentes.
o Integrais impróprias
47. Exemplo a
( ) ( )2
22
22
1 1 1 1 1 1lim lim 0
4 4 2 4 2 24
1
4a aa
a
dxx ax
dxx
-¥ -- ¥¥
é ùê ú= = - = - =ê ú- -
=-û-- ë
ò ò
A integral converge.
48. Exemplo b
2 2 2 20
00
lim lim lim lim lim lim2 2 2 2
o bb
a b a b a baa
xx x a b
x dx x dxdx-¥ +¥ -¥ +¥
¥
- -¥ +¥¥
é ù é ù -ê ú ê ú+ = + = +ê ú ê úë û û
=ë
ò òò
Os limites não existem, logo a integral diverge.
49. Exemplo c
( ) ( ) ( )1 2
2 20 10 0
1 2
0 0 00
2
20
01
1
1
1 1lim lim
1 1
1 1 1 1lim lim lim 1 lim 1
1 1
d dx dxx x
xx
x x
e
de d
e
e d e dd
e d
+ +
+ + + +
-
+
-
+
+ =- -
é ù é ù-ê ú ê ú= + = - + -ê ú ê ú-
=
-ë û ë û
-òò ò
Os limites não existem, logo a integral diverge.
50. Exemplo d 1
2 2 21
0 0
1
1 0
1 ln 1lim ln lim ln limln
2 4 4 2 4 4
x xx x dx xx x dx
ee e ee
e e e+ + +
é ù - -ê ú= - = - + =ê úë û
=ò ò
A integral converge.
51. Exemplo e 0
2 22 0
0
0
1 1lim lim
6 12 6 12
1 3 1 3lim arc tg lim arc tg
3 3 3 31 3 3
arc tg 3
1
arc tg arc tg arc tg 33 3 31 3 3 1
arc t
6 12
g arc tg23 3 3 3
b
a ba
b
a ba
dx dxx x x x
x x
a b
x
b
dxx
a p
+¥
- -¥ +¥
-¥ +
¥
¥
++ + + +
é ù é ù+ +ê ú ê ú= +ê ú ê úë û ë û
é ù+ +ê ú= - + -ê úë ûé ù+ + -ê ú= - + = -ê úë û
=+ +ò ò ò
2 3
p pé ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú÷ ÷+ =ç ç÷ ÷ê úç ç÷ ÷ç çè ø è øê úë û
A integral converge.
- 39 -
o Cálculo de uma área curva
52. Exemplo
Achar a área sob a curva 2y x= no intervalo [-1, 2]. Solução:
Temos ( )2 1 3
kx
n n
- -= = , e x será substituído por
31
k
n- + .
Logo:
( )2
1 1
2
21
2
2 31 1 1
3 3lim lim 1
6 9 3lim 1
13 lim 18 lim 27 lim
1 13 1 18 27 3
2 3
n n
k kn nk k
n
nk
n n n
n n nk k k
kA f x x
n n
k k
n nn
k k
n n n
¥ ¥
= =
¥=
¥ ¥ ¥= = =
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= = - +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è øæ öæ ö÷ ÷ç ç÷ ÷= - +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷çç è øè ø
= - +
= ´ - ´ ´ =
å å
å
å å å
- 40 -
Apêndice
o A integral definida
( )b
af x dxò é o valor da integral de f no intervalo [a,b]
Se ( ) ( )b b
a aa b f x dx f x dx> =-ò ò
Propriedades
Sejam [ ], : , f g a b duas funções integráveis em [a,b]. Então:
i) Se ( ) [ ], ,f x x a b0³ Î , então ( )b
af x dx 0³ò
ii) fa é integrável em [a,b], e ( )( ) ( ) ( )b b b
a a af x dx f x dx f x dx= =ò ò òa a a
iii) f+g é integrável em [a,b], e ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )b b b b
a a a af g x dx f x g x dx f x dx g x dx+ = + = +ò ò ò ò
o Cálculo de uma área curva
Dada uma curva ( )y f x= , calcule-se a área sob essa curva, limitada pelas retas 1x a= e
2x b= e pelo eixo dos x .
Seja n o número de partições (ou divisões) do intervalo [a, b], no qual ( )f x é contínua. A área é dada por:
( )1
limn
k knk
A f x x¥
=
= å
em que: k
b ax
n
-=
k é o número índice de cada partição,
e na função ( )kf x substitui-se x por k
a k x+
e
( )
1
21
2
31
1
1
1lim 1
1lim
21
lim3
1lim
n
nkn
nkn
nk
in
ink
nk
nk
n
k
in
¥=
¥=
¥=
-
¥=
=
=
=
=
å
å
å
å
(v. ex. 52)
o Teorema fundamental do Cálculo
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b]. Então F é derivável e F’(x)=f(x).
- 41 -
O que o teorema nos diz é que se a derivada de F é igual a f(x), então F é a integral — ou anti-derivada — de f(x), isto é, que a integração e a derivação são operações inversas uma da outra.
Seja f(x) contínua no intervalo [a,b]. Se a função G é derivável em [a,b], e ( )G’ f x= , então
( ) ( ) ( )b
af x dx G b G a= -ò
Observações: i) , , ,a b a b n" Î < " ³ Î1 , então
n nb
n
a
b ax dx
n n
+ +
= -+ +ò
1 1
1 1
ii) , ,a b a b" Î < , então
cos sen senb
ax dx b a= -ò (Obs.: não se trata aqui do cálculo da área)
iii) , , ,a b a b n" Î < " ³ Î1 , e seja p um polinônio qualquer. Então
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )1 1
1 1
n nb bn
a a
p b p ap’ x p x dx f x dx G b G a
n n
+ +
= = -- = -+ +ò ò
o Teorema de Weierstrass
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b]. Então existem dois pontos x1 e x2 em [a, b] tais que, para todo x em [a,b],
( ) ( ) ( )1 2f x f x f x£ £ .
O teorema afirma que x1 é o valor mínimo e x2 o valor máximo no intervalo fechado [a, b].
- 42 -
o Teorema do anulamento (ou de Bolzano)
o Teorema do valor intermediário
Observe que o teorema do anulamento é um caso particular do teorema do valor intermediário.
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b], sendo que f(a) e f(b) possuem sinais contrários. Então existe pelo
menos um c em [a, b] tal que ( ) 0f c = .
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b] e um real contido entre f(a) e f(b). Então existe pelo menos um c em
[a, b] tal que f(c) = .
- 43 -
o Teorema do valor médio (TVM)
o Teorema de Rolle
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[. Então existe pelo menos um c em [a, b] tal que
( ) ( ) ( )’f b f a
f cb a
-=
-.
Seja f uma função contínua no intevalo fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto ]a, b[ com f(a) = f(b). Então existe pelo menos um c em ]a, b[ tal que f’(c) = 0.
- 44 -
o Teorema do valor médio de Cauchy
Note que se ( ) ( )então, ) 1g x x g x= ¢ = , e temos a versão comum do TVM, que é um caso particular do Teorema do valor
médio de Cauchy.
Seja f e g funções contínuas no intevalo fechado [a, b] e deriváveis no intervalo aberto ]a, b[ com f(a) = f(b). Então existe pelo menos um c em ]a, b[ tal que
( ) ( )( ) ( )
( )( )’
’
f b f a f c
g b g a g c
-=
-.
- 45 -
Bibliografia:
[1] Guidorizzi, Hamilton Luiz — Um curso de Cálculo (LTC Editora, 2007) [2] Leithold, Louis — O Cálculo com Geometria Analítica (Ed. Harbra, 1986) [3] Olivero da Silva, Mário; Cardim, Nacy — Cálculo II (Consórcio CEDERJ, 2007) [4] Ortiz, Fausto Cervantes — Métodos operativos del Cálculo Integral (Universidad Autónoma de la Ciudad de México, 2008) [5] Piskunov, N — Cálculo diferencial e integral (Editora Mir, Moscou, 1969) [6] Pombo Jr., Dinamérico Pereira; C. Gusmão, Paulo Henrique — Cálculo I (Consórcio CEDERJ, 2004) [7] Spiegel, Murray R. — Manual de fórmulas e tabelas matemáticas (Ed. MC Graw-Hill do Brasil LTDA, 1977)
Este trabalho foi digitado e formatado no MS Word 2003. Os gráficos de funções foram criados com o Advanced Grapher, da Alentun. As fórmulas e funções foram criadas no MathType 6.0. A capa foi desenvolvida no MS Word 2003 e ilustrada com gráficos criados pelo Advanced Grapher.
